Zweidimensionale Vektorrechnung:

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1 Zweidimensionale Vektorrechnung: Gib jeweils den Vektor AB und seine Länge an! (a A(, B(6 5 (b A(, B( 4 (c A(, B( 0 (d A(0 0, B(4 (e A(0, B( 0 (f A(, B( Gib jeweils die Summe a + b und die Differenz a b der beiden Vektoren a und b an! Ermittle die Lösung durch Rechnung und durch eine Zeichnung! (a a = ( ( 5 (b a = ( 0 ( (c a = ( ( Ermittle (i die Koordinaten des Endpunktes E der Wanderung, (ii die Koordinaten des Vektors EA für die Rückkehr von E zum Ausgangspunkt A der Wanderung, (iii die Gesamtlänge der Wanderung (von A nach A! (a A(, AB = ( (, BC = (, CD = (, DE = (b A(, AB = ( 0 (, BC = (, CD = (, DE = 4 Berechne den Umfang der gegebenen Vielecke! (a A(, B(, C(, D( (b A(4 0, B(0, C( 5 0 (c A(4 0, B( 4, C( 6, D(, E(0 4 5 Die folgenden Vielecke sollen durch den angegebenen Vektor s einer Schiebung unterworfen werden Gib die neuen Koordinaten des jeweiligen Vielecks an! (a A(4 0, B(, C(, D( 4 0, s = ( (b A(, B( 6, C(7 8, D(5 4, s = ( (c A(0 0, B( 4, C( 4, s = ( 0 (d A(0 0, B(4, C(4, s = ( 0 (e A(, B( 6, C(7 8, D(5 4, s = ( Ermittle die Koordinaten des fehlenden Eckpunktes und den Umfang des Parallelogramms! (a A(, B(5, C( (b C( 5, D(7, A( 4 (c A( 4, B(5, C(8 (d A( 4, C( 4, D( (e B(, C( 0, D( 7 6 (f A(4 4, B( 8, D(7 0 (g C(, D( 4, B( (h A(, B(, D(0

2 7 Überprüfe, ob die Vektoren AB und CD zueinander parallel sind! (a A(4, B(, C(0 5, D( (b A(, B( 4, C(0 0, D( (c A(0, B( 0, C(0 0, D( (d A(, B( 0, C( 5, D( 5 (e A(, B( 4, C(, D( 8 (f A( 4, B(, C(, D( 5 (g A(, B(, C(5 7, D(7 5 (h A(a b, B(b a, C(c d, D(d c 8 Ergänze die fehlende Koordinate so, dass die beiden Vektoren a und b zueinander parallel sind! (a a = ( ( (b a = ( 0 ( 0 (c a = ( ( 4 (d a = ( 5 ( 4 6 (e a = ( ( (f a = ( 0 ( 0 9 Gib jeweils den normierten Vektor a 0 zum gegebenen Vektor a an! (a a = ( 6,,6 (b a = ( 7,4 (c a = ( 9,9 (d a = (,,5 (e a = ( (f a = ( a 4a 0 Gib jeweils einen Vektor b an, der zum gegebenen Vektor a parallel ist und die Länge l hat (a a = ( 5, l = 6 (b ( a = 4, l = 5 (c ( a =, l = 0 Gib zum Vektor a den (i nach links, (ii nach rechts gekippten Normalvektor an! (a a = ( (b a = ( (c a = ( 4 (d a = ( 4 (e a = ( 0 (f a = ( 0 (g a = ( (h a = ( Ergänze die fehlende Koordinate des Vektors b so, dass der Vektor b auf a normal steht! (a a = ( ( 6 (b a = ( 4 ( 8 (c a = ( ( 9 (d a = ( ( 0 (e a = ( ( 6 (f a = ( ( 6 Gib jeweils (i einen linksgekippten (ii einen rechtsgekippten Normalvektor zum Vektor a an, der die Länge l hat (a a = ( 5, l = 6 (b ( a = 4, l = 5 (c ( a =, l = 0

3 4 Von einem in positivem Umlaufsinn beschrifteten Quadrat kennt man die Endpunkte einer Seite Ermittle die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte! (Fertige eine Skizze an! (a A(, B( (b B( 4, C(0 (c C(, D( (d A( 0, D( 0 (e A( 0, B(0 (f C(0 0, B( 5 Von einem im positiven Umlaufsinn beschrifteten Quadrat kennt man einen Eckpunkt und den Mittelpunkt Ermittle die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte! (Fertige eine Skizze an! (a A( 0, M( (b B(, M( (c C(, M(0 0 (d D( 0, M(0 0 (e A( 0, M(0 (f A(4 7, M(4 4 6 Berechne die Winkel in den gegebenen Dreiecken: (a A(, B(0 5, C( 6 (b A(0 0, B(, C( 5 0 (c A( 8, B(, C( 0 (d A(, B(, C( 7 Überprüfe, um welches Viereck es sich handelt! (Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Raute, Trapez, Deltoid, allgemeines Viereck (a A(, B(, C(, D( (b A(, B(4, C(0 5, D(0 0 (c A(, B(, C(4, D(0 (d A(, B(, C( 5, D( 0 (e A(4, B( 4, C( 4, D( 4 (f A(0, B(4, C(5, D( (g A(, B( 4, C( 0, D( (h A(, B(, C( 5, D( 0 (i A(, B(, C(5 0, D(4 (j A( 0, B(, C(4, D(0 4 (k A(, B(, C(, D( (l A(, B(, C( 6, D( 0 8 Trage die angegebene Strecke l von A aus in Richtung des Vektors a ab und gib die Koordinaten des entstehenden Punktes B an! (a A(, a = ( 4, l = 0 (b A(, a = (, l = (c A(, a = (,7 4,4, l = 5 (d A(, a = ( a 4a, l = 0 (e A(, a = ( 6,,6, l = (f A( 4, a = ( 9,9, l = 0, 9 Berechne die Koordinaten des Halbierungspunktes der gegebenen Strecke! (a A(, B(5 6 (b P( 5, Q( (c R(0 0, S( Von einem in positivem Umlaufsinn beschrifteten Rechteck kennt man die Endpunkte einer Seite und die Länge der anderen Seite Ermittle die Koordinaten der fehlenden Eck-

4 punkte und des Mittelpunktes des Rechtecks! (a A(, B( 5 (b B(, C(5, a = 0 (c C(, D( 0 (d D(0, A(, a = (e A(, B(4 7 5 (f B( 0, C(4,4, a = 5, (g C( 4, D(5,,4 (h D(5, A( 6,7,4, a = 0 Von einem in negativem Umflaufsinn beschriftetetn Quadrat kennt man die Koordinaten zweier diagonal gegenüberliegender Eckpunkte Gib die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an! (a A( 7, C(5 (b D(5, B( 4 (c A( 4, C(7 (d B(4 6, D( (e B(, D( (f B( 4 0, D(4 Berechne bei den folgenden Rauten mit Diagonalenschnittpunkt M die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte! (a A(, M(, f = 0 (b A(, C(7, f = 0 Gib die Koordinaten jenes Punktes T an, der die Strecke AB im angegebenen Verhältnis δ teilt! (a A( 5 9, B(9, δ = : 5 (b A( 5, B(9, δ = : (c A( 8, B(6 9, δ = 7 : 5 (d A( 4, B(8 6, δ = : (e A( 5 9, B(9, δ = : 4 (f A( 5, B(9, δ = : 4 Gib eine Gleichung jener Geraden an, auf der die beiden Punkte P und Q liegen (i in Parameterform, (ii in Normalvektorform, (iii in allgemeiner Form (iv in Hauptform (falls möglich (a P(, Q(5 7 (b P(0 4, Q(4 (c P(, Q( (d P( 4 5, Q( 5 (e P(0 0, Q( 4 (f P(9, Q( 5 Untersuche, ob der gegebene Punkt auf der Geraden g liegt! g : ( X = +t ( (a P( 0 (c R( 5 9 (e T ( 6 (g V ( 6 4 (b Q( (d S(,5 (f U(0 (h W( 6 4

5 6 Überprüfe, ob die drei Punkte P, Q und R auf einer Geraden liegen! (a P(, Q(, R( 4 (b P(, Q(5, R( 7 5 (d P( 5 7, Q(, R(0 8 (e P(0 4, Q(4 0, R( 7 Untersuche, wie die beiden Gerade g und h zueinander liegen Berechne gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes S und den Schnittwinkel ϕ der beden Geraden! (a g : x + y = 6, h : X = ( ( 0 + s (b g : X = ( ( 5 +t, h : y = x + (c g : X = ( ( + r (, h : X = ( + s (d g : x + y = 5, h : x + 4y 7 = 0 (e g : X = ( ( + d, h : y = x + (f g : y = x + 9, h : 4x + y 8 = 0 (g g : y = x + 4, h : X = ( 0 ( + s 4 (h g : X = ( 4 8 ( +t (, h : X = ( 4 + k 8 Ermittle die Hauptform jener Geraden, (i die parallel zu g und durch den Punkt P verläuft (ii die auf g normal steht und durch den Punkt P geht (iii Ermittle den Normalabstand des Punktes P von der Geraden g mit der Hesseschen Normalform! (a g : X = ( ( +t, P( (b g : x + 6y = 7, P(0 0 (c g : y = x 9, P( (d g : ( ( x y =, P( 4 (e g : X = ( +t (, P(5 (f g : X ( =, P( 0 9 Ermittle die Streckensymmetrale auf die Punkte A und B! (a A( 4, B( (b A( 4, B( 7 (c A( 0, B(0 0 (d A(, B(5 (e A(0 0, B( (f A(, B( 0 Ermittle die Koordinaten des Inkreismittelpunkts des Dreiecks ABC! (a A(, B(5, C( 0 (b A(, B(, C( 47 (c A( 4, B(4 4, C( 4 6 (d A(0, B( 7, C(0 (e A(, B(9 9, C( 5 4 (f A(0 0, B(, C(4 8 Ermittle (i den Schwerpunkt des Dreiecks ABC als Schnittpunkt der Schwerlinien (ii den Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC! (iii den Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC! 5

6 (iv die Eulersche Gerade des Dreiecks ABC! (a A( 9 6, B(8 5, C(5 6 (b A(, B( 4, C( 8 (c A( 5, B(0 4, C( 9 (d A(5 5, B(5 9, C( 7 4 (e A(4, B(5 0, C(5 (f A(4 9, B(6, C(6 Ermittle die Höhen der Dreiecke ABC aus Aufgabe mit der Hesseschen Normalform! Ermittle den Flächeninhalt der Dreiecke ABC aus Aufgabe! Dreidimensionale Vektorrechnung: 4 Untersuche, ob die drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen! (a A(4 5, B(0 6, C( 4 9 (b A(0 5, B(0 0, C(0 0 5 (c A( 6, B(, C(0 (d A(7 5, B(0 9 7, C( Untersuche, welche Lage die beiden Geraden g und h zueinander haben und ermittle gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunkts und den Schnittwinkel der beiden Geraden! (a g: 0 7 (b g: 94 4 (c g: 4 X = +t 7 (d g: (e g: 48 X = +t 5 (f g: (g g: X = +t 4 5 (h g: 0 7 ( ( h: ( ( h: h: h: h: X = ( s ( 5 5 h: h: 4 X = 4 + s 0 h: (i Ermittle, ob das Dreieck ABC rechtwinkelig ist! (ii Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC auf zwei Arten! (iii Berechne die Höhen des Dreiecks ABC (iv Ermittle die Koordinaten des Schwerpunkts! 6

7 (a A(, B( 5 4, C( (b A( 0, B( 4, C( (c A(4, B( 6 5, C(7 8 (d A(, B(4 5, C( 5 7 Gib die Gleichung jener Ebene an, auf der das Dreieck ABC liegt! Gib die Ebenengleichung (i in Parameterdarstellung (ii in Normalvektorform (iii als allgemeine Ebenengleichung an! (a A( 4, B( 0 0, C(5 (b a(0 0 0, B( 4, C( 4 (c A(0, B(4 4, C(6 5 (d A(, B(0 0 0, C(4 5 8 Gib die allgemeine Gleichung und die Normalvektorform der Ebene ( ε : t 8 0 an und überprüfe, ob die folgenden Punkte auf der Ebene ε liegen: (a R ( (b R ( 4 (c R (4 0 (d R 4 ( Der Punkt P j liegt auf der Ebene ε Ergänze die fehlende Koordinate! ( ε : t 8 0 (a P (5 8 z p (b P (5 4 z p (c P (x p 0 5 (d P 4 (x p (i Gib eine Gleichung jener Ebene an, auf der die Gerade g und der Punkt S liegen! (ii Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g! (a g : 4 4, S(0 9 5 (b g : 55 78, 0 S( 0 8 (c g : 90 X = + s, 5 0 S( Gib die Gleichung jener Normalebene zur Geraden h an, welche den Punkt Q enthält! (a h : 4, Q(4 0 7 (b h : 0 5, Q( 8 0 7

8 ( ( (c h : 0, Q( Gib eine Gleichung jener Ebene an, auf der die beiden schneidenden Geraden g und h liegen! (a g : 0, h : 0 0 ( ( (b g : 9, h : Gib eine Gleichung jener Ebene an, die durch den Punkt P geht und zu den Geraden g und h parallel ist! (a P(, g : 0, h : ( ( (b P( 5, g : 0, h : Ermittle Gleichungen jener Ebenen, die zur Ebene ε parallel sind mit Abstand d! (a ε : 4x 8y + z =, d = 8 (b ε : 6x y + z = 4, d = 7 (c ε : x + y + z = 8, d = 0 (d ε : x + 5y = 8, d = 45 Gib eine Gleichung jener Geraden an, die durch den Punkt P geht und auf die Ebene ε normal steht! (a P( 4, ε : x y + z = 5 (b P(5, ε : x z = 7 (c P( 0 0, ε : x = 6 (d P(0 0 0, ε : x y + z = 0 (e P( 8 0, ε : 4x + y z = 4 (f P(4 8, ε : y 5z = 8 46 Gib eine Ebenengleichung der Streckensymmetralebene σ der Strecke AB an! (a A( 4, B(8 6 9 (b A(4 0, B(0 4 (c A( 0, B(0 (d A(5 0 0, B(5 4 (e A( 5, B(8 (f A(0, B(0 47 Gib eine Parameterdarstellung jener Geraden an, welche durch den Punkt P geht und zu der von den Geraden g und h aufgespannten Ebene normal steht! (a g : 0, h : 0, P( (b g :, h : 0, P( 0 0 ( ( (c g : X = t 4, h : 0 X = s 5, P(

9 48 Gib an, welche Lage die Gerade g zur Ebene ε hat und ermittle gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes und den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene! ( (a g : 84 ε : t (b g : X = +t ε : x y = 4 (c g : 0 6 ε : x + y 4z = 4 5 ( (d g : 0 X = t ε : x + y z = ( (e g : 4 X = t ε : 6x 7y + 6z = 40 5 (f g : 0 ε : y + z = 9 7 ( (g g : 66 X = t ε : x 5y 5z = 4 7 ( (h g : 0 X = t ε : x + 7y z = 0 49 Wo schneidet die Ebene ε (i die x Achse, (ii die y Achse, (iii die z Achse? (a ε : x + y z = 7 (b ε : 7x 4y + 4z = 8 50 Wo schneidet die Gerade g (i die xy Ebene, (ii die xz Ebene, (iii die yz Ebene? (a g : 6 (b g : (i Spiegle den Punkt P an der Ebene ε! (ii Spiegle die Ebene ε am Punkt P! (iii Berechne den Normalabstand des Punktes P von der Ebene ε! (a P(5 5, ε : x+4y z = 0 (b P(5 7, ε : 4x + y = 8 (c P( 4, ε : x + z = (d P( 0 5, ε : x + y + z = 5 5 Gib den Normalabstand des Punktes P von der Geraden g an und spiegle den Punkt P an der Geraden g (a P(, g : 45 0 (c P(5 4, g : (b P( 5, g : 66 0 (d P( 5, g :

10 5 Bestimme, wie die beiden Ebenen liegen, gib gegebenenfalls die Schnittgerade der beiden Ebenen an und berechne den Winkel, unter dem die Ebenen schneiden! (a ε : x + y + 4z = 0 ε : x y + 5z = 0 (b ε : 4x y + 5z = 8 ε : x + y + z = 4 (c ε : x y + z = 5 ε : 4x+y z= 0 (d ε : 5x 8y + 7z = 0 ε : 5x + 6y z = 4 (e ε : 4x + y + 5z = 6 ε : 8x + 4y + 5z = 0 (f ε : 8y z = ε : 7y + z = 9 (g ε : x + y z = 6 ε : x 6y + 9z = 8 (h ε : x y + z = 0 ε : 5x + y 7z = 0 (i ε : 4x 0y + z = 6 ε : 6x + 5y z = 54 Bestimme, wie die drei Ebenen ε, ε und ε liegen und gib gegebenenfalls die Schnittgerade der drei Ebenen oder den Schnittpunkt der drei Ebenen an! (a ε : x y + z = 7 ε : x z = ε : 4y z = (b ε : 4x y + z = 0 ε : x + 9y 4z = ε : 6x 5y+8z= 8 (c ε : x 8y 4z = ε : x 6y z = ε : x + 4y 8z = (d ε : x 5y + z = 0 ε : 9x + y 8z = 0 ε : 6x y + 4z = (e ε : 6x 4y + 5z = 0 ε : 5x y + z = 8 ε : 6x+4y 5z= (f ε : x y z = 4 ε : x + y z = 5 ε : 9x + y 4z = (g ε : x + y + z = ε : x y + z = ε : 5x + y z = 4 (h ε : x y + 4z = 6 ε : x + y + z = 6 ε : 4x 5y + 7z = 8 (i ε : x + y z = ε : x y + z = ε : 7x + y + z = 8 55 Ermittle die Länge jeder Höhe des Dreiecks ABC! (a A(, B(8 5, C(6 (b A( 0, B(4 4, C(0 6 5 (c A(, B(9 6, C(9 4 (d A( 0 4, B(5, C(9 56 Ermittle den Abstand der beiden parallelen Ebenen auf zwei Arten: (a ε : x + y z = ε : 4x 4y + z = 56 (b ε : x y + z = ε : x y + z = 5 57 Ermittle den Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden g und h! (a g : 45 40, h : 0 7 (b g : 0, h : 0 X = + s 4 ( ( (c g : , h : Berechne (i die Höhe, (ii das Volumen, (iii die Oberfläche des Tetraeders ABCD! (a A(, B(7 0, C( 6, D( 9 (b A(5 4, B(6 4 0, C(, D(

11 Lösungen 4 (a nein (b ja (c ja (d ja 5 (a schneidend, S( 5, α = 44,57 (b schneidend, S(5, α = 5,6 (c plarallel (d windschief (e schneidend, S(,6,4, α = 4,4 (f g = h, die beiden Geraden liegen übereinander (g schneidend, (0 0 9, α = 7,7 (h windschief 6 (a rechtwinkelig (γ, A = 6,6 FE, h a = LE, h b = 4, LE, h c =,45 LE, S (, 6 0, 6, 6 (b nicht rechtwinkelig, A =,8 FE, h a =,89 LE, h b =,89 LE, h c = LE, S (, 6 (c nicht rechtwinkelig, A =, FE, h a = 6,66 LE, h b = 6,87 LE, h c = 4,9 LE, S ( 8 5,, 6 (d rechtwinkelig (γ, A = 4,5 FE, h a = LE, h b = LE, h c =, LE, S (, 6,, 6 7 (a (i X = + s +t 4 4 x 7 (ii y 5 = 0 z 4 (iii 7x 5y + z = 7 0 (b (i X = 0 + s +t x (ii y 0 = 0 z 4 (iii x + 0y 4z = (c (i X = + s +t 0 0 x 0 4 (ii y 8 = 0 z (iii x y z =

12 (d (i X = s +t 0 6 x (ii y z 9 = 0 (iii x + 9y + z = 0 8 allgemeine Form: ε : 4x y 4z = 4 x 0 4 Normalvektorform: y = 0 z 8 4 (a P ε (b P ε (c P ε (d P ε 9 (a z p = 9 (b z p = 0 (c x p = 9 (d x p = 0