1 lineare Gleichungssysteme

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1 Hinweise und Lösungen: 1 lineare Gleichungssysteme Übung 1.1: Löse das lineare Gleichungssystem: I 3x + 3y + 7z = 13 II 1x 2y + 2, 5z = 1, 5 III 4x + 2y + 3z = 1 I 6x + 12y 16z = 2 II 3x y + z = 2 III 15x + 30y 40z = 5 c) I 10x + 6y 5z = 20 II 2x + y 4z = 6 III 6x 4y + 5z = 4 Übung 1.2: Löse das überbestimmte Gleichungssystem: I x + y = 2 II 2x + 3y = 3 III 1 x 5y = 6 3 I 3x 2y = 8 II x + 0, 5y = 2 III 5x 2y = 3 1

2 Übung 1.3: Löse das unterbestimmte Gleichungssystem: I 2x + 3y z = 8 II 2x + y + 2z = 4 I x + y + z = 3 II x + 2y + 3z = 6 Lösung 1.1: L={(1 1 1)} L={} c) L={(1 0 2)} Lösung 1.2: L={(3 1)} L={} Lösung 1.3: L={( r 3 1 r r) r R} L={(r 2r + 3 r) r R} (Je nach Lösungsweg kann das Ergebnis auch anders aussehen aber trotzdem richtig sein.) 2 Vektoren im 3D-Koordinatensystem Übung 2.1: Das Haus im nebenstehenden Bild steht auf der xy-ebene. Das Dach ist symmetrisch, also Punkt I liegt mittig über der Strecke EH und J steht mittig über der Strecke FG. Das Haus ist 10 m hoch. I z J Gegeben sind die Punkte A(5 0 0) D(0 0 0) G(0 15 6) Bestimme die Koordinaten der restlichen Punkte E D H F G C y Stelle die folgenden Vektoren auf: AG, IJ und BI x A B 2

3 Übung 2.2: Berechne die Koordinaten des fehlenden Punktes. 2 AB = 2 A(3 1 1) B=? AB = B(0 3-1) A=? Übung 2.3: Bestimme die Koordinaten des Punktes D so, dass die Punkte A, B, C und D ein Parallelogramm bilden. A(1 2 3) B(2 4 3) C(2 6 5) Übung 2.4: Länge eines Vektors - Berechne die Länge des Vektors AB. 1 AB = 5 A(5 1 1) B(-2-1 4) 3 Übung 2.5: Länge eines Vektors - Zeige durch eine Rechnung, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist. A(1 1 1) B(5 1-2) C(1-2 5) Übung 2.6: Skalarprodukt - Überprüfe, ob die Vektoren a und b orthogonal (senkrecht) zueinander verlaufen. 3 2 a = 2 b = 5 a = Übung 2.7: Zeige durch eine Rechnung, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist. A(1-5 0) B(4-7 5) C(-1-7 8) Übung 2.8: Berechne den Winkel zwischen den beiden Vektoren. 2 b = a = 1 b = 1 a = b = 1 3

4 Übung 2.9: Berechne das Kreuzprodukt Übung 2.10: Kreuzprodukt - Bestimme einen Vektor, der zu a und b senkrecht steht. 1 2 a = 0 b = 1 a = b = 0 Lösung 2.1: A(5 0 0), B(5 15 0), C(0 15 0), D(0 0 0), E(5 0 6), F(5 15 6), G(0 15 6), H(0 0 6), I(2,5 0 10), J(2, ) AG = IJ = BI = 2, Lösung 2.2: B(4-1 6) A(-2 5-2) Lösung 2.3: D(1 4 5) Lösung 2.4: AB = 35 5, 9 AB = 62 7, 9 Lösung 2.5: AB = AC = 5 Lösung 2.6: a b = 0 Die Vektoren stehen senkrecht a b = 19 Die Vektoren stehen nicht zueinander. senkrecht zueinander. 4

5 Lösung 2.7: AB BC = 0 Das Dreieck hat einen rechten Winkel am Punkt A. Lösung 2.8: α = 81, 9 α = 47, 1 Lösung 2.9: = = Lösung 2.10: 3 a b = 5 a b 15 = Parametergleichung Gerade Übung 3.1: Stelle eine Geradengleichung der Geraden g auf, die durch die Punkte A und B verläuft. A(5 8-2) B(-1 3 7) A(3-2 -5) B(4-3 2) Übung 3.2: Prüfe rechnerisch, ob die Punkte auf der Geraden liegen. 7 5 g: x = 0 + r A(2 3-1) B( ) Übung 3.3: Untersuche die Lagebeziehung zwischen den Geraden g und h. 2 g: x = 1 + r 1 g: x = 1 + r h: x = 2 + s h: x = 3 + s

6 c) d) 5 2 g: x = 0 + r 1 g: x = 2 + r h: x = 1 + s h: x = 3 + s Lösung 3.1: g: x = 8 + r 5 g: x = 2 + r Lösung 3.2: Punkt A liegt auf der Geraden g. Punkt B liegt nicht auf der Geraden g. Lösung 3.3: g und h sind parallel zueinander g und h sind windschief c) g und h schneiden sich im Punkt S(3 1 4) d) g und h sind identisch 4 Ebenen Übung 4.1: Stelle eine Parametergleichung der Ebene ABC auf. A(5 5 1) B(2-1 3) C(-4-2 1) A(3-1 -2) B(0 7 4) C(3-1 2) Übung 4.2: Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E E: x = 1 + s 1 + t 4 E: x = 1 + s 4 + t Übung 4.3: Gib die Koordinatengleichung für die xy-,xz- und yz-ebene an. 6

7 Lösung 4.1: E: x = 5 + s 6 + t 7 E: x = 1 + s 8 + t Lösung 4.2: E: x + 8y + 10z = 7 E: 2x + y + 2z = 5 Lösung 4.3: E xy z = 0 E xz y = 0 E yz x = 0 5 Lagebeziehungen Übung 5.1: Gerade mit Ebene in Koordinatenform Untersuche die gegenseitige Lage der Ebene mit der Gerade. Gib gegebenenfalls den Schnittpunkt (bzw. Durchstoßpunkt) an. 4 5 E: 3x 2y + 4z = 11 und g: x = 3 + r E: 2x + y z = 4 und g: x = 1 + r 1 c) E: 5x + 10y 3z = 4 und g: x = r Übung 5.2: Ebene in Parameterform mit Ebene in Koordinatenform Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E und H E: x = 0 + r 0 + s 4 und H: 2x + y + 2z = E: x = 1 + r s und H: 2x + 2y + z = 6 7

8 c) E: x = r s und H: 4x + 3y + 6z = 36 Übung 5.3: zwei Ebenen in Koordinatenform Bestimme die Schnittgerade der beiden Ebenen. E x 3y + z = 4 E 2x + 2y + 4z = 6 H x + 6y + 3z = 2 H 2x + y + 3z = 1 Lösung 5.1: Die Gerade g und die Ebene E schneiden sich im Punkt S(1 2 3). c) Die Gerade g verläuft parallel zur Ebene E. Die Gerade g liegt in der Ebene E. Lösung 5.2: Die Ebenen schneiden sich. Die Schnittgerade kann z.b. wie folgt angegeben werden: g x = 8 + r 8 0 c) Die Ebenen sind parallel. Die Ebenen schneiden sich. Die Schnittgerade kann z.b. wie folgt angegeben werden: 9 3 g x = 0 + r Lösung 5.3: z.b. g x = 2 + r 4 3 z.b. g x = 7 + r Abstände 8

9 Übung 6.1: Berechne den Abstand des Punktes P von der Ebene E, indem du zuerst den Lotfußpunkt L berechnest (der Punkt auf der Ebene, welcher den kleinsten Abstand zum Punkt P hat) und dann den Abstand zwischen L und P bestimmst. Anschließend berechne den Abstand noch einmal mit der Hesseschen Normalform. P(4-7 3) und E 2x 3y + z = 4 P(-6 2-2) und E 7x y + 3z = 9 Übung 6.2: Berechne den Abstand zwischen dem Punkt P und der Gerade g P(3 1 1) g x = 1 + r 3 P(-1 2 5) g x = 7 + r Lösung 6.1: L(0-1 1) d = , 5 LE L(1 1 1) d = 59 7, 7 LE Lösung 6.2: d = 26 5, 1 LE d = 5 2 7, 1 LE 7 Schattenwurf Übung 7.1: Sonnenstrahlen mit vorgegebener Richtung Berechne den Schattenpunkt S der Mastspitze M( ) auf der Ebene E 2x z = 5, wenn die Richtung der Sonnenstrahlen durch den Vektor v = 1 beschrieben wird. Berechne den Schattenpunkt S der Mastspitze M( ) auf dem Boden (xy-ebene), 2 wenn die Richtung der Sonnenstrahlen durch den Vektor v = 2 beschrieben wird. 3 9

10 Übung 7.2: Lichtquelle Im Punkt L( ) hängt eine Lampe. Berechne den Schattenpunkt S der Mastspitze M( ) auf der yz-ebene. Im Punkt L( ) hängt eine Lampe. Berechne den Schattenpunkt S der Mastspitze M(5 7 9) auf der Ebene E x + 2y z = 2. Lösung 7.1: S(3 2 1) S(2 5 0) Lösung 7.2: S(0 2 1) S(1 1 1) 10