Vorlesungsskript. für den Vorkurs Mathematik für Elektrotechniker und Informationstechniker

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1 Vorlesungsskript für den Vorkurs Mathematik für Elektrotechniker und Informationstechniker Nach einer Vorlesung von Prof. Dr. Josef F. Dorfmeister an der Technischen Universität München Verfasst von Conrad Donau, überarbeitet und erweitert von Thorsten Knott Stand:. Oktober 0

2 Inhaltsverzeichnis Vektorgeometrie 4. Operationen mit Vektoren Addition von Vektoren Skalieren von Vektoren Inneres Produkt (Skalarprodukt) Orthogonalität Orthogonale Zerlegung Winkel zwischen zwei Vektoren Zwei wichtige Ungleichungen Geraden und Ebenen 4. Geraden in der Ebene Dynamische Form Allgemeine Form Äquivalenz der beiden Formen Geraden und Ebenen im Raum Dynamische Form von Gerade und Ebene Gleichungsform einer Ebene Verhältnisse von Geraden und Ebenen zueinander Parallelität Schnitte Rechnen mit Polynomen und rationalen Ausdrücken und quadratische Gleichungen 3. Anwendung: Berechnung von Widerständen Polynome und rationale Funktionen Polynomdivision Faktorisierung von Polynomen Grundbegriffe der Mengenlehre Was ist eine Menge? Mengenoperationen Komplexe Zahlen : Grundrechenarten Motivation und Definition Definition der komplexen Zahlen nach Hamilton Der Körper der komplexen Zahlen

3 Inhaltsverzeichnis 5.4 Komplexe Konjugation Quadratische Gleichungen Abbildungen und Graphen Was ist eine Abbildung? Komposition (Verkettung) Eigenschaften von Abbildungen Rechnen mit Ungleichungen und Abschätzungen Rechenregeln für Ungleichungen Lösen von Ungleichungen Halbebenen Exkurs: Abschätzen von Fehlern Verifizieren von Ungleichungen

4 Vektorgeometrie Vektoren sind Objekte mit einer vorgegebenen Länge und Richtung mit deren Hilfe man z.b. physikalische Kräfte wie die Geschwindigkeit oder Strömungsrichtungen im Raum anschaulich darstellen kann. Mithilfe eines Vektors kann man auch Parallelverschiebungen von Elementen charakterisieren. y ( 3 ) 3 ( ) ( 3 ) 3 3 x Abbildung.: Drei Vektoren in der Ebene Ein Vektor wird durch seine Koordinaten bestimmt. Dabei besitzen Vektoren aus der -dimensionalen Ebene R zwei Koordinaten und Vektoren aus dem 3-dimensionale Raum R 3 dementsprechend drei Koordinaten. Wir werden im Rahmen dieses Kurses nur mit diesen beiden anschaulichen Räumen arbeiten. Allerdings gelten alle Ergebnisse dieses Kapitels auch für Vektoren aus dem R n, also dem n-dimensionalem Raum. Nachdem wir nun wissen wie Vektoren aussehen, definieren wir uns ein paar Operationen, um mit ihnen auch rechnen zu können.. Operationen mit Vektoren.. Addition von Vektoren Definition.. Die Addition von zwei Vektoren a = ( u v ) und b = ( p q ) ist definiert durch ( ) a + u + p b := v + q 4

5 Vektorgeometrie y 3 b a + b a 3 4 x Abbildung.: Addition von zwei Vektoren: Die Vektoren a und b werden zu einem Parallelogramm ergänzt. Der Summenvektor a + b ist die Diagonale des Parallelogramms, die den Ausgangspunkt der beiden Vektoren mit der gegenüberliegenden Ecke verbindet. Beispiel.. Addiere die Vektoren a = ( ) und b = ( 3 4 ) a + b = ( ) + ( ) 3 = 4 ( 6 Führen Sie zur Übung die Addition graphisch auf einem Blatt Papier durch!.. Skalieren von Vektoren y ) 3 a s a 3 4 x Abbildung.3: Skalieren eines Vektors: Bei positivem Skalar s behält der Vektor seine Richtung. 5

6 Vektorgeometrie Definition.3. Ein Vektor a = ( u v ) lässt sich mit einem Skalar s R multiplizieren: ( ) s u s a := s v Beispiel.4. Gegeben sind a und b wie in (.). Berechne a b a b = a + ( ) b ( ) ( ) 3 = + ( ) 4 ( ) ( ) 3 = + 4 ( ) 4 =..3 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Definition.5 (Kanonisches inneres Produkt). Das innere Produkt zweier Vektoren a = ( u v ) und b = ( p q ) wird definiert durch ( ) ( ) a, u p b =, := u p + v q v q Obwohl sie ähnlich bezeichnet werden, sind das Skalieren von Vektoren und das Skalarprodukt zwei unterschiedliche Operationen, die man nicht verwechseln sollte. Im ersten Fall wird ein Vektor mit einem Skalar multipliziert und man erhält einen Vektor. Beim Skalarprodukt multipliziert man hingegen zwei Vektoren und erhält als Ergebnis einen Skalar. Das Skalarprodukt wird verwendet, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen (dazu mehr später). Wir können es aber auch dazu benutzen, um die Länge eines Vektors zu bestimmen. Betrachten wir Abbildung.4 genauer, dann sehen wir dass der Vektor mit seinem x- und y-werten ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Mit dem Satz des Pythagoras können wir somit die Länge des Vektors berechnen. Es gilt für einen Vektor a = ( u v ): (Länge von a) = u + v Was erhalten wir, wenn wir das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst betrachten? Definition.6 (Kanonische Norm). Sei ein Vektor a = ( u v ) gegeben, dann lautet die Norm von a a = a, a = u + v Die Norm von a entspricht der Länge des Vektors a. Man spricht auch vom Betrag des Vektors a. 6

7 Vektorgeometrie y 3 a = v ( ) u v u 3 4 x Abbildung.4: In diesem rechtwinkligen Dreieck können wir den Satz von Pythagoras verwenden, um die Länge von a zu erhalten. Satz.7 (Eigenschaften des Skalarprodukts). Seien a, b und c Vektoren und s R gegeben. Das Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften:. Linear s a, b = s a, b. Symmetrisch a, b = b, a 3. Distributiv a + c, b = a, b + c, b Beweis. Übung Beispiel.8. Gegeben sind a und b wieder wie in (.). Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. ( ) ( ) a, 3 b =, 4 = ( 3) + 4 = 5 Beispiel.9. Berechne die Länge des Vektors b = ( 3 4 ). ) ( 3 b = 4 = ( 3) + 4 = 5 = 5, ( 3 4 ) 7

8 Vektorgeometrie. Orthogonalität y ( ) ( ) x Abbildung.5: Die Vektoren sind orthogonal. Wie bereits erwähnt, kann mit dem Skalarprodukt der Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmt werden. Wir beschäftigen uns vorerst mit dem Fall, das die beiden Vektoren orthogonal (senkrecht) aufeinander stehen. Definition.0. Zwei Vektoren a und b heißen orthogonal oder senkrecht falls gilt a, b = 0 Notation. Sind a und b orthogonal, so schreibt man auch kürzer a b. Beispiel.. ( ) ( ) 3, = ( ) und ( 3 4 ) sind nicht orthogonal! Beispiel.. ( ) ( ), = 0 ( ) und ( ) sind orthogonal! Bemerkung.3.. Manchmal ist es nützlich einen Vektor zu transponieren: ( ) ( ) T p p q := q So erhält man eine alternative Schreibweise zum Skalarprodukt: a, b = a T b 8

9 Vektorgeometrie. Im R lässt sich zu jedem Vektor ( p q ) ein orthogonaler Vektor ( q ) p finden (Beweis als Übung). 3. Ein Vektor a heißt normiert, wenn a = gilt. Jeder Vektor a 0 kann durch a = a a a normiert werden. Die Richtung des Vektors bleibt dabei erhalten!.3 Orthogonale Zerlegung y 4 3 a w s b b 3 4 x Abbildung.6: Wir stellen den Vektor a durch eine Kombination von b und w dar. Jetzt wird es Zeit unser Wissen anzuwenden! Wir möchten einen beliebigen Vektor a 0 durch einen anderen Vektor b 0 und mit einem zu b orthogonalen Vektor w darstellen. Eventuell wird es nötig sein b geeignet zu skalieren (s. Abbildung.6). Unsere Ausgangslage ist also, dass wir a durch eine Kombination von b und w darstellen wollen. In Gleichungsform sieht das so aus: a = s b + w, s R, b w (.) Seien a und b gegeben. Wie muss man s und w wählen, dass b und w orthogonal sind? Es soll also b w b, w = 0 (.) gelten. Betrachte (.) und löse nach dem Unbekannten w auf w = a s b (.3) 9

10 Vektorgeometrie Eingesetzt in (.): Wir lösen jetzt nach s auf: 0 = b, a s b = b, a s b, b (.4) b, a s = b, b, a 0, b 0 (.5) Setzen wir s in (.3) ein, erhalten wir eine Gleichung für w b, a w = a b, b b Somit haben wir eine orthogonale Zerlegung von a längs b gefunden..4 Winkel zwischen zwei Vektoren Möchte man den Winkel zwischen zwei Vektoren angeben, muss man davor präzisieren welchen. Vektoren schließen nämlich zwei Winkel ein. Wir interessieren uns immer für den Kleineren der beiden. b a φ φ Abbildung.7: Die Vektoren a und b schließen die Winkel φ und φ ein. Somit ist für den Winkel zwischen den beiden Vektoren a und b immer folgende Bedingung erfüllt: 0 ( a, b) π. Bemerkung.4. Wie in der Mathematik üblich verwenden wir zur Winkelmessung im Rahmen dieses Skripts ausschließlich die Einheit Radiant ( Bogenmaß ). Siehe dazu auch die Diskussion in??. 0

11 Vektorgeometrie Satz.5. Für den Winkel zwischen zwei Vektoren a, b R n mit a, b 0 gilt cos ( a, a, b b) = a b Beweis. Seien a, b R n. Wir führen eine orthogonale Zerlegung von a längs b durch und erhalten ein rechtwinkliges Dreieck. Dabei müssen wir zwischen drei Fällen unterscheiden (siehe auch Abbildung.8):. s > 0: Die zwei Vektoren schließen einen spitzen Winkel ein (0 α < π ).. s = 0: Die zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander (α = π ). 3. s < 0: Die zwei Vektoren schließen einen stumpfen Winkel ein ( π < α π). a a a α s b b s b α b s b ˆα α b Abbildung.8: Die drei möglichen Fälle, die bei einer orthogonalen Zerlegung auftreten können: s > 0, s = 0 und s < 0. Aus der Schule wissen wir, dass für rechtwinklige Dreiecke cos α = Ankathete des Winkels Hypotenuse gilt (wir werden auf trigonometrische Funktionen wie cos, sin oder tan in einem späteren Kapitel weiter eingehen). Nun müssen wir zwischen unseren drei Fällen unterscheiden:. Fall: s > 0 s b, b s b, s b, b b b s>0 cos α = = = s = s a a a a b, b, a b b, a (.5) a, b = b, = = b a a b a b =

12 Vektorgeometrie. Fall: s = 0 b, b b, b cos α = s a s=0 = 0 a = 0 Das ist gleichbedeutend mit α = π. 3. Fall: s < 0 In diesem Fall liegt in unserem rechtwinkligen Dreieck nicht α sondern ˆα. Allerdings gilt, dass α + ˆα = π bzw. α = π ˆα. Das nutzen wir aus: cos α = cos(π ˆα) = cos ˆα = b, b, b b = s (.5) = b, a a b, b a, b = a b s<0 = ( s) b, b a a b, a = = = a b Beispiel.6. Berechne den Winkel zwischen den Vektoren a = ( ) und b = ( 3 4 ) cos ( a, b) = = 5 0, 47 ( a, b) π 3 Bemerkung.7. Gleichbedeutend mit a b ist a, b = 0 Satz.4 cos ( a, b) = 0 Schule ( a, b) = π

13 Vektorgeometrie.5 Zwei wichtige Ungleichungen Satz.8 (Cauchy-Schwarz sche Ungleichung). Für alle Vektoren a, b R n gilt a, b a Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist ein sehr nützliches Werkzeug, um die Größe eines Skalarprodukts abschätzen zu können. Das erscheint auf den ersten Blick nicht sehr praktisch, spielt aber in vielen Beweisen eine große Rolle. Bei unserer Vorgehensweise folgt Satz.8 direkt aus Satz.5, denn cos α für alle α. Man kann aber auch umgekehrt vorgehen und Satz.8 direkt beweisen und anschließend cos ( a, b) durch die Formel aus Satz.5 definieren. Eine weitere wichtige Aussage ist, dass eine Dreiecksseite maximal nur so lang sein kann wie die Summe der beiden anderen Seiten. b Satz.9 (Dreiecksungleichung). Für alle Vektoren a, b R n gilt a + b a + b Beweis. a + b = a + b, a + b = a, a + a, b + b, a + b, b.8 a + a b + a b + ( ) a b = + b Daraus folgt die Behauptung (siehe dazu auch das Kapitel über Ungleichungen 7). Beispiel.0. ( ) ( ) a =, 3 b = 4 ( ) ( ) a + 3 b = + 4 = = a + b 3

14 Geraden und Ebenen Nun möchten wir mithilfe von Vektoren kompliziertere mathematische Gebilde wie Geraden und Ebenen darstellen. Zuerst betrachten wir den einfachen Fall einer Geraden in R. Wir werden später feststellen, dass beim Sprung in höhere Dimensionen (z.b. R 3 ) sich viele Konzepte und Ideen wiederholen.. Geraden in der Ebene.. Dynamische Form Rein intuitiv ist eine Gerade ein Strich in eine Richtung und um diesen darzustellen, benötigen wir einen Richtungsvektor v 0, der uns anzeigt in welcher Richtung die Gerade verläuft, und einen Aufpunkt x 0. Dies nennt man die dynamische Form (oft auch Punkt-Richtungs-Form ) einer Geraden. y 3 v x x Abbildung.: Eine Gerade wird durch einen Aufpunkt x 0 und einen Richtungsvektor v bestimmt. Beispiel.. ( ) ( ) x = +t, t R } {{ } } {{ } x 0 v 4

15 Geraden und Ebenen.. Allgemeine Form Man kann Geraden in der Ebene auch mit einer Gleichung darstellen. Ist die Gleichung für (x, y) R erfüllt, so liegt der Punkt (x, y) auf der Geraden. Definition.. Die allgemeine Form einer Geraden in R lautet wobei A 0 oder B 0 und C R. A x + B y = C Bemerkung.3. Geraden gibt man in der Regel explizit nach einer Variablen aufgelöst an: A 0 x = B A y + C A B 0 y = A B x + C B (.) B = 0 x = C A A = 0 y = C B Die Gleichung (.) hat für B 0 die Form g(x) = m x + b wobei m = A B, b = C B Für A 0 erhält man h(y) = k y + c wobei k = B A, c = C A..3 Äquivalenz der beiden Formen Wir zeigen, dass es für jede Gerade in der dynamischen Form eine Darstellung in der allgemeinen Form gibt (und umgekehrt), d.h. dass die beiden Formen gleichbedeutend sind. Allgemeine Form Dynamische Form Wir betrachten zunächst eine Gerade, die durch die Gleichung y = m x + b gegeben ist und möchten sie in dynamischer Form darstellen. Dazu benötigen wir die Hilfsgleichung x = x und formen dann um: x = x y = m x + b } ( ) ( x = y } {{ } x x m x + b ) ( ) ( ) 0 = }{{} x + m b t } {{ } } {{ } v x 0 Somit haben wir eine dynamische Form der Geraden gefunden. Hat man eine Gerade der Form x = k y +c, benötigt man als Hilfsgleichung y = y und geht analog vor (Versuchen Sie das als Übung!). 5

16 Geraden und Ebenen Dynamische Form Allgemeine Form Nun suchen wir zur gegebenen dynamischen Form einer Geraden x = x 0 + t v eine Gleichungsform. Dazu benötigen wir einen Vektor n 0 mit n v. Man nennt n einen Normalenvektor zu v. Hat v die Form v = ( p q ) ist nach Bemerkung.3 der Vektor n = ( q ) p orthogonal zu v. Betrachte nun: n, x = n, x 0 + t v = n, x 0 + n, t v Andererseits gilt auch = n, x 0 } {{ } =C und somit ergibt sich die allgemeine Form +t n, v } {{ } =0 n, x = q x + p y q x + p y = C für die Gerade. Beachte: Da v 0 gilt q 0 oder p 0.. Geraden und Ebenen im Raum Definition.4. Man nennt zwei Vektoren a und b kollinear, falls ein t R\{0} existiert, so dass a = t b. Notation. Zur Erinnerung: R \ {0} bedeutet alle Zahlen aus R bis auf 0... Dynamische Form von Gerade und Ebene Sind zwei Vektoren kollinear, dann haben beide dieselbe (bzw. bei t < 0 die entgegengesetzte) Richtung. Geraden und Ebenen lassen sich im Raum mit der dynamischen Form einfach darstellen: Gerade x = x 0 + t v v 0 Ebene x = x 0 + t a + s b a, b 0 und nicht kollinear, s, t R Die dynamische Form von Geraden und Ebenen ist auch im R n gültig... Gleichungsform einer Ebene Definition.5 (Kreuzprodukt). Seien zwei Vektoren a, b R 3. So ist für a = ( ) b b = b das Kreuzprodukt definiert durch b 3 a a b 3 a 3 b b := a 3 b a b 3 a b a b ( a ) und a 3 6

17 Geraden und Ebenen Satz.6. Seien zwei Vektoren a, b R 3 gegeben. Dann gilt für n = a b Sind a und b nicht kollinear, so gilt n 0. n a und n b Mithilfe dieses Satzes können wir uns aus der dynamischen Form eine Gleichungsform (die sogenannte Normalenform ) herleiten, indem wir eine Normale der Ebene bestimmen, d.h. einen zur Ebene senkrecht stehenden Vektor. Sei die Ebene in der dynamischen Form gegeben x = x 0 + t a + s b Dann gilt für n = a b n, x = n, x 0 + t a + s b = n, x 0 + t n, a +s n, b } {{ } } {{ } =0 =0 = n, x 0 = n x + n y + n 3 z = c Die Gleichungsform für eine Ebene im Raum lautet n x + n y + n 3 z = c wobei zumindest n 0 oder n 0 oder n 3 0, da bei einer Ebene die Richtungsvektoren a und b nicht kollinear sind und somit n 0 gilt. Allgemeine Form Dynamische Form Dass für eine beliebige allgemeine Form u x + v y + w z = c immer eine dynamische Form existiert, lässt sich mit folgender Überlegung zeigen (siehe Abbildung.): Wir bestimmen drei Punkte x 0, x, x die auf der Ebene liegen (d.h. die Gleichung muss für diese drei Punkte erfüllt sein). Wir berechnen mit a := x x 0 und b := x x 0 die Richtungsvektoren für die dynamische Form. Sind die Richtungsvektoren kollinear, müssen wir einen der Punkte verändern. Mit x = x 0 + t a + s b ist dann eine dynamische Form der ursprünglich in allgemeiner Form gegebenen Ebene. Sehen wir uns dazu ein Beispiel an: 7

18 Geraden und Ebenen x 0 a b 0 x x Abbildung.: Konstruktion der dynamischen Form Beispiel.7. Bestimme eine dynamische Form von x + y + 3 z = 4 Zuerst benötigen wir drei Punkte auf der Ebene: x 0 : x = 0, y =, z = 0 x : x = 0, y = 0, z = 4 3 x : x = 4, y = 0, z = 0 Bestimme die Richtungsvektoren a, b a = x x 0 = 0 = b = x x 0 = 0 = Die Vektoren a und b sind nicht kollinear. Die dynamische Form lautet x = + t + s Verhältnisse von Geraden und Ebenen zueinander Geraden in der Ebene sind entweder parallel, identisch oder haben einen Schnittpunkt. Geraden im Raum können auch windschief sein, d.h. sie besitzen keinen Schnittpunkt, sind aber auch nicht parallel. Betrachten wir zwei verschiedenen Ebenen, dann gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie sie zueinander stehen können: 4 3 8

19 Geraden und Ebenen. Sie sind identisch. Sie sind parallel 3. Sie schneiden sich in einer Geraden Windschiefe Ebenen gibt es im Raum R 3 nicht..3. Parallelität Wenn wir Geraden oder Ebenen auf Parallelität untersuchen möchten, so kommt es uns einzig auf ihre Richtungsvektoren an, denn sind zwei Objekte parallel, dann bleiben sie auch dann parallel wenn eines davon verschoben wird. Identische Geraden sind folglich nur ein Spezialfall von parallelen Geraden. Hier sind die Richtungsvektoren gleich und zusätzlich befinden sich beide Aufpunkte auf beiden Geraden. Das motiviert die folgenden Definitionen: Definition.8 (Parallelität von Geraden). Zwei Geraden nennt man parallel, wenn deren Richtungsvektoren v und v kollinear sind. Definition.9 (Parallelität von Gerade und Ebene). Eine Gerade ist zu einer Ebene parallel, wenn sich der Richtungsvektor der Geraden aus den Richtungsvektoren der Ebene zusammensetzen lässt, d.h. gilt. v = t 0 a + s 0 b Definition.0 (Parallelität von Ebenen). Zwei Ebenen heißen parallel, wenn ihre Normalen kollinear sind. Bemerkung.. Bei der Parallelität von Ebenen könnten wir auch die Richtungsvektoren betrachten und überprüfen, ob die Richtungsvektoren einer Ebene parallel zur anderen Ebene sind..3. Schnitte Gerade - Gerade Sind zwei nicht parallele Geraden g 0 : X = x0 + t v und g : X = y0 + s w gegeben, so bestimmt man ihren Schnittpunkt durch x 0 + t v = y 0 + s w für eine gewisse Wahl von t und s. Für nicht parallele Geraden gibt es entweder keine oder genau eine Lösung dieses Gleichungssystems, je nachdem ob die Geraden entweder keinen oder genau einen Schnittpunkt haben. 9

20 Geraden und Ebenen Beispiel.. Bestimme den Schnittpunkt von g 0 : X = + t g : X = + s Wir setzen die beiden Geraden gleich: 0 + t 0 = + s 3 Das ergibt folgende Gleichungen: Wir lösen das Gleichungssystem: () + t = s () = + s (3) 3 t = s Aus (): s = Eingesetzt in (): t = Test in (3): 3 ( ) = Widerspruch! Also hat das Gleichungssystem keine Lösung und die beiden Geraden schneiden sich nicht. Da die Richungsvektoren auch nicht kollinear sind, müssen die Geraden windschief sein. Gerade - Ebene Der Schnittpunkt einer Ebene E : X = x0 +t a+s b mit einer Geraden g 0 : X = y0 +r w wird ähnlich berechnet wie der Schnitt zweier Geraden: x 0 + t a + s b = y 0 + r w Ist die Gerade nicht parallel zu der Ebene, so haben beide immer genau einen Schnittpunkt. Ebene - Ebene Sind zwei nicht parallele Ebenen E und E im Raum gegeben, so haben diese eine Schnittgerade. Um die Schnittgerade zu bestimmen, benötigen wir einen Richtungsvektor und einen Aufpunkt. Da die Schnittgerade auf beiden Ebenen liegt, muss ihr 0

21 Geraden und Ebenen Richtungsvektor auch auf beiden Normalenvektoren der Ebenen senkrecht stehen. Eine Operation, die uns einen solchen Vektor bestimmt, haben wir bereits kennengelernt: Das Kreuzprodukt. Damit ist mit den Normalenvektoren n und n v := n n ein Richtungsvektor der Schnittgerade gegeben. Den Aufpunkt müssen wir erraten. Wie das geht sehen wir im folgenden Beispiel: Beispiel.3. Bestimme die Schnittgerade von E : x y + z = mit n = E : x + y + z = 3 mit n = Wir bestimmen den Richtungsvektor 3 v = n n = 0 3 Den Aufpunkt berechnen wir, indem wir eine Koordinate festlegen, z.b. x = 0, und das daraus resultierende Gleichungssystem lösen: () + () ergibt () y + z = () y + z = 3 y + y + z + z = 3 + 3z = 5 Also z = 5 3. Das setzen wir in () ein, um y zu erhalten: Damit ergibt sich die Schnittgerade: y = y = 3 g : X = x0 + s v 0 3 = + s Bemerkung.4. Ähnlich wie bei den vorangehenden Aufgaben kann man die Schnittgerade auch durch Lösen eines Gleichungssystems erhalten ohne den Richtungsvektor mit dem Kreuzprodukt zu berechnen.

22 3 Rechnen mit Polynomen und rationalen Ausdrücken und quadratische Gleichungen In den vorhergehenden Kapiteln haben wir bereits mit Brüchen gerechnet. Halten wir noch einmal kurz die Rechenregeln fest. Definition 3. (Rechenregeln für Brüche). Seien a, c R und b, d R\{0}.. Addition:. Multiplikation: 3. Division: a b + c ad + cb = d bd a b c d = ac bd a b c d = ad bc Nachdem das Grundlegende geklärt ist, wollen wir uns nun mit ein paar Anwendungen beschäftigen. 3. Anwendung: Berechnung von Widerständen R R Abbildung 3.: Zwei Widerstände in einem Stromkreislauf. Für den Gesamtwiderstand R bei einer Parallelschaltung von zwei Widerständen gilt: R = R + R

23 3 Rechnen mit Polynomen und rationalen Ausdrücken und quadratische Gleichungen Beispiel 3. (Ein einfaches Beispiel). Angenommen R = 5 und R = 50, dann gilt für den Gesamtwiderstand R: Also ist R = , 7. R = = 6 00 = 00 6 Beispiel 3.3. In Serie geschaltete Widerstände summieren sich. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Schaltung auf dem Bild. B 3 A. Gesamtwiderstand im linken Ast: R links =. Gesamtwiderstand im rechten Ast: R rechts = + 3 = 7 Damit ergibt sich insgesamt: R = + 7 = 9 7 R = 7 9 Beispiel 3.4. Angenommen der Gesamtwiderstand darf höchstens 3 betragen. Wie kann man dann R und R wählen? R 3 3 R Somit gilt: + = R R R + R R 3 R + R 3 R R R ( ) 3 R R ( ) R 3 R R R R ( ) 3

24 3 Rechnen mit Polynomen und rationalen Ausdrücken und quadratische Gleichungen. Fall:. Fall: 3. Fall: ( ) 3 R > 0 R > 3 ( ) 3 R < 0 R < 3 R R ( ) 3 R R 3R R 3 ( ) 3 R = 0 R = 3 R R ( ) 3 R R 3R R 3 R 0 R > 0 Nun haben wir Schranken für R in Abhängigkeit von R. Da Widerstände nicht negativ sein können, gilt außerdem R > 0 und R > 0. In Abbildung 3. sind die möglichen Kombinationen der Widerstände veranschaulicht. R R Abbildung 3.: Der blaue Bereich zeigt einen Ausschnitt der möglichen Kombinationen von R und R an. Die Fläche geht nach rechts und oben weiter. 4

25 3 Rechnen mit Polynomen und rationalen Ausdrücken und quadratische Gleichungen 3. Polynome und rationale Funktionen Definition 3.5 (Polynom). Seien die Koeffizienten p 0, p,..., p n R gegeben. Ein Polynom ist eine Funktion, die sich in der Form p(x) = p 0 + p x + p x + + p n x n. darstellen lässt. Ist p i = 0 für alle i N 0 = N {0}, so nennt man p(x) das Nullpolynom. Die höchste vorkommende Potenz n bei der p n 0 ist, nennt man den Grad des Polynoms. Damit hat jedes Polynom p(x) = p 0 mit p 0 0 den Grad 0. Das Nullpolynom hat keinen Grad. Beispiel Polynom zweiten Grades: p(x) = + 3x + 4x. Polynom vierten Grades: p(x) = + x + x 4 x 3 Dieses Beispiel zeigt, dass die Reihenfolge der einzelnen Summanden keinen Einfluss auf den Grad des Polynoms hat. Definition 3.7 (Rechenregeln für Polynome). Es seien p(x) = p 0 + p x + + p n x m und q(x) = q 0 + q x + + q n x n zwei Polynome vom Grad m N 0 bzw. n N 0. Weiter sei λ R.. Addition: p(x) + q(x) = p 0 + p x + + p m x m + q 0 + q x + + q n x n = = (p 0 + q 0 ) + (p + q )x + + (p m + q m )x m + q m+ x m+ + q n x n, falls m < n. Für den Fall m n entsprechend.. Skalierung: λp(x) = λp 0 + λp x + + λp m x m 3. Multiplikation p(x) q(x) = (p 0 + p x + + p m x m ) (q 0 + q x + + q n x n ) = = p 0 q 0 + (p 0 q + p q 0 ) x + (p 0 q + p q + p q 0 ) x + + (p m q n ) x m+n Die Summe zweier Polynome p, q vom Grad m N 0 bzw. n N 0 ergibt also ein Polynom vom Grad Maximum{m, n}. Das Produkt pq ist ein Polynom vom Grad m + n. Die Skalierung mit einer reellen Zahl λ 0 kann auch als Produkt mit einem Polynom vom Grad 0 betrachtet werden. 5

26 3 Rechnen mit Polynomen und rationalen Ausdrücken und quadratische Gleichungen Definition 3.8 (Rationale Funktion). Sind p und q 0 zwei Polynome, so nennt man R(x) = p(x) q(x) eine rationale Funktion. Die Menge D(R) = {x : q(x) 0} nennt man den ( natürlichen ) Definitionsbereich von R. Beispiel 3.9. Besipiele für Definitonsbereiche von rationalen Funktionen sind. R (x) = x3 x + D(R) = R. R (x) = x3 x D(R) = R \ {±} 3. Im vorigen Beispiel kann man schreiben R (x) = x3 x = (x )(x + x + ) (x )(x + ) Betrachtet man also die rationale Funktion ˆR (x) = x + x + x + mit dem Definitionsbereich D( ˆR ) = R \ { }, so sieht man sofort, dass für alle x D(R ) gilt R (x) = ˆR (x). Aus diesem Grund nennt man die Funktion ˆR (x) auch eine Fortsetzung von R (x). Für rationale Funktionen gelten dieselben Rechenregeln wie für Brüche: Definition 3.0 (Rechenregeln für rationale Funktionen). Seien p, q, u, v Polynome, wobei q, v 0.. Addition:. Multiplikation: 3. Division: p(x) q(x) + u(x) p(x)v(x) + u(x)q(x) = v(x) q(x)v(x) p(x) q(x) u(x) v(x) = p(x)u(x) q(x)v(x) p(x) q(x) u(x) v(x) = p(x)v(x) q(x)u(x) 6

27 3 Rechnen mit Polynomen und rationalen Ausdrücken und quadratische Gleichungen 3.3 Polynomdivision Eine wichtige Technik beim Umgang mit Polynomen ist die Polynomdivision. Ähnlich wie in der Schule bei der Division von Zahlen mit Rest werden hier statt zweier Zahlen zwei Polynome dividiert. Als Ergebnis entstehen wieder zwei Polynome der Ganzteil und der Rest der Division. Nach und nach zieht man vom Dividenden passende Vielfache des Divisors ab. Dazu wird in jedem Schritt derjenige Summand des Restes eliminiert, bei dem x in der höchsten Potenz steht. Beispiel 3. (Polynomdivision). Sehen wir uns ein paar Beispiele an:. Wir möchten p(x) = x durch q(x) = x + dividieren. Beobachtung: p ist ein Polynom zweiten Grades. Im ersten Schritt der Division multiplizieren wir q mit x, damit bei der Subtraktion ˆp = p(x) xq(x) sich der Grad des Polynoms ˆp verringert (wir subtrahieren x x ). Nun fahren wir mit ˆp(x) q(x) fort. Diese Schritte wiederholen wir solange bis der Grad von q größer ist als der Grad des Restpolynoms. ( ) ( ) x : x + = x x x x x + 0. ( ) ( ) x 3 + x 5x 6 : x = x + 4x + 3 x 3 + x 4x 5x 4x + 8x 3x 6 3x ( ) ( ) 3x 5 + x 4 x 3 + x + : x + = 3x 3 + x 4x + 5x + 3 x + 3x 5 3x 3 x 4 4x 3 x 4 x 4x 3 x + x 4x 3 + 4x x + 5x + x + 5x + 3 7

28 3 Rechnen mit Polynomen und rationalen Ausdrücken und quadratische Gleichungen 3.4 Faktorisierung von Polynomen Analog zur Primzahlenzerlegung lassen sich auch Polynome in einzelne Faktoren zerlegen. Wir nennen das die Faktorisierung eines Polynoms. Betrachten wir z.b. das Polynom x, so lautet dessen Zerlegung (wegen Beispiel 3.): x = (x + )(x ) An diesem Beispiel sieht man, dass man dank der Faktorisierung schnell auf die Nullstellen des Polynoms schließen kann (hier x = und x = ). Ist eine Nullstelle bekannt, so können wir durch Polynomdivision eine Teilfaktorisierung erhalten. Betrachten wir dazu das folgende Beispiel: Beispiel 3.. Gegen sei das folgende Polynom: p(x) = x 4 + x 3 + 4x x 5. Finden Sie eine Nullstelle von p. Betrachte: Also ist x = eine Nullstelle.. Polynomdivision: ( p() = = 0 ) ( ) x 4 + x 3 + 4x x 5 : x = x 3 + 3x + 7x + 5 x 4 + x 3 3x 3 + 4x 3x 3 + 3x 3. Wir können also schreiben: 7x x 7x + 7x 5x 5 5x p(x) = x 4 + x 3 + 4x x 5 = (x )(x 3 + 3x + 7x + 5) Nun können wir mit dem neuen Restpolynom p(x) = x 3 + 3x + 7x + 5 fortfahren:. Finden Sie eine Nullstelle von p. Betrachte: p( ) = = 0 Also ist x = eine Nullstelle. 8

29 3 Rechnen mit Polynomen und rationalen Ausdrücken und quadratische Gleichungen. Polynomdivision: 3. Wir können also schreiben: ( ) ( ) x 3 + 3x + 7x + 5 : x + = x + x + 5 x 3 x x + 7x x x 5x + 5 5x 5 0 p = (x + )(x + x + 5) Jetzt können wir versuchen p(x) = x + x + 5 = 0 mit der aus der Schule bekannten Mitternachtsformel zu zerlegen: x 3/4 = ( ± ) 4 5 Da die Diskriminante D = 4 5 < 0 ist, hat das Polynom keine weiteren reellen Nullstellen (wohl aber komplexe, dazu später mehr!) und wir haben die optimale Faktorisierung mit reellen Zahlen erreicht: p(x) = (x ) p = (x )(x + )(x + x + 5) Bemerkung 3.3 (Allgemeine Bemerkung zur Faktorisierung). Sei p(x) ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei der höchste Koeffizient =, dann existiert eine Darstellung von p der Form p(x) = (x a )... (x a n ) (x + b x + c ) (x + b x + c )... (x + b k x + c k ) mit: und dem Grad r + k. b j 4c j < 0 a j, b j, c j R 9

30 4 Grundbegriffe der Mengenlehre 4. Was ist eine Menge? Definition 4. (Naive Definition einer Menge). Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter wohl unterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Für eine präzisere Definition ist eine Logikvorlesung zu empfehlen. Uns interessiert in diesem Rahmen die Anwendung: Wie können Mengen aussehen? Was für Operationen können wir mit Mengen ausführen? Beispiel 4.. Einige einfache Beispiele für Mengen: {x : x ist Student an der TU München} {x : x ist eine griechische Euro Münze} {x : x ist eine türkische Euro Münze} =, d.h. diese Menge ist leer (es gibt zum jetzigen Zeitpunkt keine türkischen Euro Münzen). {x : x R, x 7} Definition 4.3 (Inklusion von Mengen). Seien A, B Mengen. Wenn jeder Punkt von A auch ein Punkt von B ist, so schreibt man A B (sprich: A ist eine Teilmenge von B ). B A Abbildung 4.: A ist Teilmenge von B (A B) Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. In: Mathematische Annalen 46 (895), S

31 4 Grundbegriffe der Mengenlehre Bemerkung 4.4. Häufig wird statt einfach nur geschrieben. Wenn man ausdrücken möchte, dass A eine Teilmenge von B aber verschieden von B ist, so schreibt man A B. Beispiel 4.5. {x : x R, x 7} R Zwei Mengen heißen gleich, wenn beide Mengen Teilmengen voneinander sind. Mathematisch schreibt man das so: Definition 4.6 (Mengengleichheit). A = B (A B und B A) 4. Mengenoperationen Nachdem wir gesehen haben, wie Mengen aussehen können und in welchem Verhältnis sie stehen können, wollen wir im Folgenden einige Operationen betrachten. Seien A, B jeweils zwei beliebige Mengen. Definition 4.7 (Durchschnitt). A B := {x : x A und x B} A B A B Abbildung 4.: Schnitt von zwei Mengen A und B. Beispiel 4.8. A = {x : x ist eine blonde Frau}, B = {x : x ist ein Mensch, der schwimmen kann} A B = {x : x ist eine blonde Frau, die schwimmen kann} Beispiel 4.9. A = R, B = {x C : x } A B = [ ; ] Definition 4.0 (Vereinigung). A B := {x : x A oder x B} Mit Durchschnitt und Vereinigung von Mengen kann man rechnen. Eine wichtige Rechenregel in diesem Zusammenhang ist das Distributivgesetz für Mengen: A (B C) = (A B) (A C) Beispiel 4.. A = {x : x fährt einen Polo}, B = {x : x trägt einen blauen Pullover}, C = {x : x hat schwarze Haare} 3

32 4 Grundbegriffe der Mengenlehre A B A B Abbildung 4.3: Vereinigung von zwei Mengen A und B. A (B C) = {x : x fährt einen Polo} und {x trägt einen blauen Pullover oder hat schwarze Haare} (A B) (A C) = {x : x fährt einen Polo und trägt einen blauen Pullover} oder {x : x fährt einen Polo und hat schwarze Haare} Laut Distributivgesetz sind die rechten Seiten gleich. Überlegen Sie sich selber, ob die beiden Aussagen übereinstimmen! Oft interessieren uns auch alle Elemente, die nicht in einer Menge A enthalten sind. Aus diesen Elementen können wir wiederrum eine Menge erstellen, das Komplement von A. Um das Komplement definieren zu können, müssen wir wissen, wie die Gesamtheit aller Elemente aussieht, d.h. wir müssen alle Elemente über die wir reden wollen kennen. Wir nennen diese Gesamtheit Ω. A Ω C Ω A Abbildung 4.4: Komplement von A in Ω. Definition 4. (Komplement). Sei A Ω, dann definiert das Komplement von A in Ω. C Ω A := {x Ω : x / A} Wenn uns die Punkte interessieren, die in einer Menge A, aber nicht in einer Menge B sind, müssen wir deren Differenz bilden. Definition 4.3 (Differenzmenge). Seien A, B Ω, dann gilt: A\B = {x A : x / B} = A C Ω B 3

33 4 Grundbegriffe der Mengenlehre A B A\B Abbildung 4.5: A ohne B. Bemerkung 4.4. Wenn Ω klar ist, können wir auch kürzer schreiben: C Ω A = A C Beispiel 4.5. Können Sie sich die folgenden Mengen vorstellen?. A = C, B = {0}, A \ B = C \ {0}. A = R, B = {x R : x } A\B = {x R : x > } Die letzte Mengenoperation, die wir uns anschauen wollen, ist das Produkt von Mengen. Definition 4.6 (Mengenprodukt). Seien A, B Mengen, dann heißt A B := {(a, b) : a A, b B} das Produkt von A und B. Dabei bezeichnet (a, b) das in dieser Reihenfolge angeordnete Paar der Punkte a, b. Beim Produkt zweier Mengen betrachten wir alle möglichen angeordneten Paare von Punkten zweier Mengen und fassen diese in einer Menge zusammen. Beispiel A = alle Gänse, B = R A B = {(a, b) : a ist eine Gans, b R}. A = {0, }, B = {x, q, z} A B = {(0, x), (0, q), (0, z), (, x), (, q), (, z)} 3. A = B = R A B = R R = {(a, b) : a R, b R} = R 33

34 4 Grundbegriffe der Mengenlehre B A A B Abbildung 4.6: Der gepunktete Rand gehört nicht zu A B. 4. A = [, ], B =], [ A B = [, ] ], [ = {(a, b) : a, < b < } Abbildung 4.6 veranschaulicht die Menge. 34

35 5 Komplexe Zahlen : Grundrechenarten 5. Motivation und Definition Die Idee der komplexen Zahlen ist es, eine neue Zahl i einzuführen so, dass z + = 0 mit dieser neuen Zahl lösbar ist. Damit muss für i gelten: i i = i = Diese neue Zahl i ist natürlich keine reelle Zahl (ist also nicht in R enthalten), weil das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ ist. Wir erweitern somit erst einmal unseren Vorrat an Zahlen künstlich. Man kann aber bei den Grundrechenarten mit i so rechnen, als wäre es eine (reelle) Zahl, die die Besonderheit i = besitzt. Hier sind einige Beispiele: 3i + i = 5i 4i + ( 6)i = 4i 6i = i i 3i = 3 i = 6 ( ) = 6, denn i =. Wichtig ist auch, dass man mit i vertauschen (kommutieren) kann, z.b. 0 i = i 0 = 0 i = i = i ( ) i = i ( ) = i Wir haben gesehen, dass i eine Lösung der Gleichung z + = 0 ist, denn so haben wir i vorhin definiert. Nun bezeichnen wir mit i die zweite Lösung der quadratischen Gleichung (wie im Reellen wollen wir auch hier, dass es genau zwei Lösungen gibt). Für x > 0 sind xi und xi die Lösungen von z + x = 0, man nennt sie die x-fachen von i und i. Somit ist xi = x i das Produkt einer reellen Zahl mit i und man fordert 35

36 5 Komplexe Zahlen : Grundrechenarten x i = i x (Vertauschbarkeit von i und x) um sich nicht überlegen zu müssen, wo man nun das i hinschreibt. 0 i und 0 ( i) sind als Lösungen von z + 0 = 0 natürlich beide 0 und wir betrachten 0 - wie gewohnt - als reelle Zahl. Die Menge der Zahlen {x i : x R} nennt man die Menge der (rein) imaginären Zahlen oder die Menge der Imaginärzahlen. Man rechnet mit ihnen wie mit reellen Zahlen, einzig i i = i = ist zu beachten. Mit dieser neuen Einheit ist es nun möglich Quadratwurzeln von negativen reellen Zahlen zu ziehen: 6 = 6 = ±4i 5. Definition der komplexen Zahlen nach Hamilton Die Mathematiker brauchten bis ins frühe 9. Jahrhundert, um die Idee von Zahlen z mit der Eigenschaft z < 0 zu akzeptieren. Der Norweger Caspar Wessel (745-88) wird als der Erste betrachtet, der eine zufriedenstellende Definition der komplexen Zahlen gab. Um 83 gab der Ire William Rowan Hamilton ( ) die heute gebräuchlichste Definition : Definition 5.. Betrachte R = R + Ri mit = ( 0 ) und i = ( 0 ). Definiere auf dieser Menge eine Addition (u + vi) + (x + yi) = (u + x) + (v + y)i, die der üblichen Addition von Vektoren im R entspricht, und eine neuartige Multiplikation (u + vi) (x + yi) = (ux vy) + (uy + vx)i. Mit diesen beiden Operationen versehen hat die Menge R alle Eigenschaften, die einen Körper beschreiben. Definition 5.. Ein Körper ist eine Menge K, versehen mit einer Addition + und einer Multiplikation von Elementen von K, die folgenden Eigenschaften genügen:. a + (b + c) = (a + b) + c für alle a, b, c K (Assoziativität der Addition).. a + b = b + a für alle a, b K (Kommutativität der Addition). Für eine ausführlichere Darstellung der Historie der komplexen Zahlen siehe etwa ~merino,

37 5 Komplexe Zahlen : Grundrechenarten 3. Es gibt ein Element e A K, so dass a + e A = a für alle a K (Existenz eines neutralen Elements der Addition). Man schreibt dann e A = Zu jedem Element a K gibt es ein Element a K, so dass a + ( a) = 0 (Existenz inverser Elemente bezüglich der Addition) 5. a (b c) = (a b) c für alle a, b, c K (Assoziativität der Multiplikation). 6. a b = b a für alle a, b K.(Kommutativität der Multiplikation). 7. Es gibt ein Element e M K \ {0}, so dass a e M = a (Existenz eines neutralen Elements der Multiplikation). Man schreibt dann e M =. 8. Zu jedem Element a K \ {0} gibt es ein Element a K, so dass a (a ) = (Existenz inverser Elemente bezüglich der Multiplikation). 9. a (b + c) = a b + a c für alle a, b, c K (Distributivität). Diese Eigenschaften erlauben es mit der Addition und der Multiplikation von Elementen von K so zu rechnen, wie z.b. von den reellen Zahlen gewohnt. Satz 5.3. Die Menge R mit den oben definierten Operationen + und ist ein Körper. Das Element ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation und das Element i hat die Eigenschaft i =. Diesen Körper nennt man den Körper der komplexen Zahlen C und man schreibt abkürzend x + yi = x + yi = x + yi. Da wir xi als das Produkt der komplexen Zahlen x und i interpretieren, gilt auch xi = ix. Addition und Multiplikation komplexer Zahlen übertragen sich in dieser vereinfachten Schreibweise direkt aus Hamiltons Definition 5.: (u + vi) + (x + yi) = (u + x) + (v + y)i, (u + vi) (x + yi) = (ux vy) + (uy + vx)i. (5.) Dass C tatsächlich die Eigenschaften eines Körpers hat, wie Definition 5. sie fordert, rechnen wir im folgenden Abschnitt im Einzelnen nach. 5.3 Der Körper der komplexen Zahlen Komplexe Zahlen bestehen aus einem reellen und einem imaginaren Anteil und haben die Form u + vi (u, v R, i die imaginäre Einheit). Ist der imaginäre Anteil 0, so kann man die Zahl als normale reelle Zahl auffassen. Wie bereits angemerkt, kann man mit komplexen Zahlen prinzipiell genauso rechnen wie mit reellen. Betrachten wir zunächst die Addition: 37

38 5 Komplexe Zahlen : Grundrechenarten Lemma 5.4 (Rechenregeln für die Addition). Es seien t, w, z C und z = x + yi. Dann gilt:. t + (w + z) = (t + w) + z. w + z = z + w 3. z + 0 = z (für 0 = 0 + 0i C) 4. Für z = x yi gilt z + ( z) = 0 Beweis. Alle diese Eigenschaften folgen aus den entsprechnenden Eigenschaften für die Vektoren t, w, z R, da die Addition aus Definition 5. mit der Addition von Vektoren im R übereinstimmt. Die Multiplikation ist etwas komplizierter. Wir beginnen mit dem Überprüfen der Assoziativität und Kommutativität und rechnen bei dieser Gelegenheit auch das Distributivitätsgesetz nach: Lemma 5.5 (Assoziativitäts-, Kommutativitäts- und Distributivitätsgesetz). Es seien t = r + si, w = u + vi und z = x + yi C. Dann gilt. t (w z) = (t w) z. w z = z w. 3. t(w + z) = tw + tz. Beweis. Wir müssen lediglich beide Seiten der Gleichungen anhand der Definitionen (5.) berechnen und das jeweilige Ergebnis vergleichen. Zu : Wir berechnen zunächst die linke Seite: t (w z) = (r + si) [(ux vy) + (uy + vx)i] Die rechte Seite ergibt: = [r(ux vy) s(uy + vx)] + [r(uy + vx) + s(ux vy)] i = [rux rvy suy svx] + [ruy + rvx + sux svy] i (t w) z = [(ru sv) + (rv + su)i] (x + yi) = [(ru sv)x (rv + su)y] + [(ru sv)y + (rv + su)x] i = [rux rvy suy svx] + [ruy + rvx + sux svy] i Beide Seiten liefern das selbe Ergebnis, damit ist bewiesen. Zu : Links steht: Rechts steht: w z = (ux vy) + (uy + vz)i z w = (xu yv) + (yu + zv)i = (ux vy) + (uy + vz)i Beide Seiten stimmen überein. 38

39 5 Komplexe Zahlen : Grundrechenarten Zu 3: Wieder zunächst die linke Seite: t(w + z) = (r + si) [(u + x) + (v + y)i] = [ru + rx sv sy] + [rv + ry + su + sx] i Nun die rechte Seite: tw + tz = [(ru sv) + (rv + su)i] + [(rx sy) + (ry + sx)i] = [ru + rx sv sy] + [rv + ry + su + sx] i Beide Seiten sind gleich und 3 bewiesen. Bei der Multiplikation im Reellen ist die R das neutrale Element. Auch im Falle der komplexen Zahlen ist = + 0i das neutrale Element: (x + yi) = (x + yi) ( + 0i) = (x y 0) + (x 0 + y )i = x + yi Im Reellen hat jede Zahl r R\{0} eine Inverse r = r R, so dass rr =. Gilt das auch für alle komplexen Zahlen z C\{0}? Ja, wie der folgende Satz zeigt: Satz 5.6 (Inverse Elemente bezüglich der Multiplikation). Zu jeder Zahl z = (x + yi) C\{0} existiert inverses Element z C bezüglich der Multiplikation, d.h. es gilt Es gilt die Formel ( z = z (z ) = x x + y ) ( ) y + x + y i Beweis. Wir rechnen nach, dass für oben genanntes z tatsächlich z z = : [( ) ( ) ] zz x y = (x + yi) x + y + x + y i ( ) x ( = x + y + y xy x + y + x + y + yx ) x + y } {{ i } =0 = Definition 5.7 (Realteil und Imaginärteil). Sei z = x + yi eine komplexe Zahl, dann heißen Re(z) = x Realteil und Imaginärteil von z. Im(z) = y 39

40 5 Komplexe Zahlen : Grundrechenarten Beispiel 5.8. Einige kurze Rechenbeispiele:. ( + i)( 3i) = ( 3i ) + ( 3i + i) = 5 i. ( i)(4 + i) = (4 + ) + ( 4)i 3. +i 3 4i = (+i)(3+4i) (3 4i)(3+4i) = (3 8)+(4+6)i = 5+0i Komplexe Konjugation Definition 5.9 (komplexe Konjugation). Sei z = x+yi eine komplexe Zahl, dann nennt man z = x yi die (komplex) Konjugierte von z. Die Abbildung z z heißt (komplexe) Konjugation. Bemerkung 5.0. Die komplexe Konjugation ist praktisch, um bestimmte Rechenregeln kompakt aufzuschreiben. Beispielsweise gilt für z = x + yi:. z z = x + y 0. z z = 0 z = 0 Definition 5. (Komplexer Betrag). Sei z = x + yi eine komplexe Zahl. Der Betrag von z ist z = z z = x + y Diese Definition ist konsistent mit dem Betrag für Vektoren im R, denn liest man z = ( x y ) R, so ist z = z. Satz 5. (Rechenregeln für komplexe Konjugation). Seien z C und w C\{0}. Dann gelten folgende Rechenregeln:. zw = z w. z w = z w 3. z = z 4. z + w = z + w 5. zw = z w 6. z + w z + w (Dreiecksungleichung) Beispiel = + 0i =. ī = 0 + i = i z+8 3. z+i = z+8 = z+ 8 z+i z i = z+8 z i 40

41 4. z 3i = 5 Komplexe Zahlen : Grundrechenarten ( 3i)( 3i) = + 3 = 3 Mit der Konjugation können wir eine kompakte Form für die Inverse angeben: Satz 5.4. Ist z C \ {0}, so gilt für die Inverse z : Beweis. z z = z z z z = z z z z = z = z = z z z Bemerkung 5.5. Sei z = x + yi. Dann gilt: z = z z z = x yi x + y = x x + y y x + y i Satz 5.4 und Satz 5.6 liefern also zwei verschiedene Darstellungen der Inversen einer komplexen Zahl. 5.5 Quadratische Gleichungen Beispiel 5.6. Löse z = + 3i, d.h. finde eine Wurzel von + 3i! Wir suchen also ein z = x + yi mit (x + yi) = + 3i und x, y R. Zunächst berechnen wir z = (x + yi) = x + xyi + (yi) = x y + xyi (5.) Nun wollen wir z = + 3i lösen. Setzen wir (5.) ein, erhalten wir x y + xyi! = + 3i Das lässt sich in zwei Gleichungen schreiben, wenn wir Real- und Imaginärteil trennen: x y = (5.3) xy = 3 (5.4) Aus (5.4) folgt einerseits x 0 und y 0. Andererseits erhalten wir x = 3 y (5.5) Setzt man dies in (5.4) ein, so ergibt sich ( 3 ) y y = (y ) + y 9 4 = 0 4

42 5 Komplexe Zahlen : Grundrechenarten Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen y = ± Da aber y 0 sein muss, können wir nur die Lösung mit dem + vor der Wurzel brauchen, erhalten also für y die Lösungen y ± = ± 3 Setzen wir diese Lösungen nun wiederum in (5.5) ein, so erhalten wir die Ergebnisse x + = 3 y + = x = 3 y = 3 Damit haben wir die beiden komplexen Wurzeln 3 z + = + + i 3 z = + i = z + von + 3i bestimmt. Wir kontrollieren noch kurz, ob das Ergebnis richtig ist: z ± = ( 3 = ( 3 + ) ) + i ) ) ( 3 + = + 3i ( 3 + i 3 4 ( 3 Auf analoge Weise lässt sich z = a für jedes a C lösen. ) ( 3 ) + In Verallgemeinerung des obigen Beispiels z a = 0, kann man die allgemeine quadratische Gleichung az + bz + c = 0 mit a, b, c C, a 0 betrachten. Als Lösungen erhält man wiederum die Mitternachtsformel : x, = ( b ± ) b a 4ac. Man beachte, dass wir jetzt aus dem vorangehenden Beispiel wissen, dass b 4ac immer eine komplexe Lösung hat. Beispiel 5.7. Betrachten wir noch einmal das Polynom p(x) = x 4 + x 3 + 4x x 5 aus Beispiel 3.. Die (reelle) Zerlegung, die wir erhalten hatten, lautete p(x) = (x )(x + )(x + x + 5). 4

43 5 Komplexe Zahlen : Grundrechenarten Wir möchten nun die (komplexen) Lösungen der quadratischen Gleichung x +x+5 = 0 bestimmen. x, = ( ± ) 4 5 = ( ± ) 36 = ± 3i Das quadratische Polynom lässt sich also wie folgt zerlegen: Das komplett faktorisierte Polynom lautet: x + x + 5 = (x + 3i)(x + + 3i) p(x) = (x )(x + )(x + 3i)(x + + 3i) 43

44 6 Abbildungen und Graphen Dieses Kapitel gibt einen kurzen Überblick über Abbildungen und deren Eigenschaften. Es ist sehr empfehlenswert sich die Beispiele selber auf ein Blatt Papier aufzuzeichnen, um zu sehen, wie sich eine Funktion mit einer bestimmten Eigenschaft verhält. Suchen Sie nach eigenen Beispielen! Welche Funktionen sind Ihnen noch aus der Schule bekannt? Welche Eigenschaften haben diese? 6. Was ist eine Abbildung? Definition 6. (Abbildung). Eine Abbildung von einer Menge A in eine Menge B ist eine Zuordnung von Punkten der Menge A zu Punkten der Menge B. Dabei gibt es zu jedem Punkt a A genau ein zugeordnetes b B. Man schreibt f : A B, a f(a) = b und nennt f eine Abbildung von A nach B. A heißt der Definitionsbereich und B der Bildbereich. Menge A Menge B Abbildung 6.: Eine Abbildung von A nach B. Jedem Punkt aus A wird genau ein Punkt aus B zugeordnet. Definition 6. (Graph). Der Graph einer Abbildung f : A B ist definiert durch Graph(f) := {(a, f(a)) : a A} A B. 44

45 6 Abbildungen und Graphen Beispiel 6.3. f : R R, x x, Graph(f) = {(x, x ) : x R} ( ) Beispiel 6.4. f : R R, f(x, y) = x +y +, Graph(f) = { x, y, : x, y R} x +y + Beispiel 6.5. f : [, ] [, 0], x x 3, Graph(f) = {(x, x 3 ) : x }. Man beachte Graph(f) [, ] [, 0] Diese Menge ist in Abbildung 6. dargestellt. R R = R f(x) x = x = x Abbildung 6.: Der Graph der Funktion f(x) = x 3. 45

46 6. Komposition (Verkettung) 6 Abbildungen und Graphen Die Komposition von Abbildungen ist eine Hintereinanderschaltung mehrerer Abbildungen: Zuerst wird f ausgeführt und danach h. A f B C a f(a) g(f(a)) Definition 6.6 (Komposition). Gegeben seien die zwei Abbildungen f : A B und g : B C. Die Komposition g f (sprich: g nach f ) von f und g ist die Abbildung g f : A C, a g(f(a)) Es ist nicht zwingend notwendig, dass der Wertebereich f(a) der ersten Funktion mit dem Definitionsbereich D(g) der zweiten Funktion übereinstimmt. Entscheidend ist lediglich, dass er darin enthalten ist: f(a) = {f(a) : a A} D(g). In diesem, und nur in diesem Fall, macht der Ausdruck g(f(a)) Sinn für alle a A. Beispiel Gegeben seien die zwei Funktionen g : R R, x sin x und f : R >0 = {x R : x > 0} R, x x. Wir möchten die Komposition g f bilden: g g f(x) = g(f(x)) = sin(f(x)) = sin x R >0 f R g R Ist es möglich die Komposition f g zu bilden?. f : R R 0, x x, g : R 0 R 0, x x g f(x) = g(f(x)) = f(x) = x = x R f R 0 g R Eigenschaften von Abbildungen Wir schauen uns nun einige Eigenschaften von Abbildungen an, die auf den ersten Blick etwas unpraktisch erscheinen, aber sehr wichtig sein werden. Definition 6.8 (Injektivität). Wenn eine Abbildung f : A B je zwei verschiedene Punkte von A auf je zwei verschiedene Punkte von B abbildet, so sagt man f sei injektiv. Formal ausgedrückt heißt das: a, a A, a a f(a ) f(a ) (6.) 46

47 6 Abbildungen und Graphen Aussage (6.) lässt sich auch anders ausdrücken: a, a A, f(a ) = f(a ) a = a Beispiel 6.9. Man kann, falls möglich, durch Skizzieren des Graphen meist schnell erkennen, ob eine Abbildung injektiv ist oder nicht (siehe Abbildung 6.3).. f : R R, x x 3 ist injektiv, da zu jedem Punkt des Wertebereichs genau ein Punkt des Definitionsbereichs gehört.. f : R R, x x ist nicht injektiv: Zum Beispiel gibt es zwei verschiedene Punkte x = und x = im Definitionsbereich der Funktion, die unter f auf den selben Wert f(x ) = f(x ) = 4 abgebildet werden. 3. f : R 0 R, x x ist injektiv. x 3 x x x x x Abbildung 6.3: Die Graphen der Funktionen f : R R, x x 3, f : R R, x x und f : R R 0, x x : Erkennen Sie, ob die Funktionen injektiv oder surjektiv sind? Definition 6.0 (Surjektivität). f : A B heißt surjektiv, wenn jeder Punkt b B von (mindestens) einem Punkt a A unter f getroffen wird. Formell heißt das: Für jedes b B gibt es ein a A, so dass f(a) = b. 47

48 6 Abbildungen und Graphen Beispiel 6... f : R R, x x 3 ist surjektiv, d.h. für alle b R existiert ein x R, so dass x 3 = b. Dies werden Sie in Ihrer Mathematikvorlesung noch beweisen.. f : R R, x x ist nicht surjektiv! Betrachte z.b. b =, dann gibt es kein x R, so dass x = (denn x 0 für alle x R). 3. f : R R 0, x x ist surjektiv! Definition 6. (Bijektivität). Eine Abbildung f : A B heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Ist eine Funktion f : A B bijektiv, so ist sie auch umkehrbar, d.h. es existiert ein f : B A mit f (f(x)) = x. Beispiel 6.3. Zwei Beispiele für bijektive Abbildungen:. f : R R, x x 3. f : R >0 R >0, x x Überzeugen Sie sich selbst! 48

49 7 Rechnen mit Ungleichungen und Abschätzungen Eine Ungleichung ist ein Größenvergleich zweier Zahlen x, y R. Man bezeichnet x < y ( x kleiner y ) als strikte Ungleichung und x y ( x kleiner oder gleich y ) als (nicht strikte) Ungleichung. In der Praxis werden Ungleichungen dazu verwendet andere Variablen und Terme nach oben oder unten abzuschätzen, um sich so ein Bild darüber machen zu können, wie sie sich verhalten. 7. Rechenregeln für Ungleichungen Beim Rechnen mit Ungleichungen kann man fast immer so vorgehen, wie beim Rechnen mit Gleichungen. Nur wenn man beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, muss man die Ungleichung umkehren. Zunächst halten wir diese und einige andere elementare Rechenregeln fest, die im Umgang mit Ungleichungen zu beachten sind: Satz 7. (Rechenregeln für Ungleichungen). Es seien a, b, c, d R. Dann gilt:. a < b a + c < b + c. 0 < a und 0 < b 0 < ab 3. a < b und 0 < c ca < cb 4. a < b und c < 0 ca > cb 5. a < b und c < d a + c < b + d 6. 0 < a < b und 0 < c < d ac < bd 7. 0 < a < b a < b und a < b 8. 0 < a < b b < a Beweis. und sind die definierenden Eigenschaften der Ungleichungsrelation, die sich nicht aus anderen Eigenschaften ableiten lassen. Alle anderen Rechenregeln folgen daraus: Zu 3: a < b 0 < b a 0 < c(b a) = cb ca ca < cb Zu 4: c < 0 0 < c, 0 < c(b a) = ca cb ca > cb Die restlichen Eigenschaften werden ähnlich bewiesen. Probieren Sie sich daran! 49