3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung"

Transkript

1 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V. Eig(φ, λ) := {x V φ(x) = λx}. Bemerkung (1) Eig(φ, 0) = Kern(φ). () Allgemeiner: Betrachte φ λ id V End K (V ): (φ λ id V )(x) = φ(x) λx. Dann ist Eig(φ, λ) = Kern(φ λ id V ). Definition λ K heißt Eigenwert von φ End K (V ) falls Eig(φ, λ) {0}, d.h. falls 0 x V mit φ(x) = λx. Jedes solche x 0 wird dann zum Eigenwert λ gehöriger Eigenvektor genannt. Satz V endlich-dimensionaler K-Vektorraum, φ End K (V ). Dann gilt: φ diagonalisierbar V besitzt eine Basis bestehend aus Eigenvektoren von φ. Satz und Definition (Direkte Summe). Sei V ein K-Vektorraum und U 1,..., U r Unterräume von V. Sei U := U U r und V i = U U i 1 + U i U r. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) i {1,..., r} gilt: U i V i = {0}; (ii) Für alle Vektorensysteme x 1,..., x r mit x i U i gilt: r i=1 x i = 0 = x i = 0 für 1 i r; (iii) Für zwei Vektorensysteme x 1,..., x r und y 1,..., y r mit x i, y i U i gilt: r i=1 x i = r i=1 y i = x i = y i für 1 i r. Falls eine (und somit jede) der obigen Aussagen erfüllt ist, so nennt man U direkte Summe der Unterräume U i, 1 i r, in Zeichen U = U 1 U... U r = r i=1 U i. Ferner gilt: Falls jedes U i endlich-dimensional ist, so ist jede der obigen Aussagen auch äquivalent zu jeder der beiden folgenden: (iv) dim U = r i=1 dim U i; (v) Falls e i1,..., e ini eine Basis von U i ist, wobei 1 i r und n i = dim U i, so ist e 11,..., e 1n1, e 1,..., e n,..., e r1,..., e rnr Basis von U. 1

2 Satz Seien λ 1,..., λ r verschiedene Eigenwerte von φ End K (V ). Dann ist r i=1 Eig(φ, λ i) = r i=1 Eig(φ, λ i) eine direkte Summe. Korollar Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. Korollar Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, φ End K (V ). (i) φ hat höchstens n verschiedene Eigenwerte; (ii) φ ist genau dann diagonalisierbar wenn V die direkte Summe aller Eigenräume zu den verschiedenen Eigenwerten von φ ist. Definition Seien A M n (K), λ K, L A : K n K n : x A x. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von A als Eig(A, λ) := Eig(L A, λ). Man nennt λ einen Eigenwert von A falls λ Eigenwert von L A ist, d.h. falls 0 x K n mit A x = λ x, und jedes solche x 0 wird dann zum Eigenwert λ gehöriger Eigenvektor von A genannt. Bemerkung Eig(A, λ) = L(A λi n 0), die Lösungsmenge des homogenen LGS (A λi n 0). Aus.5.8, und folgt sofort: Satz Seien A M n (K), λ K. Dann sind äquivalent: (i) λ ist Eigenwert von A; (ii) Das homogene LGS (A λi n 0) hat eine Lösung 0 x K n ; (iii) Rang(A λi n ) < n, d.h. A λi n nicht regulär; (iv) det(a λi n ) = 0. Sei K Körper, K[X] der Polynomring über K in der Variablen X. Diesen können wir als Unterring des rationalen Funktionenkörpers K(X) betrachten. Für A = (a ij ) M n (K) betrachten wir nun über dem größeren Körper K(X) die Matrix a 11 X a 1... a 1n a 1 a X... a n A XI n =..... a n1 a n... a nn X

3 Wie üblich können wir die Determinante det(a XI n ) berechnen, (da unsere Theorie der Determinanten über Körpern entwickelt wurde und K(X) ein Körper ist), z.b. Entwicklung nach der ersten Spalte. Man sieht, dass man dabei ein Polynom erhält, genauer det(a XI n ) = c n X n + c n 1 X n c 1 X + c 0 K[X] wobei Folgendes relativ leicht gezeigt werden kann: c n = ( 1) n ; c n 1 = ( 1) n 1 (a 11 + a a nn ) = ( 1) n 1 Spur(A); c 0 = det A. Beispiel. Für A = ( ) a b c d erhält man det(a XI ) = a X b c d X = X (a + d)x + (ad bc). Definition Sei A M n (K). Man nennt P A (X) := det(a XI n ) das charakteristische Polynom von A. Korollar λ K ist Eigenwert von A M n (K) λ ist Nullstelle von P A (X) K[X]. Lemma Seien A, B M n (K) ähnliche Matrizen, d.h. S GL n (K) mit B = SAS 1. Dann gilt P A (X) = P B (X). Insbesondere haben ähnliche Matrizen dieselben Eigenwerte. Mittels 3..7 und folgt: Korollar und Definition Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, φ End K (V ) und A := M E E (φ) M n(k) die Darstellungsmatrix von φ bzgl. einer Basis E von V. Dann ist det(a XI n ) unabhängig von der Wahl der Basis E, und man definiert das charakteristische Polynom von φ als P φ (X) := P A (X) = det(a XI n ) K[X]. Satz Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und sei entweder F End K (V ) oder F M n (K), und sei λ K. Dann gilt: λ ist Eigenwert von F λ ist Nullstelle von P F (X). 3

4 Einige Bemerkungen über K[X] Hier ist K immer ein Körper und K[X] der Polynomring in der Variablen X über K. (i) K[X] ist ein kommutativer nullteilerfreier Ring. Die Elemente 0 f K[X] kann man schreiben als f = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 für geeignetes n N 0 und mit a n 0. Man nennt n den Grad von f, in Zeichen Grad(f) = n. a n heißt Leitkoeffizient von f, und f heißt monisch (oder normiert) falls a n = 1. Man definiert Grad(0) =. (ii) Es gilt f, g K[X]: Grad(fg) = Grad(f) + Grad(g) (wobei gelten soll + m = m + ( ) = m N 0 { }). (iii) λ K heißt Nullstelle von f = r i=0 a ix i falls f(λ) = r i=0 a iλ i = 0 K. (iv) Man nennt f K[X] irreduzibel falls gilt: Grad(f) 1 und Es gibt keine g, h K[X] mit 1 Grad(g), Grad(h) < Grad(f) und f = gh. (v) Satz von der Division mit Rest in K[X]: Seien f, g K[X] mit g 0. Dann existieren eindeutig bestimmte q, r K[X] mit f = qg + r, und r = 0 oder 0 Grad(r) < Grad(g). (vi) Satz von der eindeutigen Zerlegung in irreduzible Polynome: Jedes 0 f K[X] besitzt eine Zerlegung f = αg 1 g... g r, wobei r N 0, g i K[X] monisch und irreduzibel, und α K. Diese Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge der g i eindeutig. Hierbei ist α der Leitkoeffizient von f. (Bemerkung: Dies ist analog zur eindeutigen Primfaktorzerlegung in Z.) (vii) Sei 0 f K[X], λ K. Dann gilt: λ Nullstelle von f X λ ist ein Faktor in der Zerlegung von f in irreduzible Polynome. Insbesondere gilt: f hat höchstens Grad(f) verschiedene Nullstellen. (viii) Polynome vom Grad 1 sind immer irreduzibel. Polynome vom Grad oder 3 sind genau dann irreduzibel, wenn sie keine Nullstelle haben. 4

5 Es ist möglich, dass Polynome vom Grad > 3 keine Nullstellen haben, aber trotzdem reduzibel sind. Beispiel: (X + 1)(X + ) = X 4 + 3X + R[X] hat sicher keine Nullstellen, ist aber reduzibel. (ix) Die irreduziblen Polynome über C sind genau die Polynome vom Grad 1. Daraus folgt, dass jedes Polynom 0 f C[X] in Linearfaktoren zerfällt, d.h. sich schreiben lässt als Produkt von Polynomen vom Grad 1: f = α n i=1 (X c i), für geeignete α, c i C. Falls ein Körper K die Eigenschaft hat, dass jedes Polynom sich in ein solches Produkt von Linearfaktoren zerlegen lässt, so sagt man, K ist algebraisch abgeschlossen. (x) Die irreduziblen Polynome in R[X] sind genau die Polynome vom Grad 1 sowie diejenigen Polynome von Grad, die keine Nullstellen haben. (xi) Beispiel einer Zerlegung in R[X]: f(x) = X 4 +X 3 X 1. Suche zunächst Nullstellen: man sieht schnell: ±1 sind Nullstellen. Also taucht (X 1)(X + 1) = X 1 als Faktor auf. Verwende nun Polynomdivision und man erhält: (X 4 + X 3 X 1) : (X 1) = X + X + 1. Die Nullstellen von X + X + 1 berechnet man mit der üblichen Formel für 1± quadratische Gleichungen: 3 C \ R, also keine Nullstellen in R, daher irreduzibel. Die Faktorisierung in irreduzible Polynome über R lautet also: X 4 + X 3 X 1 = (X 1)(X + 1)(X + X + 1) Über C: X 4 + X 3 X 1 = (X 1)(X + 1)(X )(X ). Mittels der eindeutigen Zerlegung in irreduzible Polynome (insbesondere unter Berücksichtigung von obigem (vii)) erhält man: Satz und Definition (1) Sei 0 f K[X] und sei λ K Nullstelle von f. Dann existieren eindeutig bestimmte m N und g K[X] mit f = (X λ) m g und g(λ) 0. Man nennt m die Vielfachheit der Nullstelle λ, in Zeichen m(f, λ) := m. Man setzt m(f, λ) = 0 falls f(λ) 0, also falls λ keine Nullstelle von f ist. () Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und sei entweder F End K (V ) oder F M n (K), und sei λ K ein Eigenwert von F. Dann heißt m(p F, λ) die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ. Ferner nennt man dim Eig(F, λ) auch die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ. Satz Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und sei entweder F End K (V ) oder F M n (K), und sei λ K. 5

6 (i) dim Eig(F, λ) m(p F, λ). (ii) F ist genau dann diagonalisierbar, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: (a) P F zerfällt in Linearfaktoren: P F (X) = ( 1) n wobei r i=1 m i = n = dim V, und (b) λ K: dim Eig(F, λ) = m(p F, λ). r (X λ i ) m i Algorithmus zur Diagonalisierung von Matrizen Sei A M n (K). Wir wollen A über K diagonalisieren, falls möglich. (1) Berechne P A (X) = det(a XI n ). () Faktorisiere P A (x): Falls nicht zerlegbar in Linearfaktoren, dann nicht diagonalisierbar: Stopp. Falls zerlegbar in Linearfaktoren: bestimme alle Nullstellen λ 1,..., λ r und deren Vielfachheiten m i := m(p A, λ i ). (3) Für jedes λ i, bestimme Eig(A, λ i ) = L(A λi n 0). Falls i mit dim Eig(A, λ i ) < m i, dann nicht diagonalisierbar: Stopp. Falls i: dim Eig(A, λ i ) = m i : diagonalisierbar, und eine zu A ähnliche Diagonalmatrix D sieht dann so aus: λ 1 I m1 D =... λ r I mr (4) (Falls verlangt). Falls A diagonalisierbar mit Diagonalmatrix D, bestimme eine Matrix S GL n (K) mit S 1 AS = D: Bestimme eine Basis für jeden der Eigenräume Eig(A, λ i ). Wir wissen (da diagonlisierbar nach Annahme): all diese Vektoren bilden eine Basis (bestehend aus Eigenvektoren) von V. Sei diese Basis e 1,..., e n, und sei jeweils µ i K der zu e i gehörige Eigenwert: A e i = µ i e i. Sei nun S = ( e 1 e i=1... e n ), und D die Diagonalmatrix µ 1 D =... µ n 6

7 Dann gilt S GL n (K) (S ist regulär da ihre Spaltenvektoren e 1,..., e n nach Konstruktion linear unabhängig). Ferner gilt AS = A( e 1... e n ) = (A e 1... A e n ) = (µ 1 e 1... µ n e n ) µ 1 = ( e 1... e n )... = SD µ n also AS = SD bzw. S 1 AS = D. 7

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.2012

Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.2012 Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.0 Aufgabe : Entscheiden Sie in dieser Aufgabe, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Begründungen sind nicht erforderlich. Ein korrekt gesetztes

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Aufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ).

Aufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ). Aufgabe Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(3A E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A 3E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Bild(A

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

MC-Serie 11: Eigenwerte

MC-Serie 11: Eigenwerte D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

11 Normalformen von Matrizen

11 Normalformen von Matrizen 11 Normalformen von Matrizen Wir wenden uns in diesem Kapitel noch einmal der Untersuchung linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Vektorräumen und deren Darstellung mittels Matrizen zu Speziell

Mehr

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01 Kapitel Komplexe Zahlen Motivation: die Gleichung x = hat offensichtlich keine reellen Lösungen, da x 0 für jedes reelle x gilt Um auch diese Gleichung lösen zu können, muß man neue Zahlen einführen: die

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen Algebra und Diskrete Mathematik, PS3 Sommersemester 2016 Prüfungsfragen Erläutern Sie die Sätze über die Division mit Rest für ganze Zahlen und für Polynome (mit Koeffizienten in einem Körper). Wodurch

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Ergänzung Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Definitionen Beispiele im IR 2 Beispiele im IR 3 Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor Lineare Abbildungen

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 11 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 20. Januar. http://www.math.uni-bielefeld.

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 11 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 20. Januar. http://www.math.uni-bielefeld. Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 11 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 20. Januar http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung:

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

7 Die Determinante einer Matrix

7 Die Determinante einer Matrix 7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

Algorithmus zur Berechnung der Jordannormalform

Algorithmus zur Berechnung der Jordannormalform Algorithmus zur Berechnung der Jordannormalform Olivier Sète 19. Januar 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 1 2 Algorithmus Wie und warum funktioniert das? 2 2.1 Zutat 1 Für einen Jordanblock.........................

Mehr

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross / Mai Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Algebraisch abgeschlossener Körper) Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen,

Mehr

Fakultät für Mathematik und Informatik. Seminar über angewandte Analysis. Sommersemester 2007. Der Kreissatz von Gerschgorin

Fakultät für Mathematik und Informatik. Seminar über angewandte Analysis. Sommersemester 2007. Der Kreissatz von Gerschgorin Fakultät für Mathematik und Informatik Lehrgebiet angewandte Mathematik Prof. Dr. H. Linden Dipl.-Math. H.-J. Schäfer Seminar über angewandte Analysis Sommersemester 2007 Der Kreissatz von Gerschgorin

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2.

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) = (0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34,...) gilt Rekursion erzeugende Funktion f n2 = f n f n (n 0), f 0 = 0, f = f(z) = f n z n = z z z 2 Partialbruchzerlegung mit φ

Mehr

(a) Zunächst benötigen wir zwei Richtungsvektoren der Ebene E; diese sind zum Beispiel gegeben durch die Vektoren

(a) Zunächst benötigen wir zwei Richtungsvektoren der Ebene E; diese sind zum Beispiel gegeben durch die Vektoren Aufgabe Gegeben seien die Punkte A(,,, B(,,, C(,,. (a Geben Sie die Hesse-Normalform der Ebene E, welche die drei Punkte A, B und C enthält, an. (b Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (,, 5 zur Ebene

Mehr

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv

Mehr

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie Notation Die in dieser Arbeit verwendete Notation ist im Wesentlichen Standard, so wie sie beispielsweise in [As] zu nden ist. Einige Abweichungen hiervon, Klarstellungen und zusätzliche Notationen (sofern

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

Übungsaufgaben zur Linearen Algebra II. 1.) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel.

Übungsaufgaben zur Linearen Algebra II. 1.) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel. Blatt 1 21.4.97 1.) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel. 3x 1 x 2 + 5x 3 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 2.) Zeigen Sie: det 1 1 0 0.......... 0 1

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 19 Algebraisch abgeschlossene Körper Wir haben zuletzt erwähnt, dass ein lineares Polynom X a über einem Körper stets irreduzibel

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I Wiederholungsprüfung MUSTERLÖSUNG. April 2008 Name: Studiengang: Aufgabe 2 3 4 5 6 Summe Punktzahl /50 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K

Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K Satz 25 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen

Mehr

Elemente von S n = Aut([1, n]) heißen Permutationen. Spezielle Permutationen sind Transpositionen und Zyklen. (Vergl. Skript S

Elemente von S n = Aut([1, n]) heißen Permutationen. Spezielle Permutationen sind Transpositionen und Zyklen. (Vergl. Skript S Begriffe Faser: Es sei f : M N eine Abbildung von Mengen. Es sei n N. Die Menge f 1 ({n}) M nennt man die Faser in n. (Skript Seite 119). Parallel: Zwei Vektoren v und w heißen parallel, wenn für einen

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

KAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten:

KAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten: KAPITEL 4 Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 41 Das Ohmsche Gesetz: Eine Meßreihe von Daten: U = RI (U i, I i ) (Spannung, Stromstärke), i = 1,, m Aufgabe: man bestimme aus diesen Meßdaten den Widerstand

Mehr

Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus

Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus Max Zoller 14. April 8 1 Der klassische euklidische Algorithmus Beispiel: ggt 15, 56? 15 = 1 56 + 49 56 = 1 49 + 7 49 = 7 7 + =

Mehr

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invariantentheorie Vorlesung 5 Invariantenringe zu Untergruppen Proposition 5.1. Es sei R G R eine Operation einer Gruppe G auf einem kommutativen Ring durch

Mehr

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft:

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft: Seminar Summen von Quadraten und K-Theorie Projektive Moduln Im Folgenden sei R ein assoziativer Ring mit Eins, nicht notwendigerweise kommutativ. R-Modul ist im Folgenden stets ein Rechts-R-Modul. Ein

Mehr

Klausur Linearen Algebra 1 Musterlösung: Aufgabe A

Klausur Linearen Algebra 1 Musterlösung: Aufgabe A Klausur Linearen Algebra 1 Musterlösung: Aufgabe A Wir betrachten den Unterraum V = K[X] 4 aller Polynome vom Grad 4 und die lineare Abbildung f : V K 2 ; P (P (1), P (0)). Es bezeichne v 1,..., v 5 die

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

Analysis II. Vorlesung 48. Die Hesse-Form

Analysis II. Vorlesung 48. Die Hesse-Form Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Analysis II Vorlesung 48 Die Hesse-Form Wir sind natürlich auch an hinreichenden Kriterien für das Vorliegen von lokalen Extrema interessiert. Wie schon im eindimensionalen

Mehr

Partialbruchzerlegung für Biologen

Partialbruchzerlegung für Biologen Partialbruchzerlegung für Biologen Rationale Funktionen sind Quotienten zweier Polynome, und sie tauchen auch in der Biologie auf. Die Partialbruchzerlegung bedeutet, einen einfacheren Ausdruck für eine

Mehr

Kapitel III. Lineare Abbildungen

Kapitel III. Lineare Abbildungen Kapitel III. Lineare Abbildungen Beispiele: 1 Lineare Abbildungen a) Seien c 1,..., c n K vorgegeben. Betrachte die Funktion F (x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n in den Variablen x 1,...,

Mehr

Lineare Algebra II. Prof. Dr. Peter Müller

Lineare Algebra II. Prof. Dr. Peter Müller Lineare Algebra II Prof. Dr. Peter Müller Inhaltsverzeichnis 11 Polynome über Körper 3 12 Direkte Summen 14 13 Minimalpolynome 19 14 Bilinearformen 42 15 Adjungierte und normale Endomorphismen 64 16 Orthogonale

Mehr

Kochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf

Kochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf Kochen mit Jordan Vorbereitungen Man nehme eine Matrix A R n n und bestimme ihr charakteristisches Polynom p(λ) = (λ c ) r (λ c j ) rj C[X] Dabei gilt: algebraische Vielfachheit r j ˆ= Länge des Jordanblocks

Mehr

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Kapitel 5 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 5.1 Einführung Bemerkung 5.1 Aufgabenstellung. Diese Kapitel behandelt numerische Verfahren zur Lösung des Eigenwertproblems. Gegeben sei A R n n.

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS 10/11 Musterlösungen zu Aufgabenblatt 11

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS 10/11 Musterlösungen zu Aufgabenblatt 11 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS / Musterlösungen zu Aufgabenblatt Aufgabe 76: Bestimmen Sie mittels Gauß-Elimination die allgemeine Lösung der folgenden linearen Gleichungssysteme Ax b: a)

Mehr

I. II. I. II. III. IV. I. II. III. I. II. III. IV. I. II. III. IV. V. I. II. III. IV. V. VI. I. II. I. II. III. I. II. I. II. I. II. I. II. III. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII.

Mehr

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Ringe und Moduln ausgearbeitet von Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Seminar Darstellungstheorie Prof. Dr. H. Krause, PD Dr. D. Kussin Wintersemester 2007/2008 Grundlagen 1 Grundlagen

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

Numerische Behandlung des Eigenwertproblems

Numerische Behandlung des Eigenwertproblems Numerische Behandlung des Eigenwertproblems Zusammenfassung Das Ziel dieses Vortrages ist, zwei gute Methoden für die numerische Bestimmung der Eigenwerte zu zeigen und wie man diese mit Matlab anwenden

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

Codierungstheorie, Vorlesungsskript

Codierungstheorie, Vorlesungsskript Codierungstheorie, Vorlesungsskript Irene I. Bouw Sommersemester 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Codes 2 1.1 Einführung.............................. 2 1.2 Eigenschaften linearer Codes....................

Mehr

7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme

7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 5 7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme 7 Lineare Abbildungen 7 Abbildungen: Eine Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffs Bemerkung:

Mehr

Lineare Abhängigkeit

Lineare Abhängigkeit Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung

Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung Artur Trzewik sw562@uni-essen.de v1., 26.3.1998 korrigiert 16. Februar 2 Zusammenfassung Warnung: für die Richtigkeit der Definitionnen

Mehr

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3

Mehr

Mathematik III für Ingenieure

Mathematik III für Ingenieure Mathematik III für Ingenieure im Bachelor-Studiengang Maschinenbau Vorlesung Wintersemester 21/211 B. Schuster aktualisert am 27. Januar 211 Inhalt I. Eigenwerte und Eigenvektoren 1 1. Komplexe Matrizen

Mehr

Vorlesung. 1 Zahlentheorie in Z. Leitfaden. 1.1 Teilbarkeit. Angela Holtmann. Algebra und Zahlentheorie. (natürliche Zahlen ohne die Null)

Vorlesung. 1 Zahlentheorie in Z. Leitfaden. 1.1 Teilbarkeit. Angela Holtmann. Algebra und Zahlentheorie. (natürliche Zahlen ohne die Null) Algebra und Zahlentheorie Vorlesung Algebra und Zahlentheorie Leitfaden 1 Zahlentheorie in Z Bezeichnungen: Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} (ganze Zahlen) und N := {1, 2, 3,...} (natürliche Zahlen

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach)

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SS 0 Blatt.06.0 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Abgabe: Dienstag, 0. Juli 0, bis 4:00

Mehr

Mathematik II. D K, z P(z) Q(z), wobei D das Komplement der Nullstellen von Q ist, eine rationale Funktion.

Mathematik II. D K, z P(z) Q(z), wobei D das Komplement der Nullstellen von Q ist, eine rationale Funktion. rof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 200 Mathematik II Vorlesung 34 Wir erinnern an den Begriff einer rationalen Funktion. Definition 34.. Zu zwei olynomen,q K[X], Q 0, heißt die Funktion D K, z (z) Q(z),

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

Algebraische Kurven - Vorlesung 5. Homogene Komponenten

Algebraische Kurven - Vorlesung 5. Homogene Komponenten Algebraische Kurven - Vorlesung 5 Homogene Komponenten Definition 1. Sei S ein kommutativer Ring und R = S[X 1,...,X n ] der Polynomring über R in n Variablen. Dann heißt zu einem Monom G = X ν = X ν 1

Mehr

Algebra I. Zwischenprüfung. 19. Februar 2016

Algebra I. Zwischenprüfung. 19. Februar 2016 Name: Vorname: Studiengang: Legi-Nr.: Algebra I D-MATH, HS 2015 Prof. Richard Pink Algebra I Zwischenprüfung Wichtig: 19. Februar 2016 Die Prüfung dauert 120 Minuten. Bitte legen Sie Ihre Legi (Studierendenausweis)

Mehr

Klausur zur Elementaren Algebra und Zahlentheorie Mittwoch, 02.03.05

Klausur zur Elementaren Algebra und Zahlentheorie Mittwoch, 02.03.05 Prof. Dr. Duco van Straten Oliver Weilandt Klausur zur Elementaren Algebra und Zahlentheorie Mittwoch, 0.03.05 Bitte tragen Sie hier gut lesbar Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Name, Vorname Matrikelnummer

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Endliche Körper Seminar: Diskrete Mathematik Leitung: Prof. Dr. Rainer Lang Von: Steffen Lohrke (ii5105) SS2005

Endliche Körper Seminar: Diskrete Mathematik Leitung: Prof. Dr. Rainer Lang Von: Steffen Lohrke (ii5105) SS2005 Endliche Körper Seminar: Diskrete Mathematik Leitung: Prof. Dr. Rainer Lang Von: Steffen Lohrke (ii5105) SS2005 Inhaltsverzeichnis Abelsche Gruppe 3 Kommutativer Ring 5 Körper 6 Endliche Körper 7 Endliche

Mehr

4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043

4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043 Lineare Algebra I 1. Name: Bleeck, Christian 4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043 Abgabe: 15.11.06 12 Uhr (Kasten D1 320) Übungsgruppe: 03 Patrick Schützdeller 2. Name: Niemann, Philipp Matrikelnr.: 6388613

Mehr