6.3 Eigenwerte. γ ist Eigenwert von T [T] B B γi ist nicht invertierbar.

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1 Um zu zeigen, dass die irreduziblen Teiler eines reellen Polynoms höchstens den Grad 2 haben, fassen wir nun (x γ) und (x γ) zusammen und stellen fest, dass (x (a + b i))(x ((a b i)) = x 2 2a + (a 2 + b 2 ) ein reelles Polynom ist. Die Nullstellen von f kommen also immer in Paaren zweier komplex-konjugierter Nullstellen, die dann zu reellen Polynomen vom Grad 2 zusammengefasst werden können. 6.3 Eigenwerte In diesem Abschnitt sei V stets ein n-dimensionaler Vektorraum, und sei T End(V ). Erinnerung: Solche linearen Abbildungen haben wir auch lineare Operatoren genannt. Definition Ein Element γ K heißt Eigenwert von T, wenn es ein v V, v 0 gibt mit T(v) = vγ. Ist γ ein Eigenwert, so heißt ein Vektor v mit T(v) = vγ ein Eigenvektor. Die Menge Eig(T, γ) := {v V : T(v) = vγ} heißt der zu γ gehörende Eigenraum. Ist γ ein Eigenwert mit zugehörigem Eigenwert γ, so ist Eig(T, γ) der Kern der linearen Abbildung T γid V. Weil γ ein Eigenwert ist, besteht der Kern nicht nur aus 0. Ist umgekehrt γ K derart, dass T γ id V nichtsingulär ist, so gilt Kern(T γ id V ) {0}, und somit ist γ ein Eigenwert, weil es dann im Kern Vektoren v 0 gibt mit T(v) = vγ. In Matrizenform: Ist B eine Basis von V, so gilt γ ist Eigenwert von T [T] B B γi ist nicht invertierbar. Häufig spricht man auch von Eigenwerten und Eigenvektoren von Matrizen T K (n,n). Sie müssen dann T als lineare Abbildungen K n K n interpretieren. Lemma Eig(T, γ) ist ein Unterraum von V. Beispiel Sei T = eine reelle Matrix, die wir mit der zugehörigen linearen Abbildung R 3 R 3 identifizieren. Die reellen Zahlen 1 und 2 sind Eigenwerte, denn T 3 1 =

2 und Eig(T, 1) = Der Eigenraum wird berechnet als Kern der durch T I = definierten linearen Abbildung. Die Zahl 2 ist ein Eigenwert, denn T 2 1 = Hier ist der Eigenraum zweidimensional: Eig(T, 2) = 2 1, Definition Sei T ein Endomorphismus auf V. Dann definieren wir die Matrix xi T B B K[x](n,n). Die Determinante dieser Matrix heißt das charakteristische Polynom von T. Notation: χ T. Eigentlich hängt das charakteristische Polynom noch von der Auswahl der Basis B ab. Das folgende Lemma zeigt, dass dies nicht der Fall ist: Lemma det(xi [T] B B ) = det(xi [T]C C ) Beweis Sei P GL(n, K) die Matrix mit P 1 T B B P = TC C. Dann gilt det(xi [T] B B ) = det(p 1 (xi [T] B B )P) = det(xi P 1 ([T] B B)P) = det(xi [T] C C ). Mit anderen Worten: Das charakteristische Polynom ist unabhängig von der konkreten Auswahl der Basis, bzgl. der T dargestellt wird, und wir können deshalb in der Tat von dem charakteristischen Polynom von T sprechen. Das gilt aber nur, wenn wir den Urbild- und den Bildbereich bzgl. derselben Basis darstellen. 99

3 Beispiel (a.) Das charakteristische Polynom der Nullabbildung auf einem n-dimensionalen Vektorraum V ist x n, das charakteristische Polynom von id V ist (x 1) n. (b.) Das charakteristische Polynom von T aus Beispiel ist det x x 4 2 = (x 2) 2 (x 1). 3 6 x + 4 (c.) Dieses Beispiel zeigt, dass charakteristische Polynome nicht notwendigerweise in Linearfaktoren zerfallen: Das charakteristische Polynom von ( ) R (2,2) ist x (Wenn wir die Abbildung als Abbildung auf C 2 auffassen, zerfällt das Polynom in (x + i)(x i).) Die Bedeutung des charakteristischen Polynoms zeigt der folgende Satz: Satz Sei T ein linearer Operator auf V. Dann ist γ K genau dann ein Eigenwert von T wenn χ T (γ) = 0 gilt. Beweis Das Element γ ist genau dann ein Eigenwert, wenn T γid V singulär ist. Das heißt aber, die Determinante einer Darstellungsmatrix von T γid V ist 0, also ist (x γ) ein Teiler des charakteristischen Polynoms. Schauen wir uns noch einmal das Beispiel (c.) an. Diese Matrix beschreibt im Anschauungsraum R 2 eine Drehung um 90 Grad nach rechts. Es ist klar, dass eine solche Drehung keinen Eigenwert hat, weil keine Richtung festgehalten wird. Deshalb kann das charakteristische Polynom keine Nullstelle haben! Lemma Sei V ein n-dimensionaler Vektrorraum, und sei T ein linearer Operator auf V. Dann gilt: (a.) gr(χ T ) = n. (b.) T hat höchstens n verschiedene Eigenwerte. Weil jede Matrix eine spezielle lineare Abbildung ist, können wir auch von Eigenvektoren und Eigenwerten von Matrizen sprechen. Wir wollen die entsprechenden Begriffe für Matrizen noch einmal zusammenstellen: Definition Sei T K (n,n). Ein γ K heißt Eigenwert, wenn es ein v K n, v 0 gibt mit Tv = vγ.das Polynom det(xi T) heißt das charakteristische Polynom von T, Bezeichnung χ T. Ein v mit Tv = vγ heißt Eigenvektor. 100

4 Das Lemma besagt für Matrizen gerade folgendes: Lemma Ähnliche Matrizen haben dieselben charakteristischen Polynome. Bemerkung ( ) Die Umkehrung dieses Lemmas gilt nicht: Die beiden Matrizen I 2 und über R haben beide das charakteristische Polynom (x ) 2, sind aber nicht ähnlich, weil die Matrix I 2 nur zu sich selbst ähnlich ist. Allgemein gilt, dass die Eigenräume, die zu Eigenwerten ähnlicher Matrizen gehören, gleiche Dimension haben müssen. Diese Dimensionen (geometrische Vielfachheiten) sind aber nicht durch das charakteristische Polynom bestimmt! Wir haben bislang nur über die Ähnlichkeit von Matrizen gesprochen. Wenn eine lineare Abbildung bzgl. zweier verschiedener Basen dargestellt wird, so sind die beiden Darstellungsmatrizen ähnlich. Nun kann es aber auch passieren, dass zwei verschiedene lineare Abbildungen bzgl. verschiedener Basen identische Darstellungsmatrizen haben. In dem Fall nennen wir die beiden linearen Abbildungen ähnlich. Wenn zwei lineare Abbildungen ähnlich sind, so sind zwei Darstellungsmatrizen ebenfalls ähnlich, unabhängig von der Auswahl der Basen. Charakteristische Polynome ähnlicher linearer Abbildungen sind gleich, deshalb sind die Eigenwerte und die Dimensionen der Eigenräume gleich. Die Eigenräume ähnlicher Matrizen sind aber nicht gleich! Definition Ist γ ein Eigenwert von T, und tritt x γ mit Vielfachheit d i im charakteristischen Polynom von T auf, so nennt man d i die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts. Die Dimension dim Eig(T, γ) heißt die geometrische Vielfachheit. Eigenräume sind invariante Unterräume: Definition Ein Unterraum U V heißt T-invariant für einen linearen Operator T auf V falls das Bild von U unter T in U liegt, wenn also für alle v U gilt: T(v) U. Lemma Sei U ein T-invarianter Unterraum von V, dim V = n, dim U = s. Ferner sei B = (b 1,... b n ) eine Basis von V so, dass (b 1,..., b s ) eine Basis von U ist. Dann hat die Darstellungsmatrix von T bzgl. B die Gestalt ( ) S M 0 N Die Matrix S K (s,s) ist eine Darstellungsmatrix von T U. 101

5 Lemma Ist γ ein Eigenwert von T, so ist Eig(T, γ) ein T-invarianter Unterraum. Beweis Übungsaufgabe. Für spätere Verwendung notieren wir noch: Lemma Ist T ein lienarer Operator auf V, und ist v ein Eigenvektor zum Eigenwert γ, so gilt f(t)v = f(γ)v für alle f K[x]. Beweis Übungsaufgabe. Satz Sei d die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes γ von T. Dann gilt dim Eig(T, γ) d. Beweis Sei s die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes γ. Wir stellen T bzgl. einer Basis dar, in der die ersten s Vektoren gerade Eigenvektoren ( zum Eigenwert γ sind. Dann hat T, dargestellt bzgl. dieser Basis, die Gestalt, ) S M 0 N wobei S eine Diagonalmatrix ist, deren sämtliche Diagonaleinträge γ sind. Das charakteristische Polynom von T hat dann aber einen Faktor (x γ) s, also s d. Definition Ein linearer Operator heißt diagonalisierbar wenn es eine Basis von V gibt, die nur aus Eigenvektoren besteht. Wenn ein Operator diagonalisierbar ist, so hat er bzgl. der Basis, die aus Eigenvektoren besteht, Diagonalgestalt, d.h. alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonale sind 0, und auf der Hauptdiagonalen stehen die Eigenwerte. Beispiel Der Operator aus Beispiel ist diagonalisierbar. Bezüglich der Basis B = ( 3 1, 2 1, 2 0 ) ist die Darstellungsmatrix D := [T] B B = Wenn B die kanonische Basis bezeichnet, so ist die Transformationsmatrix P := [id] B B =

6 und Es gilt D = P 1 TP. P 1 = Der folgende Satz gibt ein sehr schönes Kriterium für die Diagonalisierbarkeit linearer Operatoren an: Satz Sei T ein linearer Operator auf dem n-dimensionalen Vektorraum V. Dann sind die folgenden drei Bedingungen äquivalent: (i) T ist diagonalisierbar. (ii) χ T = (x γ 1 ) d1... (x γ s ) ds, wobei die γ i paarweise verschieden sind, und dim Eig(T, γ i ) = d 1 (iii) dim Eig(T, γ 1 ) dim Eig(T, γ s ) = n. Wir beweisen zunächst ein Lemma: Lemma Sei T ein linearer Operator auf V, und W 1,..., W k seien k verschiedene Eigenräume zu den verschiedenen Eigenwerten γ 1,..., γ k. Dann gilt dim(w W k ) = dim W dim W k. Mit anderen Worten: Sind die B i Basen von W i, so ist B = (B 1,... B k ) eine Basis von W := W W k. Beweis Klar ist dim(w W k ) dim W dim W k. Um Gleichheit zu zeigen müssen wir zeigen, dass die Basen der W i zusammen eine Basis von W bilden. Wir zeigen: Sind v i W i Vektoren mit v v k = 0, so gilt v 1 =... = v k = 0. Das zeigt, dass B eine Basis von W ist. Wenn v v k = 0 gilt, so gilt auch f(t)v f(t)v k = f(t)0 = 0 für jedes Polynom f K[x]. Wir wählen nun ein f i so, dass f i (γ i ) = 1 und f i (γ j ) = 0 für i j. Ein solches f i ist beispielsweise (x γ 1 ) (x γ i 1 )(x γ i+1 ) (x γ k ) (γ i γ 1 ) (γ i γ i 1 )(γ i γ i+1 ) (γ i γ k ). Dann ist f i (T) = v i wegen Lemma Beweis (Beweis von Satz ) Zur Implikation (i) (ii): Wir wissen, dass die Summe der algebraischen Vielfachheiten genau n ist, wenn das Polynom in Linearfaktoren zerfällt (sonst gilt das nicht!). Wenn der Operator diagonalisierbar ist, muss die Summe der Dimensionen der Eigenräume auch n sein. Die Aussage folgt dann aus Satz Die Implikation (ii) (iii) folgt aus i d i = n. Schließlich ist (iii) (i) eine Konsequenz von Lemma

7 Korollar Ein linearer Operator ist genau dann diagonalisierbar, wenn sein charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt und für alle Eigenwerte die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit ist. Ein großer Teil der Vorlesung Lineare Algebra II befasst sich mit Verallgemeinerungen von Satz : Was geschieht, wenn das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt? Was geschieht, wenn das charakteristische Polynom zwar in Linearfaktoren zerfällt, die geometrischen aber nicht gleich den algebraischen Vielfachheien sind? Wir beschließen diesen Abschnitt mit folgendem interessanten Satz: Satz Jedes monische Polynom vom Grad n in K[x] ist charakteristisches Polynom einer geeigneten Matrix (einer geeigneten linearen Abbildung). Beweis Sei f = x n + n 1 i=0 a ix i K[x]. Dieses Polynom ist das charakteristische Polynom von a a a a n a n Zusammenfassung Sie haben gelernt, was eine Algebra ist. In K[x] kann man, ähnlich wie im Ring der ganzen Zahlen, Polynome in irreduzible Polynome zerlegen. Diese Zerlegung ist im wesentlichen eindeutig. Matrizen und lineare Abblidungen können diagonalisiert werden. Sie kennen die Definition von Eigenwerten und EIgenvektoren. Wir haben ein wichtiges Diagonalisierbarkeitskriterium angegeben. Das charakteristische Polynom ist das entscheidende Hilfsmittel, um Eigenwerte auszurechnen. 104

8 Es gibt Matrizen, die nicht diagonalisiert werden können. Sie sollten solche Matrizen angeben können. Ähnliche Matrizen haben gleiche charakteristische Polynome. Es gibt Matrizen, die nicht ähnlich sind, aber gleiche charakteristische Polynome haben. Wir haben erklärt, was invariante Unterräume sind. 105