Eigenwerte und Diagonalisierung

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1 Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende Matrix MB A (F bzgl. dieser Basen. MB A(F ist eine m n Matrix. Die j-te Spalte von M B A (F ist der Koordinatenvektor von F (a j bzgl. B, falls A = {a, a,..., a n }. Ist RgF = r, dann existieren Basen A bzw. B in V bzw. W mit ( MB A(F = Er. Dies ist die einfachste Form, die eine darstellende Matrix haben kann. Beispiel. Wir betrachten den Endomorphismus F : R R mit F (x, x = (x + x, x x. Wählen wir ( in beiden Vektorräumen die kanonische Basis K, erhalten wir MK K(F =. Wählen wir A = ((,, (, und B = ((,, ( (,, dann ist F (a = b und F (a = b und damit MB A(F = = E. Was geschieht nun, wenn wir nur eine( Basis verwenden? Gibt es eine Basis A, sodass M A (F = MA A(F =? Wir nehmen an, es gäbe eine solche Basis A = (v, v. Dann wäre F (v = v. Mit v = (x, x würde sich ergeben, dass (x + x, x x = (x, x bzw. x + x = x, x x = x. Dies impliziert aber, dass x =, x =, ein Widerspruch.

2 Dies bedeutet, dass es keine Basis A gibt mit ( M A (F = MA A(F =. (Beachte auch, dass RgF = Wir stellen nun eine modifizierte Frage, ( nämlich ob es eine Basis A = (v, v gibt mit M A (F = MA A(F = λ, wo also M λ A (F = MA A (F eine Diagonalmatrix ist. In diesem Fall suchen wir also Vektoren v, v mit F (v = λ v, F (v = λ v also Vektoren v mit der Eigenschaft F (v = λv. Wir treffen den Ansatz v = (x, x und F (v = F (x, x = (x + x, x x = λ(x, x = (λx, λx. Dies führt zu einem homogenen Gleichungssystem x + x = λx x x = λx bzw. ( λx + x = x + ( λx =. Dieses homogene Gleichungssystem ist genau dann nichttrivial lösbar, wenn λ λ = λ = ist, also wenn λ, = ±. Für λ = + erhalten wir ( ( x x Für λ = erhalten wir ( ( + + x x = = ( ( ( v = ( v = + Die beiden Vektoren v, v Basis A von R. sind linear unabhängig und bilden damit eine

3 Es gilt F (v = v, F (v = ( v, M A (F = In diesem Fall gibt es also eine Basis A, sodass die darstellende Matrix von F bzgl. A eine Diagonalmatrix ist. (Ende des Beispiels. Die Diskussion des Beispiels führt zur allgemeinen Fragestellung : Sei V ein K-Vektorraum mit dim V = n und F : V V ein Endomorphismus. Wie muß eine Basis B gewählt werden, damit M B (F = MB B (F möglichst einfach wird? Die Transformationsformel für darstellende Matrizen besagt, dass zwei darstellende Matrizen A, B einer linearen Abbildung F : V W mittels B = SAT zusammenhängen (wobei T und S (invertierbare Transformationsmatrizen sind. Dies führte auch zum Begriff der äquivalenten Matrizen. Im jetzigen Fall mit F : V V und Basen A und B ergibt sich damit für A = M A (F = MA A(F und B = M B(F = MB B (F, dass B = SAS. Definition. Zwei Matrizen A, B M(n n; K heißen ähnlich, wenn es eine reguläre n n Matrix S gibt mit B = S AS gibt (bzw. gleichwertig B = SAS. Bemerkungen. (i Die Ähnlichkeit von n n Matrizen ist eine Äquivalenzrelation (Beweis analog wie im Falle äquivalenter Matrizen. (ii Für F : V V und Basen A, B sind A = M A (F und B = M B (F ähnlich. 3

4 Beispiel. (von vorher F : R R mit F (x, x = (x + x, x x. ( A = ((,, (, liefert A = M A (F =, B = ((, +, (, ( liefert B = M B (F =. Rechnung liefert S = und B = SAS. ( + + (, S = + Wir beobachten weiters, dass die Spalten von S durch die Vektoren v, v gebildet werden! Definition. Sei V ein K-Vektorraum und F : V V linear. (i λ K heißt Eigenwert (EW von F, wenn v V, v mit F (v = λv. (ii Jeder Vektor v mit F (v = λv heißt Eigenvektor (EV von F zum Eigenwert λ. Bemerkung. Sei dim V = n < und F : V V linear. Dann sind folgende Aussagen äquivalent : ( Basis von V, welche aus Eigenvektoren von F besteht, ( Basis B von V, sodass M B (F eine Diagonalmatrix der Form λ.. M B (F = λ ist. λ n Beweis. Ist B = (v, v,..., v n eine Basis von V, dann sind die Spalten von M B (F die Koordinatenvektoren von F (v, F (v,..., F (v n bzgl. 4

5 B. M B (F = λ.. λ λ n v i ist EV von F i. F (v i = λ i v i i Definition. (i F : V V heißt diagonalisierbar, wenn eine der beiden vorigen Bedingungen erfüllt ist. (ii Eine n n Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn der zugehörige Endomorphismus L A : K n K n mit L A (v = Av diagonalisierbar ist ( A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix. Bemerkung. Nicht jede Matrix (und damit nicht jeder Endomorphismus ist diagonalisierbar. ( Beispiel. Sei K = R und A =. Dann ist L 5 A = F : R R mit F (x, x = (x, 5x + x. Sei nun v = (x, x ein EV von F. Dann λ mit F (v = λv. Also ist (x, 5x + x = λ(x, x bzw. x = λx, 5x + x = λx ( λx = 5x + ( λx =. Dieses homogene Gleichungssystem ist nichttrivial lösbar λ 5 λ =, woraus folgt, dass λ =. bzw. Mit λ = erhalten wir die Gleichungen x = x und 5x + x = x, womit x = und x = t beliebig ist. Damit ist v = t (,, t R und es kann keine Basis von R welche aus Eigenvektoren von F = L A besteht. geben, 5

6 Man beachte, dass λ = der einzige EW ist. Man kann nun zeigen: ( Sei F : V V linear und seien v,..., v m EV zu paarweise verschiedenen EW. Dann sind die Vektoren v, v,..., v m linear unabhängig. ( Ist dim V = n <, F : V V linear und paarweise verschiedene EW λ, λ,..., λ n, dann ist F diagonalisierbar. Definition. Sei F : V V linear und λ K. Dann heißt Eig(F ; λ = {v V bzgl. λ. : F (v = λv} der Eigenraum von F Bemerkungen. F (v = λv (F λid V (v = v Ker(F λid V Also ist Eig(F ; λ ein Untervektorraum von V, und Eig(F ; λ \ {} ist die Menge der zu λ gehörigen EV von F. λ ist EW von F Eig(F ; λ {} F λid V nicht injektiv. 3 F ist nicht injektiv λ = ist EW. 4 λ λ Eig(F ; λ Eig(F ; λ = {}. (v Eig(F ; λ Eig(F ; λ F (v = λ v, F (v = λ v (λ λ v = v = Sei nun dim V = n <, F : V V linear und seien A, B Basen von V. Mit A = M A (F und B = M B (F gilt wegen früher B = SAS damit det B = det(sas = det S det A det S = det A. und Damit können wir nun die Determinante eines Endomorphismus F 6

7 auf eindeutige Weise durch det F = det M A (F (A irgendeine Basis von V definieren. Damit gilt : λ ist EW von F det(f λid V =. (λ ist EW von F F λid V ist nicht injektiv F λid V ist nicht bijektiv det(f λid V = Ist darüberhinaus A eine Basis von V und A = M A (F, dann gilt offenbar M A (F λid V = A λe n und det(f λid V = det(a λe n. Definition. Mit der Unbestimmten t heißt dann a t a... a n P F (t = det(a te n = a a t... a n a n a n... a nn t das charakteristische Polynom von F. (Beachte, dass das charakteristische Polynom von F nicht von der Wahl der Basis A abhängt! Bemerkung. Setzen wir P F (t = α n t n + α n t n α t + α, dann kann man zeigen dass α n = ( n α n = ( n (a a nn ( a a nn heißt Spur von A α = det A. Bemerkung. Das charakteristische Polynom einer (quadratischen Matrix A ist das charakteristische Polynom des durch A definierten Endomorphismus x Ax und folglich gleich det(a λe n. Aufgabe. Man zeige, dass für ähnliche Matrizen A, B M(n n; K 7

8 gilt : P A (t = P B (t. Wollen wir also die Eigenwerte eines Endomorphismus bestimmen, müssen wir die Nullstellen des zugehörigen charakteristischen Polynoms bestimmen. Bemerkung. Ist F : V V Linearfaktoren. diagonalisierbar, dann zerfällt P F (t in Beweis. Laut Annahme existiert eine Basis A mit λ... M A (F = λ λ n Damit ist P F (t = (λ t(λ t...(λ n t. Bemerkung. F : K n K n Sei die n n Matrix A diagonalisierbar, i.e. mit F (v = Av ist diagonalisierbar. bzgl. der kanon- Dann ist bekannterweise die darstellende Matrix von F ischen Basis A gleich A. Weiters gibt es eine Basis B = (v,..., v n, sodass B = M B (F eine Diagonalmatrix ist. Wie früher erwähnt, gibt es dann eine invertierbare Matrix S mit B = S AS, und die j-te Spalte von S ist der Koordinatenvektor von v j bzgl. der kanonischen Basis A. Damit : Die Spalten von S sind die Vektoren v, v,..., v n. (Schreibt man B = SAS dann sind die Spalten von S die Vektoren v, v,..., v n 8

9 Beispiel. Sei A = Dann ist P A (t = t 3 t 3 3 t =... = (t (t +. Damit sind λ = λ = und λ 3 = die Eigenwerte. Nun zur Bestimmung der Eigenvektoren bzw. Eigenräume. Für λ = λ = erhalten wir das homogene Gleichungssystem x x = als Lösungsvektor x 3 x x x 3 =, damit x 3 = x + x und x x x + x = x + x Somit existieren zum (doppelten Eigenwert λ = zwei linear unabhängige Eigenvektoren (,,, (,,, welche den zugehörigen Eigenraum Eig(A; aufspannen. Für λ 3 = erhalten wir das homogene Gleichungssystem x 3 3 x 4 = und weiters als Lösungsvektor x 3 x x x 3 = x 3x x = x Zum (einfach auftretenden Eigenwert gibt es also einen linear unabhängigen Eigenvektor, etwa (, 3,, welcher den Eigenraum Eig(A; aufspannt. 3.. Die Vektoren (,,, (,,, (, 3, sind linear unabhängig, damit ist A diagonalisierbar und es gilt 9

10 S = 3 und SAS =. Beispiel. Gesucht sind die Eigenräume von F : P P, wobei p(τ ( + τp (τ 3p(τ. Ist A = (, τ, τ die kanonische Basis von P, dann ist F ( = 3, F (τ = τ, F (τ = τ τ, also 3 A = M A (F =. EW von A : 3 λ λ λ λ =, λ =, λ 3 = 3. = Zu λ = erhalten wir den Eigenvektor x I = und Eig(F ; = {p(τ P : p(τ = ν( + τ + τ, ν R}. Zu λ = erhalten wir den Eigenvektor x II = und Eig(F ; = {p(τ P : p(τ = ν( + τ, ν R}. Zu λ 3 = 3 erhalten wir den Eigenvektor x III = Eig(F ; 3 = {p(τ P : p(τ = ν, ν R}. und

11 ( cos α sin α Beispiel. Die Matrix A = sin α cos α des R. P A (t = cos α t sin α sin α cos α t = t t cos α + beschreibt eine Drehung Die Nullstellen von P A (t sind damit durch λ, = cos α ± cos α gegeben. λ, R cos α = α = oder α = π. Nur diese beiden Drehungen sind diagonalisierbar, - alle anderen Drehungen haben keine Eigenvektoren. ( cos α sin α Beispiel. Sei A = sin α cos α P A (t = t = (t + (t., α R. Damit gibt es zwei verschiedene Eigenwerte λ = und λ = und somit ist A diagonalisierbar. Man rechnet leicht nach, dass ( cos α Eig(A; = R sin α und Eig(A; = R ( cos α+π sin α+π. Geometrische Interpretation : A beschreibt eine Spiegelung an der Geraden Eig(A; = {v R : Av = v}. Frage. Was geschieht, wenn P F (t mehrfache Nullstellen besitzt? Wir bezeichnen dabei die Vielfachheit der Nullstelle λ mit µ(p F ; λ. Dabei gilt stets µ(p F ; λ dim Eig(F ; λ. (algebraische Vielfachheit von λ geometrische Vielfachheit von λ Satz. Sei F : V V linear und dim V = n. Dann sind folgende

12 Aussagen äquivalent : F ist diagonalisierbar, (i P F (t zerfällt in Linearfaktoren, und (ii µ(p F ; λ = dim Eig(F ; λ Eigenwerte λ 3 Sind λ,..., λ k die paarweise verschiedenen EW von F, dann ist V = Eig(F ; λ... Eig(F ; λ k. Zur konkreten Bestimmung, ob ein Endomorphismus diagonalisierbar ist, betrachten wir folgende Situation : F : V V linear, dim V = n, A eine Basis von V und A = M A (F. Schritt. Bestimme P F (t. Wenn eine Zerlegung von P F (t in Linearfaktoren nicht möglich ist, dann ist F nicht diagonalisierbar. Sonst Schritt. Für jeden EW λ von F bestimme nun eine Basis von Eig(F ; λ. Wenn µ(p F ; λ dim Eig(F ; λ, dann ist F nicht diagonalisierbar. Wenn µ(p F ; λ = dim Eig(F ; λ, dann ist F diagonalisierbar, und die EV von F bilden eine Basis B von V. Für B = M B (F gilt dann B = SAS und die Spalten von S sind die Koordinatenvektoren der Basisvektoren aus B bzgl. der Basis A. Beispiele. ( Sei A = 3 4 mit K = R und F : R R, F (x = Ax. P F (t = t 3 4 t = t 5t +.

13 P F (t ist in R nicht in Linearfaktoren zerlegbar, daher ist F nicht diagonalisierbar. Sei A = , K = R, F : R 3 R 3, F (x = Ax. P F (t = (5 tt, zerfällt also in Linearfaktoren (über K = R. Die EW sind λ = 5, λ = λ 3 =, des weiteren ist µ(p F ; 5 = und µ(p F ; =. Zu λ = 5 erhalten wir das homogene Gleichungssystem 7 x 8 3 x = x I = µ, µ R. 3 x 3 Damit ist dim Eig(F ; 5 =. Zu λ = λ 3 = erhalten wir das homogene Gleichungssystem 5 7 x 3/5 3 3 x = x II = µ, µ R. 3 3 x 3 Damit ist dim Eig(F ; = µ(p F ; =. Somit ist A bzw. F nicht diagonalisierbar. 3 Sei F : R 3 R 3 mit F (x, x, x 3 = ( x + x 3, 3x x + 3x 3, x x + 3x 3. Ist A die kanonische Basis im R 3, dann ist A = M A (F = P F (t = (t (t +, damit ist λ = λ =, λ 3 =. 3

14 Eig(F ; = R + R, Eig(F ; = R Somit dim Eig(F ; = = µ(p F ;, dim Eig(F ; = = µ(p F ;. Folglich ist A diagonalisierbar und,, 3 bilden eine Basis für R 3. SAS = und S = Definition. Sei F : V V linear, dim V = n. Dann heißt F trigonalisierbar, wenn es eine Basis B von V gibt sodass a a... a n A = M B (F = a... a n eine obere Dreiecksmatrix ist.... a nn Eine n n Matrix A heißt trigonalisierbar, wenn F : K n K n, F (x = Ax, trigonalisierbar ist (d.h. A ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix. Satz. (ohne Beweis Sei F : V V linear, dim V = n. F trigonalisierbar P F (t zerfällt über K in Linearfaktoren Folgerung. Sei V ein endlich-dimensionaler C-Vektorraum und sei F : V V linear. Dann ist F trigonalisierbar. 4

15 (Nach dem Fundamentalsatz der Algebra zerfällt P F (t über C in Linearfaktoren Die getroffene Folgerung ist z.b. wichtig bei der Behandlung von Systemen linearer Differentialgleichungen. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Wir stellen uns die Frage ob es im Falle der Trigonalisierbarkeit möglichst einfache obere Dreiecksmatrizen als darstellende Matrizen gibt. Definition. Eine r r Matrix J heißt Jordanmatrix zum EW λ K, wenn J die Form besitzt λ.. J = λ λ Damit erhält man für r = J = (λ, für r = J = für r = 3 J = λ λ λ. ( λ λ und Satz. (Satz über die Jordansche Normalform Sei V ein K-Vektorraum mit dim V = n <, und sei F : V V linear. Dann gilt : Zerfällt P F (t über K in Linearfaktoren, dann gibt es eine Basis B von V, sodass J M B (F = J......, wobei die J i Jordanmatrizen sind... J l Man sagt, M B (F hat Jordansche Normalform. 5

16 Bemerkungen. (i Im allgemeinen ist die Anzahl der auftretenden Jordanmatrizen größer als die Anzahl der verschiedenen Eigenwerte von F. (ii Ist V ein C-Vektorraum, dann lässt sich jeder Endomorphismus F : V V durch eine Matrix in Jordanscher Normalform darstellen. 6