8 Eigenwerttheorie I 8. EIGENWERTTHEORIE I 139. Wir hatten bereits früher den Polynomring in einer Variablen über einem Körper K betrachtet:

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1 8. EIGENWERTTHEORIE I Eigenwerttheorie I Wir hatten bereits früher den Polynomring in einer Variablen über einem Körper K betrachtet: K[x] = Abb[N, K] = {P ; P = a n x n + a n 1 x n a 0 ; a ν K}. Definition. Eine Funktion f : K K heißt eine Polynomfunktion, falls es ein Polynom P K[x] gibt mit f(a) = P (a) für alle a K. Eigenwerte und Eigenvektoren Es sei A Mat(n; K) eine quadratische Matrix. Definition. Ein Skalar λ K heißt Eigenwert von A, falls es einen Vektor 0 v K n gibt mit Av = λv. v heißt dann auch Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Die geometrische Deutung ist, daß für λ 0 die Gerade Kv unter der Abbildung h A : K n K n, x Ax fest bleibt. Bemerkung. Es gilt 0 ist Eigenwert von A Es gibt 0 v K n mit Av = 0 v = 0 Ker A {0} A GL(n, K). Definition. Zwei Matrizen A, B Mat(n; K) heißen ähnlich, falls es ein Element W GL(n, K) gibt mit B = W 1 AW. Schreibweise. A B. Bemerkung. (i) Ähnliche Matrizen sind insbesondere äquivalent. (ii) ist Äquivalenzrelation, d. h. A A A B B A A B, B C A C. Die Begründung erfolgt genau wie bei äquivalenten Matrizen.

2 140 Wir werden später sehen, daß ähnliche Matrizen denselben Endomorphismus bezüglich verschiedener Basen beschreiben. Definition. A Mat(n; K) heißt diagonalisierbar, falls A zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist. Satz 8.1 A ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis v 1,..., v n von K n gibt, die aus Eigenvektoren von A besteht. Beweis. Da v 1,..., v n eine Basis ist, ist W := (v 1,..., v n ) GL(n, K). Dann gilt mit Av i = λ i v i : und damit Es sei D := Dann ist Mit gilt AW = A(v 1,..., v n ) = (Av 1,..., Av n ) = (λ 1 v 1,..., λ n v n ) λ λ = (v 1,..., v n ) = W D } 0 0 {{ λ n } =:D W 1 AW = D. λ und W GL(n, K) mit λ n W 1 AW = D. AW = W D. W = (v 1,..., v n ) λ A(v 1,..., v n ) = (v 1,..., v n ) λ n (Av 1,..., Av n ) = (λ 1 v 1,..., λ n v n ) Av i = λ i v i ; i = 1,..., n.

3 8. EIGENWERTTHEORIE I 141 Da W invertierbar ist, sind v 1,..., v n eine Basis von K n. Das charakteristische Polynom Es sei A Mat(n; K). Definition. Die Abbildung χ A : K K; χ A (x) := det(xe A) heißt charakteristische Polynomfunktion von A. Bemerkung. Es ist x α 11 α 12 α 1n α 21 x α 22 α 2n χ A (x) = det... α n1 x α nn Entwickelt man diese Determinante entsprechend der Formel det A = sign σα 1σ(1) α nσ(n), σ S n so erhält man ein Polynom von Grad n. Man nennt dies das charakteristische Polynom von A. Definition. Für A = (α ij ) Mat(n; K) heißt Spur A := α ii die Spur von A. Lemma 8.2 Es gilt χ A (x) = x n Spur Ax n ( 1) n det A. Beweis. Wir schreiben χ A (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. Nun ist a 0 = χ A (0) = det( A) = ( 1) n det A.

4 142 Um die anderen Koeffizienten zu bestimmen, geht man so vor: x α 11 α 12 α 1n α 21 x α 22 α 2n xe A =.. = γ ij(x) α n1 x α nn wobei γ ii (x) = x α ii, γ ij (x) = α ij (i j). Nun ist χ A (x) = det(γ ij (x)) = σ S n sign σγ 1σ(1) (x) γ nσ(n) (x). Ist σ id, so ist σ(i) i für mindestens zwei i. D. h. der zu σ gehörige Summand enthält x höchstens zur Potenz n 2. Also erhält man a n, a n 1 aus (x α 11 )(x α 22 ) (x α nn ) = x n x n 1 (α α nn ) + Terme niedrigerer Ordnung. Damit folgt a n = 1, a n 1 = Spur A. Lemma 8.3 Sind A, B ähnliche Matrizen (A B), so gilt χ A = χ B. Beweis. Da A B gibt es ein W GL(n, K) mit B = W 1 AW. Also gilt xe B = xe W 1 AW = xw 1 EW W 1 AW = W 1 (xe A)W. Nach dem Determinantenmultiplikationssatz folgt det(xe B) = det W 1 det(xe A) det W = det(xe A) und damit χ B (x) = χ A (x).

5 8. EIGENWERTTHEORIE I 143 Korollar 8.4 Sind A und B ähnlich, (A B), so gilt Spur A = Spur B. Bemerkung. Die Umkehrung von Lemma 8.3 gilt im allgemeinen nicht, wie das folgende Beispiel zeigt: ( ) ( ) A = B =, es gilt aber χ A (x) = det Satz 8.5 Für A Mat(n; K) sind äquivalent: (i) λ ist Eigenwert von A. ( ) x 0 = x 2, χ 0 x B (x) = det (ii) χ A (λ) = 0. λ (iii) A 0. B mit B Mat(n 1; K). Ferner gilt 0 χ A (x) = (x λ)χ B (x). ( ) x 1 = x 2. 0 x Beweis. (i) (ii): Nun ist Also gilt (i) ist äquivalent dazu, daß es ein 0 v K n gibt mit Av = λv. Av = λv Av = λev (λe A)v = 0. (iii) (ii): (i) Ker(λE A) {0} det(λe A) = 0 χ A (λ) = 0 (ii). ( ) λ Wegen A =: A 0 B folgt aus Lemma (8.3) χ A (x) = χ A (x) = det(xe A = ( ) x λ = det = (x λ) det(xe B) = (x λ)χ 0 xe B B (x), und damit χ A (λ) = 0. (i) (iii): Es sei 0 v 1 K n mit Av 1 = λv 1.

6 144 Man kann v 1 zu einer Basis v 1,..., v n von K n ergänzen. Dann ist W := (v 1,..., v n ) GL(n, K). Damit gilt AW = A(v 1,..., v n ) = (Av 1,..., Av n ) = (λv 1, Av 2,..., Av n ). Andererseits ist (e 1,..., e n ) = E = W 1 W = W 1 (v 1,..., v n ) = (W 1 v 1,..., W 1 v n ). Das heißt Damit ergibt sich W 1 (v 1 ) = e 1. W 1 AW = W 1 (λv 1, Av 2,..., Av n ) = (W 1 λv 1, W 1 Av 2,..., W 1 Av n ) λ = (λe 1, W 1 Av 2,..., W 1 Av n ) = 0. 0 B. Eigenräume Bemerkung. Die Eigenwerte von A sind also genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von A. Beispiel. Es sei K = R. Die Matrix ( ) cos ϕ sin ϕ A = Mat (2, R) sin ϕ cos ϕ beschreibt eine Drehung um den Winkel ϕ. Das charakteristische Polynom ist ( ) x cos ϕ sin ϕ χ A (x) = det sin ϕ x cos ϕ = x 2 2 cos ϕx + 1. Dieses Polynom hat genau dann reelle Nullstellen, falls 4 cos 2 ϕ 4 0,

7 8. EIGENWERTTHEORIE I 145 d.h. falls ϕ = 0 oder π ist, für ϕ [0, 2π[. Im allgemeinen besitzt eine Drehung also keine Eigenwerte und Eigenräume. Über dem Grundkörper K = C besitzt dieses (wie jedes andere Polynom auch) aber stets Nullstellen. Es sei A Mat(n; K) und λ sei Eigenwert von A. Definition. Der Raum Eig(A, λ) = {v K n ; Av = λv} = Ker(A λe) heißt der Eigenraum von A zum Eigenwert λ. Lemma 8.6 λ 1,..., λ r seien verschiedene Eigenwerte von A. Dann ist die Summe eine direkte Summe. Eig(A, λ 1 ) Eig(A, λ r ) Beweis. Es ist zu zeigen: Anwenden von A m gibt: Für ein Polynom v v r = 0 mit v i Eig(A, λ i ) v 1 =... = v r = 0. und eine Matrix A Mat (n; K) setzen wir 0 = A m v A m v r = λ m 1 v λ m r v r. P (x) = a m x m + a m 1 x m a 0 P (A) = a m A m + a m 1 A m a 0 E Mat (n, K). Für jedes Polynom P K[x] gilt dann: Man wähle: 0 = P (A)(v v r ) = P (λ 1 )v P (λ r )v r. P i (x) := r (x λ j ) K[x]. j=1 j i Also ist P i (λ j ) = 0 für i j und P i (λ i ) 0. Damit gilt Daraus folgt 0 = P i (A)(v v r ) = P i (λ i ) v }{{} i. 0 v i = 0 für i = 1,..., r.

8 146 Korollar 8.7 Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. Homomorphismen und Matrizen Es sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Konvention. Im folgenden verstehen wir unter einer Basis von V eine geordnete Basis, d. h. ein n-tupel B = (b 1,..., b n ). Dann besitzt jeder Vektor x V eine eindeutige Darstellung x = x 1 b x n b n. Man definiert q B : V K n ; x 1 x. x n. Es gilt q B (b i ) = e i und die Abbildung q B ist ein Isomorphismus von Vektorräumen. Sei nun C = (c 1,..., c n ) eine weitere Basis. Da sich jeder Vektor b i eindeutig durch die Vektoren c j darstellen läßt, gibt es eine Matrix A = (α ij ) Mat(n; K) mit ( ) b j = α ij c i (j = 1,..., n). Lemma 8.8 Das Diagramm K n h A K n q B q C V kommutiert, d. h. q C = h A q B.

9 8. EIGENWERTTHEORIE I 147 Beweis. Es ist für x V : x = j=1 x j b j ( ) = j=1 x j α ij c i = (x j α ij )c i. j=1 Es sei nun Dann ist x i := x = α ij x j. j=1 x ic i. Damit erhält man (h A q B )(x) = h A (q B (x)) = Aq B (x) = A. x 1 x n = n j=1 α 1jx j. n j=1 α njx j = x 1. x n = q C (x). Bemerkung. Da q B und q C Isomorphismen sind, gilt dies auch für h A, d.h. A GL(n, K). Definition. Die Matrix A = (α ij ) heißt die Übergangsmatrix des Basiswechsels. Darstellung von Homomorphismen Gegeben sei ein n-dimensionaler Vektorraum V mit einer Basis B = (b 1,..., b n ) und ein m-dimensionaler Vektorraum V mit einer Basis B = (b 1,..., b m). Ferner sei f : V V ein Homomorphismus. Dann betrachten wir das Diagramm V f V q B q B K m. K n Da q B ein Isomorphismus ist, kann man definieren ˆf := q B f q 1 B. Dann ist ˆf die lineare Abbildung, die folgendes Diagramm kommutativ macht:

10 148 q 1 B Nach Satz (5.10) gibt es genau eine Matrix mit f V V ˆf K n K m. q B M(f) := M B,B (f) Mat(m, n; K) ˆf = h M(f). Definition. Man sagt, f wird bezüglich der Basen B, B durch die Matrix M(f) = M B,B (f) dargestellt. Satz 8.9 Es seien V, V Vektorräume mit Basen B, B. Dann gilt: (i) Es gibt zu jedem Homomorphismus f Hom(V, V ) genau eine Matrix M(f) = M B,B (f) Mat(m, n; K) mit f = q 1 B h M(f) q B. (ii) Es gilt M(f) = (µ ij ) mit f(b j ) = m µ ij b i (j = 1,..., n). (iii) Die Abbildung M = M B,B : Hom K (V, V ) Mat(m, n; K) f M B,B (f) = M(f) ist ein Isomorphismus von Vektorräumen. Beweis. (i) Es gilt ˆf = q B f q 1 B, ˆf = hm(f). Damit ist ˆf, und somit auch M(f), durch f eindeutig festgelegt. (ii) Es gilt q B : V K n, q B (b j ) = e j ; j = 1,..., n q B : V K m, q B (b i) = e i ; i = 1,..., m.

11 8. EIGENWERTTHEORIE I 149 Nun gilt (q B f q 1 B )(e j) q B f(b j ). = ˆf(e j ) = M(f)e j = m µ ije i Anwendung von q 1 B von links ergibt: f(b j ) = m µ ij q 1 B (e i ) = m µ ij b i. (iii) Die Abbildung M ist nach dem bisher Gesagten bijektiv. Dies ist Homomorphismus: Da die Zuordnung ˆf M(f) linear ist, bleibt noch zu zeigen, daß die Zuordnung linear ist. Dies folgt aus f ˆf = q B f q 1 B (αf + βg) = q B (αf + βg) q 1 B = α(q B f q 1 B ) + β(q B g q 1 B ) = α ˆf + βĝ. Basiswechsel V sei ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis B = (b 1,..., b n ). Es sei C = (c 1,..., c n ) eine weitere Basis mit Übergangsmatrix A GL(n; K), d. h. b j = α ij c i. (j = 1,..., n). Ebenso sei V ein m-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis B = (b 1,..., b m) und C = (c 1,..., c m) eine weitere Basis mit Übergangsmatrix A GL(m; K), d. h. b j = m α ijc i. (j = 1,..., m). Sei f Hom K (V, V ). Satz 8.10 Beweis. Man hat ein Diagramm: M C,C (f) = A M B,B (f)a 1.

12 150 K n f V V q q B q B C q C h MB,B K n (f) K m h A h A h MC,C (f) K m. Zunächst gilt nämlich nach Definition von M B,B (f) und M C,C (f) : Hierbei bedeutet das Symbol, daß das entsprechende Diagramm kommutiert. Dann gilt: h MB,B (f) = q B f q 1 B, h MC,C (f) = q C f q 1 C. Ferner hatten wir schon in Lemma (8.8) gesehen, daß Also gilt auch Damit folgt q C = h A q B ; q C = h A q B. h MC,C (f) = h A q B f q 1 B h 1 A }{{} = h A h M B,B (f) h A 1 = h A M B,B (f)a 1. h MB,B (f) M C,C (f) = A M B,B (f)a 1. Folgerung. Zwei Matrizen sind genau dann äquivalent, wenn sie denselben Homomorphismus bezüglich zweier verschiedener Basen beschreiben. Spezialfall. V = V. Es sei B = (b 1,..., b n ) eine Basis von V und C = (c 1,..., c n ) eine weitere Basis von V mit b j = α ij c i (j = 1,..., n), d. h. A = (α ij ) ist die Übergangsmatrix. Wir setzen für f End(V ): Korollar 8.11 M B (f) := M B,B (f). M C (f) = AM B (f)a 1.

13 8. EIGENWERTTHEORIE I 151 Folgerung. Zwei quadratische Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie denselben Endomorphismus bezüglich verschiedener Basen darstellen. Beispiel. Es sei V = V = R 2. Wir betrachten die Basen B = (e 1, e 2 ) = (b 1, b 2 ) und C = (e 1 + e 2, e 1 e 2 ) = (c 1, c 2 ). Ferner sei f : V V gegeben durch f(e 1 ) = e 2, f(e 2 ) = e 1. Dann ist M B (f) = ( ) Wegen f(e 1 + e 2 ) = e 1 + e 2, f(e 1 e 2 ) = (e 1 e 2 ) d.h. f(c 1 ) = c 1, f(c 2 ) = c 2, gilt ferner M C (f) = ( ) Da folgt für die Matrix des Basiswechsels Es gilt b 1 = e 1 = 1 2 (e 1 + e 2 ) (e 1 e 2 ) = 1 2 c c 2 b 2 = e 2 = 1 2 (e 1 + e 2 ) 1 2 (e 1 e 2 ) = 1 2 c c 2, AM B (f)a 1 = A = ( 1 2 = ( ( ) ( ) 1 1, A 1 =. 1 1 ) ( ) ( ) ) ( ) 1 1 = 1 1 ( ) = M C (f). Wir können nun viele Begriffe von Matrizen auf Abbildungen übertragen. Dazu sei f : V V ein Endomorphismus. Es sei B eine Basis von V und M B (f) die darstellende Matrix bezüglich der Basis B.

14 152 Definition. (i) det f := det M B (f), (ii) (iii) Spur f := Spur M B (f), χ f := χ MB (f) = det(xe M B (f)). Bemerkung. Diese Definitionen sind unabhängig von der Wahl von B, da die Größen auf der rechten Seite für alle Elemente in einer festen Ähnlichkeitsklasse gleich sind. Definition. 0 v V heißt Eigenvektor der Abbildung f zum Eigenwert λ K, falls f(v) = λv. Bemerkung. Der Vektor v ist genau dann ein Eigenvektor von f, wenn q B (v) ein Eigenvektor von M B (f) ist. Dies folgt aus dem kommutativen Diagramm Es gilt nämlich M B (f) K n K n q B qb f V V. f(v) = λv q 1 B (M B(f)(q B (v))) = λv M B (f)(q B (v)) = λq B (v). Definition. f heißt diagonalisierbar, falls f eine Basis von Eigenvektoren besitzt. Bemerkung. f hat diese Eigenschaften genau dann, wenn M B (f) für ein (und damit für alle) Basen B diese Eigenschaften besitzt.