Lineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß

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1 Lineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß Probeklausur: Samstag, Uhr, B6 A001 Anmeldung in den Übungsgruppen

2 Wir hatten gesehen: =! 7 Mat(m, n; K) Hom (Mat(n, 1; K), Mat(m, 1; K)) A! (A ) Jede lineare Abbildung zwischen den Vertraumen Mat(m, 1; K) und Mat(n, 1; K) kann eindeutig durch Multiplikation mit einer Matrix dargestellt werden. Komposition der Abbildungen entspricht der Matrixmultiplikation. Ziel: Jede lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen läßt sich mit Hilfe von Matrizen beschreiben. Mat(dim(W ), dim(v ); K) =! Hom(V,W)

3 Satz V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume A =(v 1,...,v n )undb =(w 1,...,w m ) geordnete Basen von V und W (0) Für jede lineare Abbildung f 2 Hom(V,W) gibt es genau eine Matrix A 2 Mat(m, n; K), mx sodass f(v j )= a ij w j für alle 1 apple j apple n. i=1 i A =: Mat AB (f) nennt man die Matrixdarstellung von f bezüglich A und B. (1) Die so erhaltene Abbildung 7 Mat AB : Hom(V,W)! Mat(m, n; K) f! Mat AB (f) =A ist ein Isomorphismus.

4 Satz V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume A =(v 1,...,v n )undb =(w 1,...,w m ) geordnete Basen von V und W (2) Sei i A : Mat(n, 1; K) =! V mit i A (e j )=v j 0 1 x 1 B C nx A = x i e i 7! x i v i x i=1 i=1 n und i B : Mat(m, 1; K) =! W mit i B (e i )=w i Dann gilt: f i A = i B (Mat AB (f) ) d.h. das folgende Diagramm kommutiert: Mat(n,? 1; K)???y i A Mat AB (f)! Mat(m,? 1; K)???y i B V f! W C

5 ? y Satz V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume A =(v 1,...,v n )undb =(w 1,...,w m ) geordnete Basen von V und W? y (3) Sei U ein weiterer K-Vektorraum mit geordneter Basis C = {u 1,...,u k }, und g 2 Hom(W, U) eine lineare Abbildung. C Dann gilt: Mat AC (g f) =Mat BC (g) Mat AB (f). Komposition von linearen Abbildungen Multiplikation der Matrixdarstellungen Nach Wahl von Basen kann man jede lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen durch eine Matrix beschreiben! Matrixdarstellung hängt von Basiswahl ab!!!

6 Beispiel V = Mat(n, 1; K) mit Standardbasis A = {e 1,...,e n } W = Mat(m, 1; K) mit Standardbasis B = {e 1,...,e m } Sei A 2 Mat(m, n; K) eine Matrix. Dann ist A : V = Mat(n, 1; K)! Mat(m, 1; K) =W eine lineare Abbildung. Die Matrixdarstellung dieser Abbildung bzgl. der Standardbasen ist gerade die Matrix selber: Mat AB (A ) =A Mat AB ist in diesem Fall also die Umkehrabbildung von 7 Mat(m, n; K)! Hom(Mat(n, 1; K), Mat(m, 1; K)) A! A

7 Bemerkung Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n 2 N, unda eine beliebige geordnete Basis von V. 2 A! 7! (1) Dann ist die Matrixdarstellung der Identitätsabbildung id V : V! V, v 7! v, gegeben durch die Identitätsmatrix I n : (2) Die Abbildung Mat AA (id V )=I n. Aut(V )! GL n (K) f 7! Mat AA (f) die einen Automorphismus f von V auf seine Matrixdarstellung abbildet, ist ein Gruppenhomomorphismus.

8 Basiswechsel: Proposition V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume A =(v 1,...,v n )undb =(w 1,...,w m ) geordnete Basen von V und W f 2 Hom(V,W) mit Matrixdarstellung A = Mat AB (f) 2 Mat(m, n; K) Seien A 0 und B 0 weitere geordnete Basen von V und W. Dann gibt es C 2 GL m (K) undd 2 GL n (K) mit Mat A 0 B 0 (f) =C Mat AB (f) D. In der Tat: Basiswechsel-Matrizen invertierbare Matrizen beschreiben, wie Matrixdarstellung von der Wahl der Basis abhängt C = Mat BB 0(id W ) D = Mat A 0 A(id V )