3.8. Lineare Abbildungen.

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1 38 Lineare Abbildungen 38 Lineare Abbildungen 38 Definition Es seien V und W Vektorräume über K Eine Abbildung α : V W heißt linear, wenn für alle Vektoren u, v V und alle Skalare k K gilt: α(u + v α(u + α(v (die Abbildung α ist additiv, α(k v k α(v (die Abbildung α ist homogen 38 Bemerkung Jede lineare Abbildungϕverträgt sich mit Linearkombinationen: Es gilt ϕ λ j v j ϕ(λ j v j λ j ϕ(v j j [ Man wendet Additivität und Homogenität wiederholt an ] j 383 Beispiel Es sei V eink-vektorraum der Dimension n, und es sei B(b,, b n eine Basis von V Die Abbildung j B koord : V K n : v B v, die jedem Vektor das Koordinatentupel bezüglich B zuordnet, ist linear Für v j v j b j und w j w j b j gilt B v(v,,v n und B w(w,, w n Wegen v+w j (v j+ w j b j gilt dann B koord(v+w B (v+w (v + w,, v n + w n (v,, v n +(w,, w n B v+ B w B koord(v+ B koord(w Also ist die Abbildung B koord additiv Wegen B koord(k v(k v,, k v n k (v,, v n k B koord(v ist B koord auch homogen 384 Fundamentales Beispiel Sei V K s, W K z (aufgefasst als Spaltenräume und A K z s Dann ist die Abbildung linear α :K s K z : x A x Beweis Mit den Rechenregeln für Matrizen ergibt sich: α(u+va (u+va u+ A vα(u+α(v α(k va (k vk A vkα(v c Markus Stroppel 6 59

2 3 Lineare Gleichungssysteme 385 Beispiel Wir betrachten die Abbildung ( x α :R R : y ( ( x y ( x+y Diese Abbildung ist linear Geometrische Interpretation: Parallelprojektion entlang der zweiten Winkelhalbierenden auf die x-achse Zur Erinnerung: Nach Wahl einer Basis B(b,, b n in einem n-dimensionalen Vektorraum V überkordnet man jedem Vektor v V dessen Koordinatentupel B v(λ,,λ n zu: Es gilt dann v jλ j b j Nun sei W ein k-dimensionalerk-vektorraum, mit Basis C (c,, c k : Dann wird jeder Vektor w W durch ein Koordinatentupel C w bezüglich C beschrieben 386 Satz Jede lineare Abbildung ϕ : V W wird bezüglich der Basen B und C beschrieben durch eine Matrix C ϕ B : C( ϕ(v C ϕ B Bv Die Spalten der Matrix C ϕ B sind die Koordinatenvektoren bezüglich C der Bilder der Basisvektoren aus B unter ϕ: ϕ ( C B C( ϕ(b ( ϕ(bn C Beweis Für v j λ j b j gibt es Skalareµ j derart, dass gilt:ϕ(v k j µ j c j, also B v λ λ n, C( ϕ(v µ µ k Für j n seiϕ(b j k l a l j c l, also C ( ϕ(b j Daϕlinear ist, errechnen wirϕ(vϕ ( jλ j b j jλ j ϕ(b j, und erhalten C ( ϕ(v a j a k j 6 c Markus Stroppel 6

3 38 Lineare Abbildungen j λ j C ( ϕ(b j, also C ( ϕ(v j λ j a j a k j j λ j a j j λ j a k j j a jλ j j a k jλ j a a k a n a kn λ λ n 387 Bemerkung Der Salto, den wir eben im Beweis schlagen mussten (Vertauschung der Faktorenλ j und a l j kommt daher, dass man traditionellerweise die Skalare links von den Vektoren und auch die Matrizen links von den Spalten schreibt, auf die sie jeweils angewandt werden Die Formeln würden gefälliger werden, wenn man entweder alle Skalare nach rechts schriebe oder alle Matrizen nach rechts schriebe aber eben auch gänzlich ungewohnt! Wir übernehmen die etablierte Schreibweise, damit wir die Literatur und unsere Kollegen uns verstehen 388 Satz Jede lineare Abbildungϕ:V W ist bereits eindeutig festgelegt durch die Bilder der Elemente einer Basis Für v V gibt es eine eindeutige Darstellung v λ j b j (mit Basiselementen b j Weil sichϕmit Linearkombinationen verträgt, erhalten wir ϕ(vϕ ( λ j b j λ j ϕ(b j Damit ist ϕ(v bestimmt 389 Bemerkung Umgekehrt kann man lineare Abbildungen definieren, indem man die Werte auf einer Basis vorgibt und dann linear fortsetzt 38 Beispiel Wir definieren eine lineare Abbildungα:R 3 R 3 durch Vorgabe auf den Elementen e, e, e 3 der Standardbasis: α :, α :, α : c Markus Stroppel 6 6

4 3 Lineare Gleichungssysteme Bezüglich der Standardbasis B(e, e, e 3 (sowohl für den Definitions- wie den Bildbereich lautet die Matrixbeschreibung α x x x 3 α(e α(e α(e 3 } {{ } B α B x x x 3 x x x 3 Geometrische Interpretation: Drehung um die x 3 -Achse um π, gefolgt von der Spiegelung an der x, x -Ebene 38 Definition Es seienα:x Yundβ:Y Z Abbildungen Die Komposition (Hintereinanderausführung von β nach α ist β α : X Z : x β(α(x 38 Lemma Kompositionen linearer Abbildungen sind wieder linear Es seienα : V Y undβ : Y Z linear Für v, w V und k K ergibt sich (β α(v+wβ ( α(v+w β (α(v+α(w β (α(v+β (α(w (β α(v+(β α(w, und (β α(k vβ ( α(k v β ( kα(v kβ ( α(v k (β α(v 383 Satz Es seien V, W und Z Vektorräume mit Basen E, F bzw G Dann ist die Matrixdarstellung der Komposition β α bezüglich der Basen E, G gegeben als Matrixprodukt (β α β G E G F α F E Beweis Es sei A : F α E (a kl und B : G β F (b jk Für e l in E rechnen wir β ( α ( dim W dim W e l β a kl f k j k dim W k k a kl b jk g j j a kl β ( dim W f k dim W b jk a kl k } {{ } c jl k g j a kl j b jk g j Damit ist der ( j,l-koeffizient c jl der Matrix G (β α E bestimmt Da dim W k b jk a kl auch der ( j,l-koeffizient der Produktmatrix B A G β F Fα E ist, folgt G (β α E G β F Fα E 384 Beispiel Es sei Pol n R der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad höchstens n Dies ist einr-vektorraum der Dimension n+, als Basis wollen wir M n : (, X, X, X 3,, X n nehmen Die folgenden Abbildungen sind linear: 6 c Markus Stroppel 6

5 38 Lineare Abbildungen Ableiten (als Abbildungα : Pol 3 R Pol R: f (X f 3 X 3 + f X + f X+ f f (X3 f 3 X + f X+ f Integrieren (als Abbildungβ : Pol R Pol 3 R: g(xg X + g X+ g G(X : 3 g X 3 + g X + g X (Hier ist das bestimmte Integral gemeint: G(X X g(t d t nicht eine beliebige Stammfunktion! Bezüglich der Basen M und M 3 erhalten wir: M α M3 α( α(x α(x α(x 3 3, M 3 β M β( β(x β(x 3 Für die Kompositionen erhalten wir: M (α β M M α M3 M3 β M M 3 (β α M3 M3 β M M α M3 Diese Matrizen beschreiben die Abbildungen α β : Pol R Pol R : g(x G (Xg(X, β α : Pol 3 R Pol 3 R : f (X f 3 X 3 + f X + f X+ f f 3 X 3 + f X + f X 385 Bemerkung Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ ( ( (γ β α (x(γ β α(x γ (β (α(x γ ( (β α(x ( γ (β α (x Insbesondere ist die Komposition linearer Abbildungen assoziativ, und damit auch die Multiplikation von Matrizen c Markus Stroppel 6 63