Lösungen Serie 5. D-MAVT Lineare Algebra II FS 2018 Prof. Dr. N. Hungerbühler

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1 D-MAVT Lineare Algebra II S 8 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen Serie 5. Die Abbildung V n R n, v [v] B, die jedem Vektor seinen Koordinatenvektor bezüglich einer Basis B zuordnet, ist linear. Sei B = {b,..., b n } und seien x, y V mit x = x b + + x n b n, y = y b + + y n b n. Dann gilt und für λ R Somit haben wir x + y = (x + y )b + + (x n + y n )b n λx = (λx )b + + (λx n )b n. [x + y] B = (x + y,..., x n + y n ) = (x,..., x n ) + (y,..., y n ) = [x] B + [y] B, [λx] B = (λx,..., λx n ) = λ(x,..., x n ) = λ[x] B, die Abbildung v [v] B ist also linear.

2 . Bezüglich der Standardbasis e, e, e 3 im R 3 ist die Orthogonalprojektion : R 3 R 3, x x, e e gegeben durch die Darstellungsmatrix. ür die Bilder der Standardbasisvektoren unter bekommen wir (e ) = e, e e = e, (e ) = e, e e =, (e 3 ) = e 3, e e 3 =. Da in den Spalten der Darstellungsmatrix von die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren stehen, ist in der Tat durch diese Darstellungsmatrix gegeben. 3. Sei : R 3 R linear. Dann existiert ein Vektor, der gleichzeitig im Kern und im Bild von liegt. (a) richtig Der Kern von : R 3 R ist in R 3 enthalten und das Bild von ist in R enthalten. Da es keine Vektoren gibt, die gleichzeitig im R 3 und in R liegen, existieren keine Vektoren, die gleichzeitig im Kern und im Bild von liegen. 4. Sei x eine Linearkombination von Spalten der Matrix A und y eine Lösung von A y =. Dann stehen x und y bezüglich des Standardskalarproduktes senkrecht aufeinander. Wir nehmen an, dass A eine m n-matrix ist. Man beachte, dass Bild(A) der von den Spalten von A aufgespannte Unterraum von R m ist. Somit liegt die gegebene Linearkombination x von Spalten von A in Bild(A). Weiter liegt die gegebene Lösung y von A y = in Kern(A ). In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Unterräume Bild(A) und Kern(A ) von R m bezüglich des Standardskalarprodukts senkrecht aufeinander stehen. Darum stehen x und y bezüglich des Standardskalarprodukts senkrecht aufeinander.

3 5. alls der Kern einer linearen Abbildung : R n R n nur aus dem Nullvektor besteht, so ist die Abbildung invertierbar. Eine lineare Abbildung : R n R n wird bezüglich der Standardbasis durch eine n n-matrix A beschrieben, die Abbildung ist also gegeben durch x Ax. alls der Kern von nur aus dem Nullvektor besteht, hat das lineare Gleichungssystem Ax = nur die triviale Lösung. Das ist äquivalent dazu, dass die Matrix A invertierbar ist und daher ist invertierbar.

4 6. Gegeben sei die Matrix A := 4 3 Bestimmen Sie Basen für Kern A und Bild A. Lösung: Es gilt: Kern A = {x R 4 Ax = },. Bild A = {y R 3 x R 4, so dass y = Ax} Aus dem Buch von Nipp/Stoffer, Anfang Kapitel 6, wissen wir, dass für eine m n-matrix A gilt: (i) dim(bild A) + dim(kern A) = r + (n r) = n, wobei r = Rang A. (ii) Bild A = span { a (),..., a (n)}, wobei a (i) die i-te Spalte von A bezeichnet. Wir lösen also zunächst Ax = mit Gausselimination: 4 3 (E) 3 3 Man wähle x 4 = α R, x 3 = β R. Dann ergibt sich x + 3x 3 3x 4 = x = 3 (x 4 x 3 ) = 3 (α β), x + x + x 3 = x = (β 3α) 4 und somit ist die Lösungsmenge 3/4 L = α 3/ + β Somit ist 3 6 4, /4 3/ 6 4 α, β R. eine Basis von Kern A. Aus (i) folgt dim(bild A) = 4 dim(kern A) =. Wegen (ii) müssen wir also linear unabhängige Spaltenvektoren von A auswählen. Aus dem obigen Gauss-Schema sieht man, dass z.b. Somit ist 4, 4, eine Basis von Bild A. linear unabhängig sind.

5 7. Wir betrachten die Ebene E in R 3, gegeben durch x =, und die lineare Abbildung : R 3 R 3, die jedes x R 3 orthogonal auf E projiziert. a) Durch welche Matrix A wird bezüglich der Standardbasis beschrieben? b) Bestimmen Sie Kern A und dim(kern A). c) Bestimmen Sie Bild A und dim(bild A). Lösung: a) Betrachte die Standardbasis e, e, e 3. Der Vektor e steht senkrecht zu E. Die Abbildung projiziert e also auf E: (e ) = Da e und e 3 bereits in E liegen, folgt: (e ) = e = =: a (). =: a (), Es folgt (e 3 ) = e 3 = A = (a ( a () a (3) ) = =: a (3).. b) Kern A ist die Lösungsmenge von Ax =, besteht also aus allen Vektoren (x, x, x 3 ) R 3 mit x = x 3 =. Somit ist Kern A = span und es folgt dim(kern A) =. c) Es gilt Bild A = span{a (), a (), a (3) }. Da a () = ist und a (), a (3) offensichtlich linear unabhängig sind, folgt Bild A = span {a (), a (3) } = span, = E. und dim(bild A) =.

6 8. Sei P der Vektorraum der Polynome vom Grad. Betrachten Sie die folgende Abbildung von P in sich: P (x) P Q(x) = ( x) P (x) P. ordnet jedem Polynom P (x) das Polynom Q(x) = ( x) P (x) zu (P (x) bedeutet die Ableitung von P (x) nach x). a) Zeigen Sie: ist eine lineare Abbildung. b) Durch welche Matrix A wird bezüglich der Basis, x, x von P beschrieben? Lösung: a) Seien P (x), Q(x) P und α R beliebig. Es gilt (P (x) + Q(x)) = ( x) (P (x) + Q(x)) = ( x) (P (x) + Q (x)) = ( x) P (x) + ( x) Q (x) = (P (x)) + (Q(x)), (α P (x)) = ( x) (α P (x)) = α( x) P (x) = α (P (x)). Daher ist linear. b) Wir betrachten die Basis b () =, b () = x, b (3) = x von P. Wir suchen A R 3 3, so dass In Koordinaten: (b (j) ) = 3 a kj b (k), j =,, 3. k= ( b ()) = () = ( x) = a () = ( b ()) = (x) = ( x) = x a () = ( b (3)) = (x ) = ( x) x = 4x x a (3) = A = (a () a () a (3) ) = 4.,, 4