Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2013

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1 Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 3 Heinz-Willi Goelden, Wolfgang Lauf, Martin Pohl Am. Mai 3 fand die Mathematische Zulassungsprüfung statt. Die Prüfung bestand aus einer 9-minütigen Klausur, in der 5 Aufgaben gestellt wurden. Um die Klausur zu bestehen, mussten mindestens 36 von 9 möglichen Punkten erzielt werden. Von den Teilnehmerinnen und Teilnehmern haben Teilnehmer die Prüfung bestanden. Zugelassen waren ein Taschenrechner, eine mathematische Formelsammlung sowie entsprechende Literatur. Aufgabe (3 Punkte) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n N mit n die folgende Ungleichung gilt: n k= k > n Gegeben sei die Aussage A(n) : n k= k > n für alle n N mit n (a) A() ist wahr, denn k= = + = >. k (b) Es sei n N, n, für das die Aussage A(n) wahr ist. Dann gilt: n+ k= k n + = n k= n + n + n + = + n + > k n + n n + + n n + > n n n n + =. Damit gilt A(n) = A(n + ) für alle n N mit n.

2 Aufgabe ( Punkte) (a) Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = + x, x [, [ das Taylorpolynom. Grades T (x, ) sowie das zugehörige Restglied von Lagrange R (x, ). (Entwicklungspunkt x = ). (b) Zeigen Sie, dass der relative Fehler, wenn man f auf dem Intervall [,.5] durch T approximiert, kleiner als.5% ist. (a) Es ist f(x) = ( ) /, + x also f() =, f (x) = 6 f () = 6 und f ( ) (x) = x 7/. Damit ist T (x, ) = f() + xf () = + x 6 und ( R (x, ) = x f (ξ) = 3x + ξ ) 7/ 5 mit einem geeigneten ξ zwischen und x. (b) Für alle x [,.5] gilt: f(x) T (x, ) R (x, ) f(x) = f(x) = 3x 5 ( + x ) 3/, also ( ) 7/ ( ) / + ξ + x }{{} 3x = =.5%

3 Aufgabe 3 ( Punkte) Es seien K := {(x, y) R x + y }, und gegeben. Z := {(x, y, z) R 3 (x, y) K, z } Ω := {(x, y, z) R 3 (x, y) K, z x + y } (a) Beschreiben Sie die Mengen K und Z und skizzieren Sie die Projektion von Ω auf die (x, y)-ebene und den Schnitt von Ω mit der (x, z)-ebene. (b) Zeigen Sie, dass für die Volumina der Körper Ω und Z die Gleichung V (Ω) = V (Z) gilt. (a) K ist der Einheitskreis in der (x, y)-ebene und Z der Zylinder der Höhe über K. Die Projektion von Ω auf die (x, y)-ebene ist K und der Schnitt von Ω mit der (x, z)-ebene ist in folgender Skizze dargestellt. Querschnitt in der (x, z)-ebene z x (b) Es ist V (Z) = π und V (Ω) = K π r 3 dr = π = V (Z). (x + y ) d(x, y) = π r r dϕ dr = 3

4 Aufgabe (5 Punkte) Sei f : R 3 R 3 die lineare Abbildung f(x) = Ax mit A = 3 3 (a) Bestimmen Sie die drei verschiedenen reellen Eigenwerte λ < λ < λ 3 von A und dazu jeweils einen Eigenvektor v, v, v 3 R 3. (b) Zeigen Sie, dass B = (v, v, v 3 ) eine Basis von R 3 ist und geben Sie die Darstellungsmatrix M von f bzgl. der Basis B an. (c) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix TE B des Basiswechsels von B nach E und die Transformationsmatrix TB E = (T E B) des Basiswechsels von E nach B, wobei E = (e, e, e 3 ) die Standardbasis ist. (d) Berechnen Sie die Potenzen A n für beliebiges n N.. (a) det(a λe) = λ 3 λ 3 λ = ( λ)( λ)(3 λ). Aus det(a λe) = folgt: λ =, λ =, λ 3 = 3 Kern(A λ E) = Kern 3 = Kern also v = Kern(A λ E) = Kern also v = 3 Kern(A λ 3 E) = Kern span({ 5 3 }), also v 3 = (b) det ( ) v v v 3 = = Kern =, = Kern 3 = span({ = span({ 5 also sind v, v, v 3 linear unabhängig, d. h. sie bilden eine Basis im R 3. Für alle µ, µ, µ 3 R gilt: = }), 3 }),

5 A(µ v + µ v + µ 3 v 3 ) = λ (µ v ) + λ (µ v ) + λ 3 (µ 3 v 3 ), also M = λ λ = λ 3 3 (c) ( ) e e e 3 x x = x 3 x = TE By mit T E B = T E B = (T B E ) = x x x = ( v v v 3 ) und (d) A n = (TE B M T B E)n = TE B M n TB E = n 3 n y y y 3, d. h. = 3(n ) 3 n + 5 3n n 3 n n 3 n 5

6 Aufgabe 5 (6 Punkte) Die Menge P := {p(x) = ax + bx + c a, b, c R} der quadratischen Polynomfunktionen auf R mit den beiden Operationen Addition: (ax +bx+c)+(a x +b x+c ) := (a+a )x +(b+b )x+(c+c ) Skalarmultiplikation: λ (ax + bx + c) := (λa)x + (λb)x + (λc) für alle (ax + bx + c), (a x + b x + c ) P und für alle λ R stellt einen reellen Vektorraum dar. (Diese Aussagen müssen nicht nachgewiesen werden. Machen Sie sich dennoch diesen Sachverhalt gedanklich klar.) (a) Geben Sie eine Basis und die Dimension dieses Vektorraums P an. (b) Bildet die Teilmenge Q = {ax + c a, c R} der geraden (achsensymmetrischen) Polynomfunktionen einen Unterraum von P? (Begründen und beweisen Sie Ihre Antworten!) (a) Eine Basis ist gegeben durch die drei Vektoren p, p (x) = x und p (x) = x, denn jede quadratische Polynomfunktion p(x) = ax + bx + c ist offensichtlich linear kombinierbar aus p, p, p, p ap + bp + cp mit a, b, c R, d. h. p, p, p spannen P auf, und die drei Polynomfunktionen sind linear unabhängig, denn die Linearkombination ap (x) + bp (x) + cp (x) = ax + bx + c = ( für alle x R) besitzt nur die triviale Darstellung mit a = b = c = : Durch Einsetzen von x = in ax + bx + c = ergibt sich zunächst c =. Setzt man weiter x = ± in ax + bx = ein, so erhält man das Gleichungssystem a + b = und a b =, das nur die Lösungen a = b = besitzt. Die Dimension ist somit 3, da eine Basis mit 3 Elementen existiert. (b) Es handelt sich um einen Unterraum, denn: Q, da die Nullpolynomfunktion von der Form x + Q ist. Für alle Polynomfunktionen p(x) = ax + c, q(x) = a x + c Q ist auch die Summe (p + q)(x) = (a + a )x + (c + c ) wieder in Q. Für alle λ R und alle Polynomfunktionen p(x) = ax + c Q ist auch (λp)(x) = (λa)x + (λc) wieder gerade, also λp Q. 6