Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2017/

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1 Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2017/ BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienfach: Name des Tutors: Vorkurs Mathematik besucht? Ja Nein Unterschrift der/des Studierenden: Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 10 Seiten. Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt Summe 90 Note

2 Aufgabe 1: Aussagenlogik (10 Punkte) Prüfen Sie, ob es sich bei der folgenden Aussage um eine Tautologie, eine Kontradiktion oder eine Kontingenz handelt: (A B C) (A (B C)) Es handelt es sich bei der gegebenen Aussage um eine Tautologie. 2

3 Aufgabe 2: Vollständige Induktion (10 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für alle n N die Gleichung gilt. n i 2 = i=1 n(n + 1)(2n + 1) Induktionsanfang (n = 1): 1 i=1 (Induktionsschluss (n n + 1): Zu zeigen ist: n+1 i 2 = i=1 i 2 = 1 = (n + 1)(n + 2)(2n + 3) Ansatz: n+1 i 2 = i=1 n i 2 + (n + 1) 2 i=1 n(n + 1)(2n + 1) = + (n + 1) 2 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) = 3

4 Aufgabe 3: Surjektivität und Injektivität (10 Punkte) Gegeben sei die folgende Abbildung mit nicht leeren Mengen M und N: f : M N x f(x) = 2x 2 8 Bestimmen Sie die Mengen M und N so, dass 1. a) f weder injektiv noch surjektiv ist, b) f injektiv, aber nicht surjektiv ist, c) f surjektiv, aber nicht injektiv ist, d) f bijektiv ist. 2. Wie würden sich die Antworten aus Aufgabenteil 1 für die Abbildung g : M N, x g(x) = 2x 2 8 ändern? 1. Zum Beispiel: a) M = R und N = R b) M = R + und N = R c) M = R und N = [ 8, ) d) M = R + und N = [ 8, ) 2. zu 1a) Keine Änderung. zu 1b) Keine Änderung. zu 1c) M = R und N = (, 8] zu 1d) M = R + und N = (, 8] 4

5 Aufgabe 4: Komplexe Zahlen (10 Punkte) Gegeben sei die komplexe Zahl in algebraischer Form. z = 2 + 2i a) Geben Sie z in trigonometrischer und exponentieller Darstellung an. b) Berechnen Sie z 4 und geben Sie z 4 in algebraischer, trigonometrischer und exponentieller Darstellung an. a) Die trigonometrische Darstellung ergibt sich zu: z = 2 ( π ) 2 cos + 2 ( π ) 2i sin 4 4 Die exponentielle Darstellung kann angegeben werden zu: z = 2 2e π 4 i b) Die exponentielle Darstellung lautet: z 4 = 4e πi Mit r = 4 und x = π ergibt sich für die trigonometrische und algebraische Darstellung: z 4 = 4 cos(π) + i4 sin(π) = 4 5

6 Aufgabe 5: Inverse Matrizen (10 Punkte) a) Bestimmen Sie die Inverse der Matrix A = b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b mit b = (1, 2, 1) T. a) Die Inverse ist gegeben durch: A 1 = b) Die Lösungsmenge lautet: L =

7 Aufgabe : Lineare Unterräume (10 Punkte) Prüfen Sie, ob es sich bei M 1 und M 2 um lineare Unterräume des R 3 handelt: x M 1 = y x, y, z R, y = x, z = x z x M 2 = y x, y, z R, x < y < z z M 1 ist bzgl. der Addition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen, weshalb es sich um einen linearen Unterraum des R 3 handelt. Da M 2 bzgl. der skalaren Multiplikation nicht abgeschlossen ist, handelt es sich bei M 2 um keinen linearen Unterraum des R 3. 7

8 Aufgabe 7: Quadratische Formen (10 Punkte) Gegeben sei die Matrix sowie ihr Spektrum S = { 18, 9, 9} A = a) Bestimmen Sie die zu A gehörige quadratische Form q(x) = x T Ax. b) Bestimmen Sie die Definitheitseigenschaft von A über ihre Hauptunterdeterminanten und über ihre Eigenwerte. c) Begründen Sie kurz, ob die Spaltenvektoren von A linear abhängig sind. a) Es gilt: q(x) = x T Ax = 11x 2 1 2x 2 2 5x x 1 x 2 + 1x 1 x x 2 x 3 b) A ist indefinit. c) Nein, die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig. 8

9 Aufgabe 8: Lineares Gleichungssystem (10 Punkte) Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem 1 2 b x x 2 = b, b R b 1 2 b x 3 a) Für welche b R besitzt das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen? b) Geben Sie den zugehörigen Nullraum für b = 0 an. Lösung a) Fallunterscheidung: b = 1 b = 1 b 1, b 1 Unendlich viele Lösungen Keine Lösung Genau eine Lösung b) Die Lösungsmenge des homogenen Systems gegeben durch: 0 L = x R 3 x = 0 0 9

10 Aufgabe 9: Eigenwerte und Eigenvektoren (10 Punkte) Gegeben sei die Matrix A = a) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A. b) Bestimmen Sie zum Eigenvektor v = (2, 1, 8) T den zugehörigen Eigenwert der Matrix A. c) Geben Sie die Determinante der Matrix A an und begründen Sie kurz, ob die Matrix A den vollen Rang hat. a) Die Eigenwerte lauten: λ 1,2 = 0, λ 3 = 5 b) Der zugehörige Eigenwert lautet λ 3 = 5. c) Für die Determinante gilt det(a) = 0, daher bestitz die Matrix A nicht den vollen Rang. 10