Prüfungs-/Übungsschein-Klausur (Rechenteil) Lineare Algebra für Ingenieure/E-Techniker

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 200 Fachbereich 3 - Mathematik Pohst / Lusala Prüfungs-/Übungsschein-Klausur (Rechenteil) Lineare Algebra für Ingenieure/E-Techniker Name: Vorname: Matr. Nr.: Studiengang: Matr. Nr. am Schwarzen Brett beim HM-Service-Center (Raum MA 708). Matr. Nr. im WWW (geschützt durch ein Passwort) Unterschrift Neben einem handbeschriebenen A4-Blatt mit Notizen sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die Lösungen sind in Reinschrift auf A4-Blättern abzugeben. Mit Bleistift geschriebene Klausuren können nicht gewertet werden. Die Gesamtklausur ist mit mindestens 6 von 40 Punkten bestanden, wenn in jedem der beiden Teile der Klausur mindestens 5 von 20 Punkten erreicht werden. Fragen können während der Klausur leider nicht beantwortet werden. Dieser Teil der Klausur umfasst die Rechenaufgaben. Geben Sie immer den vollständigen Rechenweg an und begründen Sie Ihren Lösungsweg. Die Bearbeitungszeit beträgt eine Stunde

2 Achtung: Notation des Gauß-Algorithmus Notieren Sie jeden Gaußalgorithmus in Matrizenschreibweise und dokumentieren Sie jeden einzelnen Schritt wie folgt: Hier wird auf die 3. Zeile das ( 3)-fache der. Zeile addiert. Ansonsten droht drastischer Punktabzug! Rechenaufgaben. Aufgabe Betrachten Sie den euklidischen Raum R 3 mit dem Standardskalarprodukts ( x y < x, y >:= x T y = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3, x = (a) Orthogonalisieren Sie die Basis v = 0, v 2 = 0 x 2 x 3, v 3 =, y = 0 (b) Stellen Sie den Vektor v = R 3 bzgl. der neuen Basis dar. 2. y 2 y 3 R 3 ). (3 Punkte) 2. Aufgabe Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem (4 Punkte) x x 2 + 2x 3 x 4 3x 5 = 3 3x 3x x 3 33x x 5 = 35 7x 7x 2 + 8x 3 5x 4 9x 5 = 9. (i) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Gleichungssystems A x = 0, ( x R 5 ). Beachten Sie die Hinweise zur Notation des Gaußalgorithmus!

3 (ii) Ist der Vector x = (3, 0,, 2, 0) T R 5 eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems? (iii) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems. 3. Aufgabe Betrachten Sie die Matrix A := 0 2. (4 Punkte) a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom der Matrix A. b) Zeigen Sie, daß ein Eigenwert zu A ist. c) Betrachten Sie A als lineare Abbildung von R 3 nach R 3 und berechnen Sie den Eigenraum von A zum Eigenwert. d) Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems d y (t) = A y(t), y(0) = dt wobei y : R 3 R 3 ist. Hinweis: Man benutze die Eigenwertmethode und beachte, daß y(0) ein Eigenvektor von A ist, der linear unabhängig von den Eigenvektoren zu den anderen Eigenwerten ist Aufgabe (5 Punkte) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P = (0, 5, 2, 8) T R 4 von der Ebene durch P 0 = (, 2, 3, 4) T, die von v = (2, 0, 2, 0) T und v 2 = (0, 2, 2, 0) T im R 4 aufgespannt wird. 5. Aufgabe Lösen Sie das Anfangswertproblem (4 Punkte) y (t) 2y (t) + 5y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = für y : R R.

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5 TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 200 Fachbereich 3 - Mathematik Pohst / Lusala Prüfungs/-Übungsschein-Klausur (Verständnisteil) Lineare Algebra für Ingenieure/E-Techniker Name: Vorname: Matr. Nr.: Studiengang: Matr. Nr. am Schwarzen Brett beim HM-Service-Center (Raum MA 708). Matr. Nr. im WWW 2 (geschützt durch ein Passwort) Unterschrift Neben einem handbeschriebenen A4 Blatt mit Notizen sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die Lösungen sind in Reinschrift auf A4 Blättern abzugeben. Mit Bleistift geschriebene Klausuren können nicht gewertet werden. Die Gesamtklausur ist mit mindestens 6 von 40 Punkten bestanden, wenn in jedem der beiden Teile der Klausur mindestens 5 von 20 Punkten erreicht werden. Fragen können während der Klausur leider nicht beantwortet werden. Dieser Teil der Klausur umfasst die Verständnisaufgaben, sie sollten ohne großen Rechenaufwand mit den Kenntnissen aus der Vorlesung lösbar sein. Geben Sie außer bei Aufgabe 6 immer eine kurze Begründung an. Die Bearbeitungszeit beträgt eine Stunde

6 Verständnisaufgaben. Aufgabe (8 Punkte) Kreuzen Sie in dieser Aufgfabe wahr oder falsch an. Jede richtige Antwort ergibt Punkt, jede falsche Antwort Punkt. Keine Antwort ergibt 0 Punkte. Die Gesamtbewertung der Aufgabe ergibt stets mindestens 0 Punkte. 0 0 (a) 0 ist ein Eigenwert zu 0 0 R (b) Die Matrix 0 0 R 3 3 ist diagonalisierbar. 0 (c) Die räumlichen Diagonalen eines Quaders Q im R 3 sind linear unabhängig. (Q = {λ x + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 0 λ i }, x, x 2, x 3 sind orthogonal und nicht 0.) (d) {(x, x 2, x 3, x 4 ) T R 4 x x 4 x 2 x 3 = 0} ist Untervektorraum von R 4. (e) Für eine lineare Abbildung L: R m R n ist diml(r m ) m. (f) Je zwei Vektoren x, y R n mit x T y = 0 sind linear abhängig. (g) Die Funktionen e λx, xe λx, x 2 e λx sind für λ R beliebig stets linear unabhängig. (h) Die Gesamtheit der reellen Lösungen von y (x) + y(x) = 0 besteht aus {c cos(x) + c 2 sin(x) c, c 2 R}. Entscheiden Sie bitte, welche der obigen Aussagen wahr oder falsch sind. (Zutreffendes bitte ankreuzen, ohne Angabe einer Begründung.) wahr falsch (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

7 2. Aufgabe Sei b R und A := b b. (7 Punkte). Für welche b R existiert die inverse Matrix A? Begründen Sie die Antwort auf zwei Weisen (ohne A auszurechnen) unter Verwendung der Begriffe (i) Determinante von A, (ii) Rang der Matrix A. 2. Entscheiden Sie (ohne eine Begründung anzugeben), ob für x R 3 das Gleichungssystem A x = 3 (i) für b = 0 (ii) für b = lösbar eindeutig lösbar nicht lösbar lösbar eindeutig lösbar nicht lösbar ist. ist. 3. Für welche Werte von b R sind die Spaltenvektoren von A linear unabhängig? 3. Aufgabe Betrachten Sie den euklidischen Vektorraum R 2 mit dem Skalarprodukt (5 Punkte) x, y := x y + x 2 y 2, ( x = ( x x 2 ), y = ( y y 2 ) R 2 ) und einen Vektor a = ( a a 2 ) R 2 der Länge eins, d.h. a, a =. Zeigen Sie, dass die Abbildung P : R 2 R 2, x P ( x) = x x, a a die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) P ist linear. (ii) P 2 = P. (Beachte: P 2 ( x) = P ( P ( x) ).) (iii) a ist Eigenvektor zum Eigenwert 0. (iv) Der Kern von P hat die Dimension. (v) Das Bild von P hat die Dimension. Hinweis: Verwenden Sie für (iv) und (v), dass { a, a } mit a = ( a 2 a ) eine Basis des R 2 ist.