Klausur zur Vorlesung Höhere Mathematik I
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- Robert Frei
- vor 6 Jahren
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1 Name: 30. Januar 200, Uhr Allgemeine Hinweise: Dauer der Klausur: Zugelassene Hilfsmittel: 20 min, 2 Zeitstunden Skript, Vorlesungsmitschrift Schreiben Sie bitte auf dieses Deckblatt oben rechts an der dafür vorgesehenen Stelle Ihren Namen in Druckbuchstaben! Unterschreiben Sie dieses Deckblatt! Reißen Sie die geheftete Klausur nicht auseinander. können nicht gewertet werden. Ausgerissene Aufgabenblätter Verwenden Sie für Ihre Lösungen ausschließlich die angehefteten Aufgabenblätter! Es steht für jede Lösung ausreichend Platz zur Verfügung. Falls der Platz trotzdem nicht ausreichen sollte, benutzen Sie bitte die Rückseite oder die entsprechend gekennzeichnete Rückseite eines anderen Aufgabenblatts! Andere Blätter als die Aufgabenblätter können nicht gewertet werden! Verwenden Sie keinen Rotstift und keinen Bleistift! Unterschrift: Auswertung: Aufgabe Nr.: Summe Punktzahl: Davon erreicht: 30. Januar 200, Seite von 8
2 . Aufgabe: (3 Punkte) Betrachten Sie die Funktionen f : R 2 R 3 mit ( ) x + y x f = x y y xy und ( ) ( ) x e f 2 : R 2 R 2 xy mit f 2 = y cos(x)y Überprüfen Sie, ob folgende Verknüpfungen der Funktionen möglich sind (Antwort mit Begründung!) und geben Sie ggf. das Ergebnis der Verknüpfung an: (2P.) (a) f f 2 (P.) (b) f 2 f 30. Januar 200, Seite 2 von 8
3 (P.) (2P.) (3P.) 2. Aufgabe: (6 Punkte) Betrachten Sie die Funktion auf dem R 3, welche jedem Vektor die Summe seiner Komponenten zuordnet. (a) (b) (c) Bestimmen Sie eine Funktionsvorschrift f für diese Funktion. Prüfen Sie, ob die Funktion invertierbar ist. Prüfen Sie, ob die Funktion linear ist. Wenn ja, geben Sie zusätzlich eine Matrixdarstellung für die Funktion an, wenn nein, begründen Sie, warum. 30. Januar 200, Seite 3 von 8
4 3. Aufgabe: (7 Punkte) Zeigen Sie, dass die Vektoren x =, x 2 =, 2 x 3 = 3 0 des R 3 eine Basis von bezüglich des Skalarprodukts x orthogonalen Vektoren bilden. y x 2, y 2 = x y + 2 x 2 y 2 + x 3 y 3 x 3 y 3 Bestimmen Sie anschließend eine Komponentendarstellung des Vektors 2 y = 2 2, 2 bezüglich dieser Basis. Hinweis: bitte Wurzelausdrücke und Brüche stehen lassen! Keine Gleitkommazahlen verwenden! 30. Januar 200, Seite 4 von 8
5 (3P.) 4. Aufgabe: (7 Punkte) Betrachten Sie den Vektorraum R 3 mit dem kartesischen Koordinatensystem und dem Standardskalarprodukt. (a) Bestimmen Sie die Projektion des Vektors 2 x = 2 auf die durch v = und w = 3 0 aufgespannte Ebene. (3P.) (b) Die Projektion ist eine lineare Abbildung auf dem R 3. Bestimmen Sie eine Matrixdarstellung dieser Abbildung. (P.) (c) Überprüfen Sie Ihre Berechnung aus Aufgabenteil (a) mit Hilfe der berechneten Matrixdarstellung. 30. Januar 200, Seite 5 von 8
6 5. Aufgabe: (8 Punkte) (6P.) (a) Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus die Lösungen des linearen Gleichungssystems 2x x 2 + x 4 = 3 x 2 + x 4 = x + x 3 x 4 = 2 2x + x 2 + µx 4 = 3 (2P.) (b) Für welche Parameter µ ist die durch die Koeffizientenmatrix definierte lineare Abbildung invertierbar? 30. Januar 200, Seite 6 von 8
7 6. Aufgabe: (2 Punkte) Gegeben seien die folgenden Matrizen ( ) 0 ( ) 3 0 A =, B = , C =, 4 0 Berechnen Sie die Matrix ABC. 30. Januar 200, Seite 7 von 8
8 7. Aufgabe: (7 Punkte) Für welchen Parameter α hat die Matrix ( ) 0 B = α genau einen Eigenwert. Bestimmen Sie in diesem Fall den zugehörigen Eigenraum. Ist die Matrix in diesem Fall diagonalisierbar? 30. Januar 200, Seite 8 von 8
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