Vektoren. 2.1 Darstellung. Kapitel Subtraktion und Addition

Transkript

1 Kapitel 2 Vektoren In diesem Kapitel werden wir im wesentlichen die verschiedenen Formen der Darstellung von Vektoren in MatLab sowie Verknüpfungen zwischen Vektoren betrachten. In letzterem Punkt ist die Darstellung von Vektoren bei den verschiedenen Produkten von Bedeutung. 2.1 Darstellung Die Darstellung von Vektoren in MatLab wurde bereits kurz in Abschn angesprochen. Formal unterscheidet MatLab nicht zwischen Vektoren und Matrizen sondern behandelt beide als Matrix, wobei ein Zeilenvektor eine Matrix mit nur einer Zeile ist, ein Spaltenvektor eine Matrix mit nur einer Spalte. MatLab ist sehr empfindlich in der Unterscheidung zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren. Die Transponierte einer Matrix entsteht durch Vertauschen von Zeilen und Spalten: A T = (a ij ) T = a ji. Ein Zeilenvektor lässt sich daher in einen Spaltenvektor umwandeln, indem man ihn transponiert: >> a=[1 2 3] a = >> b = a b = Dabei weist das Hochkomma MatLab an, die Transponierte des Vektors zu bilden Subtraktion und Addition Matrizen können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie gleiche Dimensionen haben. In unserem Fall kann eine Addition zwischen Spaltenvektoren oder zwischen Zeilenvektoren erfolgen, es kann jedoch nicht ein Spalten- zu einem Zeilenvektor addiert werden. Mit den Vektoren wie oben liefert MatLab >> a + b??? Error using ==> plus Matrix dimensions must agree. Beschränken wir uns jedoch auf eine der beiden Arten von Vektoren, so lassen sich die Operationen direkt ausführen. 17

2 18 KAPITEL 2. VEKTOREN Beispiel 4 Aus den drei Vektoren a = ( ), b = ( ) und ( ) ist die Summe, das Doppelte des Vektors b sowie der Ausdruck a + 2 b 7 c zu bestimmen. Dazu verwenden wir die Befehlssequenz >> a=[3-2 1]; b=[-2 3 1]; c=[2 3-1]; >> d = a + b + c d = >> e = 2*b e = >> a + 2*b -7*c In dieser Darstellung haben wir alle Vektoren als Zeilenvektoren aufgefasst. Wir hätten alternativ auch alle Vektoren als Spaltenvektoren schreiben können. Die entsprechende Sequenz in MatLab sieht dann folgendermaßen aus: >> a=[3;-2;1]; b=[-2;3;1]; c=[2;3;-1]; >> d = a + b + c d = >> e = 2*b e = >> a + 2*b -7*c Krummlinige Koordinaten MatLab stellt für die Umwandlung von Vektoren von einem in ein anderes Koordinatensystem die folgenden Routinen zur Verfügung: cart2pol [THETA,RHO,Z] = cart2pol(x,y,z) kartesisch in Polar oder Zylinder cart2sph [THETA,PHI,R] = cart2sph(x,y,z) kartesisch in Kugel pol2cart [X,Y,Z] = pol2cart(theta,rho,z) Polar bzw. Zylinder in kartesisch sph2cart [x,y,z] = sph2cart(theta,phi,r) Kugel in kartesisch cart2sph MatLab unterscheidet nicht zwischen Polar- und Zylinderkoordinaten: werden drei Komponenten übergeben, so interpretiert MatLab dies als Zylinderkoordinaten; bei zwei Komponenten sind es Polarkoordinaten. Formal werden alle vier Routinen gleich verwendet: der Vektor ist in drei Komponenten gegeben, der Output der Routine ist wieder ein System aus drei Zahlen. Als Beispiel wandeln wir kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten um: >> x=2;y=3;z=4; [Theta,Phi,R] = cart2sph(x,y,z) THETA = PHI = R = Januar 2005 c M.-B. Kallenrode

3 2.2. PRODUKTE Produkte Stellt man die Produkte über dot bzw. cross dar, so gilt das bei der Addition gesagte: es ist egal, ob die Vektoren Zeilen- oder Spaltenvektoren sind, es müssen nur alle Multiplikanden die gleiche Form haben bzw. durch Transposition auf gleiche Form gebracht werden. Bei der Verwendung des Multiplikationszeichens * dagegen will MatLab eine Matrixmultiplikation durchführen und es gelten die bereits in Abschn erwähnten Einschränkungen Skalarprodukt Das Skalarprodukt wird durch den Befehl dot ausgeführt: dot >> dot(a,b) Alternativ können wir das Skalarprodukt auch durch punktweise Multiplikation und anschließende Summation der Produkte bestimmen: >> sum(a.*b) Den Betrag eines Vektors bestimmt man am einfachsten über die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst: >> a=[3-2 1]; betrag a=sqrt(dot(a,a)) betrag a = MatLab kennt für den Betrag eines Vektors auch die Abkürzung norm: betrag a=norm(a). norm Kreuzprodukt Für das Kreuzprodukt steht in MatLab der Befehl cross zur Verfügung: cross >> cross(a,b) Im Gegensatz zum Skalarprodukt gibt es keine elegante Möglichkeit einer alternativen Schreibweise ohne Verwendung des Befehls cross. Ein Blick in die MatLab-Funktion cross zeigt, dass auch MatLab keine elegante Abkürzung kennt sondern die Regel zur Bildung des Kreuzprodukts explizit angibt Spatprodukt Für das Spatprodukt gibt es keine Abkürzung. Wir können es unter Verwendung von dot und cross bestimmen als 1 Die m-files der in MatLab implementierten Funktionen finden sich im Unterverzeichnis \Toolbox\matlab in verschiedenen Unterverzeichnissen, in diesem Fall in specfun. Ein Blick in die im gleichen Unterverzeichnis zu findende Funktion dot zeigt, das dort in der Tat die weiter oben eingeführte explizite Variante für das Skalarprodukt verwendet wird. c M.-B. Kallenrode 12. Januar 2005

4 20 KAPITEL 2. VEKTOREN oder wenn man berücksichtigt, dass das Spatprodukt die mit Hilfe des Befehls det Determi- nante der aus den drei Vektoren gebildeten Matrix ist: det >> a=[3;-2;1]; b=[-2;3;1]; c=[2;3;-1]; >> dot(cross(a,b),c) Wir müssen nicht alle Vektoren einzeln eingeben sondern können sie auch als eine Matrix mit den Vektoren als Spalten eingeben. Für obiges Spatprodukt lässt sich auch schreiben >> A=[3-2 2;-2 3 3;1 1-1] ; >> f=dot(cross(a(1,:),a(2,:)),a(3,:)) >> A=[3-2 2;-2 3 3;1 1-1] ; >> f= det(a) Dyadisches Produkt Die beiden Vektoren a und b aus Beispiel 4 lassen sich nicht direkt mit Hilfe des Multiplikationszeichens * multiplizieren. Transponieren eines der Vektoren liefert jedoch entweder ein Skalarprodukt aus einem Zeilen- und einem Spaltenvektor oder ein dyadisches Produkt aus einem Spalten- und einem Zeilenvektor: >> a=[3-2 1]; b=[-2 3 1]; >> sp=a*b sp= >> dp=a *b dp= Beide Vektoren werden in der ersten Zeile als Zeilenvektoren angegeben. Für die Produktbildung wird jeweils einer der Vektoren durch Bildung der Transponierten in einen Spaltenvektor überführt. Damit können die Regeln der Matrixmultiplikation bei der Produktbildung berücksichtigt werden. 2.3 GUI Die Datei vektoren enthält ein sehr einfaches GUI, das es Ihnen erlaubt, drei Vektoren einzugeben und auf verschiedene Weise zu verknüpfen. Die drei Vektoren werden als Zeilen- vektoren in den Feldern a, b und c im rechten oberen Teil eingeben. Werden in diese Felder keine Werte eingetragen, so werden die vorgegebenen Vektoren verwendet. Über ein Pop-Up Menü kann die Art der Verknüpfung ausgewählt werden. Dazu gehört die Bestimmung der Winkel zwischen den Vektoren (jeweils paarweise), die Bestimmung der Skalarprodukte, der Kreuzprodukte oder des Spatprodukts. Die entsprechenden Werte werden im Feld rechts unten ausgegeben. Die Lage der Ausgangsvektoren wird im linken Teil des Fensters graphisch dargestellt, vgl. Abb Wie bei einem MatLab-Skript können wir die Datei direkt im Kommandofenster aufrufen oder im Editor öffnen und dann mit der Taste F5 starten. Das Skript vektoren ruft eine Funktion setvektoren auf, die sich im gleichen Verzeichnis befinden muss. vektoren setvektoren 12. Januar 2005 c M.-B. Kallenrode

5 2.3. GUI 21 Fragen Abbildung 2.1: Einfaches GUI zur Manipulation von Vektoren Frage 8 Welche Verfahren zur Multiplikation von Vektoren stehen in MatLab zur Verfügung? Wie unterscheiden sie sich? Frage 9 Wie ist es möglich, eine Funktion wie cart2pol mal mit 2 und mal mit drei Ein- und Ausgabeparametern zu betreiben? Aufgaben Aufgabe 6 Schreiben Sie ein MatLab-Skript zur Bestimmung des Skalarprodukts (ohne Verwendung der eingebauten Funktion). Aufgabe 7 Schreiben Sie eine MatLab-Funktion zur Bestimmung aller Produkte zweier Vektoren. Aufgabe 8 Schreiben Sie eine MatLab-Funktion zur Bestimmung von Produkten mehrere Vektoren, wobei Sie Möglichkeiten zu lassen, die Art des Mehrfachprodukts auszuwählen. c M.-B. Kallenrode 12. Januar 2005