Homogenität Assoziativgesetz A (B 1 + B 2 ) = A B 1 + A B 2 Distributivgesetz 1 (A 1 + A 2 ) B = A 1 B + A 2 B Distributivgesetz 2

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1 1. Formatbedingungen der Matrixoperationen Die Addition (Subtraktion) A ± B verlangt gleiches Format der Operanden A und B. Das Ergebnis hat das Format der Operanden. Skalarmultiplikation λa: Es gibt keine Formatbedingung. Das Ergebnis hat das Format von A. Bei der Multiplikation A B muss die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmen. Die Zeilenzahl des Ergebnisses ist die Zeilenzahl von A, die Spaltenzahl des Ergebnisses ist die Spaltenzahl von B. 2. Ist die Matrix A = a T ein Zeilenvektor der Länge n und ist die Matrix B = b ein Spaltenvektor der Länge n, so ist das Matrixprodukt A B das Skalarprodukt a, b der beiden Spaltenvektoren a und b. Allgemeiner ist das Produkt C zweier Matrizen A und B an der Stelle (i, j) das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B, wenn man die Reihen der Matrizen als Vektoren auasst. 3. Beim Schema von Falk zur Bestimmung des Matrixproduktes wird der zweite Matrixfaktor B rechts über dem ersten Matrixfaktor A angeordnet. Dann steht das Element c ij des Produktes C = A B genau im Schnittpunkt der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B, aus denen es berechnet wird (siehe Antwort 2. vorher). Hat man das Produkt D = A B C dreier Matrizen A, B und C zu berechnen, so gilt nach dem Assoziativgesetz der Multiplikation sowohl D = (A B) C als auch D = A (B C). Im ersten Fall schreibt man im erweiterten Schema von Falk die Faktoren A und B versetzt wie bisher und den dritten Faktor C rechts neben B (Multiplikation von hinten). Im zweiten Fall schreibt man zunächst die hinteren Faktoren B und C versetzt wie bisher und setzt den ersten Faktor A unter B (Multiplikation von vorn). In beiden Fällen entsteht das Produkt D, indem man zweimal hintereinander das einfache Schema von Falk benutzt. Sinngemäÿ setzt man diesen Prozess bei mehr als drei Faktoren fort. 4. Rechengesetze der Matrixmultiplikation: Für A, A 1, A 2 R m,l und B, B 1, B 2 R l,k sowie C R k,n und λ R gilt λ (A B) = (λ A) B = A (λ B) A (B C) = (A B) C Homogenität Assoziativgesetz A (B 1 + B 2 ) = A B 1 + A B 2 Distributivgesetz 1 (A 1 + A 2 ) B = A 1 B + A 2 B Distributivgesetz 2 Es gibt jedoch Matrizen A 0 und B 0 mit A B B A oder mit A B = O. Daher ist die Multiplikation i.allg. nicht kommutativ. So sind zwei Distributivgesetze notwendig, jeweils für die Multiplikation mit einer Matrix von vorn und von hinten. Weiterhin gibt es Nullteiler. Daraus folgt auch, dass nicht alle quadratischen Matrizen invertierbar sind. 5. Rechengesetze der Transposition: Für A, A 1, A 2 R m,l, B R l,n und λ R

2 gilt (A T ) T = A Involution (A 1 + A 2 ) T = A T 1 + A T 2 Additivität (λ A) T = λ A T Homogenität (A B) T = B T A T Produktregel Zu beachten ist die Gestalt der Produktregel. Beim Transponieren eines Produktes multipliziert man die transponierten Faktoren in umgekehrter Reihenfolge. 6. Berechnung von Determinanten a) Kreuzregel für zweireihige Determinanten: In dem quadratischen Schema von 4 Zahlen wird über Kreuz multipliziert sowie anschlieÿend subtrahiert: det(a) = det(a 1 a 2 ) = a 11 a 12 a 21 a 22 := a 11 a 22 a 12 a 21. b) Regel von Sarrus für dreireihige Determinanten: Zunächst werden an die drei Spalten der Matrix die ersten beiden Spalten nochmals angehängt. Die Anordnung a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 der fünf Spalten liefert die unten genannten sechs vorzeichenbehafteten Summanden aus den Produkten der Elemente in den abwärts und aufwärts gerichteten Diagonalen. Dabei sind die drei Produkte in den abwärts gerichteten Diagonalen mit positivem und die drei Produkte in den aufwärts gerichteten Diagonalen mit negativem Vorzeichen zu versehen: det(a) = det(a 1 a 2 a 3 ) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. c) Entwicklungssatz von Laplace für n-reihige Determinanten: Neben der Matrix A R n,n spielt ihre komplementäre Matrix à Rn,n eine entscheidende Rolle. Ihre Elemente ã ij lassen sich jeweils als vorzeichenbehaftete (n 1)-reihige Unterdeterminanten von A ausdrücken. Die Berechnung der Determinante von A erfolgt durch Entwicklung nach einer ausgewählten Zeile oder Spalte von A: Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeile det(a) = n a ij ã ij, j=1 (i = 1,..., n): Entwicklung der Determinante nach der j-ten Spalte (j = 1,..., n): n det(a) = a ij ã ij. i=1 7. Eigenschaften der Determinanten einer Matrix A = (a 1... a k... a n ) R n,n :

3 Zeilen-Spalten-Analogie det(a) = det(a T ). Reihentauschregel det (a 1... a k... a l... a n ) = det (a 1... a l... a k... a n ). Reihenhomogenität det (a 1... λ a k... a n ) = λ det(a). Reihenadditivität det (a 1... a k + a k... a n ) = det (a 1... a k... a n ) + det (a 1... a k... a n ). Die Zeilen-Spalten-Analogie bedeutet, dass ich mit der Determinante einer Matrix auch gleichzeitig die Determinante der transponierten Matrix berechnet habe. Unter Beachtung der Reihentauschregel kenne ich auÿerdem dann alle Determinanten von Matrizen, die durch Vertauschung von Reihen auseinander hervorgehen. Aus der Reihenhomogenität und der Reihenadditivität folgt, dass eine Elementartransformation in der Matrix A R n,n den Determinantenwert nicht ändert. Addiert man ein Vielfaches der Spalte l von A zur Spalte k, so ist det(a) = det (a 1... a k... a l... a n ) = det (a 1... a k + λa l... a l... a n ). Diese Beziehung wird ausgenutzt, um in Reihen der Matrix systematisch Nullelemente zu erzeugen und die Berechnung der Determinante damit entscheidend zu vereinfachen (siehe Entwicklungssatz von Laplace). Die genannten Eigenschaften bewirken auch, dass für quadratische Matrizen A, B und Zahlen λ i.allg. die Ungleichungen det(λ A) λ det(a), det(a + B) det(a) + det(a) zutreen. (Daher ist die Determinante keine lineare Funktion.) Für zwei Matrizen A R n,n und B R n,n gilt die Produktregel det(a B) = det(b A) = det(a) det(b). Ist daher eine Produktzerlegung der Matrix vorhanden, von deren Faktoren die Determinanten schon bekannt sind oder sich leichter berechnen lassen, so eignet sich die Produktregel zur ezienten Determinantenberechnung. 8. Determinanten von Dreiecksmatrizen sind leicht berechenbar. Der Determinantenwert ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente. 9. Zunächst sind Diagonalmatrizen D, deren Diagonalelemente d ii nicht verschwinden, leicht invertierbar. Die Inversen D 1 sind wieder Diagonalmatrizen, deren Diagonalelemente die Kehrwerte der entsprechenden Diagonalelemente d ii sind. Weiterhin gewinnt man die Inversen von orthogonalen Matrizen A durch Transposition A 1 = A T.

4 Beachtet man für invertierbare Matrizen A die Rechenregeln (A 1 ) 1 = A, (A T ) 1 = (A 1 ) T und für invertierbare Matrizen A und B die Produktregel (A B) 1 = B 1 A 1, so lassen sich auch Inverse, Transponierte und Produkte leicht invertieren, wenn man die Inversen der Ausgangsmatrizen kennt. 10. a) Ist B = A 1 die Inverse der regulären Matrix A R n,n, so gilt mit der komplementären Matrix à die Beziehung B = 1 det(a) ÃT. Das bedeutet für ihre Elemente b ij = ãji det(a) = det(a ji) ( 1)i+j det(a). Dabei sind ã ij die Elemente von à und A ij die Teilmatrizen von A, die durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte in A entstehen. Daher treten bei der Berechnung der Elemente der Inversen Quotienten von Determinanten auf. Die Zählerdeterminate hat n 1 Reihen. Die Nennerdeterminate hat n Reihen. b) Für eine Matrix A R n,n sind folgende Aussagen äquivalent: A ist regulär (det(a) 0), A besitzt den maximalen Rang (rang(a) = n), A ist invertierbar, A ist kein Nullteiler, das Spaltensystem U S von A ist linear unabhängig (rang(u S ) = n), das Zeilensystem U Z von A ist linear unabhängig (rang(u Z ) = n). 11. Rangerhaltende Matrixumformungen: Transponieren, Tausch von Parallelreihen, Skalarmultiplikation einer Reihe mit einem nichtverschwindenden Faktor, Addition von Reihenvielfachen zu Parallelreihen. 12. Die Reihensysteme einer orthogonalen Matrix A R n,n sind Orthonormalsysteme. Das folgt aus der denierenden Eigenschaft A A T = E. Da A invertierbar ist, ergibt sich N(A) = {0}, R(A) = R n. 13. Matrizen als elementare geometrische Transformationen: Drehung: Matrix orthogonal, Determinante 1, Umlegung: Matrix orthogonal, Determinante 1, Ähnlichkeit: Matrix Vielfaches einer orthogonalen Matrix, orthogonale Projektion: Matrix idempotent (Projektionsmatrix) und symmetrisch.

5 14. a) Koordinatentransformationen beeinussen die Darstellungen von linearen Abbildungen (Matrixdarstellungen). Daher sind solche Transformationen von Bedeutung, die die Darstellung einer linearen Abbildung vereinfachen. Für symmetrische Matrizen existieren diagonale Darstellungen. Die entsprechenden Koordinatentransformationen heiÿen Hauptachsentransformationen (siehe Abschnitt 6.8). b) Sind die Basen der Koordinatentransformationen orthonormal, so ist die Transformationsmatrix eine Bewegung (orthogonal). Ist ein geometrisches Objekt gegeben, so kann eine Drehung D der Basis auch als (entgegengesetzte) Drehung D 1 des Objektes interpretiert werden.