Einheitsmatrix E = , Nullmatrix O = c c Diagonalmatrix diag(c 1, c 2,..., c n ) = Rang

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1 3 Matrizen Einheitsmatrix E =, Nullmatrix O = c c Diagonalmatrix diag(c 1, c 2,, c n ) = c n, Rang Definition: Die Zahl r heißt Rang einer Matrix, falls die Matrix r linear unabhängige Spalten besitzt und, falls vorhanden, r + 1 beliebig gewählte Spalten linear abhängig sind Symbol: r = Rg(A) Satz: Für A R n,m gilt: a) Rg(A) ist auch die maximale Anzahl von linear unabhängigen Zeilen b) 0 Rg(A) min{n, m} c) Rg(A) = 0 gilt nur für die Nullmatrix Definition: Unter einer elementaren Zeilenumformung (Spaltenumformung) einer Matrix A R n,m versteht man folgende Operation: Zur i-ten Zeile (Spalte) wird die mit einer Zahl λ R multiplizierte j-te Zeile (Spalte) addiert, wobei j i Elementare Zeilen- und Spaltenumformungen lassen den Rang unverändert A = Einfache Operationen mit Matrizen a 11 a 12 a 1m b 11 b 12 b 1m a 21 a 22 a 2m b, B = 21 b 22 b 2m a n1 a n2 a nm b n1 b n2 b nm

2 Addition zweier Matrizen: A, B R n,m a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1m + b 1m a A + B = 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2m + b 2m a n1 + b n1 a n2 + b n2 a nm + b nm Rechengesetze: a) Kommutativgesetz A + B = B + A b) Assoziativgesetz (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (für A, B, C R n,m ) Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl t R: t a 11 t a 12 t a 1m t a t A = 21 t a 22 t a 2m t a n1 t a n2 t a nm Rechengesetze: a) Kommutativgesetz t A = A t b) Assoziativgesetz s (t A) = (s t) A c) Distributivgesetze (s + t) A = s A + t A (s t) A = s A t A s (A + B) = s A + s B s (A B) = s A s B (s, t R, A, B R n,m ) Subtraktion: ( B) = ( 1) B, A B = A + ( B) (A, B R n,m ) A = Transponierte Matrizen a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m, A T = a n1 a n2 a nm a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1m a 2m a nm 2

3 Regeln beim Rechnen mit transponierten Matrizen: (A T ) T = A, (t A) T = t A T, (A + B) T = A T + B T (für t R, A, B R n,m ) Definition: Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, falls A T = A Matrizenmultiplikation A B = C, A R n,m, B R m,q, C R n,q c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a im b mj = m a ik b kj k=1 für i = 1 n, j = 1 q c ij Skalarprodukt der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B c ij = m a ik b kj k=1 für i = 1 n, j = 1 q Rechengesetze des Produkts: a) Assoziativgesetz (A B) C = A (B C) für A R n,m, B R m,p, C R p,r (Verkettung!) b) Distributivgesetze (A + B) C = A C + B C für A, B R n,m, C R m,p A (B + C) = A B + A C für A R n,m, B, C R m,p (Verkettung!) a(a B) = (aa) B = A (ab) für A R n,m, B R m,p, a R c) bezüglich Transposition: (A B) T = B T A T für A R n,m, B R m,p d) Eigenschaften der Einheitsmatrix: A I m = I n A = A (A R n,m ) 3

4 Beachte: Im allgemeinen gilt für die Matrizenmultiplikation nicht das Kommutativgesetz: A B B A dyadisches Produkt für a R n, b R m : a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b m a a b T = 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b m a n b 1 a n b 2 a n b m Determinanten Determinante einer zweireihigen Matrix A R 2,2 : a 11 a 12 a 21 a 22 = det(a) = a 11a 22 a 12 a 21 Determinante einer dreireihigen Matrix A R 3,3 : sogenannte Sarrus sche Regel a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 32 a 33 (a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 ) Definition: A ij heißt Adjunkte (algebraisches Komplement) des Elements a ij der Matrix A, falls A ij = ( 1) i+j A ij und A ij die Determinante der Matrix ist, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte hervorgeht, A ij heißt auch Minor Entwicklungssatz von Laplace für Determinanten von A R n,n bei n 2: det(a) = det(a) = n a ik A ik k=1 n a kj A kj k=1 Entwicklung nach i-ter Zeile Entwicklung nach j-ter Spalte Satz: Eine Determinante bleibt unverändert, wenn elementare Zeilen- oder Spaltenumformungen vorgenommen werden Bei Vertauschen zweier Zeilen (oder Spalten) ändert sich das Vorzeichen der Determinante Multipliziert man eine Zeile (Spalte) mit einem Faktor f, so ergibt sich eine Determinante, die das f-fache der ursprünglichen darstellt 4

5 Verfahren zur Berechnung von Determinanten der Ordnung n 4 (eine mögliche Variante): 1 elementare Umformungen bei Zeilen 2 bis n unter Verwendung der ersten Zeile, so dass die erste Zeile unverändert bleibt und in der ersten Spalte ab Zeile 2 Nullen stehen 2 Entwickeln nach erste Spalte: Element links oben mal Restdeterminante (Streichen der ersten Zeile und der ersten Spalte) 3 Das Verfahren wird mit 1) fortgesetzt solange die Restmatrix größer als eine 3 3-Matrix ist, anderenfalls ist die Determinante direkt auszurechnen Satz: Für Diagonalmatrizen A bzw obere oder untere Dreiecksmatrizen A gilt: det(a) = a 11 a 22 a nn Einige Regeln: det(a T ) = det(a), det(ab) = det(a) det(b), det(t A) = t n det(a), det(i) = 1 (t R, A, B R n,n ) Satz: Die n Vektoren a 1, a 2,, a n R n sind genau dann linear unabhängig, wenn det(a) 0, A = ( a 1, a 2,, a n ) Inverse Matrizen Definition: Die inverse Matrix (Kehrmatrix, Inverse) A 1 einer quadratischen Matrix A ist diejenige Matrix, für die gilt: A 1 A = A A 1 = I 5

6 Eigenschaften: (A 1 ) 1 = A, (A B) 1 = B 1 A 1, (A, B R n,n ) (A 1 ) T = (A T ) 1 kontragrediente Matrix, (t A) 1 = 1 t A 1, (t R) det(a 1 ) = Diagonalmatrizen A = diag(a 11,, a nn ): ( 1 A 1 1 = diag,,, a 11 a 22 1 a nn ) 1 det(a) Berechnung der Inversen: A 1 = 1 det(a) A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n A n1 A n2 A nn T A 11 A nn sind die Adjunkten der Matrix Spezialfall n = 2: A = a c b d, A 1 = 1 d b ad bc c a Definition: Eine reguläre quadratische Matrix A heißt orthogonal, falls A 1 = A T Für orthogonale Matrizen gilt: det(a) = 1 oder 1 Satz: Die Spalten (bzw die Zeilen) einer orthogonalen Matrix bilden eine orthonormale Basis des R n Umgekehrt ergibt das Aneinanderreihen der Vektoren einer orthonormalen Basis des R n eine orthogonale Matrix 6

7 4 Lineare Gleichungssysteme a 11 x a 1m x m = b 1 a 21 x a 2m x m = b 2 a n1 x a nm x m = b n in Matrix-Form: A x = b (*) A R n,m Koeffizientenmatrix, x R m Lösungsvektor, b R n Vektor der rechten Seite Satz: In einem linearen Gleichungssystem kann zu einem Vielfachen einer Zeile das Vielfache einer anderen Zeile addiert werden, wobei die Lösungsmenge nicht verändert wird Dies ist auch der Fall, wenn Zeilen vertauscht werden Das Gaußsche Lösungsverfahren Ablauf des Verfahrens: Anfangstableau: x 1 x 2 x m RS a 11 a 12 a 1m b 1 a 21 a 22 a 2m b 2 a n1 a n2 a nm b n Phase 1: Links oben beginnend wird nacheinander ein Hauptdiagonalelement als Pivotelement (muss 0 sein!) ausgewählt Im k-ten Schritt ist die k-te Spalte die Pivotspalte, die k-te Zeile ist die Pivotzeile In der Pivotspalte werden die Elemente unterhalb des Pivotelementes in Nullen umgewandelt, und zwar indem zu einem Vielfachen der entsprechenden Zeile ein Vielfaches der Pivotzeile addiert wird 7

8 = x 1 x 2 x m RS x 1 x 2 x 3 x m RS 0 0 = usw kennzeichnet eine von Null verschiedene Zahl Besonderheiten: Steht im k-ten Schritt an der Stelle des Pivotelements eine Null, so muss anschließend durch Zeilen- bzw Spaltentausch (nur Zeilen und Spalten mit Nummer k) ein Tableau erzeugt werden, wo an der Stelle (k, k) eine von Null verschiedene Zahl steht Beim Spaltentausch muss die Variablenbezeichnung in der ersten Zeile mit getauscht werden Bei der praktischen Durchführung des Algorithmus werden Zeilen, in denen nur Nullen stehen, gestrichen Tritt eine Zeile auf, bei der nur an letzter Stelle eine von Null verschiedene Zahl steht (davor stehen Nullen), dann besitzt das System (*) keine Lösung, der Algorithmus ist abzubrechen Wenn es die Rechnung vereinfacht, kann eine Zeile durch eine Zahl dividiert werden Phase 2: Rückrechnung: Vom Hauptdiagonalelement in der letzten Zeile beginnend wird nacheinander nach oben steigend ein Hauptdiagonalelement als Pivotelement (muss 0 sein!) ausgewählt Im k-ten Schritt ist die k-te Spalte die Pivotspalte, die k-te Zeile ist die Pivotzeile In der Pivotspalte werden die Elemente oberhalb des Pivotelementes in Nullen umgewandelt, und zwar indem zu einem Vielfachen der entsprechenden Zeile ein Vielfaches der Pivotzeile addiert wird Phase 3: Normierung Zeilen werden durch das Hauptdiagonalelement geteilt Lösungen sind abzule- 8

9 sen Form des Tableaus am Ende, falls kein Abbruch (Zeilenstreichungen wurden vorgenommen) x 1 x 2 x r x r+1 x m RS Satz: Die Anzahl r der Einsen auf der Hauptdiagonalen nach Beendigung des Gaußschen Algorithmus bzw die Anzahl der von Null verschiedenen Werte auf der Hauptdiagonalen nach Phase 1 ist gleich dem Rang Rg(A) der Matrix A Satz: Wir nehmen an, dass der Algorithmus bis zum Ende durchführbar sei ohne Abbruch Im Fall r = m liefert der Gaußsche Algorithmus die eindeutige Lösung des Gleichungssystems Im Fall r < m ergibt sich eine m r-dimensionale Lösungsmanigfaltigkeit (Hyperebene), konkret unendlich viele Lösungen der Form: x = x 0 + t 1 y 1 + t 2 y t m r y m r (t 1, t 2,, t m r R) wobei x 0 ist eine Lösung von (*) ist, y 1,, y m r R m festzulegende Vektoren und t 1, t 2,, t m r R die Parameter sind Für jeden Parametervektor (t 1, t 2,, t m r ) ergibt sich eine Lösung 9

10 5 Funktionen I Definitionen: Eine Funktion (oder Abbildung) f : A B (A und B sind zwei Mengen) ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem x A genau ein y B zuordnet Die Menge A = D f heißt Definitionsbereich der Funktion Ist y = f(x), dann heißt y das Bild zu x und x ist ein Urbild zu y Die Menge W f = {f(x) : x A} aller Bilder heißt Wertebereich der Funktion Definition: Eine Funktion f : A B heißt eineindeutig, wenn für jedes Bild y B genau ein Urbild x mit y = f(x) existiert Ist f : A B eineindeutig, dann heißt f 1 : B A Umkehrfunktion von f, falls x A y B : x = f 1 (y) y = f(x) Definition: Die Funktion f : D W, D R, W R ist monoton wachsend (nichtfallend), falls f(x) f(y) x, y D, x < y, sie ist monoton fallend (nichtwachsend), falls f(x) f(y) x, y D, x < y, sie ist streng monoton wachsend, falls f(x) < f(y) x, y D, x < y, sie ist streng monoton fallend, falls f(x) > f(y) x, y D, x < y Definition: Eine Funktion f : D W ist eine gerade bzw ungerade Funktion, falls f( x) = f(x) x D bzw f( x) = f(x) x D Definition: Eine Funktion f heißt periodisch mit der Periode p > 0, falls f(x + p) = f(x) x D und p ist der kleinste derartige Wert 10

11 f : A B, g : B C, zusammengesetzte (geschachtelte) Funktion: g f : A C, (g f)(x) = g(f(x)) Logarithmen: log a b = c b = a c ln b = c b = e c log a a = 1, log a (b c) = log a b + log a c, ( ) b log a = log c a b log a c, log a b c = c log a b für a, b, c > 0 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen: a) Grundeigenschaften (sin x) 2 + (cos x) 2 = 1 sin(x + π 2 ) = cos x cos(x π 2 ) = sin x sin(x + π) = sin x cos(x + π) = cos x 1 cot x = tan x tan x sin x = ± 1 + tan 2 x, cos x = ± tan 2 x ± besagt, dass das Vorzeichen entsprechend dem Quadranten zu wählen ist b) Additionstheoreme sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y Aus den Additionstheoremen lassen sich weitere Formeln ableiten: sin(2x) = 2 sin x cos x, cos(2x) = 2 cos 2 x 1 tan(2x) = 2 tan x 1 tan 2 x sin(3x) = 3 sin x 4 sin 3 x, cos(3x) = 4 cos 3 x 3 cos x sin 2 x = 1 2 (1 cos 2x), cos2 x = 1 (1 + cos 2x) 2 sin 3 x = 1 4 (3 sin x sin 3x), cos3 x = 1 (3 cos x + cos 3x) 4 11

12 trigonometrische Umkehrfunktionen: a) Arcussinusfunktion: f(x) = arcsin x, f : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ] y = sin x x = arcsin y für x [ π 2, π ], y [ 1, 1] 2 b) Arcuscosinusfunktion: f(x) = arccos x, f : [ 1, 1] [0, π] y = cos x x = arccos y für x [0, π], y [ 1, 1] c) Arcustangensfunktion: f(x) = arctan x, f : R [ π 2, π 2 ] y = tan x x = arctan y Hyperbolische Funktionen a) Hyperbelsinus sinh x = 1 2 (ex e x ) für x [ π 2, π 2 ], y R f : R R b) Hyperbelkosinus cosh x = 1 2 (ex + e x ) f : R [1, + ) c) Hyperbeltangens tanh x = ex e x e x + e x f : R ( 1, 1) Area-Funktionen cosh 2 x sinh 2 x = 1 tanh x = sinh x cosh x Umkehrfunktionen zu hyperbolischen Funktionen ( ar sinh x = ln x + ) x ( ar cosh x = ln x + ) x 2 1 ar tanh x = 1 2 ln 1 + x 1 x 12

13 Polynome p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n mit Koeffizienten a 0, a 1,, a n R Horner-Schema a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 x c n 1 x c n 2 x c 1 x c 0 x c n 1 c n 2 c n 3 c 0 p(x) c n 1 = a n, c n 2 = a n 1 + c n 1 b, c n 3 = a n 2 + c n 2 b, x 0 ist Nullstelle des Polynoms, wenn p(x 0 ) = 0 Dann a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 x 0 c n 1 x 0 c n 2 x 0 c 1 x 0 c 0 x 0 c n 1 c n 2 c n 3 c 0 p(x 0 ) = 0 p(x) = (x x 0 ) ( ) c 0 + c 1 x 0 + c 2 x c n 1 x n 1 0 Satz: Fundamentalsatz der Algebra Ein Polynom n-ten Grades besitzt höchstens n reelle Nullstellen Seien x 1 x m die verschiedenen reellen Nullstellen von p Dann gilt p(x) = a n (x x 1 ) k 1 (x x m ) km q(x) (*) (k i N) wobei k k m n und das Polynom q(x) keine reellen Nullstellen (aber komplexe) besitzt k 1 k m heißen Vielfachheiten der Nullstellen x 1 x m Rationale Funktionen sind Funktionen, die als Quotient zweier Polynome darstellbar sind 13