1 Lineare Gleichungssysteme

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1 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1 Literatur: K Nipp/D Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4 Auflage, 1998, oder neuer 1 Lineare Gleichungssysteme Zu den grundlegenden Problemen der linearen Algebra gehört das Lösen von linearen Gleichungssystemen In diesem Kapitel wird ein effizientes Verfahren hergeleitet, das sogenannte Verfahren von Gauss Dieses Verfahren ist ebenso von theoretischer Bedeutung und trägt entscheidend bei zum Vertsändnis der in der linearen Algebra eingeführten abstrakten Begriffe Zudem dient es als Beweismittel und schliesslich wird immer wieder der Bezug zum Lösen von linearen Gleichungssystemen und zum Verfahren von Gauss hergestellt Beispiel 11 Gesucht sind x 1 und x so, dass die beiden folgenden Gleichungen erfüllt sind { x1 + x = 5 x 1 + 3x = 8 Dies ist ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem mit m = Gleichungen und n = Unbekannten x 1 = 1 und x = erfüllen beide Gleichungen gleichzeitig, wie durch Einsetzen überprüft werden kann Diese beiden Zahlen stellen eine Lösung des linearen Gleichungssystems dar Geometrische Interpretaion: Zwei Geraden g R und h R, die sich in einem Punkt S(1/) = (Schnittpunkt) schneiden, g h = S Beispiel 1 m = und n = { x1 + x = 4 x 1 + x = 5 Dieses Gleichungssystem hat keine Lösung Wird die 1 te Gleichung mit multipliziert, so erhält man x 1 + x = 8, was der ten Gleichung widerspricht Geometrische Interpretaion: Zwei Geraden g und h, die parallel und verschieden sind g h und g h Beispiel 13 m = und n = 3 { x1 x + x 3 = x 1 + x x 3 = 4 Hier gilt: x 1 =, x = x 3 = 0 ist eine Lösung Andererseits ist auch x 1 =, x = x 3 = 1 eine Lösung Die Lösung ist nicht eindeutig! In diesem Beispiel gibt es unendlich viele Lösungen, nämlich: x 1 = 1 und x = x 3 = α, wobei α R beliebig gewählt werden darf ungr/glg_systtex

2 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Geometrische Interpretaion: Zwei Ebenen E 1 R 3 und E R 3, die sich in einer Geraden g = (Schnittgerade) schneiden: g = E 1 E Beispiel 14 m = 3 und n = x 1 + x = x 1 x = 1 x 1 = 4 Dieses Gleichungssystem hat keine Lösung Addition der 1 ten und ten Gleichnug liefert x 1 = 3, was ein Widerspruch zur 3 ten Gleichung darstellt Geometrische Interpretaion: Drei Geraden g R, h R und l R, die sich nicht in einem Punkt schneiden, graphische Darstellung Im allgemeinen besteht ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen für n Unbekannte In den Beispielen sind bereits alle wesentlichen Fälle aufgetreten, die beim Lösen eines linearen Gleichungssystems überhaupt möglich sind Definition 11 Lösungsmenge Die Menge aller Lösungen eines linearen Gleichungssystems heisst Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems 11 Gauss Algorithmus Ziel ist die Entwicklung eines systematischen und effizienten Verfahrens zur Bestimmung der Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme Das betrachtete Verfahren ist das sogenannte Gauss sche Eliminationsverfahren Mittels gewisser Operationen wird dabei ein gegebenes lineares Gleichungssystem so umgeformt, dass das neue Gleichungssystem dieselbe Lösungsmenge hat wie das ursprünglich gegebene Gleichungssytem, aber einfacher zu lösen ist Definition 1 äquivalente Gleichnugssysteme Zwei Gleichungssysteme A und B, welche die gleiche Lösungsmenge haben, heissen äquivalent Ist A äquivalent zu B, dann ist somit jede Lösung von A auch eine Lösung von B und umgekehrt ist jede Lösung von B auch eine Lösung von A 111 Äquivalenzumformungen für lineare Gleichungssysteme I) Erweiterung einer Gleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl Beispiel 15 { x1 + x = 5 x 1 + 3x = 8 ist äquivalent zu { x1 + 4x = 10 x 1 + 3x = 8 Es ist klar, dass die beiden Gleichungssysteme dieselbe Lösungsmenge haben II) Vertauschung von Gleichungen ungr/glg_systtex

3 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 3 Beispiel 16 { x1 + x = 5 x 1 + 3x = 8 ist äquivalent zu { x1 + 3x = 8 x 1 + x = 5 Es ist klar, dass die beiden Gleichungssysteme dieselbe Lösungsmenge haben III) Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung Beispiel 17 { x1 + x = 5 x 1 + 3x = 8 ist äquivalent zu { x1 + 3x = 8 x = Man erhält das rechte System aus dem linken System, indem man im linken System das Zweifache der ersten Gleichung von der zweiten Gleichung subtrahiert Daraus folgt, dass zwei Zahlen x 1 und x, welche die beiden Gleichungen des linken Systems erfüllen, auch die beiden Gleichungen des rechten Systems erfüllen Umgekehrt erhält man das linke System aus dem rechten System, indem man im rechten System das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten addiert Also ist jede Lösung des rechten Systems auch Lösungen des linken Systems Damit ist gezeigt, dass die beiden Gleichungssysteme äquivalent sind Wann ist ein lineares Gleichungssystem einfach zu lösen? Ein Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten ist zb einfach zu lösen, wenn es Dreiecksgestalt hat Man erhält dann die Lösungsmenge durch Rückwärtseinsetzen Beispiel 18 m = n = 3 3x 1 + x + x 3 = 1 x x 3 = x 3 = 4 Die dritte Gleichung liefert x 3 = x 3 in der zweiten Gleichung eingesetzt, ergibt x = 4 und schliesslich x 3 und x in der ersten Gleichung eingesetzt, gibt x 1 = 3 Betrachten wir zunächst ein konkretes Beispiel mit m = n = 3 zur Herleitung des Gauss schen Eliminationsverfahrens: (1) x + x 3 = 1 x 1 + 4x + 5x 3 = 9 x 1 x + x 3 = 3 Werden die erste und zweite Gleichung miteinander vertauscht, so erhalten wir: x 1 + 4x + 5x 3 = 9 x + x 3 = 1 x 1 x + x 3 = 3 Wird nun das 1 fache der ersten Gleichung von der dritten Gleichung subtrahiert und die ersten beiden Gleichungen unverändert gelassen, so bekommen wir: x 1 + 4x + 5x 3 = 9 x + x 3 = 1 3x 1 x 3 = 3 ungr/glg_systtex

4 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 4 Wird nun zur dritten Gleichung das 3 fache der zweiten Gleichung addiert, so erhalten wir schliesslich das folgende Gleichungssystem, das Dreiecksgestalt hat: x 1 + 4x + 5x 3 = 9 x + x 3 = 1 5 x 3 = 0 Durch Rückwärtseinsetzen erhalten wir leicht die Lösung x 3 = 0, x = 1 und x 1 = 7 Zudem folgt, dass das die einzige Lösung des gegebenen Gleichungssystems ist, dh die Lösungsmenge von (1) besteht nur aus dieser Lösung Allgemeines lineares Gleichungssystem mit m = n = 3: a 11 x 1 + a 1 x + a 13 x 3 = b 1 () a 1 x 1 + a x + a 3 x 3 = b a 31 x 1 + a 3 x + a 33 x 3 = b 3 Die Grössen a ij, i = 1,, 3, j = 1,, 3 und b i, i = 1,, 3 sind hier beliebige reelle Zahlen Die Zahl a ij ist der Koeffizient der Unbekannten x j in der i ten Gleichung des gegebenen Systems Die Zahl b i ist die rechte Seite der i ten Gleichung Das gegebene lineare Gleichungssystem wird wie folgt in ein Schema eingetragen: Wir tragen diese Grössen wie folgt in ein Schema ein: Ausgangsschema = 1 Eliminationsschema a 11 a 1 a 13 b 1 a 1 a a 3 b a 31 a 3 a 33 b 3 Die Koeffizienten werden dabei zeilenweise in den Hauptteil des Schemas geschrieben In der Kopfzeile über dem Hauptteil stehen die entsprechenden Unbekannten x 1, x und x 3 Die rechten Seiten werden in die sogenannte 1 Spalte = Spalte der Konstanten geschrieben Dieses Schema stellt stellt nichts anderes dar, als eine komprimierte Schreibweise des linearen Gleichungssystems () Um das System mit den Operationen I) bis III) aus 111 in ein äquivalentes System überzuführen, werden die Operationen analog auf die entsprechenden Schemata angewendet Die Operationen I) Erweiterung einer Gleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl II) Vertauschung von Gleichungen III) Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung führen ein Schema in ein äquivalentes Schema über Durch sukzessive Anwendung dieser Operationen wird das Ausgangsschema auf obere Dreiecksgestalt gebracht 11 Schritt 1: Annahme: ein a i1, i = 1,, 3, ist verschieden von Null, dh mindestens ein Koeffizient in der ersten Spalte des Schemas ist ungleich Null a) Falls a 11 = 0: die erste Zeile wird mit einer Zeile vertauscht, deren erstes Element verschieden von Null ist Danach werden die Koeffizienten im neuen Schema wieder entsprechend ihrer Zeilenzugehörigkeit umbenannt Dann sind wir im Fall b) ungr/glg_systtex

5 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 5 b) Falls a 11 0: es wird ein neues äquivalentes Schema gebildet, indem von der zweiten Zeile des Ausgangsschemas das a 1 a 11 fache der ersten Zeile und von der dritten Zeile das a 31 a 11 fache der ersten Zeile subtrahiert wird Es resultiert ein zweites Eliminationsschema MaW: wir haben die erste Gleichung nach x 1 aufglöst und anschliessend x 1 in den restlichen Gleichungen eingesetzt, dh in diesen Gleichungen kommt x 1 nachher nicht mehr vor, daher die Nullen unterhalb von a 11 Wir nennen dieses Teilschema der Grössen mit Index () das zweite Eliminationsschema Eliminationsschema a 11 a 1 a 13 b 1 0 a () a () 3 b () 0 a () 3 a () 33 b () Schritt : Annahme ein a () i, i =, 3, ist ungleich Null Analog zu Schritt 1 ändern wir das zweite Eliminationsschema so ab, dass in seiner ersten Zeile und ersten Spalte ein Element ungleich Null steht und darunter in der ersten Spalte alles Nullen a) Falls a () b) Falls a () = 0: Vertauschung der beiden Zeilen, anschliessend sind wir im Fall b) a() 3 0: wir bilden ein neues äquivalentes Schema, indem wir das Index von der Zeile mit Index 3 subtrahieren a () fache der Zeile mit Das ergibt ein drittes Eliminationsschema MaW: wir haben die zweite Gleichung nach x aufglöst und anschliessend x in den restlichen Gleichungen eingesetzt, dh in diesen Gleichungen kommt x nachher nicht mehr vor, daher die Nullen unterhalb von a () Da damit aber das Gesamtschema Dreiecksgestalt hat, haben wir unser Ziel, ein Endschema von Dreiecksgestalt, erreicht Endschema 3 Eliminationsschema a 11 a 1 a 13 b 1 0 a () a () 3 b () 0 0 a (3) 33 b (3) Schritt 3: Hier bricht das Eliminationsverfahren ab, da damit das Gesamtschema Dreiecksgestalt hat Das Ziel, ein Endschema in Dreiecksgestalt zu bilden, ist erreicht Wir können nur noch die dritte Gleichung nach x 3 auflösen und rückwärts einsetzen Dieses Endschema stellt also das folgende lineare Gleichungssystem in Dreiecksform dar, das äquivalent ist zu () (3) a 11 x 1 + a 1 x + a 13 x 3 = b 1 a () x + a () 3 x 3 = b () a (3) 33 x 3 = b (3) Rückwärtseinsetzen: Annahme: a (3) 33 () 0, durch Rückwärtseinsetzen erhalten wir aus dem Endschema die Lösung des Systems ungr/glg_systtex

6 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6 Definition 13 Eliminationsschritt Die Umformung eines Eliminationsschemas mittels der Operationen I) bis III) in ein äquivalentes Schema, so dass die Elemente in der ersten Spalte ab der zweiten Zeile alle Null sind, heisst Eliminationsschritt Das Gauss sche Eliminationsverfahren zur Bestimmung der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen für n Unbekannte lässt sich nun wie folgt schreiben: 116 Gauss scher Algorithmus: für j = 1,,, n 1: (E) j führe im j ten Eliminationsschema einen Eliminationsschritt durch: (L) a) bestimme einen Index p {j, j + 1,, n}, für den a (j) pj 0 b) falls p j, vertausche diese beiden Zeilen und numeriere sie entsprechend um c) für k = j + 1, j +,, n: bilde das l kj := a(j) kj a (j) jj Index j von der Zeile mit Index k bestimme die Lösungsmenge durch Rückwärtseinsetzen Definition 14 Pivot Der Koeffizient a (j) pj in (E) j heisst Pivot des j ten Eliminationsschritts Ein Pivot ist nach Definition immer ungleich Null Definition 15 Pivot-Zeile Die Zeile, in der das Pivot steht, heisst Pivot-Zeile und subtrahiere das l kj fache der Zeile mit Mit der Pivot-Zeile wird gerechnet, dh Vielfache dieser Zeile werden von den anderen Zeilen so subtrahiert, dass unterhalb des Pivots Nullen entstehen Bemerkung 11 1) Obige Formulierung des Gauss schen Algorithmus gilt für den Fall m = n und unter der Voraussetzung, dass in der ersten Spalte jedes Eliminationsschemas mindestens ein Koeffizient verschieden von Null ist In diesem Fall hat der Hauptteil des Endschemas immer Dreiecksgestalt In der Diagonalen des Hauptteils stehen gerade die gewählten n Pivots ) Der n te Eliminationsschritt ist trivial, da der Hauptteil des n ten Eliminationsschemas nur aus einem einzigen Koeffizienten a (n) nn besteht, dem letzten zu wählenden Pivot Dh die Teilschritte (E) n b) und c) sind überflüssig 3) Gemäss (E) j b) ist die Pivot-Zeile jeweils die erste Zeile des j ten Eliminationsschemas und hat den Zeilenindex j Die Faktoren l kj bestimmen sich als Quotienten aus den Koeffizienten der ersten Spalte des j ten Eliminationsschemas und dem Pivot ungr/glg_systtex

7 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 7 Beispiel 19 Es wird das Gleichungssystem (1) mit dem systematisierten Verfahren von Gauss nochmals gelöst Zur Vereinfachung der Handrechnung, werden die Faktoren l kj des j ten Eliminationsschritts in einer Hilfsspalte neben dem Tableau eingetragen Das jeweilige Pivot wird mit einem Kreis gekennzeichnet Das jeweilige Pivot ist mit einem Kreis gekennzeichnet Ausgangsschema = 1 Eliminationsschema (E) 1 b) (E) 1 a) (E) 1 c) Eliminationsschema Endschema 3 Eliminationsschema (E) Rückwärtseinsetzen (L) Die Lösung erhalten wir mit 115: Bemerkung 1 5 x 3 = 0 x 3 = 0 x + 0 = 1 x = 1 x = 9 x 1 = 7 Anstelle der Wahl p = für die Pivot-Zeile im ersten Eliminationsschritt, hätte man auch p = 3 und damit das Pivot 1 wählen können Für die Handrechnung ist ein Pivot 1 besonders einfach Es empfielt sich deshalb für die Handrechnung, in jedem Eliminationsschritt p unter diesem Gesichtspunkt zu wählen, auch wenn der Koeffizient oben links im Eliminationsschema von Null verschieden sein sollte ungr/glg_systtex

8 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 8 Aufgabe 11 Lösen Sie das Beispiel 19 nochmals mit dieser Pivot Strategie Lösung 11 analoges Vorgehen Beispiel 110 Ausnahmefall Betrachten wir das folgende Gleichungssystem mit m = n = 3 mit gegebenen Koeffizienten, aber mit variablen rechten Seiten b 1, b und b 3 : (4) x 1 + x x 3 = b 1 x 1 x + 3x 3 = b 3x 1 x x 3 = b 3 Erneut wird der Gauss sche Algorithmus auf (4) angewendet: Ausgangsschema = 1 Eliminationsschema b b 3 1 b 3 Eliminationsschema b b b b 3 + 3b 1 Endschema 3 Eliminationsschema 1 1 b b b b 1 + b + b 3 Auffällig ist, dass das Endschema nicht mehr Dreiecksgestalt aufweist Zwar konnten die ersten beiden Eliminationsschritte durchgeführt werden, doch im letzten (trivialen) Eliminationsschema ist die erste Spalte Null Es gibt kein drittes Pivot! Das verletzt die gemachte Voraussetzung Das Gleichungssystem des Endschemas lautet: (5) 1 x 1 + x x 3 = b 1-5 x + 5x 3 = b b 1 0 = b 1 + b + b 3 Wir können nun nicht, wie in den bisherigen Beispielen, die letzte Gleichung nach x 3 auflösen In dieser letzten Gleichung kommt keine der Unbekannten x 1, x und x 3 vor Diese letzte Gleichung 0 = b 1 + b + b 3 stellt aber eine Bedingung an die rechten Seiten b 1, b und b 3 dar Ist diese Bedingung nicht erfüllt, gibt es einen Widerspruch im Gleichungssystem Definition 16 Verträglichkeitsbedingung Eine Bedingung an die rechten Seiten eines Gleichungssystems heisst Vergträglichkeitsbedingung In unserem Fall ist die Verträglichkeitsbedingung zb für b 1 = 5 b = 5 b 3 = 1 ungr/glg_systtex

9 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 9 nicht erfüllt Das Gleichungssystem (5) hat mit diesen rechten Seiten keine Lösung, dh die Lösungsmenge ist leer Wählt man aber zb b 1 = 5 b = 5 b 3 = 0 so ist die Verträglichkeitsbedingung erfüllt, dh die dritte Gleichung von (5) gilt Falls wir wie gewohnt die zweite Gleichung nach x auflösen, erhalten wir x = 3+x 3 Setzen wir nun dieses Resultat in die erste Gleichung ein, bekommen wir x 1 = 1 x 3 Das bedeutet, die Unbekannte x 3 ist nicht bestimmt x 3 ist frei wählbar Wir haben einen sogenannten freien Parameter, dh für jede beliebige reelle Zahl x 3 = µ ist x 1 = 1 µ x = 3 + µ x 3 = µ eine Lösung des Gleichungssystems (4) bzw (5) Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, genauer gesagt, die Lösungsmenge besteht aus einer einparametrigen Schar von Lösungen Das Beispiel 110 ist ein spezieller Ausnahmefall, bei dem die Voraussetzung (cf Punkt 1) in Bemerkung 11) für den Gauss schen Algorithmus zwar erfüllt ist, aber nur im letzten Eliminationsschema, in dem ja ohnehin keine wirkliche Elimination mehr durchgeführt werden muss, das entsprechende Pivot Null ist Als nächstes wird ein grösseres Beispiel behandelt, bei dem die Voraussetzung in Punkt 1) Bemerkung 11 verletzt ist Mit diesem Beispiel lässt sich anschliessend der allgemeine Fal des Gauss schen Algorithmus ableiten Beispiel 111 Ausnahmefall mit m = n = 5 (6) x 1 x + 3x 3 x 4 + x 5 = x 1 x + 3x 3 x 5 = 3 4x 1 + x 4x 3 + 5x 4 5x 5 = 3 x 3 + x 4 7x 5 = 5 + s x 1 + x x 3 + 4x 5 = 5 Die rechte Seite der vierten Gleichung enthält den Parameter s Diese Grösse s ist ein Systemparameter Die Lösungsmenge von (6) wird von s abhängen! Wir wenden wiederum den Gauss schen Algorithmus an Ausgangsschema x 1 x x 3 x 4 x s Eliminationsschema (E) 1 x 1 x x 3 x 4 x s Die erste Spalte des zweiten Eliminationsschemas besteht aus lauter Nullen Wir können daher nicht, wie in (E) a) gefordert, ein Pivot wählen Andererseits bedeutet das ja, dass im zugehörigen reduzierten ungr/glg_systtex

10 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 10 Gleichungssystem die Variable x gar nicht vorkommt und deshalb auch nicht eliminiert werden muss Es besteht aus vier Gleichungen für die Unbekannten x 3, x 4 und x 5 Der zweite Eliminationsschritt kann als leer übersprungen werden und das aktuelle Eliminationsschema, das dritte, besteht aus vier Zeilen und drei Spalten Es hat also nicht wie bisher gleich viele Zeilen wie Spalten 3 Eliminationsschema x 1 x x 3 x 4 x s (E) 3 4 Eliminationsschema 5 4 x 1 x x 3 x 4 x s (E) 4 Endschema 5 Eliminationsschema x 1 x x 3 x 4 x s Im fünften Eliminationsschema besteht die erste Spalte wieder aus lauter Nullen Auch der letzte Eliminationsschritt ist leer Wir haben also das Endschema erreicht Erneut gibt es weniger als (n = 5) Pivots, nämlich nur deren drei Sie stehen auch nicht mehr in der Diagonalen einer Dreiecksform, sondern sind zt nach rechts verschoben Das Endschema weist somit nicht Dreiecksgestalt auf Das Gleichungssystem des Endschemas besteht nur aus drei statt fünf Gleichungen und aus zwei zusätzlichen Verträglichkeitsbedingungen, nämlich 0 = 1 + s und 0 = 0, wobei die zweite unabhängig vom Parameter s immer erfüllt ist Falls s 1, ist die erste Bedingung verletzt und das gegebene lineare Gleichungssystem hat keine Lösung Die Lösungsmenge für den Fall s = 1 erhalten wir durch Rückwärtseinsetzen: x 4 = 1 + x 5 x 3 = 1 ( 1 + 3x 5 3x 4 ) = 1 3 x 5 x 1 = 1 ( x 5 + x 4 3x 3 + x ) = x x Die Lösungsmenge hat zwei freie Parameter x und x 5 Es sind diejenigen Unbekannten, die in der Kopfzeile des Endschemas über einer Spalte stehen, die kein Pivot enthält Das Gleichungssystem besitzt also wiederum unendlich viele Lösungen, genauer, die Lösungsmenge ist die zwei-parametrige Schar von Lösungen: ungr/glg_systtex

11 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 11 wobei α und β beliebige reelle Zahlen sind x 1 = α β x = α 3 x 3 = 1 - β x 4 = -1 + β x 5 = β Im weiteren wird nun der allgemeine Fall von m Gleichungen für n Unbekannte betrachtet Der Gauss sche Algorithmus sieht wie folgt aus: es wird nicht mehr vorausgesetzt, dass in jedem Eliminationsschritt ein Pivot existiert! 117 Gauss scher Algorithmus: m Gleichungen für n Unbekannte setze i := 1 und j := 1 α) falls i > m oder j > n gehe zu (L); sonst (L) (E) j führe im j ten Eliminationsschema einen Eliminationsschritt durch: a) falls möglich, bestimme einen Index p {i, i + 1,, m}, für den a (j) pj 0; sonst setze j := j + 1 und gehe zu α) b) falls p i, vertausche diese beiden Zeilen und numeriere sie entsprechend um c) für k = i + 1, i +,, m: bilde das l ki := a(j) kj a (j) ij Index i von der Zeile mit Index k ω) setze i := i + 1 und j := j + 1 und gehe zu α) bestimme die Lösungsmenge durch Rückwärtseinsetzen und subtrahiere das l ki fache der Zeile mit Da der Eliminationsteil des Algorithmus endet, wenn man mit der Elimination an den Rand des Schemas kommt, ist also die Anzahl Eliminationsschritte (die leeren mitgezählt) kleiner gleich n und grösser gleich dem min (m, n) Aus dem bisherigen wird klar, dass das Endschema des Gauss schen Algorithmus, wie wir ihn definiert haben, sogenannte Zeilenstufenform aufweist: ref = row echelon form Endschema x 1 x x n 1 c c 0 0 c r c r c m Dabei sind die mit bezeichneten Koeffizienten ungleich Null; es sind gerade die gewählten Pivots ungr/glg_systtex

12 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1 Für k =, 3,, m gilt: falls die Zeile k 1 im Hauptteil des Schemas nicht aus lauter Nullen besteht, ist die Anzahl der führenden Nullen in der Zeile k grösser als in der Zeile k 1 Falls Nullzeilen im Hauptteil des Schemas auftreten (r < m), dann sind sie zuunterst im Endschema Bemerkung 13 r =Anzahl gewählter Pivots 1) Die Dreiecksgestalt im Falle m = n, wie sie in einigen Beispielen vorgekommen ist, ist eine spezielle (regelmässige) Zeilenstufenform Hier gilt: die Zeile k hat genau eine führende Null mehr, als die Zeile k 1, für k =, 3,, n Es gibt keine Nullzeilen im Endschema (r = n) ) Falls im Ausgangsschema am Anfang Spalten aus lauter Nullen stehen, hat auch das Endschema diese Nullspalten 1 Folgerungen aus dem Gauss-Algorithmus Aus dem Endschema können wir die Lösungsmenge des zugehörigen linearen Gleichungssystems bestimmen Überdies können aus der Form des Schemas sofort allgemeine Aussagen über die Lösungsmenge abgelesen werden, ohne diese zu berechnen Definition 17 Rang, Pivotvariable, freier Parameter Die Zahl r =Anzahl nicht-nullzeilen im Hauptteil des Endschemas, heisst Rang des Gleichngssystems Eine über einem Pivot in der Kopfzeile des Endschemas stehende Variable heisst Pivotvariable Variablen, die keine Pivotvariablen sind, heissen freie Parameter Bemerkung 14 Es gilt r 0 und r m Da die Anzahl der Pivotvariablen gleich r ist, muss auch r n gelten Es gibt n r freie Parameter Falls der Rang r < m, dh falls Nullzeilen im Hauptteil des Endschemas auftreten, gibt es Verträglichkeitsbedingungen Dann müssen sämtlichen c i, i = r + 1, r +,, m Null sein, damit das gegebene Gleichungssystem Lösungen hat Wenn nur eine dieser rechten Seiten ungleich Null ist, enthält das Gleichungssystem einen Widerspruch und es hat keine Lösung Dass das Gleichungssystem Lösungen hat, falls für r < m alle Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind, folgt aus der Tatsache, dass man die Lösungsmenge durch Rückwärtseinsetzen betimmen kann, dh durch sukzessives Auflösen nach den Pivotvariablen angefangen in der r ten Zeile Diese Feststellung gilt ebenso auch für den Fall r = m, wo keine Verträglichkeitsbedingungen auftreten Resultat über die Existenz von Lösungen: Das Gleichungssytem hat genau dann mindestens eine Lösung, wenn entweder r = m oder falls r < m alle Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind oder, negativ formuliert: Ein Gleichungssystem hat genau dann keine Lösung, falls r < m und mindestens eine Verträglichkeitsbedingung verletzt ist Satz 11 Ein lineares Gleichungssystem hat genau dann mindestens eine Lösung, falls entweder i) r = m oder ii) r < m und c i = 0 für i = r + 1, r +,, m ungr/glg_systtex

13 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 13 Die Lösungsmenge kann falls sie existiert durch Rückwärtseinsetzen bestimmt werden Daraus folgt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, falls es in der Kopfzeile des Endschemas Variablen gibt, die keine Pivotvariablen sind Dies sind dann freie Parameter der Lösung Genauer: falls eine Lösung existiert, hat die Lösungsmenge n r freie Parameter Das beantwortet auch die Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung Die Lösung eines linearen Gleichungssystems falls sie existiert ist genau dann eindeutig, wenn der Rang r gleich der Anzahl n der ariablen ist Ist r < n, dann ist die Lösungsmenge entweder leer oder das Gleichungssystem hat eine (n r) parametrige Schar von Lösungen Satz 1 Die Lösung eines linearen Gleichungssystems falls sie existiert ist genau dann eindeutig, falls r = n ist Definition 18 homogenes Gleichungssystem Ein lineares Gleichungssystem heisst homogen, falls alle rechten Seiten gleich Null sind Betrachten wir ein allgemeines lineares Gleichungssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b (7) a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m Das Gleichungssystem mit denselben Koeffizienten a ij wie in (7) a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = 0 a 1 x 1 + a x + + a n x n = 0 (8) a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = 0 heisst zugehöriges homogenes Gleichungssystem Es ist klar, dass ein homogenes Gleichungssystem immer die sogenannte triviale Lösung x 1 = x = = x n = 0 hat Auch aus Satz 11 kann man sofort die Existenz einer Lösung ableiten Da beim Gauss-Algorithmus nur Vielfache von Schemazeilen addiert werden, folgt, dass bei einem homogenen System die rechten Seiten c i, i = 1,,, m, im Endschema alle Null sind Das heisst aber, dass allfällige Verträglichkeitsrelationen bei einem homogenen System immer erfüllt sind Gemäss Satz 1 gilt für ein homogenes System: Korollar Ein Korollar bezeichnet in der Mathematik eine Sammlung von Feststellungen oder Folgerungen, die sich aus einem Satz oder einer Definition ergeben Korollar 11 Ein homogenes Gleichungssystem hat genau dann nicht-trivuiale Lösungen, falls r < n ist Die Lösungsmenge hat dann n r freie Parameter Aus Satz 11 können wir folgern: Korollar 1 Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann für beliebige rechte Seiten lösbar, falls r = m ist Oder anders formuliert: Korollar 13 Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann nicht für beliebige rechte Seiten lösbar, falls r < m ist Im folgenden betrachten wir den in den Anwendungen häufigsten Fall bei dem m = n Nach Satz 1 ist die Lösung im Fall r = n eindeutig Diese Tatsache etwas anders formuliert als ungr/glg_systtex

14 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 14 Korollar 14 Sei m = n Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist genau dann eindeutig, wenn das System für beliebige rechte Seiten lösbar ist In der Aussage von Korollar 14 kommt der Rang r des Gleichungssystems nicht mehr vor, dh es ist eine Aussage, die unabhängig von der Berechnung der Zahl r mit dem Gauss schen Algorithmus ist Analog kann man aus den Korollaren 11 und 1 ein Resultat formulieren unabhängig vom Gauss schen Algorithmus Es stellt den Zusammenhang her zwischen der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems und der Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems im Fall m = n Korollar 11 sagt aus, dass ein homogenes Gleichungssystemgeau dann nur die triviale Lösung hat, wenn r = n Das gibt ergibt zusammen mit Korollar 1: Satz 13 Sei m = n Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann für beliebige rechte Seiten lösbar, wenn das zugehörige homogene System nur die triviale Lösung hat Zum Schluss dieses Abschnitts noch eine wichtige Bemerkung 15 Der Rang r eines linearen Gleichungssystems ist eindeutig bestimmt, dh r ist unabhängig von den vorgenommenen Zeilenvertauschungen beim Gauss-Algorithmus Begründung: Da in die Definition von r nur der Hauptteil des Endschemas eingeht, nicht aber die rechte Seite, genügt es, ein honogenes Gleichungssystem zu betrachten In diesem Fall ist die Lösungsmenge nicht leer Wie führen auf das Ausgangsschema ein Gaussverfahren aus Da jeder Schritt eines Gaussverfahrens aus den Äquivalenzumformungen I) und II) aus 111 besteht, sind das Ausgangs- und das End -Gleichungssystem äquivalent und zwar unabhängig davon, welche Zeilenvertauschungen vorgenommen wurden Die beiden Gleichungssysteme haben somit die gleiche Lösungsmenge Betrachten wir nun eine bestimmte Gausselimination, die zu einem Endschema mit r Nicht- Nullzeilen im Hauptteil führt (r Pivots im Endschema) Die Lösungsmenge des End -Gleichungssystems ist durch Rückwärtseinsetzen eindeutig bestimmt (eindeutiges Auflösen nach den r Pivotvariablen) Sie enthält n r freie Parameter Also hat auch das Ausgangs - Gleichungssystem dieselbe Lösungsmenge mit n r freien Parametern Jede andere Gausselimination muss zu einem End -Gleichungssystem mit der gleichen Lösungsmenge führen, also insbesondere mit n r freien Parametern Das Gaussverfahren führt das Ausgangsschema also immer zu einem Endschema über mit r Nicht-Nullzeilen, bzw mit r Pivots 13 Rechenaufwand des Gauss-Algorithmus Zum Schluss dieses Kapitels wird nun der Rechenaufand O(n) des Gaussverfahrens mit m = n = r untersucht In diesem Fall besteht die Lösungsmenge aus einer eindeutig bestimmten Lösung Als Mass für den Rechenaufwand nehmen wir die Anzahl der sogenannten wesentlichen Operationen Eine wesentliche Operation (wo) ist in unserem Fall entweder eine Multiplikation oder eine Division zusammen mit einer Addition (bzw Subtraktion) Anzahl wesentliche Operationen im j ten Eliminationsschema (E) j - bilden der l kj, k = j + 1, j +,, n: (n j) Divisionen - bilden des l kj fachen der Pivotzeile für k = j + 1, j +,, n: (n j) mal (n j + 1) Multiplikationen mit je einer Subtraktion (Wir haben dabei berücksichtigt, dass wir die Nullen in der ersten Spalte des j ten Eliminationsschema nicht ausrechnen müssen) ungr/glg_systtex

15 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 15 - das ergibt für (E) j : (n 1 + j) 1 wo Summation für alle n Eliminationsschritte Aufwand Elimination = n (n 1 + j) 1 = j=1 n(n + 1)(n + 1) 6 n wo also, der Rechenaufwand für die Elimination ist gleich Summe der ersten n Quadratzahlen minus n Beim Rückwärtseinsetzen im Endschema müssen wir in der letzten Zeile eine Division durchführen, in der zweitletzten Zeile müssen wir eine Multiplikation mit Subtraktion und eine Division, also zwei wo durchführen, usw bis in der ersten Zeile dann n wo Das ergibt die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n an wo, also Aufwand Rückwärtseinsetzen = n k = k=1 n(n + 1) wo Insgesamt bekommen wir für den Rechenaufwand Bemerkung 16 O(n) = n3 3 + n n 3 wo Der Rechenaufwand an wesentlichen Operationen des Gauss-Algorithmus zur Berechnung einer eindeutigen Lösung eines linearen Gleichngssystems mit n Gleichungen in n Unbekannten ist von der asymptotischen Ordnung n3 n3 3, dh für grosse n wächst der Aufwand im Wesentlichen wie 3 V Strassen hat 1969 gezeigt, dass sich dieses Problem lösen lässt mit einem Aufwand der Ordnung c n q mit q = log 7 = 807 Da die Konstante c > 1, ist der Aufwand erst für grosse n wirklich kleiner als beim Gauss-Algorithmus Dieses Resultat ist daher eher von theoretischer Bedeutung In der Praxis zählen zudem auch die einfache Realisierbarkeit und die guten numerischen Eigenschaften eines Algorithmus, dh die Fehlerfortpflanzung bei nicht exakter Rechnung auf dem Computer Mit Berücksichtigung dieser Punkte, ist der Gauss-Algorithmus das optimale Verfahren zum Lösen eines allgemeinen linearen Gleichungssystems, cf LR Zerlegung Oft gilt es, mehrere lineare Gleichungssysteme mit den gleichen Koeffizienten zu lösen Mit dem Gauss-Algorithmus lassen sich solche Gleichungssysteme simultan lösen Die zusätzlichen rechten Seiten werden in zusätzliche 1 Spalten des Ausgangsschemas eingetragen Im Hauptteil des Schemas stehen die gemeinsamen Koeffizienten a ik Führt man nun den Gauss-Algorithmus am vergrösserten Schema durch, kann man sich leicht überlegen, dass sich dadurch ein Mehraufwand von n wesentlichen Operationen pro zusätzlicher 1 Spalte ergibt, nämlich: Elimination : (n 1)n und Rückwärtseinsetzen: n(n+1) Illustration am Beispiel 19 (9) x + x 3 = b 1 x 1 + 4x + 5x 3 = b x 1 x + x 3 = b 3 für die rechten Seiten a) b a = b) b b = 13 1 c) b c = 5 4 ungr/glg_systtex

16 MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 16 a 1 b 1 c (E) 1 a 1 b 1 c (E) Rückwärtseinsetzen ergibt die Lösungen a 1 b 1 c a) x 1 = 7 x = 1 x 3 = 0 b) x 1 = 5 x = x 3 = 1 Aufgabe 1 c) x 1 = 17 x = 1 x 3 = 3 a) b 1 =, b = 6, b 3 = 4, b 4 = 4 b) b 1 = 0, b = 3, b 3 =, b 4 = 1 Aufgabe 13 x 1 + x + x 3 + x 4 = b 1 x 1 + x x 3 + x 4 = b x 1 x x 3 + x 4 = b 3 x 1 + x + x 3 + x 4 = b 4 Für welche Werte des Parameters a hat das Gleichungssystem ax 1 + 4x + 5x 3 = a x 1 + ax x 3 = 1 x 1 + ax a x 3 = a keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? Bestimmen Sie jeweils auch die zugehörige Lösungsmenge Lösung 1 a) x 1 = 1, x = 0, x 3 = 1, x 4 = b) x 1 = 4, x =, x 3 = 3, x 4 = 3 Lösung 13 a = : keine Lösung, a ± : genau eine Lösung: x 1 = a a a+1 a+ a = : viele Lösungen: x 1 = 1 t, x = t, x 3 = 0, für alle t R, x = 5+a, x (a+) ( a) 3 = 1 a+ ungr/glg_systtex

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