Z = 60! 29!31! 1,

Transkript

1 Aufgabe : Eine Hochzeitsgesellschaft besteht aus 60 Personen. a Wieviele verschiedene Möglichkeiten für Sitzordnungen gibt es? b Nehmen Sie nun an, dass 9 Gäste aus dem Familien- und Freundeskreis der Bräutigams kommen und die übrigen aus dem Familien- und Freundeskreis der Braut. Wieviele verschiedene Sitzordnungen gibt es, wenn es nur auf darauf ankommt, aus welchem Familienund Freundeskreis ein Gast kommt? D.h. Personen aus dem gleichen Familien- und Freundeskreis gelten als nicht-unterscheidbar. a Sechzig verschiedene Gäste: Permutation ohne Wiederholung: Z 60! 8, b Zwei Gruppen: Permutation mit Wiederholung: Aufgabe : Z 60! 9!3!, 07. Betrachten Sie einen Gebrauchtwagen, der ein halbes Jahr alt ist. Der aktuelle d.h. der heutige Wert iste.000. Berechnen Sie jeweils den Neuwert des Wagens d.h. den Wert des Wagens vor einem halben Jahr unter der Annahme, dass der Wertverlust a linear und b stetig ist. Die jährliche Wertminderung betrage in beiden Fällen 9%, die Wertminderung findet zu jedem Zeitpunkt nicht nur jährlich statt. a Linear: Pt P 0 rt P 0 Pt rt Mit Pt.000,r 0.09 und t 0.5 folgt P 0.58,33. b Stetig: Pt P 0 e rt P 0 Pte rt.506,3. Aufgabe 3: Ein Kredit in Höhe von e 3.59 soll mit jährlichen gleichhohen Teilbeträgen a abbezahlt werden jährlicher Zinssatz.5%. a Welche Werte darf a annehmen, damit die Rückzahlung des Kredites möglich ist maximaler und minimaler Wert von a? b Welche Werte darf a annehmen, damit die Rückzahlung höchstens 30 Jahre dauert? a Der Teilbetrag a muss größer sein als die erste Zinszahlung: a > rp n ,9.

2 Ansonsten wird nichts getilgt. Dies ergibt sich auch aus der nach n umgestellten Annuitätenformel: n ln rpn a. ln + r Für a rp n, ist der Logarithmus im Zähler nicht definiert. Der maximale Wert ist ,9 dies entspricht der Situation, dass der gesamte Kredit nach einem Jahr abbezahlt wird es fällt also eine Zinszahlung an. b Nun soll die Abzahlung maximal 30 Jahre dauern. Löst man die Annuitätenformel nach a auf, erhält man a rp n + r n, und mit n 30 : a.768, 98, sodass die jährliche Abzahlung mindestens eine Höhe von.768, 98 haben muss. Aufgabe 4: Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt. n i n. Induktionsanfang: Für n lautet die Gleichung was offenbar richtig ist.. Induktionsschluss: Unter der Voraussetzung, n i n ist zu zeigen: n+ i n +. Dazu schreibt man links den Summanden mit dem Index n + separat und wendet dann die Induktionsvoraussetzung an: [ n+ n ] i i + n + n + n + n +. Damit ist die Behauptung gezeigt.

3 Aufgabe 5: Die angebotene Stückzahl einer Ware sei durch und die nachgefragte Stückzahl durch Ap 3 + p Np 5 p als Funktion des Preises p gegeben. Geben Sie die maximal möglichen ökonomisch sinnvollen Definitionsbereiche der Funktionen Ap und Np an, skizzieren Sie die Funktionen und berechnen Sie den Gleichgewichtspreis p und die Gleichgewichtsstückzahl q. Definitionsbereiche: Da p ein Preis ist, muss p > 0 sein. Außerdem müssen die Funktionswerte Stückzahlen positiv sein. Also Definitionsbereich von Ap: D R +. Definitionsbereich von Np: D {p R:p>}; für 0 < p < wäre Np < 0 und bei p ist eine Definitionslücke. Ap Np 3 + p 5 p p 4 + p 3 5 p ± 3 p ±. Als einzige reelle und ökonomisch sinnvolle Lösung erhält man p und q 5. 0 Np Ap 8 6 q p Abbildung : Die Funktionen Ap und Np. Aufgabe 6: Betrachten Sie die Funktion fx,y e x y mit D R. Berechnen Sie alle stationären Punkte von fx,y sowie die partiellen Elastizitäten bezüglich x und y. Berechnen Sie die Hesse-Matrix H f x,y. 3

4 Erste Ableitungen Kettenregel: f x x,y xe x y f y x,y ye x y. Es ergibt sich ein stationärer Punkt bei 0,0 mit dem Funktionswert f0,0. Partielle Elastizitäten: ε f,x x,y x und ε f,y x,y y. Zweite Ableitungen Produkt- und Kettenregel: f x x,y e x y + 4x e x y e x y x f y x,y e x y + 4y e x y e x y y f x y x,y f y x x,y 4xye x y. Hesse-Matrix: H f x,y e x y x xy xy y. Aufgabe 7: Betrachten Sie die Funktion fx e x mit D R. Auf welchen Intervallen des Definitionsbereiches D ist f monoton steigend bzw. fallend? Auf welchen Intervallen ist f konvex bzw. konkav? Bestimmen Sie die Grenzwerte lim fx und lim fx. x Erste und zweite Ableitung x Es folgt: df x d xe x dx f dx x e x + 4x e x e x x f is monoton steigend f 0 für x 0 und monoton fallend f 0 für x 0 für x 0 monoton steigend und fallend. f is konvex, wenn f 0; da die Exponentialfunktion überall positiv ist, muss also x 0, also x / sein. Umgekehrt ist f konkav, wenn x / bei Gleichheit konvex und konkav. Außerdem: lim 0. x ± 4

5 Aufgabe 8: Für den Luxusartikel eines Monopolisten steige die Nachfrage q Np mit steigendem Preis: q Np Ap mit A > 0. Die Gesamtkosten für die Herstellung von q Stück sind durch die Kostenfunktion Cq αq mit α > 0 gegeben. Bestimmen Sie den gewinnmaximierenden Preis auf dem Intervall 0, pmax] mit pmax > α und den zugehörigen Gewinn. πp pq Cp Ap αap π p Ap αa. Aus π p 0 folgt p α. Hier handelt es sich aber um ein lokales Minimum wegen A > 0 bzw. π α/ A > 0. Ein lokales Maximum liegt nicht vor nach oben geöffnete Parabel; der gewinnmaximierende Preis liegt also an der rechten Intervallgrenze und ist somit pmax. Wegen pmax > α ist der Gewinn πpmax Apmax αapmax positiv. Aufgabe 9: Ein Unternehmer stellt zwei Güter her Stückzahlen q,q. Dabei fallen Personalkosten P und Materialkosten M an. Die Herstellung von Gut und Gut erfordert jeweils die Hälfte der gesamten Personalkosten P. Von den gesamten Materialkosten M gehen 4 in die Herstellung von Gut und 3 4 in die Herstellung von Gut. Stellen Sie den Zusammenhang zwischen Input P und M und Output q und q durch eine Matrixgleichung dar und berechnen Sie P und M als Funktion von q und q. q q 4 3 } 4 {{ } A P M Nach P und M kann man z.b. mit Hilfe der inversen Matrix auflösen: A 3 deta Es folgt: also P M 3 q P 3q q M q + q. q, 5

6 Aufgabe 0: Betrachten Sie das Gleichungssystem x + y + z x + y 3x + 3y + z 3 Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar? Berechnen Sie die vollständige Lösung des Systems. Entwicklung der Determinante nach der dritten Spalte ergibt: Es gibt also keine eindeutige Lösung. Die allgemeine Lösung ergibt sich durch folgende Zeilenoperationen:. Subtraktion der zweiten Zeile von der ersten Zeile liefert sofort z 0.. Das verbleibende System x + y 3x + 3y 3 besteht aus zwei linear abhängigen Gleichungen. Die Lösungsmenge ist L {x,y,z R 3 : x R,y x,z 0} 6