Determinanten. I. Permutationen

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1 Determinanten Durch Bildung der Determinante wird einer quadratischen (! Matrix eine gewisse Zahl zuordnet. Die Determinante tritt besonders bei Fragen der Flächen- bzw. Volumsberechnung auf (siehe auch den Begriff der Jacobi-Determinante in der Analysis. I. Permutationen n > 0 sei S n {σ : {1, 2,, n} {1, 2,, n} : σ ist bijektiv}. Dann ist S n eine Gruppe bzgl. der Verknüpfung von Abbildungen (vgl. früher und heißt symmetrische Gruppe (vom Index n. Die Elemente von S n heißen Permutationen (einer n-elementigen Menge. S n hat n! Elemente und ist für n 3 nicht abelsch (d.h. σ, τ S n mit τ σ σ τ. Schreibweisen : ( 1 2 n σ σ(1 σ(2 σ(n id τ σ ( ( 1 2 n 1 2 n ( 1 2 n τ(1 τ(2 τ(n 1 2 n τ(σ(1 τ(σ(2 τ(σ(n für σ S n... identische Abbildung ( 1 2 n σ(1 σ(2 σ(n für σ, τ S n Beispiel. ( ( (

2 τ S n heißt Transposition, wenn τ lediglich zwei Elemente vertauscht und die übrigen Elemente fest läßt. Beispiel. τ ( ist eine Transposition. Man kann zeigen, dass sich jede Permutation σ als Komposition von Transpositionen darstellen läßt. Bei jeder Darstellung von σ ist entweder eine gerade Anzahl von Transpositionen oder eine ungerade Anzahl von Transpositionen erforderlich. Als Vorzeichen bzw. Signum einer Transposition τ sign τ 1. setzt man Das Vorzeichen bzw. Signum einer beliebigen Permutation σ ist sign σ ( 1 k wobei σ als Komposition von k Transpositionen dargestellt werden kann. σ S n heißt gerade, wenn sign σ +1 und ungerade wenn sign σ 1. Man kann weiters zeigen, dass für σ 1, σ 2 S n gilt sign (σ 2 σ 1 sign σ 2 sign σ 1 II. Determinanten Wir verwenden in diesem Zusammenhang die Schreibweise A, wobei a i den i-ten Zeilenvektor der n n-matrix A bezeichnet. Definition. Die Determinante einer n n-matrix A (a ij ist det A sign σ a 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n σ S n a 1 a 2 a n 2

3 Bemerkung. Weil S n n! Elemente hat, treten für großes n sehr viele Summanden auf. Schon aus diesem Grund ist es wünschenswert, einfachere Berechnungsformeln für die Determinante zu bestimmen. Bemerkung. Man verwendet auch die Schreibweise a 11 a 1n a 11 a 1n det A det a n1 a nn a n1 a. nn Im folgenden werden die wichtigsten Eigenschaften der Determinante angeführt. Aus Zeitgründen wird auf die Beweise verzichtet. det ist linear in jeder Zeile, d.h. falls a i a i + a i bzw. a i λa, dann ist det det a i a i det λ det a i a i + det a i bzw. det A 0 a 1, a 2,, a n sind linear abhängig Ist also im besonderen etwa a i 0 oder a i a j für i j dann gilt det A 0. det A 0 bedeutet, dass A invertierbar ist! det E n +1 B entstehe aus A durch Vertauschen von zwei (verschiedenen Zeilen det B det A (Vorzeichenwechsel! B entstehe aus A durch Addition der λ-fachen j-ten Zeile zur i-ten Zeile (i j det B det A. 3

4 Sei A eine obere (bzw. untere Dreiecksmatrix. Dann ist det A das Produkt der Elemente in der Hauptdiagonalen, i.e. det A a 11 a 22 a nn. Führen wir also eine beliebige Matrix A in eine Matrix B in Zeilenstufenform über (B ist dann eine obere Dreiecksmatrix, dann ist deta ( 1 k b 11 b 22 b nn wobei k die Anzahl der verwendeten Zeilenvertauschungen ist. (Determinantenproduktsatz A, B M(n n; K det(a B det A det B Ist A invertierbar, also AA 1 E n, dann ist +1 det E n det(aa 1 det A det A 1, also det A 1 1 det A. deta det( t A ( A1 C Ist A eine Block-Matrix der Form A 0 A 2 quadratisch sind, dann gilt A 2 det A det A 1 det A 2., wobei A 1 und Zur Berechnung von Determinanten: Falls n 1, gibt es offenbar nur die identische Permutation, und für eine 1 1 Matrix A (a gilt det A a. Falls n 2, gibt es nur die beiden Permutationen ( Damit ist det A a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21. ( und 4

5 Falls n 3, ist S 3 3! 6 und a 11 a 12 a 13 det A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. Die Determinante einer 3 3 Matrix kann komfortabel mit der sogenannten Regel von Sarrus bestimmt werden. a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Beispiel. Sei A Mit ist. det A ( III. Die komplementäre Matrix Sei A M(n n; K. Für festes i, j ersetze a ij durch 1 und alle übrigen Elemente der i-ten Zeile und der j-ten Spalte durch 0. Die entstehende Matrix werde mit A ij bezeichnet. Die Matrix A ij sei jene (n 1 (n 1 Matrix, welche aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Beispiel. Sei A Dann ist etwa 5

6 A 21 A und A 32 und A , Es gilt : det A ij ( 1 i+j det A ij Sei A M(n n; K und setze c ij det A ij für alle 1 i, j n. Dann heißt à t (c ij die zu A komplementäre Matrix. à existiert immer und hat die zentrale Eigen- Die komplementäre Matrix schaft à A A à (det A E n Beispiel. Sei A à Dann ist t t

7 Man rechnet leicht nach, dass à A 3 Also ist det A Folgerung. A 1 1 det AÃ. Ist A invertierbar, dann gilt offenbar Speziell für n 2 ergibt sich mit A dass ( à t d c b a ( d b A 1 1 ad bc c a ( d b c a ( a b c d und somit und det A ad bc, IV. Der Entwicklungssatz von Laplace Sei A M(n n; K mit n 2. Dann gilt (Entwicklung nach der i-ten Zeile det A n ( 1 i+j a ij det A ij j1 für jedes feste 1 i n (Entwicklung nach der j-ten Spalte det A n ( 1 i+j a ij det A ij i1 Beispiel. Sei A für jedes feste 1 j n. Entwicklung nach der 1. Zeile ergibt 7

8 det A ( 1 ( Bei der Anwendung des Entwicklungssatzes von Laplace ist es im allgemeinen natürlich vorteilhaft, eine Zeile bzw. Spalte zu wählen, welche viele Nullen enthält. V. Die Cramersche Regel Determinanten sind auch bei der Berechnung der eindeutig bestimmten Lösung eines Gleichungssystems anwendbar. Sei Ax b ein lineares Gleichungssystem mit A M(n n; K gegeben, und sei A invertierbar. Dann ist die eindeutig bestimmte Lösung durch x A 1 b gegeben. Unter Zuhilfenahme von A 1 1 det A Ã kann man zeigen, dass x i det(a1,...,a i 1,b,a i+1,...,a n det A, 1 i n ist, wobei a 1, a 2,, a n die Spalten von A bezeichnen. Diese Berechnungsweise heißt Cramersche Regel. Beispiel. Gegeben sei Damit ist A x 1 + x 2 1 x 2 + x 3 1 3x 1 + 2x 2 + x 3 0 und b det A , damit ist A invertierbar und die Cramersche Regel anwendbar. Somit 8

9 x 1 det A x 2 det A x 3 det A 1 9