Wirtschaftsmathematik Formelsammlung
|
|
- Nelly Armbruster
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Wirtschaftsmathematik Formelsammlung Binomische Formeln Stand März 2015 (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) =a 2 b 2 Fakultät (Faktorielle) n! = (n 1) n Intervalle Notation Bezeichnung enthält alle x mit ]a, b[ oder(a, b) O enes Intervall a<x<b [a; b] Abgeschlossenes Intervall a apple x apple b ]a, b] oder(a, b] Halbo enes Intervall a<xappleb [a, b[ oder[a, b) Halbo enes Intervall a apple x < b R + = {x 2 R x 0} R ++ = {x 2 R x>0} otenzen und Wurzeln a m a n = a m+n A a p m n = n a m a m a n = am n np a m = np a m q (a m ) n = a m n p n m a = n mp a (a b) n = a n b p n n a b = np a np b a r n a n = n a np a b b n b = np b a 1 = a a 0 =1 a n = 1 a n 0 x =0wennx>0undnichtdefiniert,wennx apple 0! 1
2 Definition des Logarithmus log a x = u, x = a u (a>0, x2 R ++ ) a heißt Basis, x Numerus, u heißt Logarithmus von x zur Basis a. Rechnen mit Logarithmen (bezüglich einer beliebigen Basis) log (u v) = log u + log v log u v = log u log v log u n = n log u log np u = 1 n log u log1 = 0 log a a =1 Quadratische Gleichungen Eine quadratische Gleichung der Form ax 2 + bx + c =0 mit a 6= 0löst man mit x = b ± p b 2 4ac 2a Eine quadratische Gleichung der Form x 2 + px + q =0 löst man mit x = p r p ± q Sätze von Vieta Wenn x 1 und x 2 Lösungen der Gleichung x 2 + px + q = 0 sind, so gilt: x 1 + x 2 = p x 1 x 2 = q x 2 + px + q = (x x 1 ) (x x 2 ) Kartesisches rodukt A B = {(x, y) (x 2 A) ^ (y 2 B)} Gesprochen:,,A kreuz B. Die Elemente dieser Menge, (x, y) heißen geordnete aare. Das Summenzeichen a 1 + a 2 + a a n = 2 a i
3 Rechnen mit Summen Rechenregeln für Summen (a i + b i )= a i + k a i = k k = n k a i b i Spezielle Summen i = n (n + 1) 2 i 2 = 1 n (n + 1) (2n + 1) 6 i 3 = apple 1 2 n (n + 1) 2 Betrag eines Vektors Gegeben ist der Vektor a =(a 1,a 2,...,a n ) 2 R n Dann definiert man den Betrag (die Länge) des Vektors durch: q a = a a a2 n Linearkombination von Vektoren Unter einer Linearkombination versteht man die Summe von reellen Vielfachen verschiedener Vektoren. b = 1 a a n a n heißt Linearkombination der Vektoren a 1,a 2,...,a n, wobei 1, 2,..., n reelle Zahlen sind. Rechenregeln für Matrizen A (B C) = (A B) C A (B + C) =A B + A C (A + B) C = A C + B C k (A B) = (k A) B = A (k B) (A B) T = B T A T E A = A E = A A 1 1 = A A T 1 = A 1 T (A B) 1 = B 1 A 1 (k A) 1 = 1 k A 1 Inverse einer Matrix Für eine quadratische Matrix A definiert man die inverse Matrix A 1 mit: A 1 A = A A 1 = E (E bezeichnet hier die entsprechende Einheitsmatrix) Die Inverse A 1 einer quadratischen Matrix existiert nur, wenn deren Determinante ungleich 0ist! 3
4 Determinanten (nur für quadratische Matrizen) 1. Ist A =(a) soistdet(a) =a a11 a 2. Ist A = 12 so ist det (A) =a a 21 a 11 a 22 a 21 a Für 3 3-Matrizen: Regel von Sarrus 4. Für alle Matrizen: Laplac scher Entwicklungssatz a) Entwicklung nach der j-ten Spalte: det (A) = n a kj d kj k=1 b) Entwicklung nach der i-ten Zeile: det (A) = n a i` d i` dabei ist d ij die Adjunkte zum Element a ij gegeben durch: d ij =( 1) i+j det (D ij )mit der Teilmatrix D ij, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht. `=1 Wert der Determinante für bestimmte Arten von Matrizen Sind in einer Zeile oder Spalte einer Matrix A alle Elemente gleich Null, so ist: det (A) =0 Sind zwei Zeilen oder Spalten ein Vielfaches einer anderen Zeile oder Spalte, so ist: det (A) =0 Ist eine Zeile oder Spalte eine Linearkombination anderer Zeilen oder Spalten, so ist: det (A) =0 Ist A eine Dreiecksmatrix, so gilt: det (A) =a 11 a 22 a nn Lösen linearer Gleichungssysteme Ein LGS ist lösbar wenn der Rang der Koe zientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist. Je zwei Gleichungen (= Zeilen des Gleichungssytems) dürfen miteinander vertauscht werden Jede Gleichung darf mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl multipliziert werden. Zu jeder Gleichung darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden. Rang einer Matrix Unter dem Rang einer Matrix A(Schreibweise:r (A)) versteht man die größte Anzahl linear unabhängiger Zeilen (oder Spalten) der Matrix A. 4
5 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren Die n Vektoren a 1,a 2,...,a n aus dem m-dimensionalen Raum R m heißen linear unabhängig, wenn die lineare Vektorgleichung 1 a a n a n =0 nur für 1 = 2 =...= n =0erfüllt ist. Dies bedeutet, es ist nicht möglich einen der Vektoren durch die anderen auszudrücken. Ist dies möglich, heißen die Vektoren linear abhängig. Arithmetische und geometrische Folge Arithmetische Folge Geometrische Folge a n+1 a n = d a n = a 1 +(n 1) d s n = n 2 (a 1 + a n ) a n+1 a n = q a n = a 1 q n 1 qn s n = a q Beginnt man bei Null zu zählen ergibt sich: n a 0 q i = a 0 + a 0 q + + a 0 q n = i=0 = a 0 1 qn+1 1 q Definition Grenzwert einer Folge Die Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Folge (a n ) n2n geschrieben lim n!1 (a n), wenn gilt: 8" >0 9 n(")so, dass a k 2 ]a ", a + "[ für alle k n(") Reihen Für eine Folge (a n ) n2n heißt die Summe die n-te artialsumme der Folge (a n ) n2n. S n = a 1 + a 2 + a a n = Die Folge der artialsummen (S n ) n2n heißt Reihe. Man schreibt mit Hilfe des Summenzeichens unabhängig davon, ob (S n ) n2n konvergiert symbolisch 1X 5 a i a i
6 Konvergenz einer Reihe Eine Reihe ist konvergent, wenn die Folge der artialsummen der zugrunde liegenden Folge konvergiert. Ist (a n ) n2n eine Folge und S n = n a i die n te artialsumme, dann gilt: Konvergiert die Reihe (S n ) n2n,soist(a n ) n2n eine Nullfolge, d. h. lim n!1 a n =0. Ist (a n ) n2n keine Nullfolge, so konvergiert die Reihe nicht. (d. h. lim n!1 a n = 0 ist notwendig für die Konvergenz der zugehörigen Reihe). Leibnizkriterium Eine alternierende Reihe 1 a i ist konvergent, wenn die Beträge a i eine monoton fallende Nullfolge bilden. Konvergenz einer geometrischen Reihe Eine geometrische Reihe 1 a 0 q i ist konvergent, wenn q < 1 gilt. Der Wert der Reihe ist i=k in diesem Fall gegeben durch: S 1 = 1X a 0 q i q k = a 0 1 q i=k für k =0: S 1 = 1X a 0 q i 1 = a 0 1 q i=0 Kapitalwert einer endlichen Rente K = CF 0 + t=1 CF t (1 + i) t CF t...cashflow zum Zeitpunkt t, i...zinssatz Ableitungen einiger Funktionen f (x) =c f 0 (x) =0 f (x) =x n f 0 (x) =n x n 1 für n 2 R f (x) =e x f 0 (x) =e x f (x) =a x f 0 (x) =a x ln (a) f (x) =ln(x) f 0 (x) = 1 x für x 2 R ++ 6
7 Ableitungsregeln (f ± g) 0 = f 0 ± g 0 (k f) 0 = k f 0 k 2 R (f g) 0 = f 0 g + f g 0 0 f = f 0 g f g 0 g g 2 [f (g (x))] 0 = f 0 (g (x)) g 0 (x) Regel von de l Hospital Wenn f und g di erenzierbar an einer Stelle x 0 sind und f (x 0 )=0undg (x 0 ) = 0 ist, gilt: f (x) lim x!x 0 g (x) = lim f 0 (x) x!x 0 g 0 (x) Auch anwendbar für unbestimmte Ausdrücke der Form 1 1. Kann auch mehrfach angewendet werden, solange die Voraussetzungen 0 0, 1 1 erfüllt sind. Elastizität " f (x) = f 0 (x) x f (x) " f (x) gibt zu jeder Inputmenge näherungsweise an, wie stark der Output prozentual auf eine einprozentige Erhöhung dieser Inputmenge reagiert. Grundintegrale k dx = k x + c x n dx = xn+1 + c n +1 für n 6= 1 x 1 dx = ln x + c für x 6= 0 e x dx = e x + c e a x dx = 1 a ea x + c a x dx = 1 ln (a) ax + c für a>0, a 6= 1 ln (x) dx = x ln (x) x + c 7
8 Integrationsregeln (f ± g) dx = fdx± (k f) dx = k fdx gdx Taylorreihe f (x) = 1X k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k = f (x 0 )+ f 0 (x 0 ) 1! Näherungsweise Darstellung einer Funktion an einer Stelle x 0. (x x 0 )+ f 00 (x 0 ) 2! (x x 0 ) Homogenität Eine Funktion f : R n! R heißt homogen vom Grad r, wenn es eine Zahl r 2 R gibt, sodass für alle 2 R gilt: f ( x 1, x 2,..., x n )= r f (x 1.x 2,...,x n ) Gradient Die Zusammenfassung aller n möglichen ersten partiellen Ableitungen in einem n- dimensionalen Zeilenvektor nennt man Gradient von grad =(f x1,f x2,...,f xn n Der Gradient gibt die Richtung des größten Anstiegs von f an. Richtungsableitung (normiert) in Richtung des Vektors z 2 (x) = 1 grad (f) z z Totales Di erential 1 (x) dx 1 n (x) dx n artielle Elastizität " i (x) i f 8
9 Satz von Schwarz Ist eine Funktion zweimal stetig partiell di erenzierbar, so ist die Reihenfolge des Di erenzierens egal. Es gilt also: f xi x j = f xj x i Hesse Matrix Die Zusammenfassung der zweiten partiellen Ableitungen in einer quadratischen Matrix nennt man Hessematrix: fx1 x H (x 1,x 2 )= 1 f x1 x 2 f x2 x 1 f x2 x 2 Extremwerte Funktion f (x, y) f Kandidaten für Extremstellen (stationäre unkte) y (x, y) =0 x (x, y) =0 f ) (x S,y S ) Maximum det (H (x S,y S )) > 0 und f xx (x S,y S ) < 0 Minimum det (H (x S,y S )) > 0 und f xx (x S,y S ) > 0 Sattelpunkt det (H (x S,y S )) < 0 reiselastizität - Kreuzpreiselastizität " ii = N i p i pi N i " ij = N i p j pj N i Grenzrate der Substitution r ij = f x j f xi Cobb-Douglas-roduktionsfunktion f (x 1,x 2,...,x n )=c (x 1 1 x n n ) c>0, i > 0 Eigenschaften einer Cobb-Douglas-roduktionsfunktion Eine derartige roduktionsfunktion ist homogen vom Grad n Die Grenzproduktivität des i-ten Faktors beträgt: f xi = i f x i Jede Faktorelastizität ist konstant und beträgt: " j = j Die Grenzrate der Substitution ist gegeben durch: r ij = j i i xi x j 9
8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten
Einheitsmatrix Die quadratische Einheitsmatrix I n M n,n ist definiert durch I n = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (Auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, außerhalb Nullen Durch Ausmultiplizieren sieht man I n A = A
MehrMatrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n
Mehr5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten
5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 51 Lineare Gleichungssysteme Definition 51 Bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) sind n Unbekannte x 1, x 2,, x n so zu bestimmen, dass ein System von
MehrBC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2
Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra 1 Vektoralgebra 1 Der dreidimensionale Vektorraum R 3 ist die Gesamtheit aller geordneten Tripel (x 1, x 2, x 3 ) reeller Zahlen Jedes geordnete
MehrVektoren und Matrizen
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektoren und Matrizen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Vektoren (a) Einführung (b) Linearkombinationen (c) Länge eines Vektors (d) Skalarprodukt (e) Geraden
Mehr5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21
5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11
Mehr3 Matrizenrechnung. 3. November
3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige
Mehr4. Lösung linearer Gleichungssysteme
4. Lösung linearer Gleichungssysteme a x + : : : + a m x m = b a 2 x + : : : + a 2m x m = b 2 : : : a n x + : : : + a nm x m = b n in Matrix-Form: A~x = ~ b (*) mit A 2 R n;m als Koe zientenmatrix, ~x
MehrLineare Gleichungssysteme und Matrizen
Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
MehrMathematik I+II. für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016
Mathematik I+II für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016 I. Wiederholung Schulwissen 1.1. Zahlbereiche 1.2. Rechnen mit reellen Zahlen 1.2.1. Bruchrechnung 1.2.2. Betrag 1.2.3. Potenzen 1.2.4. Wurzeln
Mehr8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Mehr3 Determinanten, Eigenwerte, Normalformen
Determinanten, Eigenwerte, Normalformen.1 Determinanten Beispiel. Betrachte folgendes Parallelogramm in der Ebene R 2 : y (a + c, b + d) (c, d) (a, b) x Man rechnet leicht nach, dass die Fläche F dieses
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
MehrEigenwerte. Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1)
Eigenwerte 1 Eigenwerte und Eigenvektoren Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1) für einen Vektor x 0. Vektor x heißt ein
MehrInhaltsverzeichnis. 1 Lineare Algebra 12
Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra 12 1.1 Vektorrechnung 12 1.1.1 Grundlagen 12 1.1.2 Lineare Abhängigkeit 18 1.1.3 Vektorräume 22 1.1.4 Dimension und Basis 24 1.2 Matrizen 26 1.2.1 Definition einer
MehrInhalt 1 GRUNDLAGEN Zahlen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen 4
Inhalt 1 GRUNDLAGEN 1 1.1 Zahlen 1 1.1.1 Natürliche Zahlen 1 1.1.2 Ganze Zahlen 2 1.1.3 Rationale Zahlen 3 1.1.4 Reelle Zahlen 4 1.2 Rechnen mit reellen Zahlen 8 1.2.1 Grundgesetze der Addition 8 1.2.2
Mehr4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen
4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,
MehrWiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n
Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n 1 Lineare Algebra 11 Matrizen Notation: Vektor x R n : x = x 1 x n = (x i ) n i=1, mit den Komponenten x i, i {1,, n} zugehörige Indexmenge:
MehrGroßes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen
Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen Von Professor Dr. Karl Bosch o. Professor für angewandte Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart-Hohenheim und Professor Dr. Uwe Jensen R. Oldenbourg
Mehra 11 a 12 a 1(m 1) a 1m a n1 a n2 a n(m 1) a nm Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema:
Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema: a 12 a 1(m 1 a 1m a n1 a n2 a n(m 1 a nm Ein solches Schema nennt man (n m-matrix, da es aus n Zeilen und m Spalten besteht Jeder einzelne Eintrag
MehrWir stellen uns das Ziel, wesentliche Information über. Determinanten haben auch eine geometrische Bedeutung: Volumenbestimmung eines Parallelepipeds
39 Determinanten 391 Motivation Wir stellen uns das Ziel, wesentliche Information über die Invertierbarkeit einer n n-matrix das Lösungsverhalten zugehöriger linearer Gleichungssysteme möglichst kompakt
MehrMatrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle
2. Matrixalgebra Warum Beschäftigung mit Matrixalgebra? Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle bequeme mathematische
MehrStroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (3 Punkte) Bestimmen Sie die Determinante der Matrix
Stroppel Musterlösung 7.., 8min Aufgabe Punkte Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A =. Geben Sie alle Lösungen x des homogenen Gleichungssystems Ax = an. Entwicklung nach der ersten Spalte: deta
MehrLineare Gleichungssysteme: eine Ergänzung
Lineare Gleichungssysteme: eine Ergänzung Ein lineares Gleichungssystem, bei dem alle Einträge auf der rechten Seite gleich sind heiÿt homogenes lineares Gleichungssystem: a x + a 2 x 2 +... + a n x n
Mehr1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema
1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und
MehrÖkonometrische Analyse
Institut für Statistik und Ökonometrie, Freie Universität Berlin Ökonometrische Analyse Dieter Nautz, Gunda-Alexandra Detmers Rechenregeln für Matrizen Notation und Matrixeigenschaften: Eine Matrix A der
Mehr[Nächste Frage: wie wissen wir, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden? Siehe L6.1] , enthält eine Basis v. V, nämlich und somit das ganze V.
Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung falls und nur falls ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv
MehrMathematik anschaulich dargestellt
Peter Dörsam Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften 15. überarbeitete Auflage mit zahlreichen Abbildungen PD-Verlag Heidenau Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra
MehrLineare Algebra I Zusammenfassung
Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition
Mehr(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)
(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:
MehrMusterlösung Klausur Mathematik (Sommersemester 2011) 1. ( 1) 2 0 x + x 2) e x = x 2 e x. (Ansatz: 2 Pkt, Umformungen: 2 Pkt, ges: 4 Pkt)
Musterlösung Klausur Mathematik Sommersemester 2 Aufgabe : 8 Punkte Zeigen Sie durch vollständige Induktion die folgende Formel für die n-te Ableitung der Funktion fx x 2 e x : f n x n nn 2n x + x 2 e
MehrIn allen Fällen spielt die 'Determinante' einer Matrix eine zentrale Rolle.
Nachschlag:Transposition von Matrizen Sei Explizit: Def: "Transponierte v. A": (tausche Zeilen mit Spalten d.h., spiegle in der Diagonale) m Reihen, n Spalten n Reihen, m Spalten z.b. m=2,n=3: Eigenschaft:
MehrBasistext Determinanten
Basistext Determinanten Definition In der Linearen Algebra ist die Determinante eine Funktion die einer quadratischen Matrix eine Zahl zuordnet. Die Funktion wird mit det abgekürzt. Die runden Matrixklammern
MehrKapitel 1. Vektoren und Matrizen. 1.1 Vektoren
Kapitel 1 Vektoren und Matrizen In diesem Kapitel stellen wir die Hilfsmittel aus der linearen Algebra vor, die in den folgenden Kapiteln öfters benötigt werden. Dabei wird angenommen, dass Sie die elementaren
MehrFunktionen mehrerer Variabler
Vektoranalysis Funktionen mehrerer Variabler Wir untersuchen allgemein vektorwertige Funktionen von vektoriellen Argumenten, wobei zunächst nur reelle Vektoren zugelassen seien. Speziell betrachten wir:
Mehr05. Lineare Gleichungssysteme
05 Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten ein System von m Gleichungen in n Unbestimmten (Unbekannten) x 1,, x n von der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a
Mehr4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante
4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer
MehrMathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
MehrViele Statistiken werden durch endliche Folgen beschrieben. (z.b. Anzahl der Studierenden an der TU München in den Jahren 1962 bis 1976)
Kapitel 9 Folgen und Reihen 9.1 Folgen 9.1.1 Was ist eine Folge? Abbildungen, die auf N definiert sind (mit Werten z.b. in R), heißen (unendliche) Folgen. Abb., die auf einer endlichen Menge aufeinander
MehrMatrizen und Determinanten, Aufgaben
Matrizen und Determinanten, Aufgaben Inhaltsverzeichnis 1 Multiplikation von Matrizen 1 11 Lösungen 3 2 Determinanten 6 21 Lösungen 7 3 Inverse Matrix 8 31 Lösungen 9 4 Matrizengleichungen 11 41 Lösungen
Mehr3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
MehrDierentialrechnung mit einer Veränderlichen
Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Beispiel: Sei s(t) die zum Zeitpunkt t zurückgelegte Wegstrecke. Dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t 1 und t 2 gegeben
Mehr3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I)
3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I) 31 Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen einer Variablen Definition 31 Es sei M R, f : M R und a M Wenn der Funktionsgrenzwert f(x)
Mehr2. Mathematische Grundlagen
2. Mathematische Grundlagen Erforderliche mathematische Hilfsmittel: Summen und Produkte Exponential- und Logarithmusfunktionen 21 2.1 Endliche Summen und Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,...,
MehrIn diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)
34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1)
Mehr36 2 Lineare Algebra
6 Lineare Algebra Quadratische Matrizen a a n sei jetzt n m, A, a ij R, i, j,, n a n a nn Definition Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar genau dann, wenn es eine quadratische Matrix B gibt, so
MehrLINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow
LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Lineare Gleichungssysteme und Determinanten. Lineare Gleichungssysteme.2 Determinanten 3 iii 2 LINEARE GLEIHUNGSSYSTEME UND DETERMINANTEN KAPITEL
MehrDas inhomogene System. A x = b
Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 mit m Gleichungen und n Unbestimmten hat immer mindestens die Lösung 0. Ist r der Rang von A, so hat das System n r Freiheitsgrade. Insbesondere gilt: Ist
MehrVektorräume und Rang einer Matrix
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung
Mehr2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen
Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik Eine Einführung mit Beispielen und Übungsaufgaben von Prof. Dr. Karl Bosch 14., korrigierte Auflage Oldenbourg Verlag München Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Mengenlehre 1 1.1
MehrBeispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A
133 e 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 Schritte des
Mehr1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2.
Definition Die rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij in m Zeilen und n Spalten heißt m n- Matrix. Gewöhnlich handelt es sich bei den Elementen a ij der Matrix um reelle Zahlen. Man nennt das Paar
MehrWirtschafts- und Finanzmathematik
Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management Wintersemester 2016/17 Organisation Termine, Personen, Räume Gliederung 1 Grundlegende
MehrRang einer Matrix. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Rang einer Matrix 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Unterdeterminante einer nichtquadratischen Matrix M ist eine nichtquadratische 2,3-Matrix: M = 6 2 3 0 5 7 Durch Streichen einer der drei Spalten kann man
MehrMatrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte
Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung
MehrMLAN1 1 MATRIZEN 1 0 = A T =
MLAN1 1 MATRIZEN 1 1 Matrizen Eine m n Matrix ein rechteckiges Zahlenschema a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 amn mit m Zeilen und n Spalten bestehend aus m n Zahlen Die Matrixelemente
MehrZusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren
Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Kartographie/Geoinformatik Vermessung/Geoinformatik Dresden
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik Von Dr. Karl Bosch Professor für angewandte Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart-Hohenheim 10., verbesserte Auflage R. Oldenbourg Verlag München Wien Inhaltsverzeichnis
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Betrachtet wird eine (n,n)-matrix A. Eine Zahl λ heißt Eigenwert von A, wenn ein Vektor v existiert, der nicht der Nullvektor ist und für den gilt: A v = λ v.
MehrOptimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen
Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel
MehrDeterminanten. I. Permutationen
Determinanten Durch Bildung der Determinante wird einer quadratischen (! Matrix eine gewisse Zahl zuordnet. Die Determinante tritt besonders bei Fragen der Flächen- bzw. Volumsberechnung auf (siehe auch
MehrCramersche Regel. Satz 2.26
ramersche Regel Satz 6 Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 6= Für das LGS Ax = b sei A j := (a,,a j, b, a j+,,a n ), also die Matrix, die entsteht, wenn in A die j-te Spalte durch den Vektor
MehrLineare Algebra 1. Roger Burkhardt
Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11 3 und lineare Gleichungssysteme und
MehrMischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw.
Kapitel 5 Lineare Algebra 5 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Man begegnet Systemen von linearen Gleichungen in sehr vielen verschiedenen Zusammenhängen, etwa bei Mischungsverhältnissen von Substanzen
MehrREIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert
Reihenentwicklungen Herbert Paukert 1 REIHENENTWICKLUNGEN Eine kurze Einführung Herbert Paukert [1] Reihen mit konstanten Gliedern [2] Potenzreihen [3] Reihenentwicklung von Funktionen Reihenentwicklungen
MehrEinführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:
Mehr37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Allgemeiner Maschinenbau Fahrzeugtechnik Dresden 2002
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.
MehrMathematik für Anwender I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 17 Potenzreihen Definition 17.1. Es sei (c n ) n N eine Folge von reellen Zahlen und x eine weitere reelle Zahl. Dann heißt
MehrProf. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1
Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1. Einleitung Beispiel 1 3 Kinder haben eingekauft. Franz hat 4 Lakritzen, 2 Schokoriegel und 5 Kaugummis
MehrHilfsblätter Lineare Algebra
Hilfsblätter Lineare Algebra Sebastian Suchanek unter Mithilfe von Klaus Flittner Matthias Staab c 2002 by Sebastian Suchanek Printed with L A TEX Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 1 11 Norm 1 12 Addition,
MehrWirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen
Wirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen 1. Zahlen 2. Potenzen und Wurzeln 3. Rechenregeln und Vereinfachungen 4. Ungleichungen 5. Intervalle 6. Beträge 7. Lösen von Gleichungen 8. Logarithmen 9.
MehrFunktionen mehrerer Veränderlicher
Funktionen mehrerer Veränderlicher Betrachtet werden Funktionen f : D R mit Denitionsbereich D R n und Wertebereich R, d. h. man hat die Funktionsgleichung y = f (x) = f (x, x 2,..., x n ) Beispiele: f
MehrBericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2010
Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2 Heinz-Willi Goelden, Wolfgang Lauf, Martin Pohl Am 5. Mai 2 fand die Mathematische Zulassungsprüfung statt. Die Prüfung bestand aus einer 9-minütigen
MehrBeispiele 1. Gegeben ist das lineare System. x+4y +3z = 1 2x+5y +9z = 14 x 3y 2z = 5. Die erweiterte Matrix ist
127 Die Schritte des Gauß-Algorithmus sind nun die Folgenden: 1. Wir bestimmen die am weitesten links stehende Spalte, die Einträge 0 enthält. 2. Ist die oberste Zahl der in Schritt 1 gefundenen Spalte
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg Grundlagentest Bruchrechnen! Testfrage: Bruchrechnung 1 Wie lautet das Ergebnis
MehrKapitel 4. Folgen und Reihen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38
Kapitel 4 Folgen und Reihen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38 Folgen Eine Folge ist eine Anordnung von reellen Zahlen. Die einzelnen Zahlen heißen Glieder
MehrKapitel 6. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen
Kapitel 6. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen 6.1 Funktionen von mehreren Variablen Eine Abbildung f : D R, D R n, ordnet jedem n-tupel x = (x 1, x 2,...,x n ) D (eindeutig) eine
MehrExtremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler
Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (differenzierbaren) Funktionen f : R n R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen überhaupt ein
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Betriebswirtschaft International Business Dresden 05 . Mengen
MehrUniversität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr. Holger Cartarius. Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n
Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr Holger Cartarius Matrizen Matrizen: Ein rechteckiges Zahlenschema der Form a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A a m,1 a m,2 a m,n (a) nennt man eine
MehrDie Determinante einer Matrix
Chr.Nelius, Lineare Algebra II (SS 2005) 6 Die Determinante einer Matrix Wir betrachten im folgenden Determinantenformen auf dem Vektorraum V = K n. Eine solche Form ist eine Abbildung von n Spaltenvektoren
MehrEigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)
Eigenwerte (Teschl/Teschl 4.2 Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x =
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra 71 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 1 / 31 1 2 3 4 Prof Dr Erich
MehrMathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.1 Reelle Matrizen
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 81 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/ farkas 1 / 31 1 2 3 4 2 / 31 Transponierte einer Matrix 1 Transponierte
MehrEinheitsmatrix E = , Nullmatrix O = c c Diagonalmatrix diag(c 1, c 2,..., c n ) = Rang
3 Matrizen 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Einheitsmatrix E =, Nullmatrix O = 0 0 1 0 0 0 c 1 0 0 0 c Diagonalmatrix diag(c 1, c 2,, c n ) = 2 0 0 0 c n, Rang Definition: Die Zahl r heißt Rang einer Matrix, falls
MehrKurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok
Kurs über Lineare Gleichungssysteme PD Dr. Karin Halupczok Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg http://home.mathematik.unifreiburg.de/halupczok/diverses.html karin.halupczok@math.uni-freiburg.de
Mehrmit "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor"
Zusammenfassung Matrizen Transponierte: Addition: mit Skalare Multiplikation: Matrixmultiplikation: m x p m x n n x p mit ES "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor" "Determinante"
MehrA wird in diesem Fall invertierbar oder regulär genannt. Beispiel
Inverse Matrizen Definition Sei A eine quadratische Matrix vom yp (n,n) Existiert zu A eine Matrix X gleichen yps mit AX = XA = E (E: (n,n) Einheitsmatrix), so nennt man X die zu A inverse Matrix, oder
MehrOberstufenmathematik leicht gemacht
Peter Dörsam Oberstufenmathematik leicht gemacht Band 1: Differential- und Integralrechnung 5. überarbeitete Auflage mit zahlreichen Abbildungen und Beispielaufgaben PD-Verlag Heidenau Inhaltsverzeichnis
MehrMathematik I für MB und ME
Übungsaufgaben Aufgaben zur Wiederholung Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 06/07 a) Stellen Sie die Gleichung a b 3+c = a +c, a, b > 0, nach
MehrREPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK. Gerhard Merziger Thomas Wirth
REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK Gerhard Merziger Thomas Wirth 6 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Fl Formelsammlung F2 Formelsammlung Alphabete 11 Zeichenindex 12 1 Grundbegriffe 14 1.1 Logische
MehrMathematik für Betriebswirte II (Analysis) 1. Klausur Sommersemester
Mathematik für Betriebswirte II (Analysis). Klausur Sommersemester 04 5.07.04 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:................................................................... Vorname:....................................................................
Mehr