Brückenkurs Mathematik

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Hella Voss
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1 Brückenkurs Mathematik Von Dr. Karl Bosch Professor für angewandte Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart-Hohenheim 10., verbesserte Auflage R. Oldenbourg Verlag München Wien

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort V Kapitell: Grundlagen der Mengenlehre Der Begriff einer Menge Darstellungen von Mengen Grundmenge und leere Menge Gleichheit von Mengen Teilmengen Durchschnitt und Vereinigung Differenz-und Komplementärmengen Eigenschaften der Mengenoperationen Aufgaben 10 Kapitel 2: Zahlenbereiche (Zahlenmengen) Die natürlichen Zahlen Die ganzen Zahlen Die rationalen Zahlen (Brüche) Die reellen Zahlen Aufgaben 22 Kapitel 3: Das Rechnen mit reellen Zahlen Allgemeine Rechenregeln Das Rechnen mit Klammern Klammern in Klammern Aufgaben 28 Kapitel 4: Das Rechnen mit Brüchen 30 Kapitel 5: Summen-und Produktzeichen Das Summenzeichen Das Produktzeichen Aufgaben 39 Kapitel 6: Das Prinzip der vollständigen Induktion und Summenformeln. 41 Kapitel 7: Die binomischen Formeln 46 Kapitel 8: Der binomische Lehrsatz -Fakultäten -Binomialkoeffizienten Fakultäten Binomialkoeffizienten Der binomische Lehrsatz Aufgaben 51 Kapitel 9: Das Rechnen mit Quadratwurzeln 52

3 VIII Inhaltsverzeichnis Kapitel 10: Potenzen und allgemeine Wurzeln Potenzen mit ganzzahligen positiven Exponenten Potenzen mit ganzzahligen Exponenten n-te Wurzeln (Potenzen mit dem Exponenten 1/n) Potenzen mit rationalen Exponenten Lösungen von Potenzgleichungen Aufgaben 63 Kapitel 11: Logarithmen Allgemeine Logarithmen Zehnerlogarithmen (dekadische Logarithmen) Natürliche Logarithmen Rechenregeln für beliebige Logarithmen Lösungen von Exponentialgleichungen Logarithmen zu verschiedenen Basen Aufgaben 72 Kapitel 12: Lineare Gleichungen mit einer Variablen 74 Kapitel 13: Geradengleichungen in der x-y-ebene Koordinatengleichung einer Geraden Schnitt zweier Geraden Orthogonale Geraden Aufgaben 85 Kapitel 14: Quadratische Gleichungen Reinquadratische Gleichungen ax 2 + c = Die spezielle quadratische Gleichung ax 2 + bx = 0; a^o Die allgemeine quadratische Gleichung (quadratische Ergänzung) Der Satz von Vieta Berechnung der zweiten Lösung aus einer Lösung Polynomdivision bei einer vorgegebenen Lösung Wurzelgleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen Gleichungen, die durch Substitution auf quadratische Gleichungen führen Gleichungen mit Brüchen mit Unbekannten im Nenner Aufgaben 106 Kapitell5: Parabeln Nach oben geöffnete Normalparabeln Nach unten geöffnete (gespiegelte) Normalparabeln Allgemeine Parabeln Nullstellen von Parabeln-quadratische Gleichungen Schnitt einer Parabel mit einer Geraden Schnitt zweier Parabeln Aufgaben 120 Kapitel 16: Ungleichungen und Beträge Das Rechnen mit Ungleichungen Intervalle Lineare Ungleichungen mit einer Variablen 123

4 Inhaltsverzeichnis IX 16.4 Beträge und Abstände. Ungleichungen mit Beträgen Quadratische Ungleichungen Reinquadratische Ungleichungen Allgemeine quadratische Ungleichungen Aufgaben 137 Kapitel 17: Gleichungen höherer Ordnung-Polynomdivision Ausklammern einer Potenz von x Vorgabe einer Lösung (Polynomdivision) Aufgaben 145 Kapitel 18: Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Lineare Gleichungen mit drei Unbekannten Aufgaben 152 Kapitel 19: Grundlagen der ebenen Geometrie Dreieck Strahlensätze Viereck Vieleck Kreis Aufgaben 160 Kapitel 20: Trigonometrische Funktionen und Bogenmaß Trigonometrische Funktionen im rechtwinkligen Dreieck Bogenmaß auf dem Einheitskreis Sinus-und Kosinusfunktion Tangens-und Kotangensfunktion 166 Kapitel 21: Volumina und Oberflächen von Körpern Quader Würfel Kreiszylinder Prismen Kreiskegel Pyramiden Gerader Kegelstumpf Kugeln Aufgaben 176 Kapitel 22: Folgen (reelle Zahlenfolgen) und spezielle Reihen Definition einer Folge (reelle Zahlenfolge) Monotone und beschränkte Folgen Arithmetische Folge Arithmetische Reihe Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n Die allgemeine arithmetische Reihe Geometrische Folge Endliche geometrische Reihe 182

5 X Inhaltsverzeichnis Spezielle endliche geometrische Reihe Allgemeine endliche geometrische Reihe Konvergente und divergente Folgen Die unendliche geometrische Reihe Aufgaben 188 Kapitel 23: Differentialrechnung bei Funktionen einer Variablen Definition einer Funktion Grenzwert einer Funktion Stetige Funktion Die Ableitung einer Funktion Kurvendiskussion Aufgaben 208 Kapitel 24: Integralrechnung Das bestimmte Integral Die Integralfunktion Stammfunktion und unbestimmtes Integral Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion Aufgaben 218 Lösungen der Aufgaben 219 Sachwortverzeichnis 258

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