Analysis für Ingenieure

Transkript

1 Analysis für Ingenieure Eine, anwendungsbezogene Einführung mit Übungen Prof. Dr. Manfred Andrie Dipl.-Ing. Paul Meier 3. Auflage VMVERLX3

2 Inhaltsverzeichnis GRUNDLAGEN 1 Mengen 13 2 Zahlen 14 3 Übungen 17 4 Physikalische Größen 18 B FUNKTIONEN 5 Begriff der Funktion 20 6 Polynome Lineare Funktionen Anwendungen und Übungen Quadratische Funktionen «Anwendungen und Übungen Begriff des Polynoms Das Hornersche Schema Nullstellen 36 7 Rationale Funktionen 40 8 Begriff der Umkehrfunktion 41 9 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten Die n-te Wurzel einer Zahl Wurzelfunktion als Umkehrfunktion Definition der Potenzfunktion «Übungen Logarithmus- und Exponentialfunktion Rechnen mit Logarithmen Definition von Logarithmus- und Exponentialfunktion «Anwendungen und Übungen T r i g o n o m e t r i s c h e u n d Z y k l o m e t r i s c h e F u n k t i o n e n Periodische Funktionen und Winkel Trigonometrische Funktionen Zyklometrische Funktionen «Anwendungen und Übungen 62

3 8 Inhaltsverzeichnis 12 Hyperbel- und Areafunktionen Zahlenfolgen Begriff der Zahlenfolge Grenzwert einer Zahlenfolge Arithmetische und geometrische Folgen Die Eulersche Zahl 'e' Reihen Endliche Reihen Binomischer Lehrsatz Unendliche Reihen «Anwendungen und Übungen Grenzwert einer Funktion Grenzwert einer Funktion für x x o Grenzwert einer Funktion für x oo und x-^-oo «Übungen Stetige und unstetige Funktionen Begriff der Stetigkeit «Anwendungen und Übungen 96 DIFFERENTIALRECHNUNG 17 Begriff der Ableitung einer Funktion Definition der Ableitung Tangenten- und Normalengleichung Differenzierbarkeit und Stetigkeit Grundregeln der Differentiation Ableitung von Summe, Differenz und Produkt mehrerer Funktionen Ableitung des Quotienten zweier Funktionen Ableitung zusammengesetzter Funktionen Ableitung der Umkehrfunktion Ableitung spezieller Funktionen Ableitung der zyklometrischen Funktionen Ableitung der Exponential-, der Logarithmus- und der Potenzfunktionen 117

4 Inhaltsverzeichnis Ableitung der Hyperbel- und Areafunktionen Zusammenstellung der wichtigsten Ableitungen «Anwendungen und Übungen Extremwerte und Mittelwertsatz Notwendiges Kriterium für ein lokales Extremum Mittelwertsatz Monotonieverhalten von Funktionen Hinreichendes Kriterium für ein lokales Extremum Wendepunkte «Anwendungen und Übungen zur Differentialrechnung Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) Übungen (Extremwertprobleme) Kurvendiskussion Funktionen und Graphen in Technik und Physik Übungen (Kurvendiskussion und ihre Anwendung in Technik und Physik) Taylor-Polynome und Taylor-Reihen 174 INTEGRALRECHNUNG 23 Begriff des bestimmten Integrals Problemstellung Das bestimmte Integral einer Funktion Grundregeln der Integralrechnung Vertauschen der Integrationsgrenzen Linearität des Integrals Additivität und Monotonie des Integrals Zusammenhang zwischen Integral- und Differentialrechnung Das Integral als Funktion der oberen Grenze Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Stammfunktion und unbestimmtes Integral Tabelle von Stammfunktionen Bestimmtes Integral und Stammfunktion Technik des Integrierens 199

5 10 Inhaltsverzeichnis 26.1 Partielle Integration Integration durch Substitution Uneigentliche Integrale Integration auf einem unendlichen Integrationsintervall Integration einer unbeschränkten Funktion «Anwendungen und Übungen zur Integralrechnung Flächeninhalt und Integration Übungen (Technik des Integrierens und Flächeninhalte) Volumen von Rotationskörpern Übungen (Rotationskörper) Bogenlänge einer Kurve Krümmung einer Kurve Die Klotoide (Eine Anwendung aus dem Verkehrsbau) Mantelfläche von Rotationskörpern Übungen (Bogenlänge, Krümmung, Oberfläche) Schwerpunkt und statisches Moment einer ebenen Fläche Übungen (Schwerpunkt) Guldinsche Regel für das Volumen von Rotationskörpern Flächenträgheitsmomente Übungen (Flächenträgheitsmomente) Querkräfte und Momente am Balken Übungen (Querkraft- und Momentenfunktionen) LÖSUNGEN Zu Teil A: Grundlagen 262 Zu Teil B: Funktionen 263 Zu Teil C: Differentialrechnung 271 Zu Teil D: Integralrechnung 287 REGISTER 295