Stichpunkte zum Abschnitt Analysis der Höheren Mathematik für Ingenieure I

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1 Stichpunkte zum Abschnitt Analysis der Höheren Mathematik für Ingenieure I Komplexe Zahlen Definition komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene, algebraische Form, trigonometrische Form, exponentielle Form, Umrechnung, Mengen in der Gaußschen Zahlenebene, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division komplexer Zahlen, Konjugation und Betrag komplexer Zahlen, Gleichheit komplexer Zahlen, Formel von Euler, Potenzen komplexer Zahlen, insbesondere in trigonometrischer (oder auch exponentieller) Form, Wurzeln komplexer Zahlen in trigonometrischer und exponentieller Form, Wieviele Lösungen hat die Gleichung z n = 1 und wie lauten sie? 1

2 Funktionen einer reellen Veränderlichen Definitionsbereich, Wertebereich, Graph einer Funktion, Eigenschaften von Funktionen: (streng) monoton wachsend, (streng) monoton fallend, gerade bzw. achsensymmetrisch, ungerade bzw. punktsymmetrisch, nach unten beschränkt, nach oben beschränkt, beschränkt, injektiv bzw. eineindeutig, surjektiv bzw. Abbildung auf, bijektiv, periodisch, Definition der Umkehrfunktion, Spezielle Funktionen: lineare Funktion, Potenz- und Wurzelfunktion, trigonometrische Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens), zyklometrische Funktionen (Arcussinus, Arcuskosinus, Arcustangens, Arcuskotangens) als Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen, Exponential- und Logarithmenfunktion, hyperbolische Funktionen (Sinushyperbolicus, Kosinushyperbolicus) und ihre Umkehrfunktionen (Areasinushyperbolicus, Areakosinushyperbolicus), Zahlenfolgen Konvergenz, Divergenz, bestimmte Divergenz, Vergleichskriterium, Monotonie-Kriterium, 2

3 Funktionengrenzwerte rechtseitiger Grenzwert der Funktion f an der Stelle x 0, linksseitiger Grenzwert der Funktion f an der Stelle x 0, Grenzwert der Funktion f an der Stelle x 0, Rechenregeln zur Grenzwertbestimmung, Vergleichskriterium, Stetigkeit Definition der Stetigkeit der Funktion f an der Stelle x, Stetigkeit auf dem Intervall (a, b). Arten der Unstetigkeit, Gleichmäßige Stetigkeit, Differentialrechnung Definition der Ableitung, geometrische Bedeutung: Tangentenanstieg, Differenzial, Anwendung: Fehler- und Näherungsrechnung, Jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar, Bsp.: f(x) = x an der Stelle x = 0., Differentationsregeln: Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, L Hospitalsche Regel, 3

4 Kurvendiskussion relative bzw. lokale Maxima und Minima, globale bzw. absolute Minima und Maxima, Maximalstellen, Kandidaten für Extremalstellen, stationäre Punkte, Monotonieverhalten aus der ersten Ableitung, Art des Extremums aus dem Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung, Art des Extremums aus der 2. Ableitung, Krümmungsverhalten, konvex, konkav (von unten), Bestimmung des Krümmungsverhaltens aus der 2. Ableitung, Wendepunkte, Wendepunkttest, Asymptoten, Verhalten im Unendlichen, Polstellen, Symmetrie, qualitativer Verlauf der Funktion aus der/den Ableitungen bestimmen, ohne die Funktion explizit zu kennen, Kurven im R 2 Definition der Kurve, des Kurvenstücks, Anfangspunkt, Endpunkt, Orientierung, Parameterdarstellung, reguläre Kurve, Spezialfall Funktion, Tangente und Normale an die Kurve (aus der Parameterdarstellung), 4

5 Integralrechnung Definition des bestimmten Integrals über Riemannsche Summen, bestimmtes Integral als vorzeichenbehafteter Flächeninhalt, unbestimmtes Integral, Integrationskonstante, Stammfunktion, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Integrationsregeln: partielle Integration, Substitionsregeln, Integration rationaler Funktionen, Partialbruchzerlegung, uneigentliche Integrale, unbeschränkter Integrand, unbeschränktes Integrationsintervall, Majorantenkriterium Zahlenreihen, allgemein Konvergenz, Divergenz, Rückführung auf Zahlenfolgen durch die Folge der Partialsummen, wichtigster Spezialfall: geometrische Reihe, notwendiges Konvergenzkriterium, Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen. 5

6 Zahlenreihen, absolut konvergente Reihen absolute Konvergenz, Majorantenkriterium, Integralkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Cauchy-Produkt. Funktionenfolgen, allgemein punktweise Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen Vertauschen von Eigenschaft und Limesbildung möglich, Stetigkeit der Grenzfunktion einer Folge stetiger Funktionen, Differentation der Grenzfunktion, die Ableitung der Grenzfunktion ist gleich der Grenzfunktion der Ableitungen, Integration der Grenzfunktion, das Integral über die Grenzfunktion ist gleich der Grenzfunktion der Integrale. Funkionenreihen, allgemein Folge der Partialsummen. 6

7 gleichmäßg konvergente Funkionenreihen M-Test, Vertauschen von Differentation und Summation, d.h. gliedweise Differentation ist erlaubt, Vertauschen von Integration und Summation, d.h gliedweise Integration ist möglich. Potenzreihen Konvergenzradius, Berechnung des Konvergenzradius, Summe/Produkt im gemeinsamen Konvergenzbereich, gliedweise Differentation/Integration bei gleichem Konvergenzradius, Potenzreihen mit Zentrum, Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen (Prinzip des Koeffizientenvergleichs) Taylorreihen Taylorformel mit Restglied (nach Lagrange). 7

8 Methoden der Reihenentwicklung mittels Taylorformel, Nachweis, dass das Restglied für n gegen Null strebt, Summe/Produkt bekannter Potenzreihen im gemeinsamen Konvergenzbereich, Differentation/Integration bekannter Potenzreihen bei gleichem Konvergenzradius, unbestimmter Ansatz als Potenzreihe, Potenzreihen in Potenzreihen einsetzen. Fourierreihen periodische Funktionen, gerade und ungerade Fortsetzung, trigonometrische Polynome, Fourierreihen, Fourierkoeffizienten, Spezialfall: 2π-periodische Funktionen, reine Kosinus- und reine Sinusreihen, Gibb s Phänomen, Konvergenzsatz 8