V.1 Konvergenz, Grenzwert und Häufungspunkte

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1 V.1 Konvergenz, Grenzwert und Häufungspunkte S A. Bereits bekannt: Folge Extrem wichtig: Grenzwert bzw. Konvergenz: a n a oder lim n a n = a : ε R, ε > 0 n 0 N : a n a < ε n n 0 Begriffe: Fast alle, Endstück Definition Häufungspunkt Satz: Jede Folge hat höchstens einen Grenzwert Satz: Jede konvergente Folge besitzt genau einen Häufungspunkt B. Fragen 1 5, insbesondere 2 und 4 C. Definition Grenzwert, konvergent, Häufungspunkt Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Grenzwert und Häufungspunkt Beispiele für verschiedene Folgen Mögliche Anzahl Häufungspunkte oder Grenzwerte Beweisideen der obigen Sätze

2 V.2 Wie erkennt man konvergente Folgen? (1. Teil) S A. Antwort: Monoton und beschränkt konvergent (Satz 2.4) Definition monoton Monotonie und Häufungspunkte Definition beschränkt Konvergente Folgen müssen beschränkt sein ja beschränkt? nein ja monoton? divergent nein konvergent??? ( n) n e B. Fragen 6 9, insbesondere 7 und 8 C. Zusammenhang konvergent, monoton, beschränkt (mit Beweisidee) Folgentopf (siehe Fragen 7, 8) Beispiele für verschiedene Folgen Mögliche Anzahl von Häufungspunkten bei monotonen oder bei beschränkten Folgen Beweisideen der obigen Sätze

3 V.3 Wie erkennt man konvergente Folgen? (2. Teil) S A. Weitere Hilfsmittel: Einschließungssatz (Satz 3.2) Nullfolge beschränkte Folge = Nullfolge (Satz 3.3) Grenzwertsätze Rechnen mit konvergenten Folgen Rekursiv definierte Folgen Geometrisches und arithmetisches Mittel: a + b ab a, b R 2 B. Fragen 10 16, insbesondere 11, 12, 15 C. Bestimmung von Grenzwerten durch Anwendung der Grenzwertsätze Untersuche die Folge 1 n sin(n) Fragen 11, 14, 15

4 V.4 Teilfolgen und der Satz von Bolzano Weierstraß S A. Teilfolge (Def 4.1): viele Folgenglieder in unveränderter Reihenfolge Weitere Aussagen über Folgen: Zu jedem Häufungspunkt gibt es eine konvergente Teilfolge Folge konvergent jede Teilfolge konvergent Hoch und Tiefpunkt Jede Folge besitzt eine monotone Teilfolge Satz von Bolzano Weierstraß Jede beschränkte reelle Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt B. Fragen 17, 18 C. Beweis(e) zu Bolzano Weierstraß Frage 17 Beweis des Satzes über die Existenz monotoner Teilfolgen

5 V.5 Das Cauchysche Konvergenzprinzip S A. Weitere Möglichkeit, Folgen auf Konvergenz zu untersuchen Cauchyfolge ε > 0 n 0 N : a n a m < ε n, m n 0 In R gilt: Konvergente Folge Cauchyfolge Cauchykriterium liefert nicht den konkreten Grenzwert B. Frage 19 C. Nur mündlich auf persönlichen Wunsch V.6 Drei Beispiele S A. Mathematische und außermathematische Anwendungen: Zinseszinsrechnung Investitionen in der Volkswirtschaft Insektenpopulation B. und C. entfallen

6 V.7 Reihen S A. Reihen sind spezielle Folgen (Folge der Partialsummen) Zu jeder Reihe a n gehört Folge a n an konvergent a n Nullfolge Wichtig für Anwendung: a n keine Nullfolge Reihe a n nicht konvergent Aber : Umkehrung ist falsch! Harmonische Reihe n=1 1 n ist divergent Alternierende harmonische Reihe ist konvergent Geometrische Reihe B. Fragen 20, 21 k=0 q k, k=1 C. Kenntnis der (alternierenden) harmonischen und der geometrischen Reihe 1 k 2 Beweisidee zur Divergenz der harmonischen Reihe Frage 21

7 V.8 Einige Konvergenzkriterien für Reihen S A. Einfache Rechnungen mit konvergenten Reihen Mit a n, konvergent bn auch aa n, (an + b n ) Vier wichtige Kriterien: Majoranten, Minorantenkriterium Quotientenkriterium hilft nicht immer auch als Limesversion Wurzelkriterium Leibnizkriterium Potenzreihen und Exponentialreihe Für Spezialisten: Riemannscher Umordnungssatz B. Fragen 22 27, insbesondere C. Wie lautet das Quotientenkriterium? Frage 23 (Anwendung der Kriterien)

8 V.9 Grenzwerte von Funktionen S A. Vorbereitung auf Stetigkeitsbegriff Intervall (offen, abgeschlossen) Dirichlet Funktion Grenzwert einer reellen Funktion Funktion muss im Grenzwert nicht definiert sein Grenzwert darf kein isolierter Punkt sein B. Fragen 28 30, insbesondere 29 C. Graph der Dirichlet Funktion zeichnen Graph von anderen Funktionen zeichnen

9 V.10 Stetigkeit: Definition und Beispiele S A. f : D R R heißt stetig in x 0 D : Für jede Folge (x n ) aus D mit Grenzwert x 0 gilt lim f(x n n ) = f(x 0 ) Kurzform: x n x 0 f(x n ) f(x 0 ) Beispiele für (un)stetige Funktionen Rechnen mit stetigen Funktionen: f +g,... Polynome und rationale Funktionen sind stetig ε δ Kriterium der Stetigkeit B. Fragen 31 35, insbesondere C. (Un)stetigkeit an einer Skizze mit eigenen Worten erklären können Um die Problematik des Stetigkeitsnachweises wissen Gegebene Funktionen auf Stetigkeit überprüfen können Wieviele Unstetigkeitsstellen kann eine Funktion haben?

10 V.11 Einfache Eigenschaften stetiger Funktionen S A. Verhalten einer stetigen Funktion in (kleinen) Umgebungen von x 0 Nullstellensatz (Satz 11.2) Fixpunktsatz (Satz 11.3) Zwischenwertsatz (Satz 11.4) Prinzip vom Maximum und Minimum (Satz 11.5) Für Spezialisten: Umkehrsatz für streng monotone Funktionen B. Fragen 36 41, insbesondere 37 C. Nenne und erkläre bekannte Sätze über Stetigkeit Beweisskizze(n) zum Nullstellensatz Beweisskizze zum Fixpunktsatz Bedeutung der Voraussetzungen bei diesen Sätzen

11 V.12 Über Abbildungen f : R n R m S A. Nicht Prüfungsrelevant! f : R R m für m = 2, 3: Parameterdarstellung von Kurven f : R 2 R: f : R 2 R 3 : Funktionsgebirge Parameterflächen B. Frage 42 (Mathematisches Allgemeinwissen) C.

12 V.13 Die Ableitung einer Abbildung S A. Vom Differenzenquotienten zum Steigungsmaß oder von der Sekante zur Tangente: Definition differenzierbar in x 0 (Def 13.1) Ableitung Differenzierbarkeitsnachweis ausschließlich mit Hilfe der Definition Zusammenhang stetig und differenzierbar (Satz 13.1) Höhere Ableitungen B. Fragen 43 47, insbesondere C. Differenzierbarkeit mit eigenen Worten erklären können Zusammenhang stetig und differenzierbar, (Gegen)beispiele Überprüfe Differenzierbarkeit einfacher Funktionen nur mit Hilfe der Definition

13 V.14 Einige Ableitungsregeln S A. Summenregel (f + g) = f + g Produktregel (f g) = f g + fg Quotientenregel ( f g ) = f g fg Ableitung von Polynomen und rationalen Funktionen g 2 Kettenregel (g f) = (g f) f Für Spezialisten: Umkehrregel Ableitung von e x, ln x, sin x, cos x Regel von de l Hospital B. Fragen 48 51, insbesondere 48, 50, 51 C. Regeln kennen und anwenden können Differenziere x 2, 2 x, 2 2, x x Regel von de l Hospital anwenden können

14 V.15 Weitere Eigenschaften differenzierbarer Funktionen S A. Hilfsmittel für Kurvendiskussionen Ableitung und strenge Monotonie Wie erkennt man an Ableitungen die Existenz von (lokalen) Extrema und Wendestellen? Bedeutung von konkav und konvex Mittelwertsatz der Differenzialrechnung (Satz 15.7) Kein Prüfungsstoff: Satz von Rolle Newton Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen B. Fragen 52 56, insbesondere 52, 54 C. Mittelwertsatz skizzieren können Wahr oder falsch? f streng monoton f (x) 0 Teile von Kurvendiskussionen x