Vorlesungen Analysis von B. Bank

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1 Vorlesungen Analysis von B. Bank vom und Zunächst noch zur Stetigkeit von Funktionen f : D(f) C, wobei D(f) C. (Der Text schliesst unmittelbar an die Vorlesung vom an.) Auf Grund der Grenzwertsätze erhält man sofort: Satz 1. Seien f : D(f) C & g : D(g) C beide stetig in a D(f) D(g) (i) αf (α C), f + g & f g stetig in a. (ii) 1 f Beispiele stetig in a, falls f(a) 0. = (1) Ein Polynom f(z) := n k=1 a kz k ist stetig auf D(f) = C. n k=1 (2) Eine rationale Funktion f(z) := a kz k m k=1 b ist stetig auf kz k C \ z C m k=1 b kz k = 0. (3) f(z) := e z ist stetig auf C (denn z a = e z e a a C ). (4) Die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen sind auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen stetig (wegen (3)!). (5) Der Hauptwert von f(z) := log z ist stetig in C \ z C R(z) < 0 & J(z) = 0. Satz 2. Eine Potenzreihe ist im Innern ihres Konvergenzkreises eine stetige Funktion. Bws. Durch die Transformation z := w w 0 lässt sich jede Potenzreihe a k (w w 0 ) k in die Form a k z k überführen. Seien f(z) := a k z k eine Potenzreihe & R := ( ak ) k 1 ihr Konvergenzradius. Seien a C : a < R und r R mit der Eigenschaft a < r < R beliebig gewählt. 1

2 Da a kz k für jedes z B(0, R) := z C z < R absolut konvergiert, gilt für die n te Partialsumme s n (z) der Potenzreihe die Abschätzung sn (z) n = a k z k n n ak z k ak r k =: c k n c k n N z C : c k z < r, weil die Reihe c k konvergiert. Sei ε > 0 beliebig gewählt. Nach den Cauchy Kriterium folgert man n ε N : k=n+1 c k < ε 3 n > n ε. Daher f(z) sn (z) = a k z k c k < ε 3 n > n ε z C : z < r. k=n+1 k=n+1 Sei n > n ε beliebig fixiert. Die n te Partialsumme s n (z) ist ein Polynom & folglich stetig in a B(0, r), i.e., δ ε > 0 : sn (z) s n (a) < ε 3 z B(a, δ ε ). Wählt man nun 0 < δ < δ ε derart, dass B(a, δ) B(0, r), so hat man f(z) f(a) = f(z) sn (z) + s n (z) s n (a) + s n (a) f(a) f(z) sn (z) + sn (z) s n (a) + sn (a) f(a) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε z B(a, δ), i.e., die durch die Potenzreihe definierte Funktion f(z) ist im beliebig gewählten inneren Punkt a des Konvergenzkreises stetig. # Def Seien u k : G C, k = 0, 1,..., G C Funktionen. Dann heisst die Funktionenreihe u k(z) gleichmässig konvergent gegen eine Funktion u : G C, falls Bemerkungen ( ) ε > 0 n ε N : u(z) n u k(z) < ε n > n ε z G. Setzt man im Satz 2. u k (z) := a k (z z 0 ), k = 0, 1,... sowie G := B(z 0, r) = z C z z0 r für r < R, so wurde im Beweis die Bedingung ( ) für die Partialsummen und die Funktion u(z) := u k(z) gezeigt. Folgerung 1. Jede Potenzreihe f(z) := a k(z z 0 ) k ist im Kreis B(z 0, r) gleichmässig konvergent, wenn nur r < R ( R Konvergenzradius) ist. 2

3 Folgerung 2. Sind die Funktionen u k : G C, k = 0, 1,... stetig in G und die Reihe u k(z) gleichmässig konvergent gegen die Grenzfunktion u(z), so ist u(z) stetig in G. Bemerkung Mit Satz 2. kann man auch den Identitätssatz für Potenzreihen beweisen. Bsp. zur Anwendung von Satz 2. sin z z 0 = 1. Zunächst ist sin z = z z3 z 3! + z5 sin z ±, also = 1 z2 5! z 3! + z4 5! +. Da letztere Reihe z C konvergiert, folgt sofort die Behauptung. Falls f : D(f) C eine Funktion mit unbeschränktem Definitionsbereich D(f) C ist, so interessiert man sich für ihr Verhalten bei z. Wir definieren: Falls z n D(f) : zn = g C : f(z n ) g, so heisst g Grenzwert von f für z, und wir schreiben g := z f(z). Der Grenzwert g muss nicht existieren, wie das Beispiel z e z zeigt: zn := n = e z n = e n, falls z, zn := i n = e z n = e i n = 1. Reelle Funktionen Jetzt betrachten wir Stetigkeitseigenschaften von reellen Funktionen f : D(f) R, wobei D(f) R und nutzen neben den Körpereigenschaften von R auch die Ordnungstruktur aus, was uns weitergehende Aussagen ermöglicht. D(f) und R werden mit d(x, y) := x y zu metrischen Räumen. Bemerkung Wir wissen, dass eine reelle Funktion f in x 0 D(f) stetig ist, falls ε > 0 δ ε > 0 : f(x) f(x 0 ) < ε x D(f) : x x 0 < δ ε gilt. 3

4 Satz 3.(Zwischenwertsatz; Bolzano, Weierstrass, Cauchy) Sei f : [a, b] R eine stetige Funktion (wobei a, b R, a < b ). Ferner seien A := inf f([a, b]) & B := sup f([a, b]) = y [A, B] x [a, b] : f( x) = y, i.e., f([a, b]) = [A, B]. Bws. [a, b] R ist kompakt & f stetig. Mit dem Satz von Weierstrass (über Maximum und Minimum) = x, x [a, b ] : f(x ) = A & f(x ) = B. OBdA gelte x < x (falls x > x, so nimmt man in der folgenden Argumentation f anstelle von f ; falls x = x, so setzt man x = x ). Sei y [A, B] beliebig fixiert. Die Menge K := x [x, x ] f(x) y enthält x, i.e., K. Weiter ist K beschränkt und abgeschlossen, also kompakt. Daher existiert x := sup K R, und wir wissen auch x K, i.e., f( x) y. Wenn wir noch f( x) y zeigen können, ist der Satz bewiesen. Wir müssen zwei Fälle betrachten: 1. x = x. = f( x) = f(x ) y. 2. x < x. Für jede Folge x n : xn ( x, x ] & x n x = (f stetig) f(x n ) f( x), und da f(x n ) > y, muss f( x) y sein. # Folgerung (Nullstellensatz von Bolzano) Seien f : [a, b] R stetig ( a, b R, a < b ) und f(a) f(b) < 0. Dann gilt x [a, b] : f(x) = 0. Definition Monotone Funktionen Eine reelle Funktion f : D(f) R heisst ( streng ) monoton wachsend [ fallend ], falls für alle x 1, x 2 D(f) : x 1 < x 2 gilt: f(x 1 ) f(x 2 ) ( f(x 1 ) < f(x 2 ) ) [ f(x 1 ) f(x 2 ) ( f(x 1 ) > f(x 2 ) ) ]. 4

5 Beispiele f(x) := e x ist streng monoton wachsend und stetig auf R. 1 + x, x 0, f(x) := ist streng monoton wachsend doch nicht stetig. x, x < 0 Eigenschaften (i) f streng monoton wachsend f streng monoton fallend. (ii) Falls f streng monoton ist, so existiert auf dem Wertevorrat die Umkehrfunktion f 1, und beide Funktionen haben das gleiche Monotonieverhalten. (iii) Die zusammengesetzte Funktion h(x) := f(g(x)) zweier streng monotoner Funktionen f und g ist streng monoton. h ist wachsend, falls f und g das gleiche Monotonieverhalten haben, andernfalls ist sie fallend. Beispiel h(x) := 1 ln x ist für x > 1 streng monoton fallend, denn f(x) := 1 ist für x > 0 streng x monoton fallend, und g(x) := ln x ist für x > 0 streng monoton wachsend. Satz 3. (1.) Falls f : [a, b] R stetig und streng monoton wachsend (fallend) ist, so ist f 1 : R(f) : R stetig und streng monoton wachsend (fallend), wobei R(f) = [f(a), f(b)] (bzw. R(f) = [f(b), f(a)] ). (2.) Eine stetige, injektive Funktion f : [a, b] R ist streng monoton. Bws. (1.) f : [a, b] R ist stetig und bijektiv. Nach Satz 4. (Homöomorphismus) ist f 1 : R(f) R stetig und ihr Monotonieverhalten ist klar. Da f streng monoton wachsend (fallend) ist, hat man f(a) f(x) f(b) (bzw. f(a) f(x) f(b) ) für alle x [a, b]. Nach dem Zwischenwertsatz folgt R(f) = [f(a), f(b)] (bzw. R(f) = [f(b), f(a)] ). (2.) Da f injektiv ist, folgt f(a) f(b). OBdA gelte f(a) < f(b). Wir zeigen, dass dann f streng monoton wachsend ist. Indirekt, Ann. x 1 & x 2 [a, b] mit x 1 < x 2 mit f(x 2 ) < f(x 1 ). 1. Fall f(x 2 ) f(a). Nach dem Zwischenwertsatz gibt es dann ein x [x 2, b] : f( x) = f(a). Wegen a x 1 < x 2 x b widersprich das aber der Injektivität von f. 2. Fall f(a) < f(x 2 ). Nach dem Zwischenwertsatz gibt es dann ein x [a, x 1 ] : f( x) = f(x 2 ). Doch wegen a x x 1 < x 2 widerspricht auch das der Injektivität von f. Folgerung Der natürliche Logarithmus ln : (0, + ) R ist stetig und streng monoton wachsend. # 5

6 Reelle Funktionen mit unbeschränktem Definitionsbereich Sei f : D(f) R, wobei D(f) R nicht beschränkt ist. Wir definieren: Falls g R : x n D(f) : xn + (bzw. x n ) = f(x n ) g, so heisst g Grenzwert von f für x + (bzw. für x ), und wir schreiben f(x) = g x + (bzw. f(x) = g). x Analog kann man auch die uneigentlichen Grenzwerte + und definieren. Beispiele (i) x + e x = +, denn e x > 1 + x für x > 0. x e x = 0, denn e x = 1 e x. (ii) x + ln x = +. Wegen Monotonie von ln x braucht man nur x n := 2 n + zu betrachten, und erhält n ln 2 n = n (n ln 2) = +. x 0 ln x =. Man betrachtet x n := 1 2 n 0 und erhält n ln 1 2 n = n ( n ln 2) =. (iii) x + ln x x = 0 und x 0 x ln x = 0. (Können wir später mit Regel von Bernoulli & de L Hospital berechnen.) Für x > 1 hat man 0 < ln x x = ln x e ln x = ln x (ln x)2 1 + ln x + + 2! < ln x (ln x) 2 2! = 2 ln x Ähnlich verifiziert man den Grenzwert x 0 x ln x = 0, Übung! (iv) x 0 sin x x Einseitige Grenzwerte = 1, wissen wir schon. 0 für x =. Für reelle Funktionen f : D(f) R sind auch die einseitigen Grenzwerte in einem Punkt x 0 D(f) von Bedeutung; man betrachtet dazu die Einschränkung von f auf die Mengen x D(f) x x0 & x D(f) x x0. Definition Seien f : A R & x 0 Ā R. (a) y R (bzw. y R, + ) heisst (uneigentlicher) rechtsseitiger Grenzwert von f in x 0, falls y = f(x), wobei x x 0 + bedeutet x x 0 & x A [x 0, + ]. 6

7 (b) y R (bzw. y R, + ) heisst (uneigentlicher) linksseitiger Grenzwert von f in x 0, falls y = x x 0 f(x), wobei x x 0 bedeutet x x 0 & x A (, x 0 ]. (c) f heisst rechtsseitig (bzw. linksseitig) stetig, falls f(x) = f(x 0 ) ( bzw. x x 0 f(x) = f(x 0 )). Bemerkung Falls f in einer punktierten Umgebung U \ x 0 definiert ist, so gilt g = x x0 f(x) g = f(x) = x x 0 f(x). Also ist f genau dann in x 0 stetig, wenn f in x 0 sowohl links als auch rechtsseitig stetig ist. Einseitige Grenzwerte haben für Funktionen über C kein Analogon. Mittels einseitiger Grenzwerte können wir die Unstetigkeitsstellen reeller Funktionen klassifizieren: (1.) Hebbare Unstetigkeit. x 0 heisst hebbare Unstetigkeitsstelle von f, falls die einseitigen Grenzwerte f(x) & f(x) im (eigentlichen) Sinne existieren und gleich sind, doch x 0 / D(f) oder x 0 D(f) : f(x 0 ) f(x) Beispiel: f(x) := sin x, 0 / D(f). Durch f(0) := 1 wird f in x = 0 stetig. x (2.) Endliche Sprungstelle. x 0 heisst endliche Sprungstelle von f, falls die einseitigen Grenzwerte f(x) & f(x) im (eigentlichen) Sinne existieren, doch verschieden sind. Beispiel: f(x) := sgn x hat in x = 0 eine endliche Sprungstelle. (3.) Pol- oder Unendlichkeitstelle. x 0 heisst Pol- oder Unendlichkeitsstelle von f, falls die einseitigen Grenzwerte f(x) & f(x) nur im uneigentlichen Sinne existieren und gleich sind. Beispiel: f(x) := 1 x 2 mit x = 0 als Polstelle. 7

8 (4.) Unendliche Sprungstelle. x 0 heisst unendliche Sprungstelle von f, falls die einseitigen Grenzwerte f(x) & f(x) existieren, doch mindestens einer nur im uneigentlichen Sinne, und sie sind verschieden. Beispiel: f(x) := 1 x hat in x = 0 eine unendliche Sprungstelle. (5.) Oszillationsstelle. x 0 heisst Oszillationsstelle von f, falls von den einseitigen Grenzwerten in x 0 mindestens einer nicht einmal im uneigentlichen Sinne existiert. Beispiel: f(x) := sin 1 x hat in x = 0 eine Oszillationsstelle, denn z.b. sin 1 x existiert nicht, denn für x n := 1 nπ = sin 1 x n = sin nπ = 0 0, jedoch für x n := 1 1 π = sin = sin( π + 2nπ) = nπ x n 2 2 Die Unstetigkeitsstellen nach 1. und 2. fasst man auch als Unstetigkeitsstellen erster Art zusammen und die nach 3. und 4. als solche zweiter Art. Oszillationstellen nennt man auch wesentliche Singularitäten. 8