3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.

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1 Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz Es sei { } eine gegebene reelle Zahlenfolge. Dann definieren wir eine neue Folge {S N } N= durch S N :=, j N. S N nennt man dann die N-te Partialsumme der Reihe, d.h. eine Reihe ist i.a. eine Summe von unendlich vielen Gliedern. Definition (Konvergenz, absolute Konvergenz) () Die Reihe heißt konvergent, falls die Folge der Partialsummen {S N } N= konvergent ist. Wir setzen dann lim S N = N =: S. Andernfalls heißt die Reihe divergent. (2) Die Reihe heißt absolut konvergent, falls die Reihe konvergent ist. Bemerkung () Die Konvergenz einer (unendlichen) Reihe wird also auf die Konvergenz der Folge der zugehörigen Partialsummen zurückgeführt, d.h. die Reihe ist also eine spezielle Folge, siehe auch Folgerung 2 in 2.2. Es ist dabei unwesentlich, ob die Reihe mit dem Glied a 0, a oder a r, r > 2, beginnt. (2) Es gilt 0. Also ist die Folge { N } N= 44

2 monoton wachsend. Damit gibt es nach dem letzten Abschnitt nur 2 Möglichkeiten: entweder ist die Folge beschränkt und damit konvergent oder sie ist unbeschränkt und damit bestimmt divergent. Zunächst beschäftigen wir uns mit einer notwendigen Bedingung für die Konvergenz und den Zusammenhang zwischen absoluter Konvergenz und Konvergenz. Satz (notwendige Bedingung, Zusammenhang) () Eine absolut konvergente Reihe ist auch konvergent. (2) Die Reihe sei konvergent. Dann gilt 0 für j. Beweis: Wir zeigen (). Mittels Dreiecksungleichung erhalten wir für M > N S M S N = M = da nach Voraussetzung die Folge { SN = M j=n+ M j=n+ } konvergiert und folglich nach dem Krite- N= rium von Cauchy (Satz 3 in 2.) eine Fundamentalfolge ist. Wir beweisen (2). Beachten wir wieder Satz 3 in 2., so gilt ε für M > N > N 0 (ε), = S j S j ε für j j 0 (ε), da die Folge der Partialsummen nach Definition () konvergiert. Bemerkung 2 () Wir werden später (harmonische Reihe in 3.2) sehen, dass die Umkehrung von Aussage (2) im letzten Satz nicht gilt. (2) Falls 0 für alle j N gilt, so stimmen Konvergenz und absolute Konvergenz überein. 3.2 Beispiele Wir betrachten jetzt wichtige Beispiele von konvergenten und divergenten Reihen. Lemma (geometrische Reihe) Es sei q eine reelle Zahl. Dann ist für q < die geometrische Reihe q j mit q 0 := absolut konvergent und es gilt Für q ist die Reihe divergent. q j = q. 45

3 Beweis: Die erste Aussage folgt mittels Folgerung 2 in 2.2. Für q folgt q k und die Reihe ist nach dem notwendigen Konvergenzkriterium in Satz (2) divergent. Bemerkung 3 Weiterhin gilt für q < q j = q = q q. Lemma 2 (harmonische Reihe) () Die harmonische Reihe (2) Es sei k R mit k 2. Dann ist die Reihe j (absolut) konvergent. jk Beweis: Wir zeigen (). Aus der Abschätzung der Partialsummen S 2N S N = 2 j=n+ j N 2N = 2, N N, ist (bestimmt) divergent. folgt, dass die Folge der Partialsummen keine Cauchy Folge und damit auch keine konvergente Folge ist. Also divergiert nach Definition die harmonische Reihe. Wegen j 2 für k 2 brauchen wir (2) nur für den Fall k = 2 zu beweisen. Offensichtlich jk ist die Folge der Partialsummen monoton wachsend. Weiterhin ist j 2 > j 2 j = j(j ) > 0 für j 2 und somit Somit erhalten wir für jedes N N S N = j 2 < j(j ) = j j. N j 2 + j(j ) = +( N ) < 2, j=2 dass die Folge auch nach oben beschränkt ist. Mit Satz 8() in 2.2 folgt dann die Behauptung. Bemerkung 4 () Es lässt sich zeigen, dass gilt. j 2 = π2 6 (2) Aussage (2) ist sogar richtig für alle reellen Zahlen k >. Für 0 < k ist die Reihe nach () divergent. 46

4 Definition 2 (alternierende Reihe) Eine Reihe heißt alternierend, wenn je zwei aufeinander folgende Glieder verschiedene Vorzeichen haben. Beispiel () Eine alternierende Reihe kann also immer in der Form ± mit > 0 geschrieben werden. (2) Die Reihe ist somit eine alternierende Reihe. ( ) j+ j Lemma 3 (Leibniz Kriterium) Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn die Absolutbeträge ihrer Glieder eine monotone Nullfolge bilden. Beweis: O.B.d.A. nehmen wir an, dass die Reihe a 2j > 0 und a 2j < 0, j N, sowie mit a > 0 gegeben sei. Dann gilt a a 2 a 3 a 4. Damit erhalten wir S S 3 S 5 (monoton fallende Folge) S 2 S 4 S 6 (monoton wachsende Folge) S 2j > S 2j wegen a 2j < 0. Damit können wir das Lemma herleiten, wenn wir die gleichen Argumente wie beim Beweis von Lemma 2 in 2.2 (Eulersche Zahl) verwenden. Es existieren also die (endlichen) Grenzwerte S und S 2 mit lim S 2j =: S = S 2 := lim S 2j. j j Lemma 4 ( Beispiel (2)) Die alternierende Reihe ist konvergent aber nicht absolut konvergent. ( ) j+ j 47

5 Beweis: Die Konvergenz ergibt sich aus dem letzten Lemma. Die Aussage über die absolute Konvergenz folgt aus Lemma 2() (harmonische Reihe). Bemerkung 5 () Aus der absoluten Konvergenz folgt also stets die Konvergenz. Aus der Konvergenz folgt aber i.a. nicht die absolute Konvergenz. (2) Die Bedingung 0 für j ist notwendig aber nicht hinreichend für die Konvergenz einer Reihe. (3) Es gilt, wie wir später sehen werden, ( ) j+ j = ln Konvergenzkriterien Bisher kennen wir für die Konvergenz von allgemeinen Reihen nur die notwendige Bedingung 0 für j und für alternierende Reihen das Leibniz Kriterium. In der Theorie der Reihen spielen die absolut konvergenten Reihen eine besonders wichtige Rolle. Wir wissen, dass jede absolut konvergente Reihe auch konvergent ist und dass für Reihen mit nichtnegativen Gliedern die Konvergenz mit der absoluten Konvergenz übereinstimmt. Hat man also eine beliebige Reihe, so kann man die nachfolgenden Kriterien auf anwenden, um die absolute Konvergenz von nachzuweisen. Satz 2 (Majorantenkriterium) Es gelte für die Zahlen, b j die Beziehung 0 b j, j N. Ist die Reihe b j konvergent, so ist auch die Reihe konvergent Beweis: Nach Voraussetzung existiert eine reelle Zahl K > 0 mit N N := S (a) Wegen 0 ist die durch S (a) N b j =: S (b) N K. erzeugte Folge monoton wachsend und nach oben durch K beschränkt. Daraus folgt aber wieder wie oben die Konvergenz und die Aussage des Satzes. 48

6 Bemerkung 6 () Die Reihe b j im Satz 2 nennt man Majorante der Reihe. Es gilt b j. (2) Die Aussage des Satzes ist auch richtig, wenn die Bedingung b j nur für j j 0 N erfüllt ist. Somit ist die Reihe n 2 ln(n+) (absolut) konvergent, da für hinreichend großes n gilt und damit n 2 n 2 ln(n+) nach Lemma 2(2) eine Majorante ist. n2 (3) Analog kann man ein Minorantenkriterium herleiten. Existiert eine natürliche Zahl j 0, so dass 0 b j für alle j j 0 gilt und ist die Reihe (bestimmt) divergent, so gilt das auch für die Reihe b j. Wenn man als Minorante die harmonische Reihe verwendet, so ist wegen, n N, die n n Reihe ebenfalls (bestimmt) divergent. n Die folgenden Kriterien ergeben sich durch Anwendung von Satz 2 auf die geometrische Reihe. Satz 3 (Quotienten- und Wurzelkriterium) Es gelte > 0, j N. () Quotientenkriterium: Existiert eine reelle Zahl q, 0 < q <, und eine natürliche Zahl j 0, so dass für alle j j 0 + q gilt, so ist die Reihe gilt. konvergent. Sie ist divergent, falls für j j 0 stets + (2) Wurzelkriterium: Existiert eine reelle Zahl q, 0 < q <, und eine natürliche Zahl j 0, so dass für alle j j 0 j aj q 49

7 gilt, so ist die Reihe Zahlen j gilt. konvergent. Sie ist divergent, falls für unendlich viele natürliche j aj Beweis: Dede endliche Summe von reellen Zahlen endlich ist, können wir o.b.d.a. annehmen, dass j 0 = gilt. Wir zeigen (2): Nach Voraussetzung gilt also j aj q < für alle j N. Daraus folgt aber q j. Nach Lemma ist die zugehörige geometrische Reihe konvergent und ist somit eine Majorante für unsere Reihe. Die Konvergenzaussage ergibt sich jetzt mit Satz 2. Gilt andererseits für unendlich viel Glieder j, so ist die notwendige Konvergenzbedingung 0 für j verletzt und es liegt nach Satz (2) Divergenz vor. Für den Konvergenznachweis in () verwenden wir die Voraussetzung a 2 qa, a 3 q 2 a,..., q j a = a q qj, j N. Damit folgt und damit die Aussage analog zu (2). Die Divergenz ergibt sich aus a q q j. a > 0, j N, und Satz (2). Bemerkung 7 () Die Kriterien wurden von Cauchy eingeführt. (2) Die angegebenen Bedingungen sind hinreichend jedoch nicht notwendig. Bei der Auswahl des Kriteriums ist es oft günstig, sich an der Struktur der Glieder zu orientieren. j j (3) Falls der Grenzwert lim existiert, so konvergiert die Reihe absolut für lim < j j j und sie divergiert für lim >. Eine analoge Aussage gilt für das Quotientenkriterium. j 50

8 Beispiel 2 () Für die Reihe ergibt sich nach Quotientenkriterium j2 ( ) + j 2 = <, j + aber es existiert keine Zahl q <. Trotzdem ist die Reihe (absolut) konvergent, siehe Lemma 2(2). Das Quotientenkriterium wird in der Literatur oft als Cauchysches Kriterium bezeichnet. (2) Für die harmonische Reihe ergibt sich ebenfalls nach dem Quotientenkriterium + = j j + <, aber es existiert keine Zahl q <. Diese Reihe ist nach Lemma 2() divergent. (3) Es sei x R fest. Wir betrachten die Reihe x j j j. Nach dem Wurzelkriterium (in der Literatur oft als Kriterium von d Alembert bezeichnet) folgt j x j j j = x j q <, falls j j 0 ( x ) gewählt wird. Diese Reihe ist also (absolut) konvergent für jedes reelle x. (4) Es sei x R fest. Wir betrachten die Reihe Nach dem Quotientenkriterium folgt x j j!. x j+ j! (j +)! x j = x j + q <, falls j j ( x ) gewählt wird. Diese Reihe ist also (absolut) konvergent für jedes reelle x. (5) Die Reihe ist divergent, da für j gilt. j j Umordnung, Multiplikation und Addition von Reihen Wir beschäftigen uns zuerst mit der Umordnung von Reihen. Es sei ϕ : N N eine bijektive Abbildung (Permutation) und { } eine Folge reeller Zahlen. Wir setzen b j := a ϕ(j), a k = b ϕ (k). 5

9 Die Folge {b j } heißt Umordnung von {}. Wir fragen, ob dann stets = a ϕ(j) = gilt. Um das Ergebnis vorwegzunehmen: bei absolut konvergenten Reihen konvergiert jede Umordnung gegen denselben Grenzwert. Es gibt aber auch Reihen, bei denen die Reihenfolge der Summanden über die Konvergenz und/oder über den Grenzwert entscheidet. Beispiel 3 Wir betrachten die schon bekannte alternierende Reihe ( ) j+ j = ±. Wir ordnen diese Reihe nach folgendem Prinzip um: Nach einem positiven Glied folgen stets zwei negative Glieder, d.h. wir erhalten die neue Reihe b j Es gilt also b = a, b 2 = a 2, b 3 = a 4, b 4 = a 3, b 5 = a 6, b 6 = a 8, usw. Allgemein ergibt sich für b j = a ϕ(j) die Vorschrift Dann folgt ϕ(3j) = 4j, ϕ(3j ) = 4j 2, ϕ(3j 2) = 2j. S 3m := = 2 m ( 2j 4j 2 ) = 4j m ( 2j ) 2j 2 m ( 4j 2 ) 4j ( ) j+ j, d.h. die neu gebildete Reihe konvergiert gegen die halbe Summe der Ausgangsreihe. Definition 3 (bedingt konvergent) Die Reihe heißt bedingt konvergent, falls konvergent und divergent ist. Beispiel 4 Die Reihe ( ) j (siehe Beispiel 3) ist somit bedingt konvergent. j Satz 4 (Riemann) (vgl. z.b. Blatter Bd., S.05/06) Es sei { } eine Folge reeller Zahlen und sei bedingt konvergent und ξ eine beliebige reelle Zahl. Dann existiert eine Umordnung {b j } von {}, so dass gilt. b j = ξ 52

10 Satz 5 (Kleiner Umordnungssatz) Es sei absolut konvergent und {b j } eine Umordnung von { }. Dann ist b j ebenfalls absolut konvergent, und es gilt = b j. Beweis: Es sei b j = a ϕ(j), j N, und N sei eine beliebige natürliche Zahl. Dann existiert ein natürliche Zahl M = M(N) mit M N, so dass {b,...,b N } {a,...,a M }, d.h. wir haben {ϕ(),...,ϕ(n)} {,...,M}, und es gilt M b j = s <. Damit ist b j absolut konvergent. Wir setzen = S a und b j = S b. Dann gilt S a S b M + j=m+ + j=m+ j=n+ b j j=n+ M b j + b j. b j () Da absolut konvergent ist, können wir nun N so groß wählen, dass b j = a ϕ(j) < ε j=n+ j=n+ gilt, und M so, dass {b,...,b N } {a,...,a M } und j=m+ < ε. Dafür benötigen wir ein M mit {ϕ(),...,ϕ(n)} {,...,M}. 53

11 Dann gilt mit A M = {j =,...,M : j ϕ(k), k =,...,N}, B N = {k N, k > N : ϕ (k) =,...,M} M b j = j A M = y k k B N y k < ε. k>n Aus () folgt nun für alle ε > 0 die Abschätzung S a S b < 3ε, und damit ist S a = S b. Bemerkung 8 Wie das Beispiel 3 zeigt ist die absolute Konvergenz wesentlich. Wir studieren jetzt das Problem der Multiplikation von Reihen. Gegeben seien die zwei konvergente Reihen S a = Es ergibt sich jetzt die Frage, ob dann S a S b =, S b = b k. k=0 ( ) b k k=0? = j,k=0 b k. gilt. Unklar ist zunächst, wie die letzte Summe definiert ist, d.h. die Reihenfolge der Aufsummierung. Wir wählen die sogenannte diagonale Summierung : b 0 b b 2 b 3 b 4... a 0 a 0 b 0 a 0 b a 0 b 2 a 0 b 3 a 0 b 4... a a b 0 a b a b 2 a b 3 a b 4... a 2 a 2 b 0 a 2 b a 2 b 2 a 2 b a 3 a 3 b 0 a 3 b a 3 b a 4 a 4 b Wir geben ohne Beweis das folgende Resultat an. Definition 4 (Cauchy Produkt) Die Reihe c l mit c l := l b l j = a 0 b l +a b l +...+a l b +a l b 0 heißt Cauchy Produkt von und b k. k=0 54

12 Satz 6 (Multiplikationssatz) Es seien = S a, b k = S b absolut konvergente Reihen. Dann ist die Produktreihe k=0 c l ebenfalls absolut konvergent, und es gilt c l = S a S b. Bemerkung 9 Es ergibt sich natürlich die folgende Frage: Was passiert, wenn ich eine andere Summierung verwenden würde. In diesem Fall gilt folgendes Ergebnis. Es seien, b k und c l wie in Satz 6, und es sei {d l } eine Umordnung von {c l}. Dann ist k=0 d l absolut konvergent, und es gilt d l = c l. Es kommt also nicht auf die Reihenfolge der Summanden an. Eine andere Möglichkeit wäre z.b. die Summation über Quadrate: ( ) ( )( b k = b k ). max(j,k)=l k=0 Beispiel 5 () Es sei q <. Wir betrachten die geometrische Reihe. Dann gilt ( q j)( q k) = k=0 } {{ } ( l q j q l j) = ( q) 2 und q l (l+). Damit haben wir die Identität für q < bewiesen. (2) Wir betrachten ( q) 2 = q l (l+) exp(x) := Dann wissen wir, dass diese Reihen nach Beispiel 2(4) für jedes reelle x absolut konvergent ist x j j!. und man kann folgende Identität zeigen (in der Übung): exp(x) exp(y) = exp(x+y). Abschließend beschäftigen wir uns mit der Addition und skalaren Multiplikation von Reihen. 55

13 Satz 7 (Linearkombinationen von Reihen) Die Reihen und b j seien konvergent. Weiterhin seien α und β reelle Zahlen. Dann ist auch (α +βb j ) konvergent und es gilt (α +βb j ) = α +β b j. Beweis: Es sei N N beliebig. Dann gilt für die endlichen Summen (α +βb j ) = α +β b j. Für N ergibt sich hieraus der Satz, da nach Vorausetzung die Reihen konvergent sind. und b j 4 Reelle Funktionen 4. Definitionen Es seien a, b R mit < a < b <. Wir unterscheiden dann folgende Arten von Intervallen. (,a),(,a],(b, ),[b, ) für unbeschränkte offene bzw. halboffene Intervalle und (a,b),[a,b),(a,b],[a,b] für beschränkte offene, halboffene und abgeschlossene Intervalle. Dabei bedeutet wie üblich z.b. (,a] = {x R : < x a}, [a,b) = {x R : a x < b}. Definition (Funktion, Definitionsbereich, Wertebereich) () Eine Zuordnung f, die jeder reellen Zahl x aus einer Teilmenge D f von R genau eine reelle Zahl y zuordnet, nennt man reellwertige Funktion einer reellen Variablen. Wir verwenden die Schreibweise y = f(x) und sprechen (hier kurz) von Funktionen. (2) Die Menge D f heißt Definitionsbereich der Funktion f und die Menge W f = {y R : y = f(x), x D f } R nennt man Wertebereich der Funktion f. 56