= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.

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1 2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 2.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch üblich: n N 0 ): { a n } = a 1, a 2, a 3,, a n. Man unterscheidet endliche Folgen mit n N und unendliche Folgen mit n. Wir betrachten hier ausschließlich unendliche Folgen. Die Vorschrift zur Vorgabe einer Zahlenfolge kann entweder in Form eines analytischen Ausdrucks oder in Form einer Rekursionsformel erfolgen. Beispiel: Der analytische Ausdruck (a n ) n N = (a n ) 1 = (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.

2 Arithmetrische Folgen (Rekursionsformel): Die Differenz benachbarter Glieder ist konstant: a n+1 - a n = d n N Beispiel: a n = 2n ergibt eine arithmetrische Folge 2, 4, 6, 8, 10, 12,. a n = a 1 + (n - 1) 2 Geometrische Folgen (Rekursionsformel): Der Quotient benachbarter Glieder ist konstant: a n+1 : a n = q n N. Beispiel: a n = 1 2 n ergibt eine geometrische Folge. 1 2, 1 4, 1 8, 1, a n = a 1 ( 1 2 ) n-1

3 Exkurs : Arithmetrisches Mittel a arithm = ( a 1 + a a n-1 + a n ) / n Geometrisches Mittel a geom = n a 1 a 2 an 1 an

4 Eigenschaften unendlicher Folgen: streng monoton fallend a n+1 < a n monoton fallend a n+1 a n streng monoton steigend monoton steigend konstant a n+1 > a n a n+1 a n a n+1 = a n x ist untere Schranke der Folge x a n n y ist obere Schranke der Folge y a n n beschränkte Folge alternierende Folge x a n y n Werte sind abwechselnd positiv und negativ

5 Beispiele a) a n = n 2 mit 1, 4, 9, 16, 25, 36,. ist unbeschränkt und streng monoton steigend. 1 ist die untere Schranke. b) a n = 1 mit 1, 1, 1, 1, ist eine beschränkte und streng n monoton fallende Folge. Die obere Schranke ist 1, die untere Schranke ist 0. c) a n = 1 n (-1)n mit -1, + 1 2, 1 3, + 1 4, 1 5, + 1 6, 1 7, ist eine alternierende (nicht monotone) Folge. Die obere Schranke ist 1/2, die untere Schranke ist -1.

6 2.1.1 Konvergenz von Folgen Die Werte der Folgen aus den Beispielen b) und c) nähern sich mit zunehmenden n immer mehr der Null an. Wenn sich eine Folge a n für n beliebig nahe an einen Wert a annähert, dann ist a der Grenzwert der Folge, d.h. die Folge konvergiert gegen a. Zur exakten Definition der Begriffe Grenzwert und Konvergenz wird ε > 0 eingeführt (ε ist eine beliebig kleine, positive Zahl).

7 2.1.1 Konvergenz von Folgen Definition Grenzwert: Eine Zahlenfolge {a n } hat den Grenzwert a, wenn für alle ε > 0 eine Zahl n 0 N existiert, die die folgende Bedingung erfüllt: Für alle n n 0 gilt: a n a < ε. Der Grenzwert wird auch als Limes bezeichnet. Die gebräuchliche Schreibweise ist lim n a n = a.

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9 Konvergente Folge: Eine Folge, für die ein Grenzwert existiert, heißt konvergente Folge. Eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a = 0 heißt Nullfolge. Konvergente Folgen sind immer beschränkt. Allerdings ist nicht jede beschränkte Folge konvergent! 1 und -1 bilden sogenannte Häufungspunkte, d.h. in der Epsilon-Umgebung um 1 bzw. -1 liegen unendlich viele Glieder der Folge. Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert.

10 Divergente Folge: Eine divergente Folge ist eine nicht konvergente Folge. Beispiele: a n = (-1) n und a n = n². Arithmetrische Folgen sind divergent. Geometrische Folgen sind konvergent für q < 1 und divergent für q > 1.

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12 2.2 Reihen Definition: Eine Reihe ist die Summe der Elemente einer Folge. n=1 a n = a 1 + a 2 + a 3 + Eine Summationen von unendlich vielen Summanden ist in der Realität nicht möglich. n Man kann aber Partialsummen s n = n=1 a n an der Reihe betrachten: s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a s n = a 1 + a 2 + a a n.

13 Die Teilsummen s n bilden eine Folge. Wie wir zuvor gesehen haben, gibt es zwei Möglichkeiten: a) Die Folge mit den Gliedern a n konvergiert gegen einen Grenzwert S. In dem Fall ist auch die Reihe n=1 a n konvergent. Der Grenzwert der Reihe ist S und man schreibt: lim a n = S n n=1 = S. b) Die Folge mit den Gliedern a n ist divergent. In dem Fall ist auch die Reihe n=1 divergent. a n a n

14 Bemerkung: Eine Sequenz von Produkten kann durch die folgende Kurzschreibweise dargestellt werden:

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16 e) Leibnizkriterium: Wenn a n eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert die alternierende Reihe n=1 1 n a n.

17 Absolute Konvergenz n=1 Eine Reihe n=1 a n ist absolut konvergent, wenn a n konvergent ist. Absolute Konvergenz ist ein strengeres Kriterium als Konvergenz. Quotienten- und Wurzelkriterium zeigen absolute Konvergenz, das Leibniz-Kriterium nicht.

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