Grundlagen: Folgen u. endliche Reihen Unendliche Reihen Potenzreihen. Reihen. Fakultät Grundlagen. März 2015

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1 Fakultät Grundlagen März 015 Fakultät Grundlagen

2 Grundlagen: und endliche Beispiele Geometrische Reihe, Konvergenzkriterien Fakultät Grundlagen Folie:

3 Übersicht Grundlagen: und endliche Artithmetische Geometrische Artithmetische Geometrische Summenformeln für Fakultät Grundlagen Folie: 3

4 Grundlage vieler Zins-, Renten- und Investitionsrechnungen sind und. Zahlenfolge: Folge von Zahlen mit mathematischer Gesetzmäÿigkeit, genauer: Eine Funktion, durch die den natürlichen Zahlen eine reelle Zahl zugeordnet wird, heiÿt Zahlenfolge oder kurz Folge. Man schreibt {a 1, a, a 3, a 4,... }. Die a n heiÿen Glieder der Folge. Aufgabe: Schreiben Sie jeweils die ersten 4 Glieder der Folge: 1. a n = n + 3. a n = 4 3. a n = n 4. a n = 0/n Fakultät Grundlagen Folie: 4

5 Arithmetische Eine Folge, bei der die Dierenz aufeinanderfolgender Glieder konstant ist a n+1 a n = d (d = const.) nennt man arithmetische Folge (rekursive Darstellung). Dies ist äquivalent zu: a n+1 = a n + d bzw. a n = a 1 + (n 1)d (explizite Darstellung). Aufgabe: Schreiben Sie jeweils die ersten 3 Glieder sowie das 10. und das 100. Glied der arithmetischen Folge: 1. a 1 = ; d =. a 1 = 0; d = a 1 = 13; d = 0 4. a 5 = 7, a 7 = 3 a 1 =?; d =? Fakultät Grundlagen Folie: 5

6 Arithmetische Aufgabe: Bei einer Abwärtsauktion wird ein Anfangspreis von 100 e alle 7 Sekunden um 80 Cent verringert. Nach welcher Zeit ist die Auktion wieder für Sie interessant, wenn Sie höchstens 60 e ausgeben möchten? Preis nach n Zeitschritten: 100 n 0, 8 Wann ist 100 n 0, 8 < 60? Auösen nach n: n > (100 60)/0, 8 = 40/0, 8 = 50 Nach 50 Zeitschritten bzw. nach 50 mal 7 Sekunden = 350 Sek. = 5 Minuten und 50 Sek. sollten Sie wieder zur Auktion zurückkehren. Bemerkung: Die Auktion dauert 100/0,8 = 15 Zeitschritte, also 15 7 = 875 Sek. bzw. 14 Min. und 35 Sek. Fakultät Grundlagen Folie: 6

7 Geometrische Eine Folge, bei der der Quotient aufeinanderfolgender Glieder konstant ist: a n+1 /a n = q (q = const) bzw. a n+1 = a n q nennt man geometrische Folge (rekursive Darstellung). Somit {a n } = {a 1, a 1 q, a 1 q, a 1 q 3,... } bzw. a n = a 1 q n 1 (explizite Darstellung). In dieser Formel stehen vier Gröÿen: a 1, a n, q, n 1. Aufgabe: Schreiben Sie jeweils die ersten 3 Glieder sowie das 8. und das 15. Glied der geometrischen Folge: 1. a 1 = 1; q =. a 1 = 3; q = 0, 5 3. a 1 = 0, 7; q = 1 4. a 3 = 9, a 5 = 81 a 1 =?; q =? Fakultät Grundlagen Folie: 7

8 Geometrische Aufgabe: Bei einer Unfallsicherung mit Dynamisierung steigen Beiträge und Leistung jährlich um 5%. Zu Beginn ist ein Monatsbeitrag von 50 e zu zahlen. Wie hoch ist der Beitrag (ohne evtl. Steueränderungen) nach 0 Jahren? Lösung: a 1 = 50 e q = 1, 05 a 0 = 50 1, = 50, 537 = 16, 35 e Fakultät Grundlagen Folie: 8

9 Eine Reihe entsteht aus einer Folge durch die Summierung der Glieder. Man unterscheidet endliche und unendliche. endliche Reihe: Summe von endlich vielen Gliedern einer Zahlenfolge. a 1 + a + a 3 + a a n = n a k = s n k=1 Fakultät Grundlagen Folie: 9

10 Summer aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen Wie viele Begegnungen gibt es in der Bundesliga (18 Mannschaften) in der Hinrunde der Spielzeit? = 17 k=1 k = 153 Fakultät Grundlagen Folie: 10

11 Arithmetische Reihe Eine Reihe, die aus Gliedern einer arithmetischen Folge gebildet wird, heiÿt arithmetische Reihe. Wie groÿ ist der Wert einer unendlichen arithmetischen Reihe? Wie lautet die Summe der ersten 50 natürlichen Zahlen? Tipp: Folge in umgekehrter folge drunter schreiben... Herleitung der Summe über die ersten n natürlichen Zahlen: c = n + c = n + n c = n n n + 1 = n(n + 1) = n(n + 1) c = Merke: n = n k=1 k = n(n+1) Fakultät Grundlagen Folie: 11

12 Arithmetische Reihe: Summenformel Allgemein gilt für eine arithmetische Reihe: n a k = a a n k=1 = a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) = na 1 + d ( n 1) }{{} =:c mit c = (n 1)n. Also: n k=1 a k = na 1 + d (n 1)n = n [a 1 + a n ] Fakultät Grundlagen Folie: 1

13 Geometrische Reihe Eine Reihe, die aus Gliedern einer geometrischen Folge gebildet wird, heiÿt geometrische Reihe. Gesucht: Summenformel der geometrischen Reihe s n = n k=1 a k = a 1 + a 1 q + a 1 q + + a 1 q n 1 Trick: s n = a 1 + a 1 q + + a 1 q n 1 qs n = a 1 q + + a 1 q n 1 + a 1 q n s n (1 q) = a 1 a 1 q n = a 1 (1 q n ) 1 q s n = a n 1 1 q = a q n 1 1 q 1 Merke: 1 + q + q + + q n 1 = 1 qn 1 q = qn 1 q 1 Fakultät Grundlagen Folie: 13

14 Geometrische Reihe; Beispiel Aufgabe: Es sollen Einheiten eines Produktes hergestellt werden. Die Kapazität beträgt zu Beginn 50 Einheiten pro Tag (5 Tage/Woche). Im Laufe der Produktion kann die Kapazität pro Woche um etwa 10% erhöht werden. Nach wie vielen Wochen ist der Auftrag erfüllt? Geometrische Reihe a 1 = 50 q = 1, 1 Summe = Gesucht: n Hinweis: ln(q n ) = n ln q Ergebnis: 3 Wochen Fakultät Grundlagen Folie: 14

15 Zusammenfassung Folge: Funktion, die nur für natürliche Zahlen deniert ist Reihe: Summe von gliedern s n = a 1 + a + + a n arithmetische geometrische Folge a n = a n 1 + d a n = a n 1 q a n = a 1 + (n 1)d a n = a 1 q n 1 Reihe s n = a 1 + (a 1 + d) s n = a 1 + a 1 q + a 1 q + + (a 1 + (n 1)d) + + a 1 q n 1 (n 1)n = a n 1 1 = na 1 + d 1 q 1 q q 1 q 1 = n(a 1 + a n ) Spezial- s n = n s n = 1 + q + q + + q n 1 fall = n(n+1) = 1 qn 1 q = qn 1 q 1 Fakultät Grundlagen Folie: 15

16 Übungen 1. Berechne die Summe aller dreistelligen natürlichen Zahlen, die durch 13 teilbar sind.. In einem Kino hat die erste Sitzreihe 10 Plätze, die zweite 1, die dritte 14 usw., d. h. jede nachfolgende Reihe hat zwei Plätze mehr als die vorangegangene..1 Wie viele Sitzplätze hat das Kino, falls 15 Sitzreihen aufgebaut sind?. Wie viele muss das Kino haben, wenn mindestens 50 Besucher Platz nden sollen? 3. Ination: Wie lange dauert es, bis sich der Preis für eine Ware bei einer angenommenen Inationsrate von % p.a. verdoppelt hat? Wie lange bei 1% bzw. 3%? 4. Preissteigerung: ein Liter Benzin kostet heute 1,30 e, vor 0 Jahren kostete er 50 Pfennig (umgerechnet 0, 5/1, = 6 Cent). Wie hoch war die jährliche Preissteigerung beim Benzin in diesem Zeitraum? Fakultät Grundlagen Folie: 16

17 Beispiele Geometrische Reihe, Konvergenzkriterien Beispiel: Hase und Igel Hase ist doppelt so schnell wie der Igel. Dafür bekommt der Igel eine Einheit Vorsprung. Der Hase läuft nach folgender Strategie: Er merkt sich den Aufenthaltsort des Igels vor ihm und läuft dort hin. Bis er dort ankommt ist der Igel weg. Der Hase schaut auf und merkt sich den neuen Ort und läuft dorthin. Wieder ist der Igel bei seiner Ankunft weg; usw. Es scheint als ob der Hase den Igel nie einholen könnte??? Aber Trepunkt muss die Marke sein!! = ( ) 1 k k=0 ergeben sich durch die Addition von unendlich vielen Summanden. Auch wenn alle Summanden positiv sind, kann sich ein endlicher Wert ergeben! Fakultät Grundlagen Folie: 17

18 Beispiele Geometrische Reihe, Konvergenzkriterien Harmonische Reihe }{{} }{{ 8 1 } }{{} }{{} > 1 > 1 > 1 > 1 Die Anzahl der Summanden verdoppelt sich; jede Teilsumme ist gröÿer als [Anzahl der Summanden] [kleinster Summand] = 1!... 1 k k=1 Verhältnisse ändern sich, wenn die Summanden alternierende Vorzeichen haben: ±... ( 1) 1 k+1 k = ln k=1 Alternierende, bei denen die Absolutbeträge der Summanden monoton gegen Null gehen, konvergieren stets. Fakultät Grundlagen Folie: 18

19 Beispiele Geometrische Reihe, Konvergenzkriterien Geometrische Reihe Endlich viele Summanden: 1 + q + q + + q n 1 = 1 qn 1 q Konvergenz für q < 1,da q n 0 für n : 1 + q + q + + q n = Konvergenzuntersuchungen von k=0 q k = 1 1 q a k durch Vergleich mit k=0 gröÿeren Geometrischen. Man betrachtet: beim Quotientenkriterium q = lim a k+1 k a k k beim Wurzelkriterium q = lim ak k Für q < 1 ist die Reihe absolut konvergent, für q > 1 divergent; für q = 1 liefert das Kriterium keine Aussage. Fakultät Grundlagen Folie: 19

20 Denition Beispiel: 1 1 x = 1 + x + x + x = k=0 x k für x < 1 Eine Funktion f (x) in Form einer unendlichen Reihe mit Koezienten a k nennt man Potenzreihe. f (x) = a 0 +a 1 (x x 0 )+a (x x 0 ) +...+a n (x x 0 ) n +... = x 0 : Entwicklungspunkt; häug Spezialfall x 0 = 0 a k (x x 0 ) k k=0 konvergieren auf jeden Fall für x = x 0. Für welche weiteren Werte eine Potenzreihe konvergiert ergibt sich aus dem sogenannten Konvergenzradius r. Für x x 0 < r konvergiert die Reihe; für x x 0 > r divergiert sie. Der Begri Radius kommt aus der komplexen Zahlenebene. sind auch für komplexe Zahlen sinnvoll. Fakultät Grundlagen Folie: 0

21 Konvergenzradius Der Konvergenzradius ergibt sich am Einfachsten aus dem Quotienten- bzw. Wurzelkriterium: a k (x x 0 ) k konvergiert für x x 0 < r und divergiert für k=0 x x 0 > r; für x x 0 = r Spezialbetrachtungen. Wenn die nachfolgenden Grenzwerte existieren, so lassen sich damit die Konvergenzradien berechnen. Quotientenkriterium: r = lim a k a k+1 k Wurzelkriterium: r = lim 1 k k ak Beispiel: x k Quot.-kriterium: k a k a = k für k k+1 k k=1 x = 1 divergent; x = 1 konvergent. Konvergenz für x [ 1, 1) Fakultät Grundlagen Folie: 1

22 Arcustangens I Berechnung von Arcustangens mittels über Integraldarstellung: Ableitung von y = arctan(x) x = tan(y) = sin(y) cos(y) dx cos(y) cos(y) ( sin(y)) sin(y) = = 1 dy cos (y) cos (y) dy cos = cos dx (y) = (y) cos (y) + sin (y) = tan (y) = x x arctan(x) = 1 x 1 + t dt = [ 1 t + t 4 t ] dt 0 = t t t 5 5 t x 0 = x x x 5 5 x 7 k x ( 1)k 7 k x=tan(y) Fakultät Grundlagen Folie:

23 Arcustangens II [ ] arctan(x) = x 1 x 3 + x 4 5 x 6 k +... x ( 1)k 7 k + 1 Konvergenzbetrachtung für u = x : [...] = 1 u 3 + u 5 u3 uk +... ( 1)k 7 k + 1 Quotientenkriterium; a k a = k für k k+1 k + 1 konvergent für x = u < 1 für x = ±1 ebenfalls [ konvergent wegen alternierenden ] Reihe arctan(x) = x 1 x 3 + x 4 k... x ( 1)k für x 1 5 k + 1 z. B. x = π 6 ( ) ( ) π6 ( ) π6 4 ( ) π6 k arctan π6 = π ( 1) 3 5 k k + 1 Fakultät Grundlagen Folie: 3

24 Arcustangens III MATLAB: arcustan_ber.m Drei Summanden; Fehler: erstes weggelassenes Glied ( ) ( ) 4 ( ) π π arctan π π = ; R < ( π 6 ) Fakultät Grundlagen Folie: 4