Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion

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1 Ferienkurs Seite 1 Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Wintersemester 2011/12 Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2 2 Reihen 4 3 Potenzreihen 7 4 Exponentialfunktion 7

2 Ferienkurs Seite 2 1 Folgen (1) Definition. Folge. Eine Folge ist eine Abbildung f : N C. Anstatt f schreibt man oft (a n ) n N, wenn f(n) = a n. (a n ) heißt reelle Folge, wenn a n R n N. Man nennt (a n ) beschränkt, wenn c R : n N : a n c. (a n ) heißt konvergent, wenn es ein a C gibt, so dass ɛ > 0 N N n > N : a n a ɛ. a heißt Grenzwert oder Limes von (a n ). Man schreibt a n a oder lim n a n = a. (2) Satz. Jede konvergente Folge ist beschränkt. (3) Rechenregeln. Es seien (a n ) und (b n ) konvergente Folgen in C mit den Grenzwerten a n a und b n b. Dann gilt: lim n (a n + b n ) = a + b lim n (a n b n ) = a b a n lim = a n b n b für b 0 und b n 0 für fast alle n N. Ist (a n ) eine Folge in C mit a n a C, dann gilt: a n a a n a Re a n Re a und Im a n Im a lim n a n = lim n Re a n + i lim n Im a n (4) Einschließungskriterium Seien (a n ) und (b n ) konvergente Folgen mit lim a n = lim b n a n n und sei (c n ) eine beliebige Folge mit a n c n b n für fast alle n N. Dann konvergiert auch (c n ) und es gilt lim c n = a. n (5) Definition. Monotonie. Eine reelle Folge (a n ) heißt monoton wachsend (fallend), wenn gilt: n N: a n a n+1 (a n a n+1 )

3 Ferienkurs Seite 3 Gilt sogar a n > a n+1 bzw. a n < a n+1 n N, so spricht man von strenger Monotonie. (6) Satz. Eine beschränkte Folge konvergiert gegen sup {a n }, wenn sie monoton wachsend ist bzw. gegen inf {a n }, wenn sie monoton fallend ist. (7) Definition. Cauchy-Folge. Eine Folge (a n ) C N heißt Cauchy-Folge, falls ɛ > 0 N N : n, m > N : a n a m < ɛ. (8) Cauchy-Konvergenzkriterium. Für (a n ) C N gilt: (a n ) ist Cauchy-Folge (a n ) ist konvergent (9) Definition. Häufungspunkt. a C heißt Häufungspunkt von (a n ) C N, falls ɛ > 0 N N n > N : a n a < ɛ. Das bedeutet, dass a n U ɛ (a) für unendlich viele n N. Bemerkung: Jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt, aber nicht jeder Häufungspunkt ist ein Grenzwert (vgl. die Folge ( 1) n ). (10) Definition. Teilfolge. Sei (a n ) n N C und sei (n k ) k N eine streng monoton wachsende Folge von Indizes. Dann nennt man (a nk ) k N eine Teilfolge von (a n ). Bemerkungen: (i) a n a a nk a für jede Teilfolge. (ii) a ist Häufungspunkt von (a n ) Teilfolge (a nk ) mit lim a nk = a (11) Satz von Bolzano-Weierstraß. Jede beschränkte Folge besitzt eine monotone Teilfolge und somit mindestens einen Häufungspunkt. Bemerkung zu Konvergenzkriterien: Neben dem Cauchy-Kriterium und dem Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es eine weitere wichtige Aussage über Konvergenz: Monotonie-Kriterium: Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist. Sie strebt gegen ihr Supremum, falls sie wächst, bzw. gegen ihr Infimum, falls sie fällt.

4 Ferienkurs Seite 4 (12) Definition. Limes superior/inferior. Sei (a n ) R N. Dann definiert man lim sup a n := inf sup {a k k n} als Limes superior und n n lim inf a n := sup inf {a k k n} als Limes inferior. n n Ist (a n ) beschränkt, so sind lim sup und lim inf der größte bzw. kleinste Häufungspunkt. Einschub: Metrische Räume Definition. Metrik. Eine Metrik auf einer Menge M ist eine Abbildung d : M M [0, ) mit folgenden Eigenschaften: (a) Nichtdegeneriertheit: x, y M : d(x, y) = 0 x = y (b) Symmetrie: x, y M : d(x, y) = d(y, x) (c) Dreiecksungleichung: x, y, z M : d(x, z) d(x, y) + d(y, z) Das Paar (M, d) heißt metrischer Raum. Man definiert außerdem die sogenannte ɛ-umgebung: U ɛ (a) := {x M d(x, a) < ɛ} für ɛ > 0. Metriken sind also eine Verallgemeinerung des Abstandsbegriffs. In den folgenden Vorlesungen wird nur Gebrauch von der sogenannten Euklidischen Metrik gemacht. Diese ist definiert auf R n. d(x, y) := x y, wobei x := ( n i=1 x 2 i ) 1 2 Man nennt einen metrischen Raum vollständig, wenn jede Cauchy-Folge gegen einen Grenzwert in M konvergiert. Der Euklidische Raum ist vollständig. 2 Reihen (1) Definition. Reihe. Sei (a n ) C N. Dann heißt s n := n a k, n N, Folge der Partialsummen oder Reihe. Konvergiert die Folge (s n ), so heißt die Reihe konvergent. lim n s n heißt dann Wert der Reihe. Bemerkung: Reihen und Folgen unterscheiden sich lediglich dadurch, dass man bei Reihen versucht, Konvergenzaussagen in Abhängigkeit der Summanden a k zu erhalten. Alle bisherigen Sätze über Folgen gelten auch für Reihen.

5 Ferienkurs Seite 5 Zwei wichtige Beispiele: (i) Die geometrische Reihe q n konvergiert für q < 1 und zwar gegen 1 1 q. (ii) Die harmonische Reihe n=1 1 n divergiert. Im Folgenden sind einige Konvergenzkriterien für Reihen zusammengefasst. (2) Cauchy-Kriterium. Die Reihe (3) Ist a k konvergiert genau dann, wenn m ɛ > 0 N N n > N m n : a k < ɛ. k=n a k konvergent, so folgt aus dem Cauchy-Kriterium: lim a k = 0 k (4) Linearität. Sind die Reihen die Reihen (a k + b k ) und (a k + b k ) = a k + b k a k und b k konvergent, so konvergieren auch (λa k ) und es gilt: und (λa k ) = λ (5) Leibniz-Kriterium. Ist (a n ) R N eine monotone Nullfolge (also eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen mit a k 0), so ist die alternierende Reihe ( 1) k a k konvergent. (6) Definition. Absolute Konvergenz. Eine Reihe a k heißt absolut konvergent, falls die Reihe a k konvergiert. a k (7) Satz. Aus der absoluten Konvergenz folgt die normale Konvergenz. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht (vgl. alternierende harmonische Reihe). Konvergenzkriterien für absolute Konvergenz:

6 Ferienkurs Seite 6 (8) Majorantenkriterium. Sei b k eine konvergente Reihe mit ausschließlich nichtnegativen Gliedern und sei (a k ) eine Folge mit a k b k für fast alle k N. Dann konvergiert die Reihe a k absolut. (9) Quotientenkriterium. Sei a k eine Reihe mit a k 0 für alle k > N für N N. Existiert eine Zahl q mit 0 < q < 1, so dass gilt: a k+1 a a k q für alle k > N, d.h. lim sup k+1 a k < 1, so ist die Reihe a k absolut konvergent. (10) Wurzelkriterium. Sei a k eine Reihe und sei L := lim sup k a k. Dann gilt: L < 1 a k konvergiert absolut. Bemerkung: Umgekehrt ist die Reihe für q 1 bzw. L 1 divergent. Lässt sich in (8) eine divergente Minorante finden, so ist die Reihe ebenfalls divergent. (11) Umordnungssatz. Sei a k eine absolut konvergente Reihe mit (a k ) C N und sei g : N N eine Bijektion (Permutation). Dann ist auch jede umgeordnete Reihe a g(k) absolut konvergent und es gilt: a k = a g(k). (12) Cauchy-Produkt. Seien ist auch die Reihe a k und c k mit c n := ( ) ( ) c n = a k b k b k absolut konvergente Reihen. Dann n a n k b k absolut konvergent und es gilt: Anmerkung: Rechentrick Teleskopsumme. Hat man eine Reihe wie beispielsweise ( 1 n 1 ), so ist es sinnvoll, sich zunächst die n-te Partialsumme n + 1 n=1 genauer anzuschauen: s n = n+1 = 1 1 n+1 Im Limes n geht s n (und damit der Wert der Reihe) also in diesem Beispiel gegen 1.

7 Ferienkurs Seite 7 3 Potenzreihen (1) Definition. Potenzreihe. Eine Reihe P (z) := a n (z z 0 ) n mit Koeffizienten a n C und festem z 0 C heißt Potenzreihe zum Entwicklungspunkt z 0. R := sup { z z 0 z C P (z) konvergiert} [0, ] heißt Konvergenzradius der Potenzreihe P. (2) Konvergenz von Potenzreihen. (a) z z 0 < R a n (z z 0 ) n ist absolut konvergent (b) z z 0 > R a n (z z 0 ) n ist divergent 1 (c) R = (Formel von Cauchy, Hadamard) k lim sup ak k (d) R = lim a k k a k+1 (Formel von Euler) (e) Die abgeleitete Reihe a k k(z z 0 ) k 1 hat den gleichen Konvergenzradius wie k=1 die Ausgangsreihe. Gleiches gilt für die integrierte Potenzreihe. (3) Rechenregeln. Seien P (z) = a k z k und Q(z) = b k z k Potenzreihen mit den Konvergenzradien R 1, R 2 > 0. Dann gelten: (a) λp (z) + Q(z) = (λa k + b k )z k, z < min(r 1, R 2 ) k (a l b k l )z k, z < min(r 1, R 2 ) (Cauchy-Produkt für Potenz- (b) P (z)q(z) = reihen) l=0 4 Exponentialfunktion (1) Definition. Exponentialfunktion. Man definiert die Potenzreihe z n exp(z) = n! = ez als Exponentialfunktion, wobei z C. Der Konvergenzradius ist R =.

8 Ferienkurs Seite 8 (2) Funktionalgleichung. z, w C exp(z) exp(w) = exp(z + w) (3) Satz. Für jede Folge (z n ) C N gilt: (z n z) (( ) 1 + zn n ) n exp(z). ( Daraus folgt: e = lim ) n n n (4) Weitere Eigenschaften. (a) z C : exp(z) 0 (b) z C : exp( z) = 1 exp(z) (c) x R : exp(z) > 0 (d) x R : exp(αz) ist streng monoton wachsend (fallend) für α > 0 (α < 0) (5) Umkehrfunktion. Da exp : R R + eine Bijektion ist, kann man eine Umkehrfunktion definieren: ln : ] 0, [ R. (i) Funktionalgleichung: x, y > 0 ln(xy) = ln(x) + ln(y) (ii) x > 0, q Q : ln(x q ) = q ln(x) Man kann den Logarithmus im Komplexen fortsetzen; man nennt dies Hauptzweig des Logarithmus. Es gilt: log : C\ {0} {z C Im(z) ( π, π)}, z log(z) := ln z + i arg(z) (arg(z) = ϕ, vgl. Polardarstellung) (6) Definition. Allgemeine Potenzfunktion. Für a C, z C\ {0} definiert man: z a := exp(a ln(z)) (7) Definition. Trigonometrische Funktionen. Sei z C. cos(z) := sin(z) := ( 1) n (2n)! z2n ( 1) n (2n + 1)! z2n+1 Diese Potenzreihen haben den Konvergenzradius R = und sind auf ganz C stetig.

9 Ferienkurs Seite 9 (8) Eigenschaften. (a) sin( z) = sin(z) (ungerade Funktion) (b) cos( z) = cos(z) (gerade Funktion) (c) sin(z) = 1 ( 2i e iz e iz), cos(z) = 1 ( 2 e iz + e iz) (d) e iz = cos(z) + i sin(z) (Eulersche Formel) (e) (sin z) 2 + (cos z) 2 = 1 (f) (cos z + i sin z) n = cos(nz) + i sin(nz) (9) Additionstheoreme. Seien z, w C. Es gilt: cos(z + w) = cos(z) cos(w) sin(z)sin(w) und sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w) (10) Definition. Hyperbolische Funktionen. Man definiert cosh(x) := cos(ix) = 1 2 (ex + e x ) sinh(x) := sin(ix) = 1 2 (ex e x ) Es gilt: (cosh x) 2 (sinh x) 2 = 1 (11) Polardarstellung einer komplexen Zahl. Sei z C, z = x + iy. Dann gilt auch: z = re iϕ. Alle Zahlen mit gleichem r liegen in der komplexen Ebene auf einem Kreis. Es gilt des Weiteren: n Z : e i2πn = 1. (12) Definition. Tangens, Kotangens. Sei z C. tan(z) = sin(z) cos(z) cot(z) = cos(z) sin(z) für z 2Z+1 2 π für z Zπ