$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +.

Transkript

1 Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 $Id: reihen.tex,v.8 202/06/2 0:59:50 hk Exp $ 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a + a 2 + a 3 +. Die Summanden a i können dabei reell oder komplex sein. Historisch sind Reihen sehr viel älter als Folgen, und im Gegensatz zu den Folgen sind sie auch von eigenständigen Interesse. Wir hatten gesagt das Folgen und ihr Konvergenzbegriff ein Hilfsbegriff sind, auf den alle anderen Grenzwertbegriffe zurückgeführt werden. Dementsprechend werden wir unendliche Summen in Termen von Folgengrenzwerten definieren. Angenommen die Zahlen a 0, a, a 2,... sind gegeben. Dann betrachten wir die sogenannten Partialsummen s := a, s 2 := a + a 2, s 3 := a + a 2 + a 3, und allgemein s n := a k, also die endlichen Summen die jeweils durch Summation der ersten n Summanden unserer unendlichen Summe gebildet werden. Damit können wir definieren: Definition 7.: Sei (a n ) n N eine reelle oder komplexe Folge. Dann heißt die Folge der Partialsummen (s n ) n N die zugeordnete Reihe. Diese wird mit a n bezeichnet. Wir sagen das die Reihe a n konvergiert wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. In diesem Fall schreiben wir a n := lim n s n. Eine nicht konvergente Reihe nennen wir auch divergent. Dass das Symbol a n sowohl die Folge der Partialsummen als auch den eventuellen Grenzwert bezeichnet, ist normalerweise unproblematisch. Die jeweilige Bedeutung ist immer aus dem Kontext heraus klar. Anstelle bei n = kann die Reihe auch mit einem anderen Startwert beginnen. Wir wollen kurz ein Beispiel rechnen, bei dem man die Folge der Partialsummen explizit ausrechnen kann, nämlich die Reihe n (n + ) = = k=

2 Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 Für jedes k N haben wir die Gleichung und als n-te Partialsumme ergibt sich k= k(k + ) = k= k(k + ) = k k +, [ k ] = k n n + = n +. Da die Berechnung darauf beruht, dass sich die mittleren Terme alle wegheben spricht man auch von einer Ziehharmonika-Summe. Damit ist unsere Reihe konvergent mit dem Grenzwert ( n(n + ) = lim ) = lim n n + n n + =. Wir wollen jetzt einige Grundtatsachen über konvergente Reihen herleiten. All diese Aussagen werden auf bereits bekannte Tatsachen über Folgen zurückgeführt. Die Folgen erfüllen hier voll und ganz ihren Zweck als Hilfsbegriff zur Behandlung uns wirklich interessierender Grenzwertbegriffe. Lemma 7.2: Sei a n eine konvergente Reihe. (a) Die Folge (a n ) n N ist eine Nullfolge. (b) Die Folge (s n ) n N der Partialsummen ist beschränkt. Beweis: (a) Mit den Rechenregeln 6.Lemma 4 für Folgengrenzwerte, die wie bereits in 6.6 bemerkt auch für komplexe Folgen gelten, haben wir da der Grenzwert lim a n = lim (s n s n ) = lim s n lim s n = 0 n n n n lim s n = lim s n = n n existiert. (b) Dies ist klar nach 6.Lemma 0 da die Folge (s n ) n N beschränkt ist. Beachte das dieses Lemma durch Betrachtung von Real- und Imaginärteil gemäß 6.6 auch für komplexe Folgen gilt. a n Leider gelten die Umkehrungen dieser beiden Aussagen nicht. Wenn (a n ) n N eine Nullfolge ist, so muss die Reihe a n im Allgemeinen nicht konvergieren, hierfür werden 6-2

3 Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 wir gleich ein Beispiel sehen. Auch die Beschränktheit der Partialsummen reicht nicht aus um auf die Konvergenz schließen zu können. Beispielsweise sind die Partialsummen der Reihe ( )n abwechselnd und 0, also sicherlich beschränkt aber nicht konvergent. Lemma 7.3: Sei a n eine reelle Reihe in der die Summanden a n alle dasselbe Vorzeichen haben, also a n 0 für alle n N oder a n 0 für alle n N. Dann ist die Reihe genau dann konvergent wenn die Folge ihrer Partialsummen beschränkt ist. Beweis: = Dies gilt nach Lemma 2.(b). = Die Folge (s n ) n N der Partialsummen ist im Fall positiver Vorzeichen monoton steigend und im Fall negativer Vorzeichen monoton fallend. Da sie zugleich nach unserer Voraussetzung beschränkt ist, ist (s n ) n N nach 6.Lemma 6 auch konvergent. Damit ist die Reihe a n konvergent. Aufgrund dieses Lemmas schreibt man für Reihen a n mit a n 0 für alle n N auch a n < für a n ist konvergent. Gelegentlich wird diese Schreibweise auch bei allgemeineren Folgen verwendet. Als ein Beispiel wollen wir das Lemma einmal dazu verwenden die Konvergenz der Reihe (n + ) 2 = zu beweisen. Alle Summanden sind hier positiv, nach dem Lemma müssen wir also nur einsehen das die Partialsummen beschränkt bleiben. Wir können diese Partialsummen zwar nicht explizit ausrechnen, werden aber trotzdem zeigen das sie beschränkt bleiben. Für jedes n N rechnen wir hierzu k= (k + ) = 2 k= (k + ) (k + ) k= k(k + ) k= k(k + ) =, die Partialsummen sind also durch Eins beschränkt, und folglich ist /(n + )2 <. Wegen n = + 2 folgt hieraus auch die Konvergenz der Reihe (n + ) 2 < n 2 = π

4 Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 Das Ergebnis ist dabei nur zur Information angegeben, für einen Beweis dieser von Euler hergeleiteten Formel fehlen uns leider die benötigten Hilfsmittel. Bevor wir zu weiteren Beispielen kommen, übertragen wir noch einige weitere Aussagen von Folgen auf Reihen. Angenommen wir haben zwei konvergente Reihen a n und b n sowie zwei Konstanten α, β R beziehungsweise α, β C. Sind (s n) n N und (s n) n N die jeweiligen Partialsummen, also s n = a k und s n = k= für alle n N, so ergeben sich die Partialsummender Reihe (αa n + βb n ) als s n = (αa k + βb k ) = α k= für alle n N. Mit 6.Lemma 4 folgt a k + β k= lim s n = α lim s n + β lim s n = α n n n Damit haben wir das folgende Lemma bewiesen: k= b k b k = αs n + βs n k= a n + β Lemma 7.4 (Linearkombinationen konvergenter Reihen) Seien a n b n. und b n zwei konvergente, reelle oder komplexe, Reihen. Für alle reellen beziehungsweise komplexen Zahlen α, β ist dann auch (αa n +βb n ) konvergent mit (αa n + βb n ) = α a n + β b n. Beachte das wir zum Beweis eigentlich nichts tun mussten, durch Betrachtung der Partialsummen konnten wir alles auf die entsprechende Aussage über Folgen zurückspielen. Dies illustriert unsere Bemerkung zum Beginn von 6 das die Folgen ein Hilfskonstrukt sind, das zum Nachweis der Eigenschaften der uns wirklich interessierenden Grenzwerte herangezogen wird. Ganz ähnlich zum eben gegebenen Beweis läßt sich 6.6 zum Beweis der folgenden Aussage heranziehen: Lemma 7.5 (Komplexe Reihen) Eine komplexe Reihe z n ist genau dann konvergent, wenn die beiden reellen Reihen Re(z n ) und Im(z n ) konvergent sind, und in diesem Fall gilt z n = Re(z n ) + i 6-4 Im(z n ).

5 Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 Beweis: Wie schon bemerkt folgt dies aus 6.6. In den nun folgenden Abschnitten werden wir einige spezielle Klassen von Reihen behandeln. 7. Harmonische Reihe Als die harmonische Reihe bezeichnet man die Reihe n = Nach Lemma 3 konvergiert die harmonische Reihe genau dann wenn die Folge s n := k ihrer Partialsummen beschränkt ist. Probiert man dies mit dem Taschenrechner aus, berechnet also s n für vergleichsweise grosse n, so sieht es tatsächlich so aus als wären die Partialsummen beschränkt, in der Gegend von hören sie auf zu wachsen. Dies stellt sich dann allerdings als ein der Rechenungenauigkeit geschuldeter Irrtum heraus. Dies kann man wie folgt sehen k= s n = }{{ 4} }{{ 8} n = = 2 Man fasst also die beiden mit /3 beginnenden Summanden zusammen, und erhält mindestens /2, dann fasst man die vier mit /5 beginnenden Summanden zusammen und erhält wieder mindestens /2, und so weiter. Allgemein ist dann s 2 n + 2 n für alle n, und somit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt. Wir erhalten: Lemma 7.6: Die harmonische Reihe divergiert bestimmt gegen +. Die Partialsummen sind in der Größenordnung logarithmisch, wachsen also tatsächlich sehr langsam. Die harmonische Reihe gibt uns insbesondere ein Beispiel einer divergenten Reihe a n bei der (a n ) n N eine Nullfolge ist. Eine gewisse Verallgemeinerung der harmonischen Reihe sind die Reihen n α 6-5

6 Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 wobei α R ein fester Parameter ist. Ob diese Reihe konvergiert oder nicht hängt vom Wert von α ab, es gilt < α >. nα Diese Tatsache wollen wir an dieser Stelle nur zur Kenntnis nehmen und auf einen Beweis verzichten. 7.2 Geometrische Reihe Nachdem wir im letzten Abschnitt das Urbeispiel einer divergenten Reihe vorgeführt haben, bei der die Summanden trotzdem eine Nullfolge bilden, kommen wir jetzt zum wohl wichtigsten Beispiel einer konvergenten Reihe. Gegeben sei eine Zahl q R, und wir betrachten dann die Reihe q n = + q + q 2 + q 3 + (Geometrische Reihe) der Potenzen von q. Diese Reihe bezeichnet man als die geometrische Reihe. Dieses Beispiel hat man vollständig im Griff, da sich die Partialsummn explizit ausrechnen lassen. Die n-te Partialsumme der geometrischen Reihe ist s n := q k = + q + q q n, eine sogenannte geometrische Summe. Zu ihrer Berechnung bilden wir q s n s n = + q + q q n qs n = q + q q n + q n+, und ziehen wir hier die zweite von der ersten Zeile ab, so folgt ( q)s n = s n qs n = q n+ = s n = qn+ q zumindest wenn q ist. Der Fall q = ist ein Sonderfall, dort haben wir s n = k = = n +. Hiermit erhalten wir Lemma 7.7 (Geometrische Reihe) Sei q R. Dann ist die geometrische Reihe gilt, und in diesem Fall ist q n = q. 6-6 q n genau dann konvergent wenn q <

7 Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 Beweis: Für q = ist die geometrische Reihe trivialerweise divergent, wir können also q annehmen. Die oben hergeleitete Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe und die Rechenregeln für Folgengrenzwerte 6.Lemma 4 zeigen, dass qn genau dann konvergiert wenn (q n ) n N konvergiert, und nach Aufgabe (45) ist dies genau dann der Fall wenn q < ist. Ist jetzt q <, so gilt nach Aufgabe (45) auch lim q n = 0 und mit 6.Lemma 4 n folgt q n = lim n q n+ q = q. Wir wollen drei kleine Beispiele für die Anwendung dieser Formel vorführen.. Zunächst betrachte die Reihe 2 = ( ) n = + n Dies ist eine geometrische Reihe mit q = /2, also konvergent mit Grenzwert 2. Diesmal betrachten wir die Reihe ( ) n 2 = n 2 = 2. 2 n = Dies sieht zunächst nicht nach einer geometrischen Reihe aus, wir können sie aber leicht zu einer solchen umformen ( ( ) n ( ) n ( ) = = n. 2 n 2 2) n Innerhalb der Klammern steht hier eine geometrische Reihe mit q = /2, also haben wir wieder Konvergenz und erhalten den Grenzwert ( ( ) n = 2 n ) = 3.

8 Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag Als letztes Beispiel betrachten wir die Zahl 0, 9 = 0, Definitionsgemäß ist diese Zahl gleich 0, 9 = = = 9 ( 7.3 Die eulersche Zahl e ( ) n ) = 9 n = 9 ( 0 ( ) n 0 ) = 9 ( ) 0 9 =. In diesem Abschnitt wollen wir eine weitere spezielle Reihe behandeln, nämlich e = Wir werden zeigen, dass diese Reihe konvergiert. Ihr Grenzwert ist die eulersche Konstante, also e 2, Lemma 7.8: Die Reihe konvergiert. n! Beweis: Für jede natürliche Zahl k N gilt n!. k! = 2... k 2 }.{{.. 2} = 2 k, also auch k! 2. k k mail Die n-te Partialsumme der Reihe /n! können wir jetzt zwar nicht ausrechnen, wir können sie aber zumindest nach oben abschätzen s n = k! = + k= k! + k= 2 = + n k 2 < + k 2 k = + 2 = 3. Damit sind die Partialsummen beschränkt und die Reihe konvergiert nach Lemma 3. Der Beweis zeigt uns außerdem die recht ungenaue Abschätzung e 3. Bessere Abschätzungen kann man ganz ähnlich erhalten. Beispielsweise gilt für k 2 auch k! = k 2 3 k 2, also ergibt sich analog zur obigen Rechnung s n = = 2, 75. Außerdem ist e s 2 = ++/2 = 2, 5, also haben wir 2, 5 e 2, 75. So fortfahrend kann man beliebig gute Abschätzungen für e beweisen. 6-8

9 Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag Konvergenzkriterien für Reihen 7.4. Umsortierungen Gegeben sei eine konvergente reelle Reihe a n. Stellen wir uns diese Reihe als eine unendliche Summe a n = a + a 2 + a 3 + vor, so kann man zunächst erwarten das das Kommutativgesetz der Addition sich auch auf diese unendliche Summe überträgt, das man die Reihenfolge der Summanden also beliebig ändern kann. Unter einer solchen Umsortierung versteht man dabei eine Reihe der Form a π(n) = a π() + a π(2) + a π(3) + wobei π(), π(2), π(3),... die umsortierten Indizes sind. Jeder Index n N soll dabei als genau ein π(k) auftreten, d.h. es soll genau ein k N mit π(k) = n geben. In anderen Worten soll die Umsortierung π : N N eine bijektive Abbildung sein. Nehmen wir als ein Beispiel einmal an, dass nur endlich viele Summanden umgestellt werden. Dann gibt es unter diesen endlich vielen einen größten, es gibt also ein n 0 N mit a π(n) = a n für alle n n 0. Ist dann n n 0, so ergibt sich für die umsortierte n-te Partialsumme s n und die gewöhnliche n-te Partialsumme s n s n = a π(k) = k= a k = s n, k= da wir in dieser endlichen Summe das Kommutativgesetz der Addition verwenden können. Die Partialsummen stimmen also spätenstens ab dem Index n 0 überein, und damit konvergiert auch die umsortierte Reihe mit demselben Grenzwert a π(n) = a n. Auf beliebige Umsortierungen trifft dies leider nicht mehr zu, und wir werden im nächsten Abschnitt ein Beispiel für dieses Phänomen kennenlernen. 6-9