4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

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1 $Id: folgen.tex,v /2/02 2::8 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v.2 206/2/05 0:28: hk Exp $ 4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 4.2 Reelle Zahlenfolgen In der letzten Sitzung hatten wir den Limes Superior lim sup a n = lim sup{a k k N, k n} einer reellen Folge (a n ) n N als den größten Häufungspunkt dieser Folge in R und entsprechend den Limes Inferior a n = lim inf{a k k N, k n} als den kleinsten Häufungspunkt dieser Folge in R eingeführt. Wir gehen jetzt einige Beispiele durch.. Es ist ( )n = und lim sup( ) n = da und die beiden Häufungspunkte der Folge sind. 2. Die Folge a n = ( ) n n ist nach oben und unten unbeschränkt, hat also + und als Häufungspunkte. Da dies die größten und kleinsten Elemente in R sind, ist damit ( )n n = und lim sup( ) n n = +.. Diesmal sei a n := { n, n ist gerade, 0, n ist ungerade. Offenbar sind 0 und + dann zwei Häufungspunkte von (a n ) n N. Wegen a n 0 für alle n N kann keine Teilfolge von (a n ) n N gegen eine negative Zahl oder gegen konvergieren, also ist 0 der kleinste Häufungspunkt der Folge. Es folgen a n = 0 und lim sup a n = +. -

2 4. Schließlich sei a n = sin(n). Wir hatten bereits bemerkt, dass die Menge der Häufungspunkte von (sin n) n N genau das Intervall [, ] ist, und damit folgen sin(n) = und lim sup sin(n) = +. Zum Abschluß unserer Überlegungen über den Limes Inferior und den Limes Superior wollen wir noch einige kleine Rechenregeln für diese zusammenstellen. Lemma 4.2 (Rechenregeln für Limes Inferior und Limes Superior) Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei reelle Zahlenfolgen. Dann gelten: (a) Ist a n b n für jedes n N, so sind auch (b) Ist (b n ) n N konvergent, so ist a n b n und lim sup (a n + b n ) = a n + lim b n und lim sup a n lim sup b n. (a n + b n ) = lim sup a n + lim b n. (c) Ist (b n ) n N konvergent mit von Null verschiedenen Grenzwert b R\{0}, so sind ( ) ( ) (a n b n ) = a n lim b n, ( ) ( ) lim sup(a n b n ) = lim sup a n lim b n wenn b > 0 ist und (a n b n ) = lim sup(a n b n ) = ( ) lim sup a n ( ) a n ( lim ( lim b n b n ), ) wenn b < 0 ist. Beweis: (a) Sei n N und setze A n := sup{a k k N, k n} und B n := sup{b k k N, k n}. Für jedes k N mit k n haben wir a k b k B n, also ist B n eine obere Schranke der Menge {a k k N, k n} und somit gilt A n B n. Mit Lemma 5.(a), eventuell in der Form für die erweiterten reellen Zahlen, folgt lim sup a n = lim A n lim B n = lim sup b n. -2

3 Die Aussage über den Limes Inferior ergibt sich analog. (b,c) Seien b R der Grenzwert der Folge (b n ) n N und H die Menge der Häufungspunkte von (a n ) n N in R. Nach Satz.(a) ist s := max H der Limes Superior der Folge (a n ) n N und t := min H der Limes Inferior der Folge (a n ) n N. Weiter ist nach Lemma 0.(a) in der Form für die erweiterten reellen Zahlen M = {a + b a H} die Menge der Häufungspunkte von (a n + b n ) n N in R. Da für x, y H stets genau dann x y gilt wenn x + b y + b ist, ist nach Satz.(a) auch lim sup (a n + b n ) = max M = s + b = lim sup a n + lim b n. Nun kommen wir zum Produkt und nehmen b 0 an. Nach Lemma 0.(b) in der Form für die erweiterten reellen Zahlen ist N := {ab a H} die Menge der Häufungspunkte von (a n b n ) n N in R. Ist b > 0, so gilt für alle x, y H genau dann x y wenn xb yb ist, also ist nach Satz.(a) auch lim sup(a n b n ) = max N = sb = ( ) lim sup a n ( ) lim b n. Ist dagegen b < 0, so gilt für x, y H genau dann x y wenn yb xb ist, also ist in diesem Fall ( ) ( ) lim sup(a n b n ) = max N = tb = a n lim b n. Damit sind alle Aussagen für den Limes Superior bewiesen und die entsprechenden Aussagen über den Limes Inferior folgen analog. Der Satz besagt insbesondere das jede reelle Zahlenfolge einen Häufungspunkt in R hat. Eine direkte Konsequenz dieser Beobachtung ist der sogenannte Satz von Heine-Borel: Satz 4. (Satz von Heine-Borel) Sei K {R, C}. Dann hat jede beschränkte Folge in K einen Häufungspunkt. Beweis: Zunächst sei K = R. Ist dann (a n ) n N eine beschränkte reelle Zahlenfolge, so ist nach Satz.(d) auch s := lim sup a n R und nach Satz.(a) ist s ein Häufungspunkt von (a n ) n N. Damit ist die Aussage im reellen Fall bewiesen. Nun sei K = C und es sei (z n ) n N eine beschränkte komplexe Zahlenfolge. Wie am Ende von. festgehalten sind dann auch die reellen Zahlenfolgen (Re(z n )) n N und (Im(z n )) n N beschränkt. Wie bereits gezeigt hat (Re(z n )) n N einen Häufungspunkt a R, und somit gibt es eine gegen a konvergente Teilfolge (Re(z nk )) k N von (Re(z n )) n N. Ebenso gibt es dann auch eine gegen ein b R konvergente Teilfolge (Im(z nkl )) l N von (Im(z nk )) k N. Nach Lemma.(a) ist auch (Re(z nkl )) l N a und Lemma.(e) ergibt damit (z nkl ) l N a + ib C. -

4 Damit ist a + ib ein Häufungspunkt von (z n ) n N und der Satz ist auch im komplexen Fall bewiesen. Man kann den Satz von Heine-Borel auch direkter, und ohne den Limes Superior zu verwenden, beweisen. Wie im Beweis gesehen reicht es den reellen Fall einzusehen, und hierzu kann man zeigen das jede reelle Zahlenfolge immer eine monoton steigende oder eine monoton fallende Teilfolge enthält. Mit Satz folgt dann die Existenz eines reellen Häufungspunkts einer jeden beschränkten reellen Zahlenfolge. 4. Cauchyfolgen Wir kommen nun zum letzten Thema dieses Kapitels. Ein Problem unserer Konvergenzdefinition ist, dass man zum Nachweis einer Konvergenzaussage (a n ) n N a immer bereits einen Kandidaten a für den Grenzwert der Folge kennen muss. Nur für monotone reelle Zahlenfolgen konnten wir mit Satz die Konvergenz der Folge einsehen ohne den Grenzwert kennen zu müssen. In diesem Abschnitt werden wir mit dem Begriff einer Cauchyfolge eine weitere Möglichkeit kennenlernen, die Konvergenz einer Folge ohne Kenntnis ihres Grenzwerts zu beweisen. Formal ist die Definition einer Cauchyfolge recht ähnlich zur Konvergenzdefinition, man fordert nicht mehr das die Folgenglieder einem Grenzwert a nahekommen, sondern das sich alle Folgenglieder mit ausreichend großen Index einander nahekommen. Definition 4.0 (Cauchyfolgen) Sei K {R, C}. Eine Folge (a n ) n N in K heißt eine Cauchyfolge wenn es für jedes ɛ > 0 ein n 0 N mit a n a m < ɛ für alle n, m N mit n, m n 0 gibt. In logischen Quantoren geschrieben wird diese Definition zu (ɛ > 0) (n 0 N) (n, m N, n, m n 0 ) : a n a m < ɛ. Ganz genauso wie bei der Definition der Konvergenz, kann man das < hier auch gegen ein ersetzen, die Folge ist also auch genau dann eine Cauchyfolge wenn (ɛ > 0) (n 0 N) (n, m N, n, m n 0 ) : a n a m ɛ gilt. Wir werden gleich sehen, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist und damit kennen wir dann bereits recht viele Beispiele von Cauchyfolgen. Zuvor wollen wir aber ein explizites Beispiel einer Cauchyfolge diskutieren. Wir definieren rekursiv eine reelle Zahlenfolge (a n ) n N indem wir a 0 := 0 und a n+ := a2 n für alle n N setzen. Beispielsweise sind a = /, a 2 = 8/27 und a = 665/287. Die Folge ist weder monoton steigend noch monoton fallend, auch nicht ab irgendeinem noch so großen Startindex. Es ist auch nicht sofort zu sehen, ob die Folge (a n ) n N konvergent ist. Wir -4

5 werden im Folgenden einsehen, dass (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Wir beginnen mit einer einfachen Beobachtung. Ist x R mit 0 < x < /, so gelten auch 0 < x 2 < / und 8/ < x 2 <, also insgesamt 8/27 < ( x 2 )/ < /, also haben wir (x R) : 0 < x < = 0 < 8 27 < x2 <. Insbesondere bedeutet dies das für jedes n N aus a n (0, /) auch a n+ = ( a 2 n)/ (0, /) folgt. Da a 2 = 8/27 (0, /) gilt, folgt per vollständiger Induktion auch 0 < a n < / für alle n N mit n 2. Für jedes n N mit n ergibt sich weiter a n+ a n = a 2 n a2 n = a2 n a 2 n = a n + a n a n a n a n + a n a n a n < 2 a n a n. Ist wieder n N mit n, so sind damit auch a n+2 a n+ < 2 ( ) 2 2 a n+ a n < a n a n, a n+ a n+2 < 2 ( ) 2 a n+2 a n+ < a n a n, und so fortfahrend folgt auch a n+k a n+k ( ) k 2 a n a n, für alle k N. Streng genommen ist dies ein Beweis durch vollständige Induktion auf deren exakte Durchführung wir hier verzichten. Wenden wir dies speziell auf n = an und schreiben k = n 2 für ein neues n N mit n 2, so wird diese Abschätzung zu ( ) n 2 2 a n+ a n a a 2, und wir wollen uns überlegen das (a n ) n N damit eine Cauchyfolge ist. Hierzu schreiben wir für n, m N mit m > n m a m a n = (a m a m ) + (a m a m 2 ) + + (a n+ a n ) = (a k+ a k ) und erhalten für n 2 m m a m a n = (a k+ a k ) a k+ a k k=n k=n -5 ( m k=n k=n ( ) ) k 2 2 a a 2.

6 Die hier rechts stehende Summe ist eine sogenannte geometrische Summe und um diese weiter auszuwerten, brauchen wir ein allgemeines Lemma, das mit der konkreten Situation nichts zu tun hat. Lemma 4.4 (Die geometrische Summe) Seien q C und n N. Dann gilt q k = qn+ q für q, und q k = n + für q =. Beweis: Die Aussage für q = ist klar, wir nehmen also q an. Schreibe s := n qk. Dann ist q s = q k+ = q n+ + q k = q n+ + s, also und dies ergibt die Behauptung. ( q)s = s qs = q n+, Verwenden wir nun die eben bewiesene Summenformel der geometrischen Summe, so erhalten wir jetzt für alle n, m N mit m > n 2 a m a n ( 2 ) n 2 m n a a 2 = 7 ( 2 ( ) k 2 ) ( n 2 ( ) ) m n 2 a a 2 ( ) n 2 2 a a 2 = ( ) n 2 2 =: A n. Damit können wir leicht einsehen, dass (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Wir wissen bereits das die geometrische Folge (q n ) n N für jedes q C mit q < eine Nullfolge ist, und nach den Rechenregeln für Grenzwerte ist somit auch lim 7 70 ( ) n 2 2 = 0, ist also ɛ > 0 gegeben, so existiert ein n 0 N mit n 0 2 und A n < ɛ für alle n N mit n n 0. Sind dann n, m N mit n, m n 0, so können wir durch eventuelles Vertauschen von n und m auch m n annehmen, und haben a m a n < A n < ɛ. Somit ist (a n ) n N tatsächlich eine Cauchyfolge. -6

7 Nach diesem Beispiel kommen wir nun zu einigen allgemeinen Aussagen. Die Grundeigenschaften von Cauchyfolgen sind schnell eingesehen. Lemma 4.5 (Grundeigenschaften von Cauchyfolgen) Sei K {R, C} und sei (a n ) n N eine Folge in K. (a) Ist (a n ) n N konvergent, so ist (a n ) n N auch eine Cauchyfolge. (b) Ist (a n ) n N eine Cauchyfolge, so ist (a n ) n N auch beschränkt. (c) Sind (a n ) n N eine Cauchyfolge und (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge von (a n ) n N mit dem Grenzwert a K, so ist auch (a n ) n N a. Beweis: (a) Bezeichne a K den Grenzwert von (a n ) n N. Sei ɛ > 0 gegeben. Dann existiert ein n 0 N mit a n a < ɛ/2 für alle n N mit n n 0. Sind dann n, m N mit n, m n 0 so folgt auch a n a m = a n a + a a m a n a + a m a < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Damit ist (a n ) n N eine Cauchyfolge. (b) Es gibt ein n 0 N mit a n a m < für alle n, m N mit n, m n 0. Setze c := max{ a 0, a,..., a n0, a n0 + } > 0. Ist dann n N, so gilt im Fall n < n 0 sofort a n c und im Fall n n 0 haben wir ebenfalls a n = a n a n0 + a n0 a n a n0 + a n0 < a n0 + c. Damit ist a n c für alle n N und (a n ) n N ist beschränkt. (c) Sei ɛ > 0 gegeben. Dann existieren ein n 0 N mit a n a m < ɛ/2 für alle n, m N mit n, m n 0 und ein k 0 N mit a nk a < ɛ/2 für alle k N mit k k 0. Sei n N mit n n 0. Setzen wir k := max{k 0, n 0 }, so ist a nk a < ɛ/2 und wegen n k k n 0 ist auch a n a nk < ɛ/2. Insgesamt ist damit a n a = a n a nk + a nk a a n a nk + a nk a < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, und wir haben (a n ) n N a bewiesen. Damit eine Folge (a n ) n N eine Cauchyfolge ist, reicht es nicht aus, das sich aufeinanderfolgende Folgenglieder immer näher kommen, die Cauchybedingung ist wesentlich stärker. Beispielsweise ist die durch a n = n gegebene Zahlenfolge nicht nach oben beschränkt, es ist sogar ( n) n N +, also ist ( n) n N insbesondere keine Cauchyfolge. Andererseits hatten wir bereits in einem Beispiel gesehen das ( n lim (a ) n+ a n ) = lim + n = 0-7

8 gilt. Nun sind wir bereit das sogenannte Cauchy-Kriterium zu beweisen, dieses zeigt das konvergente Folgen und Cauchyfolgen genau dasselbe sind. Satz 4.6 (Cauchy-Kriterium) Sei K {R, C}. Eine Folge (a n ) n N in K ist genau dann konvergent wenn (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Beweis: = Dies ist Lemma 5.(a). = Nach Lemma 5.(b) ist (a n ) n N beschränkt, hat also nach dem Satz von Heine- Borel Satz einen Häufungspunkt beziehungsweise eine konvergente Teilfolge. Nach Lemma 5.(c) ist (a n ) n N selbst konvergent. Wir kommen schließlich wieder zum Beispiel der rekursiv definierten Folge a 0 := 0 und a n+ := a2 n für alle n N zurück. Wir haben bereits eingesehen, dass (a n ) n N eine Cauchyfolge mit 0 < a n < / für alle n N mit n 2 ist. Nach dem eben bewiesenen Satz ist (a n ) n N damit konvergent, und nach Lemma 5.(a) gilt [ a := lim a n 0, ]. Wenden wir die Rechenregeln für Grenzwerte Satz 6 an, so folgt weiter also ist a = lim a n+ = lim a 2 n = a 2 + a = 0. ( lim a n ) 2 = a2, Fassen wir dies als eine quadratische Gleichung für a auf, so ergibt sich a = 2 ± 4 + = ± 2 = a = 2 da a 0 ist. Diese Methode den Grenzwert einer rekursiv definierten Folge durch Grenzübergang in der Rekursionsformel zu gewinnen, läßt sich in solchen Beispielen häufig anwenden, es ist dabei aber entscheidend sich zuerst die Existenz eines Grenzwerts zu überlegen, andernfalls sind die Rechenregeln für Folgengrenzwerte überhaupt nicht anwendbar. Wir wollen uns auch hierzu noch ein kleines Beispiel anschauen. Wir betrachten die durch a 0 := 0 und a n+ := a n ( + a n ) für n N -8

9 definierte Folge (a n ) n N. Führen wir in der Rekursionsgleichung den Grenzübergang für einen hypothetischen Grenzwert a R durch, so ergibt sich a = a( + a) = a 2 =. Für x 2 ist x( + x), erreicht die Folge also einen Wert a n 2, so ist auch a k 2 für alle k n. Nun sind a = und a 2 =, also gilt a n 2 für alle n 2. Insbesondere ist a 0 und damit muss a = sein. Andererseits müsste für den Grenzwert auch a 2 gelten, aber dann kann nicht a 2 = sein. Damit haben wir den Grenzwert ausgerechnet, aber in Wahrheit existiert er gar nicht, tatsächlich ist der eben aufgetretene Widerspruch ein Beweis der Divergenz der Folge (a n ) n N. Die Berechnung des Grenzwerts alleine reicht also nicht aus und beweist gar nichts, man muss zuerst seine Existenz begründen. 5 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a 0 + a + a 2 +. Die Summanden a i können dabei reell oder komplex sein. Historisch sind Reihen sehr viel älter als Folgen, und im Gegensatz zu den Folgen sind sie auch von eigenständigen Interesse. Als ein erstes Beispiel wollen wir uns die sogenannte Zenonsche Paradoxie anschauen. Bei dieser betrachten wir ein Rennen zwischen zwei Läufern sehr unterschiedlicher Geschwindigkeit, etwa Achilles und eine Schildkröte. Der Einfachheit halber nehmen wir an das die Schildkröte eine konstante Geschwindigkeit v > 0 hat während Achilles sich konstant mit der hunderfachen Geschwindigkeit bewegt. Um den Anschein von Fairness zu erwecken startet die Schildkröte mit einem Vorsprung m > 0. Sei etwa m in Metern und v in Metern pro Sekunde gegeben. Dann hat Achilles den Startpunkt der Schildkröte nach m/(00v) Sekunden erreicht aber in dieser Zeit ist die Schildkröte schon etwa weiter gekommen und hat die Strecke (m/(00v)) v = m/00 zurückgelegt. Achilles braucht jetzt nur noch (m/00)/(00v) = 0 4 m/v Sekunden um auch diese Strecke zu überwinden, aber dann ist die Schildkröte wieder (0 4 m/v) v = 0 4 m vorangekommen. Dies geht jetzt immer so weiter, Achilles braucht nächstes Mal nur noch 0 6 m/v Sekunden, aber die Schildkröte ist wieder weg, dann dauert es nur noch 0 8 m/v Sekunden und die Schildkröte ist immer noch weiter vorne, und das setzt sich ewig so fort. Damit kann Achilles die Schildkröte niemals einholen, und so etwas wie Bewegung wäre ein in sich widersprüchliches Konzept. Diese Paradoxie ist eine von vielen in der Antike verwendeten Argumenten die Problematik von Unendlichkeiten einzusehen, wir denken uns hier ja die Zeit und die Rennstrecke als ins Unendliche teilbar. Wieweit diese Paradoxie ernst genommen wurde kann man heute natürlich nicht -

10 mehr einschätzen, man kann allerdings feststellen das die antike, griechische Mathematik jedliche Unendlichkeiten strikt vermieden hat. Um den Zusammenhang mit Reihen herzustellen, wollen wir uns überlegen wieviel Zeit vergeht bis die Schildkröte schließlich eingeholt ist. Dieser Zeitraum setzt sich aus all den oben beschriebenen Teilabschnitten zusammen, also erst die 0 2 m/v Sekunden, dann die nächsten 0 4 m/v gefolgt von den nächsten 0 6 m/v Sekunden und so weiter, also insgesamt 0 2 m v m v m v m v +. Hier werden unendlich viele positive Zahlen aufaddiert und man will das irgendwie doch eine endliche Summe herauskommt. Wir können auch von vornherein sagen was herauskommen sollte, denn Achilles ist nach t Sekunden gerade 00vt Meter von seinem Startpunkt entfernt während die Schildkröte zu diesem Zeitpunkt m + vt Meter weit von diesem weg ist, Achilles holt die Schildkröte also ein wenn ist. Es sollte also in irgendeinem Sinne 00vt = m + vt, d.h. t = m v 0 2 m v + m 0 4 v + m 0 6 v + m 0 8 v + = m v gelten. Bevor dies allerdings auch nur eine sinnvolle Vermutung ist, muss erst einmal definiert werden was solch eine unendliche Summe denn überhaupt sein soll, wir benötigen einen Grenzwertbegriff für Reihen. 5. Konvergenz von Reihen Wir hatten in 4. gesagt das Folgen und ihr Konvergenzbegriff ein Hilfsbegriff sind, auf den viele andere Grenzwertbegriffe zurückgeführt werden und dementsprechend werden wir unendliche Summen in Termen von Folgengrenzwerten definieren. Angenommen die Folge (a n ) n N ist gegeben. Dann betrachten wir die sogenannten Partialsummen s 0 := a 0, s := a 0 + a, s 2 := a 0 + a + a 2, und allgemein s n := a k, also die endlichen Summen die jeweils durch Summation der ersten n + Summanden unserer unendlichen Summe gebildet werden. Damit können wir definieren: Definition 5.: Sei K {R, C} und sei (a n ) n N eine Folge in K. Bezeichne ( ) (s n ) n N := a k -0 n N

11 die Folge der zugehörigen Partialsummen. Wir nennen die Reihe a n konvergent wenn die Folge (s n ) n N der Partialsummen konvergent ist und schreiben in diesem Fall Andernfalls heißt die Reihe divergent. a n := lim s n = lim a k. Oftmals bezeichnen wir mit dem Symbol a n auch die Folge der Partialsummen, selbst wenn die Reihe divergent ist. Dass das Symbol a n sowohl die Folge der Partialsummen als auch den eventuellen Grenzwert bezeichnet, ist normalerweise unproblematisch. Die jeweilige Bedeutung ist immer aus dem Kontext heraus klar. Außerdem schreiben wir mit einem weiteren Bezeichnungsmißbrauch auch einfach Sei a n eine Reihe, dies soll dann bedeuten, dass (a n ) n N eine Folge ist und wir beabsichtigen die zugehörige Folge der Partialsummen zu untersuchen. Genau wie bei Folgen betrachtet man auch Reihen mit einem beliebigen Startindex n 0 N anstelle des Startindex 0, zum Beispiel die Reihe n= /n2 mit dem Startindex n 0 =. Die Partialsummen sind in diesem Fall s n = n 0 +n k=n 0 a k für n N. Oft ist es in diesem Zusammenhang dann etwas bequemer auch für die Folge der Partialsummen einen anderen Startindex zu verwenden, beispielsweise s n = n k=n 0 a k für n N mit n n 0. Die hiermit verbundene Willkür ist dabei unproblematisch, da die Wahl des Startindex auf Konvergenz und eventuelle Summe der Reihe keinen Einfluß hat. Genau wie im vorigen Kapitel formulieren wir die meisten Aussagen mit dem Startindex 0 oder, es sind aber implizit auch immer alle Reihen mit einem anderen Startindex mit gemeint. Lassen wir endlich viele Summanden am Beginn der Reihe einfach weg, so ändert sich nichts am Konvergenzverhalten der Reihe aber sehr wohl am Grenzwert. In der Tat, ist a n eine Reihe und n 0 N, so hängen die Partialsummen s n = n a k der Originalreihe und t n = n 0 +n k=n 0 a k der verkürzten Reihe über die Beziehung s n = a k = 0 a k + k=n 0 a k = 0 a k + t n n0 für alle n N mit n n 0 zusammen, und somit konvergiert die Folge (s n ) n N genau dann wenn die Folge (t n ) n N konvergiert und in diesem Fall ist a n = 0 a n + n=n 0 a n. Wir wollen jetzt einige Beispiele von Reihen besprechen, und beginnen mit der Reihe n(n ) = = n=2 -

12 In diesem Beispiel können wir die Partialsummen s n explizit berechnen, dies haben wir bereits am Anfang von 4 getan. Im einleitenden Beispiel (5) von 4 hatten wir s n = k=2 k(k ) = n für alle n N mit n 2 nachgerechnet. Damit ist die Reihe konvergent und ihr Grenzwert ist ( n(n ) = lim ) =. n n=2 Das nächste Beispiel ist die sogenannte geometrische Reihe, dies ist die aus den Potenzen einer festen Zahl q C gebildete Reihe. Dieses Beispiel wird sich als derart wichtig herausstellen das wir es in einem Satz festhalten wollen. Satz 5. (Die geometrische Reihe) Sei q C. Dann ist die geometrische Reihe qn genau dann konvergent wenn q < ist, und in diesem Fall gilt q n = q. Beweis: Nach 4.Lemma 4 ist die n-te Partialsumme für jedes n N als s n := q k = { q n+, q q, n +, q = gegeben. Für q = ist die Folge der Partialsummen (s n ) n N = (n + ) n N divergent. Nun sei q. Dann ist die Folge (s n ) n N nach 4.Satz 6.(a,b) genau dann konvergent wenn die Folge (q n+ ) n N konvergent ist und wie wir in einem Beispiel in 4. gesehen haben ist dies genau dann der Fall wenn q < gilt. Ist q <, so ist nach dem erwähnten Beispiel und 4.Satz 6.(a,b) auch q n = lim q n+ q = lim q n+ q = q. Wir wollen kurz einige konkrete Beispiele geometrischer Reihen durchgehen.. Die Reihe 2 n =

13 können wir auch als 2 = ( ) n n 2 schreiben, sie ist also eine geometrische Reihe mit q = /2. Nach dem eben bewiesenen Satz ist sie somit konvergent mit der Summe 2 n = 2 2. Wir berechnen die Zahl 0,. Nach der Definition der Dezimalschreibweise, die wir zwar streng genommen in dieser Vorlesung nie definiert haben aber trotzdem benutzen wollen, ist 0, = = = 2. ( ) In der Klammer steht im wesentlichen eine geometrische Reihe mit q = /0, und der Satz über die geometrische Reihe ergibt ( ) ( n ( ) n ( ) 0, = = ) = 0 0 = =. 0 n=. Ganz entsprechend können wir das einleitende Beispiel dieses Kapitels behandeln, es ist in den dort verwendeten Bezeichnungen ( ) n 0 2 m v m v m v m v + = m v 00 ( = 00 n= ) m v = m v. 4. Als viertes und letztes Beispiel behandeln wir die Reihe ( ) n 2 n = Dies ist eine geometrische Reihe mit q = /2, also ergibt sich ( ) n 2 n = ( 2) n = ( 2 ) = 2. -