Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen

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1 Kapitel V Folgen und Konvergenz V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Wir erinnern an den Begriff der Folge, den wir schon im Kapitel III verwenden. Eine Folge (a n ) n=1 AN in A ist eine Abbildung a ( ) : N A, n a n. Folgen mit Werten in A K nennen wir Zahlenfolgen. Definition V.1. (i) Eine Zahlenfolge (a n ) n=1 KN heißt konvergent : a K ε > 0 n 0 N n n 0 : a n a ε. (V.1) In diesem Fall heißt a Grenzwert oder Limes von (a n ) n=1, und wir schreiben statt (V.1) auch abkürzend a n a, n, (V.2) oder lim {a n = a. (V.3) (ii) Eine Zahlenfolge (a n ) n=1 KN heißt divergent : (a n ) n=1 ist nicht konvergent. (V.4) (iii) Enthält eine Zahlenfolge (a n ) n=1 K N eine konvergente Teilfolge (a nk ) k=1, so heißt deren Grenzwert lim k {a nk Häufungswert von (a n ) n=1. 50

2 KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZV.1. KONVERGENZ VON ZAHLENFOLGEN Bemerkungen und Beispiele. Wir bemerken, dass der Limes einer konvergenten Folge eindeutig ist. Ist nämlich a n a und a n a, n, (V.5) so gibt es für jedes ε > 0 zwei Indizes n 0,n 0 N, so dass n n 0 : a n a ε, (V.6) n n 0 : a n a ε. (V.7) Für n max{n 0,n 0 ist demnach a a a n a + a n a 2ε. (V.8) Weil ε > 0 beliebig klein gewählt werden kann, folgt daraus a = a. (V.9) Seien K = R und a n := 1/n. Dann konvergiert a n 0, für n. Seien K = R und a n := ( 1) n + 1 n. Dann ist (a n) n=1 divergent und hat die Häufungswerte { 1,1. Seien K = C und a n := α+ 1 n +iβ i n. Dann konvergiert a n α+iβ, für n. Seien K = C und a n := cos(n)+i sin(n). Dann ist (a n ) n=1 divergent. Jedekonvergente Zahlenfolge(a n ) n=1 in Kistauchbeschränkt. Genauer gesagt,istdann die Menge {a n n=1 K der Folgeglieder beschränkt, d.h. R < n N : a n R. (V.10) Ist nämlich a := lim a n, so können wir ε := 1 in (V.1) wählen und erhalten ein n 0 N, sodass n n 0 : a n a + a n a a +1. (V.11) Also gilt (V.10) mit R := max { a 1, a 2,..., a n0 1, a +1 <. (V.12) Die Konvergenz von komplexen Folgen ist gleichbedeutend mit der Konvergenz ihres Realund Imaginärteils, (z n ) n=1 CN ist konvergent (V.13) (Re{z n ) n=1 RN und (Im{z n ) n=1 RN sind beide konvergent. Ist nämlich z n z = Re{z n z 2 +Im{z n z 2 ε, so sind auch Re{z n z ε und Im{z n z ε. Sind umgekehrt Re{z n z ε und Im{z n z ε, so ist z n z 2ε. 51

3 V.1. KONVERGENZ VON ZAHLENFOLGENKAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ Satz V.2. Seien α K und (a n ) n=1,(b n ) n=1 K N zwei konvergente Zahlenfolgen und a := lim {a n, b := lim {b n. (V.14) Dann sind auch (a n +b n ) n=1 und (αa n) n=1 konvergent, und es gilt lim {a n +b n = a+b = lim{a n + lim{b n, lim {αa n = αa = α lim{a n. (V.15) (V.16) Beweis. Sei ε > 0. Dann ist auch ε/(2+ α ) > 0. Weil (a n ) n=1 konvergent ist, gibt es n 0 N, sodass n n 0 : a n a und weil (b n ) n=1 konvergent ist, gibt es n 0 N, sodass Setzen wir nun dann gilt für alle n n 0, dass ε 2+ α, (V.17) n n 0 : b n b ε 2. (V.18) n 0 := max{n 0,n 0, (V.19) (a n +b n ) (a+b) = (a n a)+(b n b) a n a + b n b ε 2+ α + ε 2 ε (V.20) und αa n αa = α a n a α ε 2+ α ε. (V.21) Satz V.3. Seien (a n ) n=1 und (b n) n=1 KN zwei konvergente Zahlenfolgen und a := lim {a n, b := lim {b n. (V.22) Dann ist (a n b n ) n=1 K N konvergent, und es gilt lim {a n b n = a b = lim{a n lim{b n. (V.23) Sind außerdem b n 0, n N und b 0, so ist auch (a n /b n ) n=1 { an lim = a b = lim {a n lim {b n. b n konvergent, und es gilt (V.24) 52

4 KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZV.2. REELLE FOLGEN UND MONOTONIE V.2 Reelle Folgen und Monotonie Im vorigen Abschnitt haben wir gesehen, dass der Konvergenzbegriff in C auf den in R zurückgeführt werden kann. Aus der Ordnungsstruktur in R erhalten wir allerdings noch weitere Aussagen, die keine Entsprechung in C haben. Definition V.4. Eine reelle Zahlenfolge (a n ) n=1 R N monoton steigend streng monoton steigend heißt monoton fallend streng monoton fallend : n N : a n a n+1, a n < a n+1, a n a n+1, a n > a n+1. (V.25) Satz V.5. Sei (a n ) n=1 eine Folge in R. (i) (ii) Ist (a n ) n=1 nach oben beschränkt und monoton steigend, so ist (a n ) n=1 konvergent. Ist (a n ) n=1 nach unten beschränkt und monoton fallend, so ist (a n ) n=1konvergent. (V.26) (V.27) Beweis. Offensichtlich sind (i) und (ii) äquivalent, wie man aus Ersetzung von a n durch a n ersieht. Wir zeigen nur (i). Die Menge A := {a 1,a 2,a 3,..., ist nach oben beschränkt, und wir setzen a := supa. (V.28) Sei nun ε > 0. Weil a das Supremum von A ist, gibt es nach Lemma III.9 ein a n0 A, so dass a n0 a a n0 +ε. (V.29) Da (a n ) n N monoton wachsend ist, gilt a n0 a n für n n 0, und daher n n 0 : 0 a a n a a n0 ε. (V.30) Also ist (a n ) n=1 konvergent und lim {a n = a. Sei (a n ) n=1 [ R,R]N eine nach oben und unten durch ±R, 0 < R < beschränkte Folge. Setzen wir A m := {a m,a m+1,a m+2,..., (V.31) so gilt [ R,R] A 1 A 2 A 3... (V.32) Setzen wir weiter, für m N, b m := infa m und c m := supa m, (V.33) 53

5 V.2. REELLE FOLGEN UND MONOTONIEKAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ so gilt m N : R b m c m R. (V.34) Außerdem impliziert (V.31)-(V.32), dass b m = infa m = min { a m, infa m+1 infam+1 = b m+1, (V.35) c m = supa m = max { a m, supa m+1 supam+1 = c m+1. (V.36) Also sind beide Folgen, (b m ) m=1 und (c m ) m=1, beschränkt und monoton und daher auch konvergent in R. Definition V.6. Sei (a n ) n=1 eine Folge in R. (i.a) Ist (a n ) n=1 nicht nach oben beschränkt, dann setzen wir lim sup{a n := lim {a n :=. (V.37) (Dabei ist nur als Symbol zu verstehen., R.) (i.b) Ist (a n ) n=1 nach oben beschränkt, und ist (c m) m=1, mit c m := sup{a m,a m+1,..., nicht nach unten beschränkt, so setzen wir lim sup{a n :=. (V.38) (i.c) Ist (a n ) n=1 nach oben beschränkt, und ist (c m ) m=1, mit c m := sup{a m,a m+1,..., nach unten beschränkt, so setzen wir lim sup{a n := lim {c { m = lim sup{an n m. (V.39) m m (ii) lim inf {a n := lim {a n := limsup{ a n. (V.40) Bemerkungen und Beispiele. limsup {a n heißt Limes superior von (a n ) n=1, liminf {a n heißt Limes inferior von (a n ) n=1. Sei a n := n für n N. Dann ist (a n ) n=1 also limsup {a n =. nicht nach oben beschränkt, und es gilt (i.a), Sei a n := n für n N. Dann ist (a n ) n=1 nach oben beschränkt. Weiterhin ist c m = sup ( { m, m 1, m 2,... ) = m, deshalb ist (c m ) n=1 nicht nach unten beschränkt, und es gilt (i.b), also limsup {a n =. 54

6 KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZV.2. REELLE FOLGEN UND MONOTONIE Sei a n := ( 1) n( 1 + n) 1. Wegen 2 an 2 ist dann (a n ) n=1 beschränkt, und es gilt (i.c). Weiterhin ist { ( 2k ) ( 2k +1 ) ( 2k +2 ) ( 2k +3 ) 2k +1 c 2k 1 = sup, +,, +,... = 2k 1 2k 2k +1 2k +2 2k, (V.41) { 2k +1 c 2k = sup 2k, 2k 2 2k +1, 2k +2 2k +1,... also c m 1, für m, und limsup {a n = 1. = 2k +1 2k, Genauso sieht man, dass liminf {a n = 1 für a n := ( 1) n( 1+ 1 n). Wir beobachten, dass 1 und 1 Häufungswerte der Folge (a n ) n=1 sind. Sei (a n ) n=1 eine Abzählung von Q (0,1). Dann sind liminf {a n = 0 und limsup {a n = 1. Satz V.7. Sei (a n ) n=1 RN eine Folge in R. (i) Folgende Charakterisierungen sind gleichwertig: { lim sup{a n =: ā R existiert { ε > 0 n 0 N m n 0 : a m ā+ε und ε > 0 (n j ) j=1 NN j N : a nj ā ε (V.42) (V.43) { (a n ) n=1 ist nach oben beschränkt und ā ist ihr größter Häufungswert. (V.44) (ii) Folgende Charakterisierungen sind gleichwertig: { lim inf n =: a R existiert { ε > 0 n 0 N m n 0 : a m a ε und ε > 0 (n j ) j=1 N N j N : a nj a+ε (V.45) (V.46) {(a n ) n=1 ist nach unten beschränkt und a ist ihr kleinster Häufungswert. (V.47) Korollar V.8. Sei (a n ) n=1 eine Folge in R. ] [(a n ) n=1 ist konvergent in R und in diesem Fall gilt [ ] lim sup{a n = liminf {a n R, (V.48) lim sup{a n = liminf {a n = lim{a n. (V.49) 55

7 V.3. CAUCHY-FOLGEN KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.3 Cauchy-Folgen Definition V.9. Eine Zahlenfolge (a n ) n=1 K N heißt Cauchy-Folge : ε > 0 n 0 N m,n n 0 : a m a n ε. (V.50) Cauchy-Folgen spielen in der Analysis eine große Rolle, weil man mit ihrer Hilfe den Konvergenzbegriff einführen kann, ohne expliziten Bezug auf den Grenzwert zu nehmen. Lemma V.10. Sei eine (a n ) n=1 KN eine konvergente Folge. Dann ist (a n ) n=1 Folge. eine Cauchy- Beweis. Seien ε > 0 und a := lim {a n. Dann gibt es ein n 0 N, so dass n n 0 : a n a ε/2. (V.51) Also ist m,n n 0 : a m a n a m a + a n a ε. (V.52) Satz V.11 (Cauchy-Kriterium). Ist (a n ) n=1 RN eine reelle Cauchy-Folge, so ist (a n ) n=1 konvergent. Beweis. Sei (a n ) n=1 R N eine reelle Cauchy-Folge. Wählen wir ε := 1, dann gibt es nach (V.50) ein n 0 N, so dass (mit m := n 0 ) n n 0 : a n a n0 1. (V.53) Also ist n n 0 : a n a n0 + a n a n0 a n0 + 1, (V.54) und daher n N : a n 1 + max { a 1, a 2,..., a n0, (V.55) d.h. (a n ) n=1 ist nach oben und nach unten beschränkt. Nach Definition V.6 sind deshalb ā := limsup{a n, a := liminf {a n R, und es genügt zu zeigen, dass ā = a. Sei dazu ε > 0 gewählt. Weil (a n ) n=1 ist, gibt es ein n 0 N, so dass n n 0 : a n a n0 ε, (V.56) eine Cauchy-Folge (V.57) was n n 0 : a n0 ε a n a n0 +ε (V.58) 56

8 KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.3. CAUCHY-FOLGEN impliziert. Daher gilt auch, a n0 ε inf n n 0 {a n =: b n0 c n0 := sup n n 0 {a n a n0 +ε. (V.59) Aus (V.59) und der Tatsache, dass b m monoton steigt und c m monoton sinkt, erhalten wir a n0 ε b n0 lim {b m = a (V.60) und ā = lim {c m c n0 a n0 +ε, (V.61) also 0 ā a ( a n0 +ε ) ( a n0 ε ) = 2ε. (V.62) Da ε > 0 beliebig klein gewählt werden kann, folgt daraus, dass a = ā, (V.63) was nach Korollar V.8 die Konvergenz von (a n ) n=1 zur Konsequenz hat. 57

9 V.4. ERGÄNZUNGEN KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.4 Ergänzungen V.4.1 Vertauschung von Limiten mit Produkt und Quotient Beweis. (Beweis von Satz V.3) Als konvergente Folgen sind (a n ) n=1 und (b n) n=1 beschränkt. Es gibt also ein R <, so dass max { sup n a n, sup b n, a, b R. (V.64) n Sei ε > 0. Dann gibt es n 0,n 0 N, so dass n n 0 : a n a ε 2R, n n 0 : b n b ε 2R. (V.65) (V.66) Setzen wir n 0 := max{n 0,n 0, dann gilt, für alle n n 0 a n b n ab = a n b n ab n +ab n ab a n a b n + a b n b ε 2R R+R ε 2R = ε. (V.67) Also ist lim {a n b n = ab. Für den Beweis von (V.24) zeigen wir zunächst, dass die Folge ( 1 b n ) n=1 beschränkt ist. Dazu setzen wir ε := b. Aus der Konvergenz von (b 2 n) n=1 folgt dann die Existenz von ñ 0 N, so dass Damit ist aber Also ist { 1 max b,sup n n ñ 0 : b n b ε = b 2. (V.68) n ñ 0 : b n = b+b n b b b n b b 2. (V.69) 1 b n R := 2 b { 1 + max 1 k ñ 0 b k <. (V.70) Für ε > 0 impliziert wiederum die Konvergenz von (b n ) n=1 die Existenz von n 0 N, so dass n n 0 : b b n ε R 2. (V.71) Somit ist dann n n 0 : 1 b 1 b = b b n b b n R 2 ε R 2 = ε. (V.72) Also konvergiert ( 1 b n ) n=1 in K gegen 1. Die Behauptung (V.24) folgt nun aus (V.23). b 58

10 KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ V.4. ERGÄNZUNGEN V.4.2 Limes Superior/Inferior als größter/kleinster Häufungswert Beweis. (Beweis von Satz V.7) Aussagen (i) und (ii) sind offenbar wieder äquivalent, und wir zeigen nur (i). Dazu zeigen wir (V.42) (V.43) (V.44) (V.42). (V.73) (V.42) (V.43): Sei limsup {a n = ā R, und sei ε > 0. Nehmen wir an, es gäbe unendlich viele a n ā + ε, also eine Teilfolge (a nj ) j=1 mit a nj ā + ε. Wegen n j, für j, gibt es zu jedem m N ein n j m und deshalb ist also m N : sup{a n a nj ā+ε, (V.74) n m lim sup {a n ā+ε = limsup{a n +ε. (V.75) Widerspruch. Daraus folgt die Existenz eines n 0 N, so dass n n 0 : a n ā+ε. (V.76) Gäbe es nur endlich viele n N mit a n ā ε, so müsste es n 0 N geben, so dass n 0 n 0 : a n ā ε. (V.77) Dann wäre aber lim sup {a n sup{a n ā ε = limsup{a n ε. (V.78) n n 0 Widerspruch. Daraus folgt die Existenz einer Teilfolge (a nj ) j=1 mit a nj ā ε, für alle j N. (V.43) (V.44): Seien ε > 0 und n 0 N und (a nj ) j=1 so, dass Dann gilt ( ) ( ) m n 0 : a m ā+ε j N : a nj ā ε. (V.79) j N, n j n 0 : a nj ā ε, (V.80) und ā ist ein Häufungswert von (a n ) n=1. Außerdem ist (a n ) n=1 nach (V.79) offensichtlich nach oben beschränkt. Ist nun b > ā, so wählen wir ε := b ā 3 > 0. Nach (V.43) gibt es ein n 0 N, so dass m n 0 : a m ā+ε = b 2ε. (V.81) Also kann b kein Häufungswert von (a n ) n=1 sein. Somit ist ā der größte Häufungswert von (a n ) n=1. 59

11 V.4. ERGÄNZUNGEN KAPITEL V. FOLGEN UND KONVERGENZ (V.44) (V.42): Seien (a n ) n=1 eine nach oben beschränkte Folge und ā ihr größter Häufungswert. Weil (a n ) n=1 nach oben beschränkt ist, ist limsup {a n <. Ist andererseits ε > 0, so gibt es eine Teilfolge (a nj ) j=1 mit a n j ā ε, für alle j N. Dann ist und mit ε 0 folgt ( lim sup{a n = lim sup {a m ) lim m n ( sup j N:n j n {a nj ) ā ε, (V.82) ā limsup{a n <. (V.83) Sei nun c n := sup m n {a m. Dann ist c n monoton fallend und limsup {a n = lim {c n. Weiterhin gibt es zu jedem n N einen Index m(n) n, so dass c n 1 n a m(n) c n, (V.84) nach Definition des Supremums. O.B.d.A. können wir m(n) < m(n+1) annehmen und erhalten eine konvergente Teilfolge (a m(n) ) n=1 mit lim {a m(n) = lim{c n = limsup{a n. (V.85) Also ist limsup {a n ein Häufungswert von (a n ) n=1. Weil ā der größte Häufungswert ist, folgt lim sup{a n = ā. (V.86) 60