Unterricht 13: Wiederholung.

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1 , 1 I Unterricht 13: Wiederholung. Erinnerungen: Die kleinen Übungen nden diese Woche statt. Zur Prüfung müssen Sie Lichtbildausweis (Personalausweis oder Reisepass) Studierendenausweis mitbringen. I.1 Reelle Zahlen Denition I.1. Ein Element b heiÿt Supremum von einer Menge T R { (i) t T t b, : (ii) a R, a < b = t T : a < t. Satz I.2. Sei T eine beschränkte Menge. Dann gilt ɛ > 0 t T : sup T ɛ < t. Beispiel: Sei M = (a, b), wobei a, b R a < b. sup M = a. Finden Sie die analogen Denitionen und Sätze für das Inmum. I.2 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen haben die Form z = a + ib, wobei a, b R und i 2 = 1. a = Re{z}, b = Im{z}. Sei z k = a k + b k, k {1, 2}. Es gilt: z 1 z 2 = a 1 a 2 b 1 b 2 + i(a 1 b 2 + b 1 a 2 ), z 1 + z 2 = a 1 + a 2 + i(b 1 + b 2 ), z 1 = a 1 ib 1, z 1 = z 1 z 1 = a b 2 1, z z 1 = a 1 i a 2 1 +b2 1 b 1 a 2 1 +b2 1.

2 , 2 Polar-Darstellung: Sei z = a + ib 0, es folgt z = re iθ, wobei r = z, a = r cos(θ), b = r sin(θ). Die Aussage z n = r n e inθ ist wichtig, wenn wir die Wurzel von komplexen Zahlen nden wollen. I.3 Limes Denition I.3. Eine Folge (x n ) n N konvergiert x ɛ > 0 N N : n > N = x n x < ɛ (x n ) n N ist eine Cauchy-Folge. Seien (x n ) n N und (y n ) n N konvergente Folgen. Die folgenden Aussagen sind wichtig für die Berechnung von Grenzwerten. lim x n + y n = lim x n + lim y n, lim x n y n = lim x n lim y n, lim x n yn = lim xn lim y n, falls lim y n 0. Monoton fallende (oder monoton steigende) Folgen konvergieren, falls sie nach unten beschränkt (oder nach oben beschränkt) sind. Beispiele: x n = ( 1) n konvergiert nicht, x n = n konvergiert nicht, x n = n 1 + n = konvergiert, was ist der Grenzwert? n Warum? Beweis... Wie können wir beweisen, dass eine Folge konvergiert oder nicht?

3 , 3 I.4 lim sup, lim inf Denition I.4. Sei (x n ) n N eine Folge lim sup x n = inf lim inf sup n N i n {x i }, x n = sup inf {x i}. n N i n Welche anderen äquivalenten Denitionen von lim sup und lim inf kennen Sie?. Können sie den lim sup und lim inf von den letzten Beispielen berechnen?. Wie können wir mit Hilfe des lim sup und lim inf beweisen, dass eine Folge nicht konvergent ist? I.5 Reihen Sei (a n ) n N eine Zahlenfolge. Dann heiÿt die Folge (s m ) m=1 mit s m := m a n, n=1 Reihe. Ist (s m ) m=1 konvergent, so schreiben wir n=1 a n = lim m s m. Die Reihe (s m ) m=1 konvergiert absolut, wenn n=1 a n existiert. Wir erinnern uns daran, dass die Reihe (s m ) m=1 genau dann konvergiert, wenn die Folge (s m ) m=1 Cauchy ist. Wann divergiert eine Reihe?. Konvergenzkriterien (und Divergenzkriterien) Majorantenkriterium Wurzelkriterium Quotientenkriterium Cauchykriterium. Wir erinnern uns daran, dass n=1 a n < = lim a n = 0. Es folgt, dass lim a n 0 = die Reihe konvergiert nicht.

4 , 4 I.6 Topologie Was ist eine oene (oder nicht oene) Menge? Was ist eine abgeschlossene (oder nicht abgeschlossene) Menge? Beispiele (a, b) R ist oen. [a, b] R ist abgeschlossen. Was ist [a, b) R? Welche Mengen sind [a, b) und [a, b). Warum?: Beweis... I.7 Kompakte Mengen Was ist die Denition einer kompakten Menge? Ist zum Beispiel die Menge (0, 1] kompakt? Warum?: Beweis... I.8 Stetigkeit Denition I.5. Sei M K eine Menge und x 0 M. Sei f : M K eine Funktion. F ist stetig in x 0 ɛ > 0 δ > 0 x M : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ɛ. { (x n ) n N, lim x n = x 0 : lim f(x n ) = f(x 0 )}. Die Funktion f ist stetig, wenn sie stetig in x für alle x M ist. Wann ist eine Funktion nicht stetig in x 0? Seien f und g stetig in x 0. Es folgt, dass f + g und fg stetig in x 0 sind. Falls g(x 0 ) 0, so ist f g wohl-deniert in einer Umgebung von x 0 und f g ist stetig in x 0. I.9 Dierentiation Denition I.6. Seien U R und f : U R eine Abbildung. f ist bei x 0 U dierenzierbar lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0

5 , 5 existiert. In diesem Falle heiÿt f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Ableitung von f bei x 0. Seien f und g dierenzierbar in x 0. Es folgt, dass f +g und fg dierenzierbar in x 0 sind. Falls g(x 0 ) 0, so sind f wohl-deniert in einer Umgebung von g x 0 und f ist dierenzierbar in x g 0. Falls f dierenzierbar in g(x 0 ), so ist f g dierenzierbar in x 0. Es folgt, dass (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) ( f g ) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g(x 0 ) 2, (f g)(x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ). Wir erinnern uns daran, dass wir in der groÿen Übung und kleinen Übung Funktionen durch Reihen deniert haben. Wie können wir beweisen, dass diese Funktionen dierenzierbar (oder stetig) sind? Wie können wir durch die Denition beweisen, dass eine Funktion dierenzierbar ist? Wie können wir die Ableitung durch die Denition berechnen? I.10 Lokales Minima und Maxima Denition I.7. Sei U R eine oene Menge und f : U R eine reelle Funktion. Ein Punkt x 0 U heiÿt lokales Minimum von f δ > 0 x U : x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ). Ein Punkt x 0 U heiÿt lokales Maximum von f δ > 0 x U : x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ). Satz I.8. Sei U R eine oene Menge und f : U R eine reelle Funktion. Wir nehmen an, dass f dierenzierbar bei x 0 ist. Es folgt, dass [ x 0 ist ein lokales Maximum oder Minimum ] = [ f (x 0 ) = 0 ]

6 , 6 Satz I.8 ist wichtig, wenn wir lokale Maxima oder Minima nden wollen. Sei f eine dierenzierbare Funktion. Wenn x 0 ein lokales Minimum oder Maximum ist, folgt dass f (x 0 ) = 0. Es folgt dass {x : x ist ein lokales Maximum oder Minimum} {x : f(x) = 0}. Aber im Allgemeinen {x : x ist ein lokales Maximum oder Minimum} {x : f(x) = 0}. Wenn wir die lokalen Minima oder Maxima einer dierenzierbaren Funktion nden wollen, sollten wir zuerst die Menge M := {x : f(x) = 0} nden und danach müssen wir jeden Punkt von der Menge M untersuchen. Diese Punkte könnten lokale Minima, lokale Maxima oder keins dergleichen sein. I.11 Integration Was ist eine Partition von einem Intervall [a, b]?. Was ist eine Untersumme? Was ist eine Obersumme? Was ist das Unterintegral? Was ist das Oberintegral? Wann ist eine Funktion Riemann-integrierbar? Wie können wir ein Riemann-Integral durch die Denition berechnen? Ich wünsche Ihnen Viel Erfolg!

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