INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies

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1 Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 8. Reihen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2016

2 G. Matthies Ingenieurmathematik 2/33 Motivation Wert einer Summe mit unendlich vielen Summanden bestimmen: =? Zunächst Folge der Partialsummen betrachten 1, , , ,... Existiert der Grenzwert der Partialsummenfolge, dann setzen wir ihn als Wert der unendlichen Summe. 1 1/4 1/2 1/16 1/8

3 G. Matthies Ingenieurmathematik 3/33 Reihen Definition Sei (a k ) k N0 = (a 0, a 1, a 2,... ) eine Folge reeller oder komplexer Zahlen, d. h. a k R oder a k C. Dann heißen die Summen n s n := a k, Partialsummen zur Folge (a k ) k N0. Die Folge (s n ) n N0 wird als (unendliche) Reihe zur Folge (a k ) k N0 bezeichnet. Dafür wird kurz geschrieben. Bemerkung Die Folge (a k ) und die Reihe (s n ) beginnen stets beim selben Index, der aber auch von 0 verschieden sein kann. a k

4 G. Matthies Ingenieurmathematik 4/33 Konvergenz von Reihen Definition Eine Reihe a k heißt genau dann konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen (s n ) konvergiert. Gilt s = lim s n, dann n bezeichnen wir s als den (Grenz-)Wert der Reihe und schreiben a k = s Divergiert die Partialsummenfolge, so heißt die Reihe divergent. Bemerkung Der Ausdruck a k hat zwei Bedeutungen: 1. die Reihe selbst, 2. den Grenzwert der Reihe.

5 G. Matthies Ingenieurmathematik 5/33 Geometrische Reihe Definition Sei q C. Dann heißt Reihe. Es gilt Für q < 1 gilt und somit s n = s n q k = 1+q+q 2 +q geometrische n n + 1, q = 1, q k = q n+1 1 q 1, q 1. 1 q 1 = 1 1 q für n q k = 1 1 q.

6 G. Matthies Ingenieurmathematik 6/33 Harmonische Reihe Definition Die Reihe k=1 heißt harmonische Reihe. 1 k = Die harmonische Reihe ist bestimmt divergent.

7 G. Matthies Ingenieurmathematik 7/33 Rechnen mit Reihen Seien (a k ) k N0 und (b k ) k N0 Zahlenfolgen. Wenn die zugehörigen Reihen konvergieren, dann die Rechenregeln: (a k + b k ) = a k + (a k b k ) = a k und (λa k ) = λ für beliebige Zahlen λ. a k b k b k

8 G. Matthies Ingenieurmathematik 8/33 Notwendiges Konvergenzkriterium Ist die Reihe a k konvergent, dann gilt lim a k = 0, k d. h., die ursprüngliche Folge (a k ) k N0 ist eine Nullfolge. Bemerkung Die Umkehrung des es gilt nicht. Als Beispiel sei die harmonische Reihe betrachtet. Der kann zum Beweis der Divergenz von Reihen eingesetzt werden, da lim k a k = a 0 die Divergenz der Reihe a k liefert.

9 G. Matthies Ingenieurmathematik 9/33 Einfache Konvergenzaussage Sei a k eine Reihe mit reellen, nicht-negativen Gliedern. Dann konvergiert die Reihe genau dann, wenn die Folge der Partialsummen nach oben beschränkt ist. Bemerkung Selbst wenn die Konvergenz einer Reihe gesichert ist, kann das Bestimmen des Wertes der Reihe schwierig sein.

10 G. Matthies Ingenieurmathematik 10/33 Alternierende Reihen Definition Sei (a k ) k N0 eine Folge reeller Zahlen derart, dass a k a k+1 < 0 für alle k 0 gilt. Dann heißt a k alternierende Reihe. Bemerkung Eine alternierende Reihe lässt sich stets als ( 1) k b k oder ( 1) k+1 b k schreiben, wobei (b k ) k N0 mit b k = a k eine Folge mit positiven Gliedern ist. Das Vorzeichen der Glieder einer alternierenden Reihe wechselt (alterniert) von Summand zu Summand.

11 G. Matthies Ingenieurmathematik 11/33 Leibniz-Kriterium Sei a k eine alternierende Reihe. Wenn die Folge ( a k ) k N0 der Beträge eine monotone Nullfolge ist, dann konvergiert die Reihe. Bemerkung Die Monotonie der Folge der Beträge ist wesentlich. Die alternierende Reihe 1 k!, k gerade, a k mit a k = 2 k + 1, k ungerade, divergiert, da die ungeraden Summanden die harmonische Reihe bilden.

12 G. Matthies Ingenieurmathematik 12/33 Grenzwert einer alternierenden Reihe Sei a k eine alternierende Reihe mit Grenzwert s. Dann gilt wobei s n = s s n a n+1, n die n-te Partialsumme der Reihe bezeichnet. a k

13 G. Matthies Ingenieurmathematik 13/33 Absolut konvergente Reihen Definition Eine Reihe a k heißt absolut konvergent, wenn die Reihe a k der Absolutbeträge ihrer Glieder konvergiert. Bemerkung Eine konvergente Reihe mit nicht-negativen reellen Gliedern a k ist damit immer auch absolut konvergent, da a k = a k für alle k gilt. Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent. Die Umkehrung gilt nicht.

14 G. Matthies Ingenieurmathematik 14/33 Umordnung von Reihen Definition Seien a k eine Reihe und (n k ) k N0 eine Folge nicht-negativer ganzer Zahlen, in der jede Zahl 0, 1, 2,... genau einmal vorkommt. Dann heißt Umordnung der Ausgangsreihe. a nk Ist a k eine absolut konvergente Reihe mit Grenzwert s. Dann ist auch jede Umordnung dieser Reihe absolut konvergent und der Grenzwert der umgeordneten Reihe ist s.

15 G. Matthies Ingenieurmathematik 15/33 Multiplikation von Reihen Seien gilt a k und b k zwei absolut konvergente Reihen. Dann ( ) ( ) a k b k = oder ausgeschrieben ( ) ( ) a k b k c k mit c k = k a i b k i i=0 = a 0 b }{{} 0 + a 0 b 1 + a 1 b 0 + a }{{} 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b }{{} = c 0 = c 1 = c 2 Das obige Cauchy-Produkt kann als Verallgemeinerung des Ausmultiplizierens aufgefasst werden.

16 G. Matthies Ingenieurmathematik 16/33 Majorantenkriterium Gegeben seien die komplexe Reihe a k und die reelle Reihe b k mit a k b k für alle k k 0 N. Ist die Reihe konvergent, so konvergiert die Reihe nennt die Reihe b k a k sogar absolut. Man b k Majorante der Reihe a k.

17 G. Matthies Ingenieurmathematik 17/33 Minorantenkriterium Seien die reellen Reihen a k und b k mit a k b k 0 für alle k k 0 N gegeben. Ist die Reihe die Reihe der Reihe b k divergent, dann ist a k auch divergent. Die Reihe a k. b k heißt Minorante

18 G. Matthies Ingenieurmathematik 18/33 Quotientenkriterium Existieren ein q mit 0 < q < 1 und ein k 0 N 0 mit a k+1 a k q, a k 0 für alle k k 0, dann konvergiert die Reihe a k absolut. Existiert ein k 0 N 0 mit a k+1 a k 1, a k 0 für alle k k 0, so divergiert die Reihe a k.

19 G. Matthies Ingenieurmathematik 19/33 Bemerkungen Im ersten Fall stellt die geometrische Reihe eine konvergente Majorante dar. Im zweiten Fall ist das notwendige Konvergenzkriterium verletzt. Der Grenzwert der Reihe kann mit den Quotientenkriterium nicht bestimmt werden. Sei W := lim a k+1 k a k Gilt W < 1, dann konvergiert die Reihe absolut. Gilt W > 1, dann divergiert die Reihe. Gilt W = 1, dann lässt sich so keine Aussage treffen.

20 G. Matthies Ingenieurmathematik 20/33 Wurzelkriterium Existieren ein q mit 0 < q < 1 und ein k 0 N 0 mit k ak q für alle k k 0, so konvergiert die Reihe a k absolut. Gilt für unendlich viele k N k ak 1, dann divergiert die Reihe a k.

21 G. Matthies Ingenieurmathematik 21/33 Bemerkungen Im ersten Fall stellt die geometrische Reihe eine konvergente Majorante dar. Im zweiten Fall ist das notwendige Konvergenzkriterium verletzt. Der Grenzwert der Reihe kann mit den Wurzelkriterium nicht bestimmt werden. k Sei Q := lim ak k Gilt Q < 1, dann konvergiert die Reihe absolut. Gilt Q > 1, dann divergiert die Reihe. Gilt Q = 1, dann lässt sich so keine Aussage treffen.

22 G. Matthies Ingenieurmathematik 22/33 Potenzreihe Definition Seien (a k ) k N0 eine Zahlenfolge und x 0 C. Dann heißt a k (x x 0 ) k, x C, Potenzreihe in x zum Entwicklungspunkt x 0. Die Zahlen a k werden Koeffizienten der Potenzreihe genannt. Bemerkung Eine Potenzreihe ist, im Unterschied zu den bisher betrachteten Reihen, die Summation einer Folge von Funktionen. Wird die Potenzreihe für ein festes x betrachtet, dann entsteht eine Reihe im bisherigen Sinn. Die Partialsummen S n (x) = n a k (x x 0 ) k sind Polynome.

23 G. Matthies Ingenieurmathematik 23/33 Taylor-Polynome Erinnerung Definition Seien f : (a, b) R eine (n + 1)-mal differenzierbare Funktion und x 0 (a, b). Dann bezeichnen wir T n (x) := f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) ! + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! als das n-te Taylor-Polynom von f an der Stelle x 0. Das Restglied R n (x) := f (x) T n (x) hat die Darstellung R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1, wobei ξ zwischen x 0 und x liegt, was ξ = x 0 + ϑ(x x 0 ) mit ϑ (0, 1) bedeutet.

24 G. Matthies Ingenieurmathematik 24/33 Taylor-Reihe Definition Seien (a, b) R ein Intervall, f : (a, b) R eine beliebig oft differenzierbare Funktion und x 0 (a, b). Dann heißt f (k) (x 0 ) T (x) := (x x 0 ) k k! die Taylor-Reihe von f zum Entwicklungspunkt x 0. Bemerkung Die Taylor-Reihe muss nicht für alle x (a, b) konvergieren. Selbst wenn sie für ein x (a, b) konvergiert, dann muss der Wert der Reihe nicht notwendigerweise mit f (x) identisch sein.

25 G. Matthies Ingenieurmathematik 25/33 Konvergenz von Taylor-Reihen Seien (a, b) R ein Intervall und f : (a, b) R eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Die Taylor-Reihe von f zum Entwicklungspunkt x 0 (a, b) konvergiert an der Stelle x (a, b) genau dann gegen f (x), wenn das Restglied R n (x) für n gegen 0 konvergiert. Beispiel f : R R, f (x) = { e 1 /x 2, x 0, 0, x = 0, f ist in x 0 = 0 beliebig oft differenzierbar mit f (k) (0) = 0, k N 0 f (k) (0) Taylor-Reihe T (x) = (x 0) k = 0 stimmt nur für k! x = 0 mit Funktionswert von f überein

26 G. Matthies Ingenieurmathematik 26/33 Konvergenzbereich Definition Sei c k (z a) k eine Potenzreihe zum Entwicklungspunkt a C mit komplexen Koeffizienten. Dann heißt die Menge { } z C : c k (z a) k konvergiert Konvergenzbereich der Potenzreihe. Bemerkung Der Konvergenzbereich ist stets nicht-leer, da die Potenzreihe zum Entwicklungspunkt a für z = a auf jeden Fall konvergiert. Es gibt Potenzreihen, deren Konvergenzbereich alle komplexen Zahlen umfasst.

27 G. Matthies Ingenieurmathematik 27/33 Konvergenzradius Definition Sei c k (z a) k eine Potenzreihe zum Entwicklungspunkt a C mit komplexen Koeffizienten. Der Konvergenzradius r der Potenzreihe ist eine nicht-negative reelle Zahl oder derart, dass die Potenzreihe für alle z C mit z a < r konvergiert und für alle z C mit z a > r divergiert. Bemerkung Das Konvergenzverhalten für z C mit z a = r muss gesondert untersucht werden. Der Konvergenzradius ist auch gegeben durch r = sup { z a : c k (z a) k konvergiert }.

28 G. Matthies Ingenieurmathematik 28/33 Eindeutigkeit der Potenzreihenentwicklung I Seien a C, B = {x C : x a < r} mit r > 0, B D und f : D C. Gilt f (x) = a k (x a) k für alle x B, dann ist a k = f (k) (a) k! für alle k 0. Die Reihe ist also genau die Taylor-Reihe von f zum Entwicklungspunkt a.

29 G. Matthies Ingenieurmathematik 29/33 Eindeutigkeit der Potenzreihenentwicklung II Folgerung Seien a C und B = {x C : x a < r} mit r > 0. Weiterhin seien f (x) = a k (x a) k und g(x) = b k (x a) k zwei Potenzreihen, die in B konvergieren. Gibt es eine Folge (x k ) k N0 mit lim x k = a und x k a für alle k k N 0 derart, dass zusätzlich f (x k ) = g(x k ) erfüllt ist, dann gilt f (x) = g(x) für alle x B und a k = b k für alle k 0.

30 G. Matthies Ingenieurmathematik 30/33 von Cauchy Hadamard Sei c k (z a) k eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a C. Falls r := lim c k k c k+1 [0, ] existiert, dann hat die Potenzreihe den Konvergenzradius r. Falls 1 r := lim [0, ] k k ck existiert, dann hat die Potenzreihe den Konvergenzradius r.

31 G. Matthies Ingenieurmathematik 31/33 Rechnen mit Potenzreihen I Seien a k (z a) k und b k (z a) k zwei Potenzreihen zum Entwicklungspunkt a C, die in B = {z C : z a < r} mit r > 0 konvergieren. Dann gelten die Rechenregeln a k (z a) k ± b k (z a) k = (a k ± b k )(z a) k ( ) ( ) a k (z a) k b k (z a) k für alle z B. = ( k ) a k i b i (z a) k i=0

32 G. Matthies Ingenieurmathematik 32/33 Rechnen mit Potenzreihen II Sei a k (x a) k eine reelle Potenzreihe um a R, die im Intervall (a r, a + r) mit r > 0 konvergiert. Dann haben wir d a k (x a) k d = dx dx a k(x a) k = a k k(x a) k 1 a k (x a) k dx = für alle x ( r, r). = k=1 a k (x a) k dx a k k + 1 (x a)k+1 + C

33 G. Matthies Ingenieurmathematik 33/33 Beispiele für Potenzreihen e x = 1 + x + x 2 2! +... = 1 1 x = 1 + x + x = x k k!, x C, x k, x < 1, sin x = x x 3 3! + x 5 5!... = ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)!, x C, cos x = 1 x 2 2! + x 4 4!... = ( 1) k x 2k (2k)!, x C, ln(1 + x) = x x x = ( 1) k x k+1 k + 1, = ( 1) k+1 x k, x ( 1, 1], k k=1