Mathematik III für das MW: WS 15/16 + SS 16. Karsten Eppler Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik

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1 Mathematik III für das MW: WS 15/16 + SS 16 Karsten Eppler Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik karsten.eppler@tu-dresden.de eppler Vorlesungsassistent: Dr. Vanselow vanselow/...

2 Organisatorische Hinweise I K. Eppler: Willersbau, Zi.: C 318, Tel.: (463) Sprechzeit f. Studenten: Di Uhr 1. Übung: Zahlenreihen (+ Beginn Potenzreihen) 2. Übung: Potenzreihen (Berechnungen und Konvergenz) Klausur(en): Ma III: Juli 2016 (Wdhlg. Ma II: März 2016) Literatur: Bärwolf Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure (Spektrum); Wenzel/Heinrich Übungsaufgaben zur Analysis (Ü1+Ü2); Pforr/Oehlschlaegel/Seltmann Übungsaufgaben zur linearen Algebra und linearen Optimierung (Ü3)

3 Organisatorische Hinweise II Lehrbegleitende Skripte: Mathematik I, II, III (ehem. Skript VIW) erhältlich in: Copy Cabana, Helmholtzstr. 4 Weitere detailliertere Hinweise zu: Klausuren, Übungen, Vorlesungsinhalt(e - s.: Schwerpunkte) etc. auf meiner Homepage und bei Dr. Vanselow Aktueller Hinweis zu den Klausureinsichten: 1.) Wdhlg.-Klausur Ma. I ( ): , Uhr, 2.) Klausur Mathematik II ( ): , Uhr, jeweils Raum WIL C 307.

4 Zahlen- und Potenzreihen Gegeben: ZF {a n } n=0, n-te Partialsumme: s n := Damit ist {s n } n=0 eine (Zahlen-)Folge n a k. Definition: Eine Reihe a k heißt konvergent, wenn die zugehörige Folge der Partialsummen konvergiert. Schreibweise: a k := lim n s n (= lim n n a k ) Aufgabenstellungen: 1.) Berechnung der Reihensumme 2.) Nachweis der Konvergenz (!!) (Achilles Schildkrötenparadoxon: Die Summe unendlich vieler positiver Größen kann einen endlichen Wert besitzen(!))

5 Beispiele für Konvergenz/Divergenz Beispiel 1: Die harmonische Reihe ist divergent (bei naiver Summation auf Rechnern: scheinbar endliche Reihensumme): n H n := k 1 lim H n =, Genauer: H n γ + ln n n k=1 (γ = Euler-Mascheroni-Konstante lim H n ln n = 1) aber: Die alternierende harmonische Reihe ist konvergent: n ( 1) k+1 k 1 = ln 2 (Taylorentw. für ln(1 + x), x = 1) k=1 Beispiel 2: Die geometrische Reihe (divergent für q 1) n s n = q k = 1 qn+1 (q 1) q k = 1 ( q < 1). 1 q 1 q

6 Reihen bei Nicole Oresme (14. Jh.) I (Ausgangssituation für beide Aufgaben: Wir betrachten eine Stunde, unterteilt in geometrischer Progression mit q = 1/2). Wenn ein Mobile [beweglicher Körper - Punktmasse ] sich im ersten proportionalen Teil einer Stunde (also eine halbe Stunde) mit irgendeiner (konstanter) Geschwindigkeit bewegen würde und im zweiten Teil (eine Viertelstunde) doppelt so schnell und im dritten dreimal und im vierten viermal und so fort, bis ins Unendliche immer zunehmend, so würde jenes Mobile in der ganzen Stunde genau das Vierfache durchlaufen von dem, was im ersten Teil der Stunde durchlaufen wurde.

7 Reihen bei Nicole Oresme (14. Jh.) II Ein Mobile bewegt sich im ersten proportionalen Teil einer Stunde mit konstanter Geschwindigkeit. Im zweiten Teil bewegt es sich gleichförmig beschleunigt, bis es die doppelte Geschwindigkeit erreicht hat. Dann bewegt es sich im dritten Teil konstant weiter und im vierten Teil der Strecke wieder gleichförmig beschleunigt von der doppelten zur vierfachen Geschwindigkeit und so fort. Ich sage nun, daß der in der Gesamtzeit durchlaufene Weg sich zum im ersten Abschnitt durchlaufenen Weg verhält wie 7:2.

8 Kriterien zur Konvergenzuntersuchung I Notwendiges Konvergenzkriterium: Falls a k konvergiert, so gilt lim a k = 0 für k. Vergleichskriterien: Seien 0 a k b k gegeben. Dann gilt: 1.) Konvergiert b k, so konvergiert auch a k. 2.) Divergiert a k, so divergiert auch b k. (Konvergente Majorante und Divergente Minorante) 3.) Falls lim k a k b k = c > 0, dann b k konv. a k konv.

9 Kriterien zur Konvergenzuntersuchung II Wurzel- und Quotientenkriterium: Wir betrachten den GW a) g = lim a k+1 a k und b) w = lim k a k (jeweils k ). A) Falls g < 1 (g > 1), dann konvergiert (divergiert) Reihe. B) Falls w < 1 (w > 1), dann konvergiert (divergiert) Reihe. Leibnizkriterium: Es sei {a n } n=0 eine monotone Nullfolge. Dann konvergiert die Reihe ( 1)k a k. Integralkriterium: Es sei a k = f(k) mit einer monoton fallenden Funktion f : R + R +. Dann gilt a k konv. 1 f(x) dx konv. (uneigentl. Integral).

10 Die harmonische Brücke zum Mond (Eine (kleine) Sommergeschichte) Bau aus Ziegelsteinen. Forderung: Der Gesamtschwerpunkt der Brücke befindet sich über dem Basisstein. Konstruktionsidee (n Steine gegeben): Inverse Anordnung(!), d.h.: 2-ter Stein: Überhang =(2n) 1, 3-ter Stein: ÜH=(2[n 1]) 1,.. j-ter Stein: ÜH=(2[n + 2 j]) 1,.. (n 1)-ter Stein: ÜH=1/6, n-ter Stein: ÜH=1/4. Erreichbarer Gesamtüberhang (= Brückenlänge) U g (n) = n j=2 1 2j = 1 2 [H n 1] lim n U g(n) = (da lim H n = ). n Schwerpunkt: S n = 1 H n 2n < 1, n (lim S n = 1).

11 Absolute und bedingte Konvergenz Definition: Eine Reihe a k heißt absolut konvergent, wenn auch die Reihe der Beträge konvergiert: a k <. Anderenfalls heißt die Reihe bedingt konvergent. Bedingt konvergente Reihen haben ein sehr exotisches Verhalten, z.b.: Für jede bedingt konvergente Reihen existiert eine Umordnung, die einen beliebigen Wert x R ± als Reihensumme besitzt. Bemerkung: Additivität und Homogenität gilt generell bei konvergenten Reihen, d.h.: a k <, b k < λ a k + b k = [λa k + b k ] aber: z.b. Multiplikation ist nur bei absolut konvergenten Reihen (sinnvoll) möglich.

12 Darstellung mittels Funktionenreihen Das Grundkonzept/Ziel: Die Darstellung einer (gesuchten oder gegebenen) Funktion f : R R (auch f : R n R m ) mit bekannten Funktionen f k ist in Form einer Reihe zu ermitteln, d.h., ( ) N f(x) = c k f k (x) Näherung: f(x) c k f k (x) Beispiele: 1.) Potenzreihen (Taylor- ); 2.) Fourierreihen 1) f k (x) = x k ; 2) f k (x) = sin(kx); g k (x) = cos(kx) Achtung: GW (bei punktweiser Konvergenz) von Folgen (Reihen) stetiger Funktionen müssen nicht stetig sein!

13 Potenzreihen, Konvergenzradius Satz: Für eine Potenzreihe a k x k setzen wir ρ := [ lim sup k a k ] 1, ρ R+ { }. Dann ist die Potenzreihe für x < ρ absolut konvergent und für x > ρ divergent. Für x < ρ kann die Reihe gliedweise differenziert und integriert werden ( ) a k x k = ka k x k 1 ( ) a k x k k=1 dx = c + a k k + 1 xk+1

14 Taylorreihen als Potenzreihen Falls f C [x 0 a, x 0 + a] (unendlich oft stetig diffbar), dann kann das Taylorpolynom für beliebiges n N aufgestellt werden f(x) = f(x) n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ) k! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k (??) k! In vielen praktisch relevanten Fällen ja, aber Problem 1: Konvergenzradius ρ = 0 ist möglich. f (k) (x 0 ) Problem 2: f(x) (x x 0 ) k, x x 0 ist möglich. k!

15 Fourierreihen (- s. Abschn. 3.9) Es sei f : R R 2π-periodisch (immer: [, π]), beliebig. Weitere Eigenschaften: stückweise stetig (glatt), beschränkt. ( beliebige Funktionen - (formal) unendlich viele Freiheitsgrade) Ziel: Darstellung mittels eines universellem Funktionensystem Trigonometrisches Funktionensystem: {1, sin nx, cos nx} Reihe: f(x) af n=1 Praktisch : f(x) s N (x) = af N ( a f n cos nx + b f n sin nx ), x π n=1 (1) ( a f n cos nx + b f n sin nx ) Definition: s N heißt die N-te Partialsumme (Reihensumme), (1) erfordert Grenzübergang (sonst nur formal)

16 Mehrere Fragen bzw. Probleme Wie berechnen sich die Koeffizienten a f 0, af n, b f n? In welchem Sinn gilt f(x)... in (1) (für welche f)? Welche Manipulationen mit Fourierreihe sind ausführbar? (Ist gliedweise Integration bzw. Differentiation möglich?) Abstand, Skalarprodukt und Konvergenz für Vektoren a = (a 1,..., a n ) T, b = (b 1,..., b n ) T R n a, b := a, b = 0 a b, Norm: a 2 = a, a = n a i b i i=1 n a 2 i, i=1 Konvergenz: a n a a n a 0 ( a n i a i, i).

17 Die Berechnung der Fourierkoeffizienten a f n = a n = 1 π ( speziell: a o = 1 π b f n = b n = 1 π π π π f(x) cos nx dx, für n = 0, 1, 2,..., ) f(x) dx f(x) sin nx, für n = 1, 2,..., Grundlage dieser (einfachen) Berechnung: Orthogonalität π ( π ) sin kx cos nx dx = 0, cos nx dx = 0 k, n N, π π cos kx cos nx dx = δ nk π, sin kx sin nx dx = δ nk π, ( π ( π ) dx = 2π ) sin kx dx = 0 k, n N k, n N,

18 Beispiel 1: f 1 (x) = x, x (, π] (periodische Fortsetzung: Sägezahnimpuls, ist (global) eine unstetige Funktion) +π +π cos nx x sin nx a 0 : xdx = 0, a n : x cos nx dx = n 2 + n f 1 ungerade f 1 cos ist ungerade; f 1 sin ist gerade; b n : +π x sin nx dx = sin nx n 2 x cos nx n +π = ±2π n +π = 0 f 1 (x) = x 2 n=1 n+1 sin nx ( 1) n Eine ungerade Funktion ergibt eine reine Sinusreihe (Koeffizientenberechnung - partielle Integration).

19 Beispiel 2: f 2 (x) = x 2, x (, π] (periodische Fortsetzung: ist (global) eine stetige Funktion) a 0 /2 = π 2 /3 +π ( a n : x 2 2x cos nx x 2 cos nx dx = n 2 + π n 2 ) n 3 sin nx +π = ± 4π n n f 2 gerade f 2 cos ist gerade; f 2 sin ist ungerade; +π ( b n : x 2 2x sin nx x 2 sin nx dx = n 2 n 2 ) n 3 cos nx f 2 (x) = x 2 π2 3 4 n=1 n+1 cos nx ( 1) Eine gerade Funktion ergibt eine reine Kosinusreihe. n 2 +π = 0

20 Im Quadratmittel integrierbare Funktionen Eine Funktion f gehört zu L 2 [, π] π f 2 (x)dx < Skalarpr.: f, g := π Norm: f 2 L 2 := f, f := f(x)g(x)dx, d.h., f g f, g = 0 π f 2 (x)dx Konvergenz: f n f f n f L2 0 (2) {1, sin nx, cos nx} bildet eine orthogonale Basis in L 2 ( Einheitsvekt. : e 0 (x) 1, e 1 n(x) = cos nx, e 2 n(x) = sin nx) alle periodischen, beschränkten und stetigen (stck.-w. stetigen, stck.-w. glatten) Funktionen gehören zu L 2 [, π]