Modellfall. Orthogonalität trigonometrischer Funktionen. Anwendungen: f : (0, L) R gegeben.

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1 Modellfall Anwendungen: Fragen: Digitalisierung / digitale Darstellung von Funktionen, insbesondere für Ton- und Bilddaten Digitale Frequenzfilter Datenkompression: Abspeichern der unteren Frequenzen Lösung partieller Differentialgleichungen Welche Funktionen kann man als Fourierreihe darstellen? Unter welchen Voraussetzungen an die Koeffizienten konvergiert eine Fourierreihe? f : (, L R gegeben. Variablentransformation: y = L x, x = L y, f (x = f ( L x mit Aus folgt f (x = a + und umgekehrt. ( f (y = a + f (y = f ( L y, f : (, R. a n cos ( n L x + b n sin ( n L x ( an cos(ny + b n sin(ny Fazit: Es genügt, den Fall f : (, R zu betrachten. 33 / 3 34 / 3 Orthogonalität trigonometrischer Funktionen Für n, m N, n m gilt: Für n, m N gilt Für n N gilt cos(nx cos(mx dx = cos(nx sin(mx dx = cos (nx dx = sin(nx sin(mx dx = sin (nx dx = π Beweis: Einfaches Nachrechnen mit Hilfe der Formeln cos(αcos(β = ( cos(α + β + cos(α β cos(α sin(β = ( sin(α + β sin(α β sin(α sin(β = ( cos(α β cos(α + β Beispiel: = sin(nx dx = cos (nx dx = cos(nx cos(mx dx cos(nx dx = sin (nx dx = π ( cos((n + mx cos((n mx dx = 35 / 3 36 / 3

2 Folgerung Für f (x = a + und analog N ( an cos(nx + b n sin(nx und m N gilt f (x cos(mx dx = a cos(mx dx = + N (a n cos(nx cos(mx dx + b n sin(nx cos(mx dx a für m =, π a m für m f (x sin(mx dx = π b m Man kann zeigen: Dasselbe gilt auch für eine unendliche Reihe ( f (x = a + an cos(nx + b n sin(nx = lim N [ a + ( an cos(nx + b n sin(nx ] (wenn die Reihe absolut konvergiert 37 / 3 38 / 3 Beispiel Definition (Fourierreihe Die Fourierreihe einer Funktion f : (, R ist ( f (x = a + an cos(nx + b n sin(nx mit a = b n = π f (x dx, f (x sin(nx dx a n = π f (x cos(nx dx, f : (, R, f (x = x. Berechnung der Fourierkoeffizienten: a = x dx = ( a n = x cos(nx dx π ( [ = x sin(nx ] π n b n = x sin(nx dx π ( [ x cos(nx = π n = π sin(nx dx n ] = cos(nx + dx n = πn = n 39 / 3 4 / 3

3 Fourierreihe: f (x π n sin(nx Beispiel f : (, R x für x < π, f (x = für x π. Berechnung der Fourierkoeffizienten: a = a n = π = π π x dx = π = π 4 x cos(nx dx ([ x sin(nx n ] π sin(nx n = π n ( ( n = π n dx = π [ cos(nx n für n ungerade für n gerade ] π 4 / 3 4 / 3 b n = x sin(nx dx π = ([ x cos(nx π n = ( n+ n Fourierreihe: f (x π 4 ] π cos(nx + dx n + [ ] π sin(nx πn = ( n+ n cos((n x π(n ( n sin(nx n 43 / 3 44 / 3

4 Periodische Funktionen Definition Eine Funktion f : R R heißt periodisch mit Periode L f (x + L = f (x für alle x R. Eigenschaften: Eine periodische Funktion ist durch ihre Werte auf einem beliebigen Intervall [a, a + L mit a R eindeutig bestimmt. Für eine periodische Funktion f : R R mit Periode L gilt: f (x dx = a+l a f (x dx für alle a R Eine Fourierreihe f (x = a + ( an cos(nx + b n sin(nx ist periodisch mit Periode. Folgerung: Für die Fourierkoeffizienten einer periodischen Funktion gilt: a = a n = π b n = π f (x dx = a+ f (x cos(nx dx = π f (x sin(nx dx = π a f (x dx a+ a a+ a f (x cos(nx dx f (x sin(nx dx x x 45 / 3 46 / 3 Symmetrien Eine Funktion f : R R heißt gerade f ( x = f (x ungerade f ( x = f (x f(x f(x x x Sei f : R R periodisch mit Periode. Dann gilt für die Fourierreihe f (x = a + ( an cos(nx + b n sin(nx von f : f gerade => b n =, a = π f (x dx, a n = π f ungerade => a n =, b n = π f (xcos(nx dx f (xsin(nx dx Folgerung: Die Fourierreihe einer geraden Funktion ist eine reine Kosinusreihe. Die Fourierreihe einer ungeraden Funktion ist eine reine Sinusreihe. Ist f auf [, definiert, kann man f periodisch fortsetzen durch Es gilt dann: f (x + k = f (x für k Z, x (,. f gerade f (x = f ( x f ungerade f (x = f ( x. 47 / 3 48 / 3

5 Beweis des es von S. 47: Für g : (, π R gilt: g(x dx = g(x dx + g(x dx = g( x dx + g(x dx = (g( x + g(x dx g(x dx falls g gerade, = falls g ungerade. g(x dx falls g gerade, g(x dx = falls g ungerade. Für f gerade gilt: x f (x cos(nx ist gerade, x f (x sin(nx ist ungerade => a = f (x dx = f (x dx π a n = π b n = π f (x cos(nx dx = π f (x sin(nx dx = f (x cos(nx dx 49 / 3 5 / 3 Beispiel g(x dx falls g gerade, g(x dx = falls g ungerade. Für f ungerade gilt: x f (x cos(nx ist ungerade, x f (x sin(nx ist gerade => a = f (x dx = a n = π b n = π f (x cos(nx dx = f (x sin(nx dx = π f (x sin(nx dx Periodische Fortsetzung von f : (, π R, f (x = x π π Diese Funktion ist ungerade => die Fourierreihe ist eine Sinusreihe. Koeffizienten: b n = π = ( n+ n x sin(nx dx = π [ x cos(nx + sin(nx ] π n n 5 / 3 Fourierreihe: f (x ( n+ n sin(nx 5 / 3

6 Komplexe Variante der Fourierreihe Mit der Eulerschen Formel e ix = cos x + i sin x folgt: cos(nx = ( e inx + e inx, sin(nx = ( i e inx e inx Für eine (reelle Fourierreihe gilt: ( f (x = a + an cos(nx + b n sin(nx = a + = a + = n= ( an ( e inx + e inx + b n ( e inx e inx i ( an i b n e inx + a n + i b n e inx c n e inx Einsetzen der Formeln für a n, b n a = f (x dx, a n = π b n = π f (x sin(nx dx f (x cos(nx dx, in c = a, c n = a n i b n, c n = a n + i b n liefert: c = f (x dx = f (x e ix dx c n = cos(nx i sin(nx f (x dx = π c n = π cos(nx + i sin(nx f (x dx = f (x e inx dx f (x e inx dx mit c = a, c n = a n i b n, c n = a n + i b n = c n für n N 53 / 3 54 / 3 Beispiel Die Fourierreihe einer Funktion f : (, R hat die komplexe Darstellung f (x = c n e inx n= mit den komplexen Fourierkoeffizienten c n = f (x e inx dx Mit den Koeffizienten a n, b n der reellen Fourierreihe gilt: c = a, c n = a n i b n c n = a n + i b n = c n für n N f : (, R, f (x = für x a Komplexe Fourierkoeffizienten: c = c n = = Komplexe Fourierreihe: für x > a f (x dx = a mit < a <. a f (x e inx dx = e inx dx [ ] e inx a = i ( e ina in n f (x = a + n= n i e ina e inx n 55 / 3 56 / 3

7 Fouriereihen für beliebige Periode Komplexe Fourierkoeffizienten: c = a, c n = Reelle Fourierkoeffizienten: a = c = a, a n = Re(c n = sin(na πn b n = Im(c n = cos(na πn Reelle Fourierreihe: f (x a + ( sin(na πn cos(nx + cos(na πn i ( n e ina sin(nx Gegeben: Periodische Funktion f : R R mit Periode L (oder Funktion f : (, L R Reelle Fourierreihe: ( f (x a + a n cos ( L nx + b n sin ( L nx mit Koeffizienten a = L b n = L f (x dx, a n = L f (x sin ( L nx dx f (x cos ( L nx dx 57 / 3 58 / 3 Beispiel Komplexe Fourierreihe: f (x c n e i(/lnx mit Koeffizienten c n = L n= f (x e i(/lnx dx f : (, R, f (x = x Reelle Koeffizienten: a = x dx = a n = x cos ( nx dx ( [ = x sin(nx ] n b n = x sin(nx dx ( [ = x cos(nx n = n = πn sin(nx dx n ] = cos(nx + dx n 59 / 3 6 / 3

8 Reelle Fourierreihe: Komplexe Koeffizienten: c = c n = = i e in n + Komplexe Fourierreihe: f (x (n πn sin(nx f (x dx = [ x e x e inx inx dx = in [ ] e inx = i n f (x + n= n ] i n einx e inx + in dx Konvergenz von Fourierreihen Sei f : R R periodisch mit Periode L, auf [, L] \ M mit endlicher Menge M = x,..., x m } stetig differenzierbar und für jedes x j M existiere f (x j + = lim f (x und f (x j = lim f (x. x xj x xj x>x j x<x j Dann konvergiert die Fourierreihe N ( F N (x = a + a n cos ( L nx + b n sin ( L nx von f punktweise gegen eine Funktion F f, F f (x = lim N F N(x und es gilt: F f (x = f (x für x [, L] \ M, F f (x = ( f (x+ + f (x für x M 6 / 3 6 / 3 Die Fourierreihe konvergiert also an isolierten Unstetigkeitsstellen gegen den Mittelwert aus links- und rechtsseitigem Grenzwert. An Unstetigkeitsstellen tritt das Gibbssche Phänomen auf: Die Partialsumme der Fourierreihe N ( a + a n cos ( L nx + b n sin ( L nx überschwingt für große N den Sprung um etwa 8%. Anwendung: Grenzwerte von Reihen Durch Einsetzen bestimmter Werte in Fourierreihen kann man Grenzwerte von unendlichen Reihen ausrechnen. ( n Beispiel: Reihe n + = ± n= Fourierreihe von f : (, R, f (x = x (siehe S. 4: f (x π n sin(nx Einsetzen von x = π => sin ( n π => f (π/ = π = π => n= = für n gerade k= ( n n + = ( π π ( k für n = k + k + ( k = π 4 63 / 3 64 / 3

9 Parsevalsche Gleichung Sei f : (, L R eine quadratintegrierbare Funktion, d.h. existiert. f (x dx Dann konvergiert die Fourierreihe ( a + an cos ( L nx + b n sin ( L nx für fast alle x gegen f (x und es gilt die Parsevalsche Gleichung L f (x dx = a L + ( an + b n Formaler Beweis der Parsevalschen Gleichung für L = : [ f (x ( dx = a + an cos(nx + b n sin(nx ] dx = [ a + ( a an cos(nx + b n sin(nx + n,m= ( an cos(nx + b n sin(nx (a m cos(mx + b m sin(mx ] dx = a + π ( an + b n wegen der Orthogonalitätsbeziehungen auf S. 35 => f (x dx = a + ( an + b n 65 / 3 66 / 3 Folgerungen Besselsche Ungleichung a + N ( an + b n f (x dx für N N L Wenn für die Koeffizienten einer Fourierreihe gilt: N ( an + b n C mit C unabhängig von N, dann konvergiert die Fourierreihe. Dies ist insbesondere erfüllt, wenn a n, b n c n Differentiation und Integration von Fourierreihen Vorbemerkungen: Die Ableitung einer periodischen differenzierbaren Funktion ist periodisch: f (x + L = f (x für alle x => f (x + L = f (x für alle x Das Integral einer periodischen Funktion f : R R mit Periode L ist periodisch Begründung: x+l f (y dy = f (x dx = f (y dy + x+l L f (y dy = x f (y dy 67 / 3 68 / 3

10 Sei F(x = a + ( an cos ( L nx + b n sin ( L nx die Fourierreihe einer periodischen Funktion f : R R mit Periode L. Ist f differenzierbar, dann ist ( F (x = L n a n sin ( L nx + L n b n cos ( L nx die Fourierreihe von f. Ist a =, dann ist ( L n a n sin ( L nx L n b n cos ( L nx die Fourierreihe einer Stammfunktion von f. Bemerkung. Die Integration einer Fourierreihe liefert genau diejenige Stammfunktion F mit F(x dx =. 69 / 3 7 / 3 Beispiel Fourierreihe von f : (,, f (x = x. Da f gerade ist, folgt: a = a n = x dx = [ x sin(πnx x cos(πnx dx = πn = ( n (πn = b n = 4/(πn für n ungerade für n gerade + cos(πnx ] (πn Ergebnis: Fourierreihe f (x 4 π cos((n + πx (n + n= Ableitung: f für < x <, (x = für < x < Fourierreihe der Ableitung: f 4 (x sin((n + πx π(n + n= 7 / 3 7 / 3

11 Beispiel f : (, R, f (x = x x Ableitung: f (x = x Fourierreihe von f (siehe vorherige Seite: f 4 (x π cos((n + πx (n + n= Fourierreihe von f : Integration der Fourierreihe von f 4 f (x a π 3 sin((n + πx (n + 3 n= mit Integrationskonstante a. f (x = x x Fourierreihe f (x a Berechnung von a : n= 4 π 3 sin((n + πx (n + 3. Möglichkeit: Einsetzen von x = => a =. Möglichkeit: Ergebnis: f (x a = n= f (x dx = 4 π 3 sin((n + πx (n / 3 74 / 3 Mehrfache Ableitungen Am Verhalten der Fourierkoeffizienten kann man die Glattheit einer Funktion ablesen: Sei f : R R eine periodische Funktion mit Periode L. Für die Fourierkoeffizienten aus der Fourierreihe ( f (x a + a n cos ( L nx + b n sin ( L nx gilt a n, b n c mit c unabhängig von n. n k+ für alle n N Dann ist existiert die k te Ableitung f (k als fast überall definierte quadratintegrierbare Funktion. Begründung Die Bedingung a n, b n c n k+ garantiert, dass die Koeffizienten für alle n N ã n = a n ( L n k, bn = b n ( L n k der k mal differenzierten Fourierreihe die Bedingung ã n, b n c n mit c unabhängig von n erfüllen. für alle n N Nach der Bemerkung auf S. 67 existiert dann die Fourierreihe zu f (k. 75 / 3 76 / 3

12 Beispiele Periodische Fortsetzung von f : (, R f (x = x Fourierreihe (S. 7: f (x 4 π cos((n + πx (n + n= Folgerung: f ist mal differenzierbar Periodische Fortsetzung von f : (, R f (x = x Fourierreihe (S. 6: f (x πn sin((nx n= Folgerung: f ist nicht differenzierbar. Die Fouriertransformation Fourierreihen sind nur zur Darstellung von periodischen Funktionen oder Funktionen auf beschränkten Intervallen geeignet. Zu einer nicht periodischen Funktion f : R R kann man die Fourierreihe für die Einschränkung f L : [ L, L] R auf ein Intervall der Länge L bestimmen: f L (x = c n e i π L nx mit c n = L n= Idee: Grenzübergang L. L Ersetze π L n durch neue Variable ξ n = π L n f (x e i π L nx Für L liegt die Menge π L n n Z} immer dichter in R. => betrachte ξ = ξ n als kontinuierliche Variable. 77 / 3 78 / 3 Interpretation von f (x = n= c n e i π L nx als Riemann Summe eines Integrals: g(ξ e iξx dξ (ξ n ξ n g(ξ n e iξnx n= mit ξ n = π L n, ξ n ξ n = π L und c n g(ξ n = = L ξ n ξ n π L = L L f (x e i π L nx dx f (x e iξnx dx L f (x e iξnx dx Folgerung: f (x = g(ξ e iξx dx mit g(ξ = f (x e iξx dx Definition (Fourier Transformation Sei f : R R so dass f über R integrierbar ist, d.h. R f (x dx <. Dann ist F (f (ξ := f (ξ := f (x e iξx dx die Fourier Transformierte zu f. Sei f : R R mit f integrierbar. Dann ist die Fouriertransformierte f von f wohldefiniert und es gilt: f (x = f (ξ e iξx dξ 79 / 3 8 / 3

13 Beispiel Fouriertransformierte von f (x = e x : f (ξ = Berechnung von f ( = ( ( f ( = = e y dy e x e iξx dx e x dx: ( e (y +z dy dz = e z dz R e (y +z d(y, z Transformation auf Polarkoordinaten (y, z = (r cos ϕ, r sin ϕ: ( f ( = e (y +z d(y, z = e r r dϕ dr R = [ ] e r = Folgerung: f ( = Berechnung von f (ξ mit partieller Integration: f (ξ = ( ix e x e iξx dx = [ ] i e x e iξx ξ x= e x e iξx dx = ξ f (ξ Insgesamt: f (ξ löst das Anfangswertproblem => f (ξ = ξ f (ξ, f ( = f (ξ = e ξ /4 8 / 3 8 / 3 Fourierintegral Eigenschaften der Fouriertransformation Einsetzen der Formel f (ξ = f (y e iξy dy für die Fouriertransformierte f von f in die Darstellung f (x = liefert das sog. Fourierintegral f (x = f (ξ e iξx dξ f (y e iξ(x y dξ dy (i Seien f, g : R R Funktionen mit Fouriertransformierten f und ĝ und α, β R. Dann existiert auch die Fouriertransformierte ĥ zu und es gilt h(x = α f (x + β g(x ĥ(ξ = α f (ξ + β ĝ(ξ (ii Sei f eine differenzierbare Funktion mit f (x x und es existieren die Fouriertransformatierten f von f und f von f. Dann gilt f (ξ = iξ f (ξ 83 / 3 84 / 3

14 Beispiel (Formaler Beweis: Zu (i: Einfaches Nachrechnen mit der Linearität des Integrals Zu (ii: Mit partieller Integration folgt: f (ξ = f (x e iξx dx = [ f (x e iξx] = iξ x } } = f (x e iξx dx = iξ f (ξ f (x ( iξ e iξx dx Fouriertransformierte von f (x = x e x Es gilt: f (x = F (x mit F(x = e x Fouriertransformierte von g(x = e x (siehe S. 8: ĝ(ξ = e ξ /4 Ergebnis: => F(ξ = ĝ(ξ = e ξ /4 f (ξ = iξ F(ξ = iξ e ξ /4 85 / 3 86 / 3 Anwendung Bemerkung Die Formel f (ξ = iξ f (ξ für die Fouriertransformation einer Ableitung kann auch mehrfach angewandt werden: Anwendung: f (ξ = (iξ f (ξ = ξ f (ξ f (n (ξ = (iξ n f (ξ Transformation von Differentialgleichungen auf algebraische Gleichungen für die Fouriertransformierte. Lösung von Differentialgleichungen auf der gesamten reellen Achse. Beispiel: y (x + a y (x + b y(x = f (x Anwendung der Fouriertransformation => Ergebnis: Rücktransformation: ŷ (ξ + a ŷ (ξ + b ŷ(ξ = f (ξ (iξ ŷ(ξ + a iξ ŷ(ξ + b ŷ(ξ = f (ξ ( ξ + iaξ + b ŷ(ξ = f (ξ ŷ(ξ = y(x = f (ξ ξ + iaξ + b f (ξ ξ + iaξ + b eiξx dξ 87 / 3 88 / 3

15 Die Laplace Transformation Zusammenhang mit der Fouriertransformation Die Fouriertransformation F (f (ξ = f (ξ = f (x e iξx dξ ist nur anwendbar für Funktionen f : R R mit f (x dx < + Dies ist für viele Funktionen nicht erfüllt. (Laplace Transformation R Sei f : [, + R und s C so dass x f (x e Re(sx über [, + integrierbar ist. Dann existiert die Laplace Transformierte L (f (s := f (x e sx dx Für eine Funktion f : [, + R kann man die Fouriertransformation auf die durch Null fortgesetzte Funktion anwenden und erhält f (ξ = f (x = f (x für x, für x < Es gilt also (wenn man f = f setzt f (x e iξx dx = L (f (iξ f (ξ = L (f (iξ 89 / 3 9 / 3 Bedeutung Die Laplace Transformation ist oft auch auf Funktionen anwendbar, die keine Fouriertransformierte haben. Dabei wird die Integrierbarkeit von x f (xe sx durch geeignete Wahl von Re s > erzwungen. Konkret gilt: Ist x e γx f (x über [, + integrierbar, dann existiert die Laplace Transformierte L (f (s für alle s C mit Re s γ. Folgerung: Ist f : [, R über jedes beschränkte Intervall I [, integrierbar und gilt f (x C e γx für alle x >, dann existiert L (f (s für jedes s C mit Re s > γ. Begründung: e Re s x f (x C e (γ Re sx und x e (γ Re sx ist integrierbar. Beispiele f : [, R, f (x = L (f (s = = e sa s falls Re s >. f (x = e cx f (x e sx dx = L (f (s = falls Re s > Re c. für x < a, für x > a a e sx dx = e (c sx dx = s c [ s e sx ] x=a 9 / 3 9 / 3

16 Eigenschaften der Laplace Transformation Beweis Die Laplace Transformation ist linear: Für α, β R und Laplace transformierbare Funktionen f, g : [, + R gilt L (αf + βg(s = α L (f (s + β L (g(s Falls die Laplace Transformierten von f und f existieren, gilt L (f (s = s L (f (s f ( 3 Falls die Laplace Transformierten von f, f,..., f (n existieren, gilt L ( f (n (s = s n L (f (s f (n ( s f (n ( s n f ( Zu : Linearität des Integrals Zu : Partielle Integration L (f (s = e sx f (x dx = [ e sx f (x ] x= + s e sx f (x dx = f ( + s L (f (s Zu 3: Induktion über n mit Hilfe von : L ( f (n (s = s L ( f (n (s f (n ( = s L ( f (n (s s f (n ( f (n ( = = s n L (f (s s n f ( f (n ( 93 / 3 94 / 3 Anwendungen Laplacetransformierte von f (x = sinh x: Mit sinh(x = (ex e x folgt L (f (s = ( L (x e x (s L (x e x (s = ( s = s + s Laplacetransformierte von f (x = x: f (x = => L (f (s = s L (f (s f ( = s Laplacetransformierte von f (x = x n : f (n (x = n! => L ( f (n (s = n! s = sn L (f (s => L (f (s = n! s n+ Laplacetransformierte von f (x = e ax x n : L (f (s = e sx e ax x n dx = = L (x x n (s a = e (s ax x n dx n! (s a n+ => L (f (s = s 95 / 3 96 / 3

17 Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen Laplace Rücktransformation Beispiel y (x + y (x + y(x = e x, y( =, y ( = Anwendung der Laplace Transformation L (x e x (s = s+ L (y (s = s L (y(s y( L (y (s = s L (y(s y ( s y( => (s + s + L (y(s (s + y( y ( = s + => L (y(s = Mit L (x e x x n = s+ (s + + s = + s + n! folgt (s + n+ y(x = e x( x (s + 3 s + Trick: Schreibe Laplacetransformation (formal als Fouriertransformation: mit f (x = L (f (s = e sx f (x dx = e is x e s x f (x dx = F (g(s f (x für x > für x < & g(x = e sx f (x für x > für x < Anwendung der Fourier Rücktransformation: g(x = e iξx F (g(ξ dξ => f (x = e s x g(x = es x e is x L (f (s + is ds 97 / 3 98 / 3 Sei f : [, + R stückweise stetig und es existiere die Laplace Transformierte L (f (s für s C mit Re s = s. Dann gilt für alle x R (f (x+ + f (x = =: s +i s i e sx L (f (s ds e (s +is x L (f (s + is ds Teil IV Partielle Differentialgleichungen 99 / 3 3 / 3