Periodische Funktionen, Fourier Reihen
|
|
- Emil Feld
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kapitel 1: Periodische Funktionen, Fourier Reihen 1.1 Grundlegende Begriffe Periodische Funktionen Definition: Eine Funktion f : R R oder f : R C) heißt periodisch mit der Periode T, falls für alle t R gilt: ft + T ) = ft) Hauptresultat dieses Kapitels: Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier Reihe ft) = a + [a k coskωt) + b k sinkωt)] Grundschwingungen: cosωt), sinωt) Oberschwingungen: coskωt), sinkωt), k =, 3, Bemerkungen: 1) Ist T eine Periode von ft), so auch kt, k Z, eine Periode. Sind T 1 und T Perioden, so ist auch k 1 T 1 + k T, k 1, k Z, eine Periode. Man sagt: Die Menge aller Perioden bildet einen Z Modul. ) Existiert eine kleinste positive Periode T >, so ist die Menge der Perioden gegeben durch kt, k Z. Jede nichtkonstante, stetige und periodische Funktion besitzt eine solche kleinste Periode. 3) Sind ft) und gt) T periodisch, so ist auch αf + βg T periodisch. 4) Ist ft) T periodisch und integrierbar über kompakten Intervallen), so gilt für beliebige a R: ft) dt = a+t a ft) dt 147
2 Definition: Eine Funktion gt), t [, T ] bzw. t [, T/] läßt sich zu einer T periodischen Funktion f : R R fortsetzen. Gebräuchlich sind dabei die folgenden Vorgehensweisen: 1) Direkte Fortsetzung: ft) := gt kt ), kt t < k + 1)T ) Gerade Fortsetzung: Sei gt) auf [, T/] gegeben: ) ) k 1 k + 1 ft) := gt kt ), T t < T wobei g zunächst an der y Achse gespiegelt wird: gt) := g t), T t < 3) Ungerade Fortsetzung: Wie bei ), aber Spiegelung am Ursprung: gt) := g t), T t < 148 Definition: 1) Eine Reihe der Form ft) = a + [a k coskωt) + b k sinkωt)] mit a k, b k R/C heißt Fourier Reihe oder trigonometrische Reihe); dabei sei ω = π T >. ) Die zugehörigen Partialsummen f n t) = a + n heißen trigonometrische Polynome. [a k coskωt) + b k sinkωt)] 149
3 Komplexe Schreibweise der Fourier Reihe: Formel von Euler e ix = cos x + i sin x Damit gilt: cos x = 1 e ix + e ix ) sin x = 1 e ix e ix) i Trigonometrische Polynome: n f n t) = Fourier Reihe: ft) = lim k= n n n k= n γ k e ikωt γ k e ikωt 15 Umrechnung der Koeffizienten a k, b k und γ k : f n t) = a + n = a + n [ ak = a + n = n k= n Damit ergibt sich: [a k coskωt) + b k sinkωt)] γ k e ikωt e ikωt + e ikωt) + b k e ikωt e ikωt)] i [ ak ib k e ikωt + a ] k + ib k e ikωt γ = 1 a γ k = 1 a k ib k ) γ k = 1 a k + ib k ) a = γ a k = γ k + γ k b k = iγ k γ k ) 151
4 Satz: 1) Die Funktionen e ikωt, k Z, ω = π, bilden ein Orthonormalsystem T bezüglich des Skalarprodukts: u, v := 1 T ) Konvergiert die Fourier Reihe lim n n k= n ut)vt) dt γ k e ikωt auf [, T ] gleichmäßig gegen eine Funktion ft), so ist diese stetig und es gilt: γ k = 1 T ft)e ikωt dt, k Z 15 Bemerkung: 1) Reelle Orthogonalitätsrelationen: coskωt) coslωt) dt = sinkωt) sinlωt) dt = : k l T/ : k = l T : k = l = { : k l T/ : k = l sinkωt) coslωt) dt = 153
5 Bemerkung: ) Reelle Fourier Koeffizienten: a k = T b k = T 1. Fourier Reihen Definition: ft) coskωt) dt k ft) sinkωt) dt, k > 1) Eine Funktion f : [a, b] C heißt stückweise stetig bzw. stückweise stetig differenzierbar, falls ft) bis auf endlich viele Stellen t < t 1 <... < t m in [a, b] stetig bzw. stetig differenzierbar ist und in diesen Ausnahmepunkten die einseitigen Grenzwerte vn ft) und f t) existieren. 154 Definition: Fortsetzung) ) Für eine stückweise stetige Funktion f : [, T ] C werden die Fourier Koeffizienten von ft) definiert durch: γ k := 1 T a k := T b k := T ft)e ikωt dt, k Z Dabei ist ω = π/t die Kreisfrequenz. ft) coskωt) dt k ft) sinkωt) dt, k > 155
6 Definition: Fortsetzung) 3) Die mit den obigen Koeffizienten gebildete Reihe F f t) = γ k e ikωt = a + heißt die Fourier Reihe von ft). [a k coskωt) + b k sinkωt)] Bei der Definition verwendet man die direkte Fortsetzung der Funktion f : [, T ] C zu einer T periodischen Funktion. Satz: Sei ft) eine stückweise stetige, T periodische Funktion. ft) gerade a k = 4 T T/ ft) ungerade a k = b k = 4 T ft) coskωt) dt b k = T/ ft) sinkωt) dt 156 Beispiel: Die Sägezahnfunktion: : t =, t = π St) := 1 π t) : < t < π Die Funktion ist ungerade, also gilt beachte ω = 1): a k = b k = π Damit lautet die Fourier Reihe: π π t sinkt) dt = 1 k St) sin t + sint) + sin3t) Approximation der Sägezahnfunktion durch 1. Partialsumme S 1 t) = 1 sinkt) k 157
7 Beispiel: Die Rechteckschwingung: : t =, t = π, t = π Rt) := 1 : < t < π 1 : π < t < π Die Funktion ist ungerade, also gilt: a k = b k = π : k gerade sinkt) dt = 4 π kπ : k ungerade Die Fourier Reihe lautet daher: Rt) 4 sin t π 1 + sin3t) + sin5t) ) Beispiel: Sei ft) = t, π < t < π mit π periodischer Fortsetzung. Die Funktion ist gerade, damit folgt a k = π π t coskt) dt = Damit ergibt sich als Fourier Reihe π : k = 3 1) k 4 : k = 1,,... k ft) π 3 4 cos t cost)
8 Rechenregeln für Fourier Reihen: f, g : R C stückweise stetig, T periodisch mit 1) Linearität ft) γ k e ikωt, gt) δ k e ikωt αft) + βgt) αγ k + βδ k )e ikωt ) Konjugation ft) γ k e ikωt 3) Zeitumkehr f t) γ k e ikωt 16 Rechenregeln für Fourier Reihen: Fortsetzung) 4) Streckung fct) γ k e ikcω)t 5) Verschiebung ft + a) γk e ikωa) e ikωt, a R e inωt ft) γ k n e ikωt, n Z 161
9 Rechenregeln für Fourier Reihen: Fortsetzung) 6) Ableitung Ist ft) stetig und stückweise differenzierbar, so gilt: f t) = ikωγ k )e ikωt 7) Integration Gilt a = γ = T ft)dt =, so folgt: ωkb k coskωt) a k sinkωt)) t fτ) dτ 1 T tft) dt bk kω coskωt) a ) k kω sinkωt) 16 Satz: Konvergenzsatz) Sei f : R C T periodisch, stückweise stetig differenzierbar. Betrachte die zugehörige Fourier Reihe F f t) = a + a k coskωt) + b k sinkωt)) 1) Die Reihe konvergiert punktweise und für alle t R gilt: F f t) = 1 ft + ) + ft ) ) ) In allen kompakten Intervallen [a, b], in denen ft) stetig ist, ist die Konvergenz gleichmäßig. Bemerkung: Stetigkeit von ft) reicht für die Konvergenz der Fourier Reihe nicht aus. 163
10 Beispiel: Die Sägezahnfunktion : t =, t = π St) := 1 π t) : < t < π Fehlerfunktion: Definiere für < t < π Es gilt: Integration: t π R n t) := 1 sint) t π) + sin t sinnt) n sin [ n + 1 )t] sint/) 1 + cos t cosnt) = sin [ n + 1 )t] sint/) dt = t π) + sin t + sint) sinnt) n 164 Daraus folgt: R n t) = und daher t π sin [ n + 1 )t] dt sint/) p.i. = cos [ n + 1 )t] n + 1) sint/) + 1 n + 1 MWS = cos [ n + 1 )t] n + 1) sint/) + cos [ n + 1 ) t ] n + 1) Ist t, π) fest, so gilt: R n t) t π n + 1) sint/) cos n + 1 ) d )τ dτ ) 1 sint/) 1 1 sinτ/) ) dτ R n t) t 165
11 Satz: Approximationsgüte) 1) Approximation im quadratischen Mittel Sei f : R C eine T periodische, stückweise stetige Funktion, und seien S n t) := a + n a k coskωt) + b k sinkωt)) die Partialsummen der zugehörigen Fourier Reihen. Für den Teilraum von CR) der trigonometrischen Polynome { } 1 T n := Spann, cosωt),..., cosnωt), sinωt),..., sinnωt) mit dem Skalarprodukt u, v = T ut)vt) dt 166 Satz: 1) gilt dann Fortsetzung) φ T n : f S n f φ d.h. S n t) ist von allen Funktionen aus dem Teilraum T n die beste Approximation von ft) im quadratischen Mittel. ) Es gilt die Besselsche Ungleichung a + n a k + b k ) T ft) dt Hieraus folgt insbesondere die Konvergenz der Reihen a k und b k 167
12 Satz: Fortsetzung) ) und damit auch Riemannsches Lemma) Bemerkung: lim a k und lim b k k k Unter geeigneten Bedingungen an f : R R/C lassen sich die Koeffizienten γ k der Fourier Reihe abschätzen: Beispiel: γ k C km+1, k = ±1, ±,... Rechteckschwingung F f t) = 4 π sin t 1 + sin3t) + sin5t) ) Die Koeffizienten γ k konvergieren mit 1/k gegen Null! 168 Bemerkung: über, i.e. Für n geht die Besselsche Ungleichung in Gleichheit a + a k + b k ) = T ft) dt Diese Beziehung nennt man die Parsevalsche Gleichung. Beispiel: Es gilt Wieder Rechteckschwingung und da a k =, k =, 1,... T ft) dt = b k = 16 π ) = 16 π π 8 = 169
11 Fourier-Analysis Grundlegende Begriffe
11 Fourier-Analysis 11.1 Grundlegende Begriffe Definition: Eine Funktion f : R R (oder f : R C) heißt periodisch mit der Periode T (oder T-periodisch), falls f(t + T) = f(t) für alle t R. Ziel: Entwicklung
Mehrf(t) = a 2 + darstellen lasst Periodische Funktionen.
7. Fourier-Reihen Viele Prozesse der Ingenieur- und Naturwissenschaften verlaufen periodisch oder annahernd periodisch, wie die Schwingungen einer Saite, Spannungs- und Stromverlaufe in Wechselstromkreisen
MehrVorlesung Mathematik 2 für Ingenieure (Sommersemester 2016)
1 Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure (Sommersemester 216) Kapitel 11: Potenzreihen und Fourier-Reihen Prof. Miles Simon Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg.
Mehrhhhhh 8 ( x)/2, <x 0, ( x)/2, 0 <x, , ] hinaus. Diese Funktion ist ungerade, ihre Fourierreihe also eine reine Sinusreihe. Man findet 1 cos nx dx.
86 5 Fouriertheorie Für gerades f ist f (x) sin nx ungerade, somit b n = f (x) sin nx dx =. Für ungerades f ist dagegen f cos nx ungerade, also a n = f (x) cos nx dx =..Ò Beispiel Die Sägezahnfunktion
Mehr1 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation
Fourier-Reihen und Fourier-ransformation Fourier-Reihen und Fourier-ransformation J.B.J. de Fourier beobachtete um 8, dass sich jede periodische Funktion durch Überlagerung von sin(t) und cos(t) darstellen
MehrFourier-Reihen. Definition. Eine auf R definierte Funktion f heißt periodisch mit der Periode T 0, wenn f(x + T ) = f(x) x R.
Fourier-Reihen Sehr häufig in der Natur begegnen uns periodische Vorgänge, zb beim Lauf der Gestirne am Nachthimmel In der Physik sind Phänomene wie Schwingungen und Wechselströme periodischer Natur Zumeist
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung
Konvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung Skript zum Vortrag im Proseminar Analysis bei Prof Dr Picard, gehalten von Helena Malinowski In vorhergehenden Vorträgen und dazugehörigen
MehrFourier-Reihen: Definitionen und Beispiele
Fourier-Reihen: Definitionen und Beispiele Die Fourieranalysis beschäftigt sich mit dem Problem Funktionen in Kosinus und Sinus zu entwickeln. Diese Darstellungen sind in der Mathematik sowie in der Physik
MehrKarteikarten, Analysis 2, Sätze und Definitionen nach der Vorlesung von PD Hanke
Karteikarten, Analysis 2, Sätze und en nach der Vorlesung von PD Hanke Felix Müller, felix.b.mueller@physik.lmu.de Diese Karteikärtchen sollten alle en und Sätze der Vorlesung Analysis 2 bei Herrn PD Hanke
MehrPunktweise Konvergenz stückweise glatter Funktionen. 1 Vorbereitungen
Vortrag zum Seminar zur Fourieranalysis, 3.10.007 Margarete Tenhaak Im letzten Vortrag wurde die Fourier-Reihe einer -periodischen Funktion definiert. Fourier behauptete, dass die Fourier-Reihe einer periodischen
MehrHöhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2016/17. FB Mathematik
Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 016/17 7. Fourier-Methoden 7.1. Periodische Funktionen In der Physik und in der Technik spielen periodische Funktionen eine
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel und die Parsevelsche Gleichung
Konvergenz im quadratischen Mittel und die Parsevelsche Gleichung Skript zum Vortrag im Proseminar Analysis bei Dr. Gerhard Mülich Christian Maaß 6.Mai 8 Im letzten Vortrag haben wir gesehen, dass das
Mehr2.3 Konvergenzverhalten von Fourierreihen
24 2 Fourierreihen 2.3 Konvergenzverhalten von Fourierreihen Wir diskutieren die folgenden Fragen: Unter welchen Umständen konvergiert eine Fourierreihe einer Funktion? Wann kann man eine stückweise stetige
Mehr,Faltung. Heavisidefunktion σ (t), Diracimpuls δ (t) Anwendungen. 1) Rechteckimpuls. 2) Sprungfunktionen. 3) Schaltvorgänge
Heavisidefunktion σ (t), Diracimpuls δ (t),faltung Definition Heavisidefunktion, t > 0 σ ( t) = 0, t < 0 Anwendungen ) Rechteckimpuls, t < T r( t) = = σ ( t + T ) σ ( t T ) 0, t > T 2) Sprungfunktionen,
MehrFunktion; trigonometrische Reihen; trigonometrische Polynome; gliedweise Integration; Integration und Grenzübergang; Fourier-
Kapitel 26 Fourier-Reihen 26.1 Einführung (Spektrum; harmonische Analyse; Periode einer Funktion; trigonometrische Reihen; trigonometrische Polynome; gliedweise Integration; Integration und Grenzübergang;
Mehrε δ Definition der Stetigkeit.
ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x
MehrModellfall. Orthogonalität trigonometrischer Funktionen. Anwendungen: f : (0, L) R gegeben.
Modellfall Anwendungen: Fragen: Digitalisierung / digitale Darstellung von Funktionen, insbesondere für Ton- und Bilddaten Digitale Frequenzfilter Datenkompression: Abspeichern der unteren Frequenzen Lösung
MehrTeil III. Fourieranalysis
Teil III Fourieranalysis 3 / 3 Fourierreihen Ziel: Zerlegung einer gegebenen Funktion in Schwingungen Konkret: f : (, L) R gegebene Funktion Gesucht: Darstellung der Form ( f (x) = a + a n cos ( n L x)
Mehrcos(kx) sin(nx)dx =?
3.5 Fourierreihen 3.5.1 Vorbemerkungen cos(kx) sin(nx)dx =? cos gerade Funktion x cos(kx) gerade Funktion sin ungerade Funktion x sin(nx) ungerade Funktion x cos(kx) sin(nx) ungerade Funktion Weil [, π]
Mehr10 Potenz- und Fourierreihen
10 Potenz- und Fourierreihen 10.1 Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen Im letzten Kapitel soll es noch einmal um eindimensionale Analysis gehen. Speziell werden wir uns mit Folgen und Reihen reeller
MehrFourierreihen. Definition. Eine Funktion f(x) heißt periodisch mit der Periode T, wenn f(x + T ) = f(x)
Fourierreihen Einer auf dem Intervall [, ] definierten Funtion f(x) ann ein (approximierendes) trigonometrisches Polynom (Fourier-Polynom) der Gestalt S n (x) = a + n a cos x + n b sin x zugeordnet werden.
MehrOrthogonalität von Kosinus und Sinus
Orthogonalität von Kosinus und Sinus Die Funktionen 1, cos(kx), sin(kx), k >, bilden ein Orthogonalsystem im Raum der quadratintegrierbaren π-periodischen Funktionen: cos(jx) cos(kx) dx = cos(jx) sin(lx)
MehrKonvergenz und Stetigkeit
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 10. Dezember 2012 Konvergenz Definition Fourierreihen Geometrische Reihe Definition: Eine Funktion f : D R d heißt beschränkt, wenn es ein
Mehr3 Vektorräume abstrakt
Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 7 Vektorräume abstrakt Lineare Unabhängigkeit Definition: Sei V Vektorraum W V Dann heißt W := LH(W := Menge aller Linearkombinationen aus W die lineare
MehrHöhere Mathematik III
Blatt 9 Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Höhere Mathematik III el, kyb, mecha, phys Gruppenübungen Prof. Dr. J. Pöschel Dr. D. Zimmermann Dipl.-Math. K. Sanei Kashani 6..4 Aufgabe 4. (schriftlich
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 4: Konvergenz und Stetigkeit Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. November 2007) Folgen Eine Folge
MehrKonvergenz und Stetigkeit
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 10. Dezember 2008 Konvergenz Definition Fourierreihen Obertöne Geometrische Reihe Definition: Eine Funktion f : D R d heißt beschränkt, wenn
Mehr30 Die Gammafunktion und die Stirlingsche Formel
3 Die Gammafunktion und die Stirlingsche Formel 35 Charakterisierung der Gammafunktion 36 Darstellung der Gammafunktion 38 Beziehung zwischen der Gammafunktion und der Zetafunktion 3 Stirlingsche Formel
MehrFOURIERREIHEN. a) Periodische Funktionen. 3) Rechteckschwingung. b) Stückweise stetige Funktionen. Skizze= Sägezahnschwingung
FOURIERREIHEN 1. Grundlagen a) Periodische Funtionen Beispiele: 1) f( x) = sin( x+ π / 3), T = 2 π /. 2) f( t) = cos( ωt+ ϕ), T = 2 π / ω. 3) Rechtecschwingung, 1< t < f() t =, f( t+ 2) = f() t 1, < t
MehrLeitfaden a tx t
Leitfaden -0.7. Potenz-Reihen. Definition: Es sei (a 0, a, a 2,...) eine Folge reeller Zahlen (wir beginnen hier mit dem Index t 0). Ist x R, so kann man die Folge (a 0, a x, a 2 x 2, a 3 x 3,...) und
MehrKonvergenz und Stetigkeit
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 12. Dezember 2007 Konvergenz Definition Fourierreihen Obertöne Geometrische Reihe Definition: Eine Funktion f : D R d heißt beschränkt, wenn
MehrFourier-Reihen Beispiele Periodenintervall T Quadratische Abweichung Amplitudenspektrum Weg zum Nichtperiodischen Komplexe Schreibweise
Fourier-Reihen Beispiele Periodenintervall T Quadratische Abweichung Amplitudenspektrum Weg zum Nichtperiodischen Komplee Schreibweise Fourier-Transformation Konvergenz einer Fourier-Reihe Dirichlet-Kerne
Mehr10 Differenzierbare Funktionen
10 Differenzierbare Funktionen 10.1 Definition: Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Eine Funktion f : S R heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn der Grenzwert f (x 0 ) := f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h
MehrKapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C
Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen 5.1. Die komplexen Zahlen 5.. Folgen und Reihen in C 5.10. Definition. Eine Folge (c n n N komplexer Zahlen heißt konvergent gegen c C, falls zu jedem ε > 0
Mehr5.6 Das Gibbs-Phänomen
94 5 Fouriertheorie 5.6 Das Gibbs-Phänomen Die Fourierreihe einer stückweise glatten Funktion f konvergiert punktweise gegen f, und auf kompakten Stetigkeitsintervallen sogar gleichmäßig. In Sprungstellen
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,
Mehrx, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω
5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,
MehrBrückenkurs Rechentechniken
Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige
MehrFourier-Reihen. f T h f, T h f(x) := f(x h),
5 Fourier-Reihen Fourier-Theorie handelt von Funktionen f : X C, deren Definitionsbereich X translationssymmetrisch ist. In diesem Buch werden drei Typen behandelt: Periodische Funktionen f : R/2 C ; Zeitsignale
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume
CONTENTS CONTENTS Konvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume Contents 1 Ziel 2 1.1 Satz........................................ 2 2 Endlich dimensionale Vektorräume 2 2.1 Defintion: Eigenschaften
Mehr3 Integration. viele Teilintervalle. Z (oder Z [a, b]) sei die Menge aller Zerlegungen von [a, b].
Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.1) ) Z = {x,...,x n } mit = x < x 1 < < x n = b heißt eine Zerlegung von [,b] in endlich viele Teilintervlle. Z (oder Z [, b]) sei die Menge ller Zerlegungen
Mehrf(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0
5.10 Zwischenwertsatz. Es sei [a, b] ein Intervall, a < b und f : [a, b] R stetig. Ist f(a) < 0 und f(b) > 0, so existiert ein x 0 ]a, b[ mit f(x 0 ) = 0. Wichtig: Intervall, reellwertig, stetig Beweis.
Mehr72 Orthonormalbasen und Konvergenz im quadratischen Mittel
72 Orthonormalbasen und Konvergenz im quadratischen Mittel 30 72 Orthonormalbasen und Konvergenz im quadratischen Mittel Wir untersuchen nun die Konvergenz von Fourier-Reihen im quadratischen Mittel in
Mehr2.9 Die komplexen Zahlen
LinAlg II Version 1 3. April 2006 c Rudolf Scharlau 121 2.9 Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen sind unverzichtbar für nahezu jede Art von höherer Mathematik. Systematisch gehören sie zum einen in
Mehr3 Windungszahlen und Cauchysche Integralformeln
3 3 Windungszahlen und Cauchysche Integralformeln 3. Definition: Sei geschlossener Integrationsweg oder Zyklus mit z 0 C \ Sp. Dann heißt n(, z 0 ) := dz z z 0 Windungszahl (oder: Index, Umlaufszahl) von
Mehr9 Folgen und Reihen von Funktionen
9 Folgen und Reihen von Funktionen In diesem Abschnitt betrachten wir verschiedene Arten der Konvergenz einer Funktionenfolge Besonders interessiert uns die Frage, ob sich Eigenschaften der einzelnen Glieder
MehrSS 2016 Höhere Mathematik für s Studium der Physik 21. Juli Probeklausur. Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert.
SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 Probeklausur Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert. Fragen Sei (X, d) ein metrischer Raum. Beantworten Sie die nachfolgenden
MehrHöhere Mathematik I/II
Markus Stroppel Höhere Mathematik I/II Z. Zusätze. Z.. Skalarprodukte in Funktionenräumen. Wir wollen an einigen Beispielen zeigen, dass es nützlich sein kann, Skalarprodukte auch in ganz allgemeinen (reellen)
Mehr20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen
20 Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen 20.1 Folgen und Reihen von Funktionen 20.3 Die Supremumsnorm 20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen 20.7 Das Cauchy-Kriterium
Mehr3.2 Die Fouriertransformierte
5 3.2 Die Fouriertransformierte Eine Funktion f : R C heißt absolut integrabel, falls sie stückweise stetig und fx dx < ist. Definition: Sei f : R C absolut integrabel. Dann bezeichnen wir die durch fω
Mehr4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM
4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 153 Es sei V der Lösungsraum und V N V ein endlich dimensionaler Unterraum. Weiters sei u V die exakte Lösung und
MehrLösung 04 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16. c n = 1 T. c n,u e inωt + c n,u e inωt] c n e inωt = c 0 +
Karlsruher Institut für Technologie Institut für theoretische Festkörperphysik www.tfp.kit.edu Lösung 4 Klassische Theoretische Physik I WS 5/6 Prof. Dr. G. Schön 2 Punkte Sebastian Zanker, Daniel Mendler
MehrDie Zylinderfunktionen
Die Zylinderfunktionen Betrachten Schwingungen einer Pauke. Auslenkung v = v(t, x, y) des Trommelfells ist Lösung der Wellengleichung 2 v t = v := 2 v 2 x + 2 v 2 y 2 als Produkt aus zeitabhängiger und
MehrKapitel 16 : Differentialrechnung
Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen
Mehr4.3 Reelle Skalarprodukte, Hermitesche Formen, Orthonormalbasen
196 KAPITEL 4. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT 4. Reelle Skalarprodukte, Hermitesche Formen, Orthonormalbasen In diesem Abschnitt betrachten wir Vektorräume über IR und über C. Ziel ist es, in solchen Vektorräumen
MehrAufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs
Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 Hilfskräfte: A. Weiß, W. Thumann 6.3.29 NWF I - Mathematik Universität Regensburg Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs Die folgenden
MehrFourierreihen. Die erste dieser Aussagen folgt direkt aus der Definition. Für die zweite bemerken
Fachbereich Mathematik SS 0 J. Latschev Analysis II Fourierreihen In diesem Kapitel der Vorlesung widmen wir uns der Frage, inwieweit man jede periodische Funktion als Reihe in gewissen Standardfunktionen
Mehrist reelles lineares Funktional. x(t) ϕ(t) dt ist reelles lineares Funktional für alle ϕ L 2 (0, 1).
Kapitel 4 Stetige lineare Funktionale 4.1 Der Satz von Hahn - Banach Definition 4.1. Sei X ein linearer normierter Raum über dem Körper K (R oder C). Ein linearer Operator f : X K heißt (reelles oder komplexes)
MehrINGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 8. Reihen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2016 G. Matthies Ingenieurmathematik
MehrDer Satz von Taylor. Kapitel 7
Kapitel 7 Der Satz von Taylor Wir haben bereits die Darstellung verschiedener Funktionen, wie der Exponentialfunktion, der Cosinus- oder Sinus-Funktion, durch unendliche Reihen kennen gelernt. In diesem
MehrSBP Mathe Aufbaukurs 3. Imaginäre und komplexe Zahlen. Komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene. Darstellungen komplexer Zahlen.
SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das Lernen mit Lernkarten
MehrSBP Mathe Aufbaukurs 3 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Aufbaukurs 3
SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 0 by Clifford Wolf SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das
MehrApproximation von Funktionen
von Funktionen Fakultät Grundlagen Februar 6 Fakultät Grundlagen von Funktionen Übersicht Problemstellung Taylorpolynom Taylorenreihe Zusammenhang von e-funktion und trigonometrischen Funktionen 3 Fakultät
MehrGrundlagen der Fourier Analysis
KAPITEL A Grundlagen der Fourier Analysis Wir definieren wie üblich die L p -Räume { ( } 1/p L p (R) = f : R C f(x) dx) p =: f p < 1. Fourier Transformation in L 1 (R) Definition A.1. (Fourier Transformation,
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
Mehr8. Tschebyscheff-Approximation: Theorie
HJ Oberle Approximation WS 2013/14 8 Tschebyscheff-Approximation: Theorie Im Folgenden untersuchen wir Bestapproximationen bezüglich der Maximumsnorm Die Wurzeln dieser Theorie gehen auf Pafnuti Lwowitsch
MehrFolgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit
Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen
MehrLösung zu Kapitel 5 und 6
Lösung zu Kapitel 5 und 6 (1) Sei f eine total differenzierbare Funktion. Welche Aussagen sind richtig? f ist partiell differenzierbar f kann stetig partiell differenzierbar sein f ist dann immer stetig
MehrDas Additionstheorem für die Weierstrass sche -Funktion und elliptische Integrale. Peychyn Lai
Das Additionstheorem für die Weierstrass sche -Funktion und elliptische Integrale Peychyn Lai 10. Oktober 2007 1 Einleitung Wir haben im letzten Vortrag die Weierstrass sche -Funktion kennengelernt, die
MehrWichtige Klassen reeller Funktionen
0 Wichtige Klassen reeller Funktionen Monotone Funktionen sind i.a. unstetig, aber man kann etwas über das Grenzwertverhalten aussagen, wenn man nur einseitige Grenzwerte betrachtet. Definition 0. : Sei
MehrMathematik III. (für Informatiker) Oliver Ernst. Wintersemester 2014/15. Professur Numerische Mathematik
Mathematik III (für Informatiker) Oliver Ernst Professur Numerische Mathematik Wintersemester 2014/15 Inhalt 10 Differentialgleichungen 11 Potenz- und Fourier-Reihen Oliver Ernst (Numerische Mathematik)
Mehr10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit
10 Aus der Analysis Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit Zahlenfolgen Ein unendliche Folge reeller Zahlen heißt Zahlenfolge. Im Beispiel 2, 3, 2, 2 2, 2
Mehr8 Euklidische Vektorräume und Fourierreihen
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag 7.7 $Id: fourier.te,v 1.6 9/7/7 13:: hk Ep $ $Id: diff.te,v 1. 9/7/7 16:13:53 hk Ep $ 8 Euklidische Vektorräume und Fourierreihen 8.4 Anwendungen auf Differentialgleichungen
MehrBestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.
Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ
MehrKapitel 6. Exponentialfunktion
Kapitel 6. Exponentialfunktion 6.1. Potenzreihen In Kap. 4 haben wir Reihen ν=0 a ν studiert, wo die Glieder feste Zahlen sind. Die Summe solcher Reihen ist wieder eine Zahl, z.b. die Eulersche Zahl e.
MehrGrenzwerte und Stetigkeit
KAPITEL 3 Grenzwerte und Stetigkeit 3.1 Grenzwerte..................................... 49 3.2 Stetigkeit....................................... 57 Lernziele 3 Grenzwerte ε-δ-definition des Grenzwerts,
MehrNachrichtentechnik [NAT] Kapitel 2: Zeitkontinuierliche Signale. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik
Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 2: Zeitkontinuierliche Signale Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik Sommersemester 25 Inhaltsverzeichnis Inhalt Inhaltsverzeichnis 2 Zeitkontinuierliche
MehrAnalysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein
MehrErfüllt eine Funktion f für eine feste positive Zahl p und sämtliche Werte t des Definitionsbereichs die Gleichung
34 Schwingungen Im Zusammenhang mit Polardarstellungen trifft man häufig auf Funktionen, die Schwingungen beschreiben und deshalb für den Ingenieur von besonderer Wichtigkeit sind Fast alle in der Praxis
Mehr3. Übungsblatt zur Analysis II
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Steffen Roch Nada Sissouno WS 9/ 9..9 3. Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Majorantenkriterium für uneigentliche Riemann-Integrale: Es seien f : [, ) [, ) und g
MehrZusammenfassung der Lebesgue-Integrationstheorie
Zusammenfassung der Lebesgue-Integrationstheorie Das Lebesguesche Integral verallgemeinert das Riemannsche Integral. Seine Vorteile liegen für unsere Anwendungen vor allem bei den wichtigen Konvergenzsätzen,
Mehr3.3 Das Abtasttheorem
17 3.3 Das Abtasttheorem In der Praxis kennt man von einer zeitabhängigen Funktion f einem Signal meist nur diskret abgetastete Werte fn, mit festem > und ganzzahligem n. Unter welchen Bedingungen kann
MehrFourierreihen und -transformation
Kapitel Fourierreihen und -transformation. Fourierreihen 8 postulierte Fourier (ohne stichhaltige Beweise: Jede beliebige Funktion f(x mit Periode, d. h. f(x = f(x +, lässt sich in eine Reihe der Gestalt
MehrFolgen und Reihen von Funktionen
Folgen und Reihen von Funktionen Sehr häufig treten in der Mathematik Folgen bzw. Reihen von Funktionen auf. Ist etwa (f n ) eine Folge von Funktionen, dann können wir uns für ein festes x fragen, ob die
MehrAnalysis I. 1. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Das Bild einer Abbildung F: L M. (2) Eine Cauchy-Folge
MehrFachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik 6. Juni 0 Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender II Testklausur mit Lösungen Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Ein Skalarprodukt
Mehr1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen
1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09
MehrDie Fourier Isometrie
Prof. Dr. Michael Eisermann Höhere Mathematik 3 (vertieft) Inhalt dieses Kapitels J000 Kapitel J Die Fourier Isometrie Vektorräume mit Skalarprodukt Skalarprodukt und Cauchy Schwarz Ungleichung Quadrat-integrierbare
MehrL p Räume und der Satz von Riesz-Fischer
Kolloqium Partielle Differentialgleichungen 8.5.28 Carsten Erdmann L p Räume und der Satz von Riesz-Fischer 1.1. Definition. Sei p R, p >, dann setzen wir p :=, p :=. Sei f : K meßbar, dann ist f M + (,
Mehr3 Grenzwert und Stetigkeit 1
3 Grenzwert und Stetigkeit 3. Grenzwerte bei Funktionen In diesem Abschnitt gilt: I ist immer ein beliebiges Intervall, 0 I oder einer der Endpunkte. 3.. Definition Sei I Intervall, 0 IR und 0 I oder Endpunkt
MehrKapitel 7. Exponentialfunktion
Kapitel 7. Exponentialfunktion 7.1. Potenzreihen In Kap. 5 haben wir Reihen ν=0 a ν studiert, wo die Glieder feste Zahlen sind. Die Summe solcher Reihen ist wieder eine Zahl, z.b. die Eulersche Zahl e.
MehrAngewandte Mathematik und Programmierung
Angewandte Mathematik und Programmierung Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu mathematischen Rechnens SS2013 Inhalt Fourier Reihen Sehen wir in 2 Wochen Lösung der lin. Dgln.
MehrFourier-Reihen. Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten 1. Dezember 2004
Fourier-Reihen Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten www.mathe-seiten.de. Dezember 4 Dieser Artikel gibt eine elementare Einführung in die Theorie der Fourier-Reihen. Er beginnt mit einer kurzen Analyse des
Mehr7. Die Brownsche Bewegung
7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG 7 5 5 50 00 50 200 250 0 5 20 Abbildung 7.: Pfad einer Brownschen Bewegung 7. Die Brownsche Bewegung Definition 7.. Ein cadlag stochastischer Prozess {W t } mit W 0 = 0, unabhängigen
MehrIV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen
IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen Definition. Seien X und Y metrische Räume und E X sowie f : X Y eine Abbildung und p ein Häufungspunkt von E. Wir schreiben lim f(x) = q, x p falls es
MehrFerienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren
Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis
MehrWachstumsverhalten ganzer Funktionen. Inhaltsverzeichnis
Wachstumsverhalten ganzer Funktionen Vortrag zum Seminar zur Funktionentheorie, 11.6.212 Simon Langer Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Wachstumsverhalten ganzer Funktionen 3 3 Ganze Funktionen endlicher
MehrAufgaben zu Kapitel 20
Aufgaben zu Kapitel 20 Aufgaben zu Kapitel 20 Verständnisfragen Aufgabe 20 Sind die folgenden Produkte Skalarprodukte? (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w,, v v 2 w w 2 (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w, 3 v v 2 w w + v
MehrDie komplexen Zahlen und Skalarprodukte Kurze Wiederholung des Körpers der komplexen Zahlen C.
Die omplexen Zahlen und Salarprodute Kurze Wiederholung des Körpers der omplexen Zahlen C. Erinnerung an die Definition von exp, sin, cos als Potenzreihen C C Herleitung der Euler Formel Definition eines
MehrKapitel 3 Trigonometrische Interpolation
Kapitel 3 Trigonometrische Interpolation Einführung in die Fourier-Reihen Trigonometrische Interpolation Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Zusammenfassung Numerische Mathematik II Herbsttrimester 212
Mehr