5.6 Das Gibbs-Phänomen

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1 94 5 Fouriertheorie 5.6 Das Gibbs-Phänomen Die Fourierreihe einer stückweise glatten Funktion f konvergiert punktweise gegen f, und auf kompakten Stetigkeitsintervallen sogar gleichmäßig. In Sprungstellen dagegen kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein. atsächlich weisen in solchen Punkten die approximierenden Fourierpolynome eine charakteristische Eigenschaft auf: ein Überschwingen um einen festen prozentualen Anteil, das als Gibbs-Phänomen bekannt ist. Bei der Untersuchung dieses Phänomens können wir uns auf eine Standardsituation beschränkten. Denn sei f eine beliebgie stückweise glatte Funktion mit einer Sprungstelle bei a. Sei h = f (a + ) f (a ) 2 die halbe Sprunghöhe im Punkt a. Dann ist f (x) = g(x) + h (x a) mit g(x) = f (x) h (x a) und (x) = sgn(x). Die Funktion g ist stetig im Punkt a, und die Sprungstelle wird durch das einfache Rechtecksignal h dargestellt. Es genügt nun, die Funktion zu studieren. Betrachte also die Signumfunktion, 2-periodisch über [,] zu einer stückweise glatten Funktion fortgesetzt, die wir wieder mit demselben Symbol bezeichnen. Diese Funktion ist ungerade, ihre Fourierreihe also eine Sinusreihe. Ihre Koeffizienten sind b n = Z Z sgn(t) sin nt dt = sin nt dt cos nt = + n Z cos nt n sin nt dt. Ist n gerade, so ist cos nt 2-periodisch, und die Randterme heben sich auf. Ist dagegen n ungerade, so ist cos nt antiperiodisch, und wir erhalten Also ist b n = cos nt 2 n = 4 n. 8 <, n gerade, b n = : 4/n, n ungerade,

2 Das Gibbs-Phänomen und wir erhalten die Fourierreihe der Signumfunktion, sgn(x) X k 4 sin(2k )x. (2k ) Wir werten nun das Fourierpolynom s n = an der Stelle nx k= 4 sin(2k )x (2k ) t n = 2n aus man kann zeigen, dass s n dort am weitesten ausschwingt. Wir erhalten nx 4 (2k ) s n (t n ) = sin (2k ) 2n k= = = 2 nx k= nx k= 4 2n sin(2k ) 2n (2k ) 2n sin t n t t=t k =(2k )/2n Die letzte Summe können wir als Riemannsche Summe auffassen. Das Intervall [,] wird in n gleiche Intervalle der Länge = n unterteilt, und die sinus cardinalis-funktion sinc t Õ sin t t wird ausgewertet an den Punkten t k = (2k ), k =,.., n, 2 die in der Mitte der Intervalle liegen. Daher gilt s n (t n )! 2 Z sin t t dt = 2 C, Das bedeutet: Mit n! konvergiert die Höhe s n (t n ) der Überschwinger keineswegs gegen Null, sondern gegen den festen Wert, Aufgrund des Konvergenzsatzes müssen sie dabei immer näher an die Sprungstelle heranrücken.

3 96 5 Fouriertheorie Dies ist das Ergebnis für die Signumfunktion. Bei einer anderen Sprunghöhe müssen wir diese nur mit, 7898 multiplizieren. Das Ergebnis ist also folgendes. 6 Gibbs-Phänomen In der Nähe einer Sprungstelle schwingen die Fourierpolynome um rund 8% über, unabhängig vom Grad der Approximation. œ 5.7 Funktionen beliebiger Periode Bisher haben wir Funktionen der Periode 2 betrachte. In Anwendungen trifft man aber üblicherweise beliebige Perioden an. Dafür wollen wir jetzt noch die entsprechenden Formeln bereitstellen. Die Funktion f habe die Periode 2 der Faktor 2 vereinfacht die Formeln. Ihre Fourierreihe besteht dann aus trigonometrischen Funktionen der Periode 2 und deren Vielfache, also aus cos n x, sin n x, exp n x. Führt man die sogenannte Grundfreqeunz! Õ ein, so lauten die entsprechenden Reihen f (x) X n2z c n e in!x = a 2 + X {a n cos n!x + b n sin n!x}, (3) n natürlich mit anderen Koeffizienten a n, b n, c n. Die Formeln für diese Koeffizienten findet man zum Beispiel, indem an diesen Fall auf den bereits bekannten zurück führt. Die Funktion f (x) Õ f ( x/) = f (x/!) ist 2-periodisch, also Dann ist f (x) a 2 + X {a n cos nx + b n sin nx}. (4) n

4 Funktionen beliebiger Periode a n = = =! = Z Z Z Z f (x) cos nx dx f (x/!) cos nx dx f (t) cos n!t dt f (t) cos n!t dt. Analog für die anderen Koeffizienten. Ersetzen wir nun in (4) x durch!x so erhalten wir die gewünschte Fourierreihe. Man erhält diese Koeffizienten aber auch direkt, wenn man von den entsprechenden Orthogonalitätsrelationen ausgeht. In diesem Fall lauten sie und Z cos(k!t) cos(l!t) dt = kl Z e ik!t e il!t dt = 2 kl, während alle entsprechenden Integrale über cos-sin-produkte verschwinden. Mit dem Ansatz in (3) folgt dann zum Beispiel Z f (x)e ik!x dx 2 = X Z c n e in!t e ik!t dt = X c n nk = c k. 2 n2z n2z So kann man sich die Formeln auch leicht in Erinnerung rufen. 7 Satz Die Funktion f sei integrierbar und 2 -periodisch. Dann sind die Koeffizienten ihrer Fourierreihen f (x) X n2z c n e in!x = a 2 + X {a n cos n!x + b n sin n!x} n mit der Grundfrequenz! = / gegeben durch a n = und Z f (x) cos n!x dx, b n = Z f (x) sin n!x dx, c n = 2 Z f (x)e in!x dx.

5 98 5 Fouriertheorie Für diese gilt die Parsevalsche Gleichung a X (a 2 n + b2 n ) = X c n 2 = Z f (t) 2 dt. œ n n2z Für = wird! =, und wir erhalten wieder die früheren Formeln. 5.8 Fouriertransformation Wir haben 2-periodische Funktionen in Fourierreihen entwickelt und diese unter relativ allgemeinen Bedingungen auch durch sie dargestellt. Dasselbe gilt auch allgemeiner für 2 -periodische Funktionen mit beliebigem >, also zum Beispiel auch sehr großem. Was aber gilt für nicht-periodische Funktionen? Kann man für diese etwas Entsprechendes definieren? Sei f eine beliebige Funktion auf R. Wir nehmen an, dass f auf ganz R absolut integrierbar ist: Z f (x) dx = lim R! Z R f (x) dx <. R Außerhalb eines immer größeren Intervalls [ immer kleiner. R, R] wird also der Beitrag von f Wir wählen jetzt sehr groß, schränken die Funktion f auf [,] ein und setzen sie dann 2 -periodisch darüber zu einer Funktion f hinaus fort. Unser Ziel ist, das Verhalten ihrer Fourierreihe für! zu studieren. Für diese 2 -periodische Version f f (x) X c k e ik!x k2z erhalten wir mit c k = Z f (t)e ik!t dt,! = 2. Also ist, mit = /!, f (x) = X 2 k2z = X 2 k2z Z! f (t)e ik!t dte ik!x Z! /! f (t)e ik!t dt e ik!x. (5)

6 Fouriertransformation Für sehr groß, und damit! sehr klein, können wir das Integral durch ein Ingegral über ganz R ersetzen und erhalten f (x) = X Z! f (t)e ik!t dt e ik!x. 2 k2z Dieses Integral können wir nun auffassen als Auswertung der Funktion an der Stelle ˆf ( ) = Z f (t)e i t dt = k!. Damit wird (5) zu einer Riemannschen Summe für ihr Integral über ganz R. Für! erhalten wir auf diese, natürlich nicht strenge Weise f (x) = Z ˆf ( )e i x d. 2 Dies nehmen wir jetzt als Ausganspunkt für eine Definition. Definition Sei f eine absolut integrierbare Funktion auf R. Dann ist ihre Fouriertransformierte ˆf definiert durch ˆf (!) Õ Z f (t)e i!t dt. œ 8 Riemann-Lebesgue-Lemma Ist f auf R absolut integrierbar, so ist ihre Fouriertransformierte ˆf auf R stetig, und es gilt lim ˆf (!) =.!!± œ Stetig bedeutet, dass Real- und imaginärteil stetig sind. Es gilt auch das Analogon der Parsevalschen Gleichung, die hier allerdings anders heißt. 9 Satz von Plancherel Ist f 2 integrierbar auf R, so auch ˆf 2, und es gilt 2 Z ˆf (!) 2 d! = Z Die Umkehrtransformation f (t) 2 dt. œ Wir wollen natürlich auch wissen, wie man eine Funnktion f aus ihrer Fouriertransformierten ˆf rekonstruiert. Unsere heuristischen Überlegungen hatten bereits zu der Formel f (x) = 2 Z ˆf ( )e i x d geführt. Das Problem ist allerdings, dass hierfür auch ˆf absolut integrierbar sein muss. Im Allgemeinen ist dies aber nicht der Fall, wie das Beispiel der

7 5 Fouriertheorie Rechteckfunktion gezeigt hat. Ist aber ˆf tatsächlich integrabel, so ist alles in Ordnung. 2 Einfacher Umkehrsatz Ist f auf R absolut integrierbar und stückweise stetig, und ist auch ˆf absolut integrierbar, so gilt f (x) = 2 für alle x 2 R. Z œ ˆf (!)e i!x d! Stückweise stetig bedeutet hier, dass in jedem endlichen Intervall nur endlich viele Sprungstellen liegen, und dass f (a) = f (a + ) + f (a ) 2 in jeder Sprungstelle a gilt. Die Umkehrformel sieht übrigens fast so aus wie die Fouriertransformation selbst und kann durch diese dargestellt werden: Es gilt f (x) = 2 fˆˆ( x). Zweimaliges Fouriertransformieren liefert also wieder dieselbe Funktion bis auf eine Spiegelung an der y-achse und einem Faktor /2. bilden. Ohne Integrierbarkeit von ˆf muss man das Umkehrintegral vorsichtiger 2 Zweiter Umkehrsatz Ist f absolut integrierbar auf R und stückweise stetig, so gilt Z f (x) = 2 H ˆf (!)e i!x d! = lim ˆf (!)e i!x d!. œ R! 2 R R Hier steht H für den Cauchyschen Hauptwert des uneigentlichen Integrals. Dieser kann existieren, auch wenn das Absolutintegral nicht existiert. Zum Beispiel ist H Z sin t t Z R sin t dt = lim dt R!2 R t wohldefiniert, analog zur alternierenden harmonischen Reihe. Z R Eigenschaften der Fouriertransformation 22 Rechenregeln Die Funktionen f,g seien absolut integrierbar. Dann gilt

8 Fouriertransformation 5.8 (i) Linearität: (af + bg)ˆ = a ˆf + bĝ. (ii) ranslation: f (t + h)ˆ = e i!h ˆf, (e i!h f)ˆ = ˆf (! + h). (iii) Streckung: f (at)ˆ = a ˆf (!/a), a >. œ Bemerkung Fur a! wird f (at) zum Nullpunkt zusammengezogen. Auf der anderen Seite wird dafür ˆf auseinandergezogen und in der Höhe gestaucht. «Wesentlich interessanter ist das Verhalten der Fouriertransformation gegenüber Differenziation. Dies macht sie überhaupt erst ein wichtiges Werkzeug für die Untersuchung von Differenzialgleichungen. 23 Differenziation Ist f stückweise glatt und stetig, und sind f und f absolut integrierbar, so gilt (f )ˆ = i! ˆf (!). Ist tf (t) absolut integrierbar, so ist ˆf differenzierbar, und es gilt ( ˆf) (!) = ( itf (t))ˆ(!). œ Statt zu differenzieren und dann zu transformieren, können wir also zuerst transformieren und müssen danach nur noch multiplizieren. Die Fouriertransformation verwandelt also Differenziation in Multiplikation. hhhhh Der erste eil ist einfach: (f )ˆ(!) = lim R! Z R f (t)e i!t dt R Z R = lim f (t)e i!t RR + i! f (t)e i!t dt R! R = i! Z = i! ˆf (!). f (t)e i!t dt hhhhh

9 2 5 Fouriertheorie

10 6 Laplacetransformation Definition Die Funktion f sei auf [, ) definiert und lokal integrierbar. Gibt es ein r>, so dass F(z) ÕLf (z) Õ Z f (t)e zt dt für alle z > r existiert, so heißt F die Laplacetransformierte von f. œ atsächlich ist die Laplacetransformierte auch für alle komplexen Argumente z mit Re z>r erklärt, und Lf ist eine holomorphe Funktion von z. Darauf können wir aber erst im Kapitel zur Funktionentheorie zurückkommen. Wir wollen zuerst die Frage klären, welche Funktionen laplacetransformierbar sind. Definition Eine Funktion f auf [, ) ist von exponentieller Ordnung, wenn es ein M> gibt, so dass f (t) Me t, t. Jede solche Funktion heißt höchstens exponenziell schnell wachsend. œ.ò Beispiele a. Sinus, Cosinus und jede beschränkte Funktion. b. Jedes Polynom. c. Jede Exponentialfunktion e at. d. Nicht exponenziell schenll wachsend sind e t2 und /t..ò Satz Ist f auf [, ) stückweise stetig und von exponenzieller Ordnung, so existiert ihre Laplacetransformeirte Lf für alle z mit Re z >, und es gilt lim Lf (z) =. œ Re z!

11 4 6 Laplacetransformation Umkehrsatz Für die Laplacetransformation gibt es eine Umkehrformel ähnlich zu der für die Fouriertransformation. Man kann also eine Funktion f aus ihrer Laplacetransformierten Lf wiederherstellen. Dies erfordert allerdings eine Integration über Kurven im Konplexen und, wenn man es richtig machen will, Sätze aus der Funktionentheorie. Wir holen dies später nach. Hier notieren wir nur das wichtigste Ergebnis. 2 Satz Die Funktion f sei auf [, ) stückweise glatt und von exponenzieller Ordnung. Dann ist f durch seine Laplacetransformierte eindeutig bestimmt. œ Zur Erinnerung: Dies setzt voraus, dass in einer Sprungstelle der Funktionswert von f die mittlere Sprunghöhe ist. Eigenschaften 3 Rechenregeln Für die Laplacetransformation L gilt: (i) Linearität: L(af + bg) = alf + blg. (ii) Streckung: (iii) Dämpfung: L(f (at))(z) = Lf (z/a), a >. a L(e at f (t))(z) = (Lf )(z + a). œ 4 Differenziation Ist f stückweise glatt und stetig, so gilt L(f )(z) = zlf (z) f(). Ist sie sogar (k )-mal stetig differenzierbar und f (k ) stückweise glatt, so gilt L(f (k) (z) = z k Lf (z) z k f() z k 2 f ().. f (k ) (). œ Bemerkung Ander als bei der Fouriertransformation fällt hier ein Randterm an, da wir ja nur über [, ) integrieren, und nicht über (, ). «5 Integration Ist f stetig auf [, ) und von exponenzieller Ordnung, so gilt Z t L f ( ) d = Lf (z). œ z