Höhere Mathematik III WS 05/06 Lösungshinweis Aufgabe G 81 Blatt 12

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1 Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe G 8 Blatt Rechenweg : Für das komplexe Wegintegral über : t z(t, t [a, b] gilt f(z dz = b a f ( z(t z (t dt. Rechenweg : Ist f stetig differenzierbar auf dem einfach zusammenhängenden Gebiet D, in welchem verläuft, so gilt mit der Stammfunktion F von f f(z dz = F (z b F (z a, z a = z(a, z b = z(b. a Mit z(t = t( + i, z (t = + i, t [, ] folgt für den ersten Rechenweg z dz = ( t( + i ( + i dt = t ( + i ( + i dt [ t 3 = i( + i 3 ] = (i 3. Für den zweiten Rechenweg folgt mit F (z = z 3 /3, z a = z( =, z b = z( = + i [ z z 3 dz = 3 ] +i = 3 ( + i3 = ( + i( + i = (i. 3 }{{} 3 i b Mit z(t = exp(it, z (t = i exp(it, t [, ] folgt für den ersten Rechenweg z dz = e it ie it dt = i e 3it dt = i [ ] e 3it 3i = 3 ( }{{} e3i }{{} e = 3. = = Für den zweiten Rechenweg folgt mit F (z = z 3 /3, z a = z( =, z b = z( = [ z z 3 dz = 3 ] = 3 3 = 3.

2 Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe G 8 Blatt a Die Integrationskurven sind geschlossene Wege. Da die Integranden jeweils nicht holomorph sind, ist jedoch der Integralsatz von auchy nicht anwendbar. Die komplexen Kurvenintegrale sind somit direkt zu berechnen. i Mit der Parametrisierung z(t = cos t + i sin t, z (t = sin t + i cos t, t [,. von K[, ] folgt z dz = K[,] = (cos t i sin t ( sin t + i cos t dt }{{}}{{} =z(t =z (t } cos t sin t {{ + cos t sin } t dt + i = } sin t {{ + cos } t dt = i. = ii Mit der Parametrisierung z(t = + cos t + i sin t, z (t = sin t + i cos t, t [,. von K[, ] folgt Re z dz = K[,] ( + cos t ( sin t + i cos t dt }{{}}{{} =Re z(t =z (t = 4 cos t sin t sin t dt +i } {{ } = = 4i = 4i. 4 cos t + } cos {{} t dt b Die Exponentialfunktion f(z = e (+i z ist auf ganz holomorph. Da ein geschlossener Weg ist, gilt nach dem Integralsatz von auchy e (+i z dz =.

3 Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe G 83 Blatt a Für das Integral über die Strecke von ( nach (+, gilt, da x sin x 4 eine ungerade und x eine gerade Funktion ist: ( z sin(z 4 + z dz = ( x sin(x 4 + x dx = + xdx = [ x ] = b Den oberen Teil des Einheitskreises bezeichnen wir mit und wählen als Parameterdarstellung: z(t = e it, wobei t von nach läuft. Da z sin(z 4 auf ganz holomorph ist, sind komplexe Kurvenintegrale über diese Funktion wegunabhängig und wir erhalten: z sin(z 4 dz = z sin(z 4 dz =. Da z nicht holomorph ist, sind komplexe Kurvenintegrale über diese Funktion nicht wegunabhängig, so dass wir das Integral über noch ausrechnen müssen: z dz = Das gesuchte Integral ist also =. e it }{{} = ie it dt = [ e it] = ( =. 3

4 Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe G 84 Blatt a Geradensemgent : z(t = t, z (t =, t [, R] I (R = dz = e z R e t dt Kreissegment : z(t = Re it, z (t = ire it, t [, /4] /4 /4 I (R = e z dz = e (Reit ire it dt = Ri e R e it e it dt Geradensegment 3 : z(t = t +i, z (t = +i, t läuft von R nach (Orientierung! I 3 (R = 3 e z dz = R e t +i + i dt = + i R e ti dt Die Funktion e z ist auf ganz holomorph. Nach dem Integralsatz von auchy gilt daher für den geschlossenen Weg e z dz = I (R + I (R + I 3 (R =. b Mit e it = cos(t + i sin(t folgt /4 I (R = Ri e R e it e it dt R Mit /4 = R /4 = R e R (cos(t+i sin(t = ( e R. 4R folgt I (R für R. c Im Grenzfall R = folgt e R cos(t dt Hinweis I ( + /4 dt = R lim I (R = lim R R e R e it e it dt = R /4 /4 e R cos(t /4 R e R (4t/ dt = R 4R }{{} ( e R = } {{ } e R i sin(t } {{ } = I ( }{{} +I 3 ( = I ( = I 3 (. = nach b Durch Einsetzen von I und I 3 gemäß a mit R = folgt e R e it e it dt }{{} = dt [ e R (4t/ 4R e t dt = + i e ti dt = + i cos( t + i sin( t dt. 4 ] /4

5 Mit dem Hinweis für die linke Seite und beidseitiger Multiplikation mit /( + i folgt + i i = ( i = cos t dt i sin t dt. } {{ } i 4 Erweiterung Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil ergibt sich die zu beweisende Beziehung cos t dt = sin t dt =. 4 Ergänzung: Beweis von I = e t dt = /: Durch Quadrieren von I folgt ( ( I = e x dx e y dy = e (x +y dx dy. Mit Hilfe von Polarkoordinaten folgt hieraus I = / re r dr dϕ = [ e r ] = 4 I =. 5

6 Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe G 85 Blatt Den in der Aufgabestellung bereits angegebenen Integrationsweg bezeichnen wir mit mit den folgenden Teilstücken: : z(t = t, t : R r, : z(t = re it, t :, 3 : z(t = t, t : r R, 4 : z(t = Re it, t :. Wenn wir nun cos x, wie es zunächst naheliegend scheint, durch cos z, z ersetzen würden, hätten wir das komplexe Kurvenintergral über 4 nicht mehr unter Kontrolle, da z.b. cos(ir = cosh R exponentiell anwächst, was nicht durch ( R im Nenner ausgeglichen wird. Daher ersetzen wir wie in der Anleitung angegeben cos x durch exp(iz. Dadurch handeln wir uns zwar eine echte Singularität bei z = ein, die wir mit dem Weg umgehen müssen, erhalten aber dafür, da sin t und damit exp( R sin t für t gilt, für das komplexe Kurvenintergral über 4 : exp(ir cos t exp( R sin t Re it 4 exp(iz dz z = exp(ire it ire it dt R e it i dt + exp(ir cos t exp( R sin t i dt Re it R dt = R für R. Für den anderen Halkreis erhalten wir mit Anwendung der Regel von de l Hospital: = lim r lim r = lim r exp(iz z ie it exp(ire it e it i dt = dz = lim r exp(ire it i dt = re it exp(ire it r e it ie it exp(ie it e it i dt = exp(ire it lim r re it ire it dt i dt dt =, wenn wir Integral und Grenzwert vertauschen können. Da wir den Satz von Lebesgue über majorisierte Konvergenz nicht zur Verfügung haben, müssen wir die Vertauschung von Intgral und Grenzwert durch eine direkte Abschätzung rechtfertigen: = exp(iz dz dt z = exp(ire it + ire it i dt re it = k= (ireit k /k! i re it dt r } k {{ } = r r /k! k= ( exp(ire it i re it + ire it k= (ireit k /k! re it dt i dt i k r k e ikt /k! dt k= dt für r + 6

7 Da ( exp(iz/z auf \ {} holomorph ist, ist ( exp(iz/z dz = nach dem auchy- Integralsatz, und damit erhalten wir: dx = Re dx = lim R lim r + Re ( r R cos x x exp(ix x dx + R r exp(ix x exp(ix x dx ( = lim lim Re exp(iz exp(iz dz + dz R r + z 3 z ( = lim lim Re exp(iz exp(iz dz dz = Re( =. R r + z 4 z Die obige Rechnung garantiert nicht die Konvergenz des uneigentlichen Integrals, da eigentlich der auchy-hauptwert ermittelt wird. Dieser ist aber im Falle der Konvergenz des uneigentlichen Integrals gleich dessen Wert. Der Nachweis der Konvergenz des uneigentlichen Integrals war in der Aufgabenstellung nicht verlangt, soll aber der Vollständigkeit halber nachgeholt werden: Die uneigentlichen Integrale /x dx und /x dx sind konvergent, und für x gilt ( cos x/ /x. Damit sind auch die uneigentlichen Integrale ( cos x/x dx und ( cos x/x dx konvergent. Da cos x lim x x = lim x (! 4! x + = gilt, ist der Integrand in x = stetig ergänzbar, und damit ist das restliche Integral ( cos x/x dx praktisch ein Integral über ein endliches Intervall mit einem stetigen Integranden. 7

8 Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe V 86 Blatt a Unter Verwendung der geometrischen Reihe erhält man f(z = z + z = z 3 ( z 3 = z ( z 3 k = k= ( k z 3k+. k= Diese konvergiert für z 3 <, d. h. für z <. b Durch Differenzieren von f(z = Ln (i + z erhält man und damit f (z = i + z, f (z = (i + z,..., f (k (z = ( k (k! (i + z k, f(z = k= f (k ( k! z k = Ln i + k= ( k k i k }{{} a k Der Konvergenzradius ist der Abstand vom Entwicklungspunkt zur nächsten Singularität, also hier i =, das Konvergenzgebiet ist also der Kreis um mit Radius. c Einsetzen der Exponentialreihe e z = f(z = e z + ze z z = k= = z + (k + (k +! ( z k = k= k= z k k! liefert z k k! + z z k k! k= k z k. (k +! }{{} a k k= = Mit dem Quotientenkriterium erhält man für den Konvergenzradius r = lim a k k = lim k(k +! k (k + (k +! = lim k(k + =. k k + a k+ Die Taylor Reihe ist also auf ganz konvergent. z k. k= z k (k +! + z k k! k= 8

9 Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe V 87 Blatt Um die auchy Integralformel verwenden zu können, muss in drei Rechtecke,, 3 zerlegt werden, so dass der Punkt k im Inneren von k, k =..3, liegt. PSfrag replacements 3 Dann gilt Für 3 f(z dz = f(z dz + f(z dz + f(z dz. 3 f(z = (z (z (z 3 können die Integrale über k, k =..3 mit der auchy Integralformel berechnet werden. Sei g(z :=. Dann gilt (z (z 3 f(z = g(z z und es gibt ein einfach zusammenhängendes Gebiet, das enthält und auf dem g(z stetig differenzierbar ist. Somit erhält man mit der auchy Integralformel g( = g(z i z dz, woraus folgt. Analog erhält man und Insgesamt ergibt sich also f(z dz = ig( = i f(z dz = i (z (z 3 = i z= f(z dz = i 3 (z (z = i. z=3 f(z dz = i i + i =. Eine andere Möglichkeit, dieses Integral zu berechnen, ist, den Integrand mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung aufzuspalten und dann für jeden einzelnen Summand die auchy Integralformel anzuwenden. 9

10 Sezt man für die Partialbruchzerlegung (z (z (z 3 = a z + b z + c z 3 an, so ergibt sich a =, b =, c =. Für das Integral erhält man mit der auch Integralformel (z (z (z 3 dz = (z dz + ( = i + =. z dz + (z 3 dz

11 PSfrag replacements Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe V 88 Blatt 3 a ist eine geschlossene Kurve und für r > liegt i im Inneren von. Somit kann man die auchy Integralformel anwenden. PSfrag replacements 3 i r r Sei g(z =, dann gilt z+i f(z = g(z z i. Mit der auchy Integralformel erhält man und daraus g(i = i g(z z i dz = i f(z dz = ig(i = i i f(z dz =. b Es gilt f(z dz L( max f(z. z Mit + z = + r e it r e it = r erhält man Daraus folgt f(z dz r r = lim f(z dz =. r r r für r. c Verwendet man die Parametrisierung z(s = s, r s r für die Kurve, so erhält man r f(z dz = f(s ds und damit mit den Ergebnissen aus a und b f(s ds = lim f(s ds = lim f(z dz r ( = lim f(z dz f(z dz r = lim f(z dz = =. r r r r r

12 PSfrag replacements Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe V 89 Blatt 3 a + z n hat n verschiedene Nullstellen w k = e +k n i, k =,..., n. Es gilt also + z n = (z w (z w... (z w n, f(z = n k= z w k. Die w k sind einfache Nullstellen von + z n, da sie verschieden sind, und damit einfache Pole von f(z. Für einfache Pole gilt b Es gilt n Res(f; w k = lim (z w k f(z =. z w k w k w j j= j k f(z = z + z 3 (z (z + = (z (z + 3 (z (z + i (z i. Also ist z = eine hebbare Singularität, und z = i bzw. z 3 = i sind Pole. Ordnung. Für die Residuen erhält man Res(f; =, ( z + 3 Res(f; i = (z + i z=i = z + i 6 = 3i (z + i 3 4 und analog Res(f; i = ( z + 3 (z i z= i = 3i 4.

13 PSfrag replacements Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe V 9 Blatt PSfrag f(z = replacements z. +z 3 3 i 4 R 3 ε ε R Mit dem Residuensatz folgt f(z dz = i res(f, i = i lim[(z if(z] 3 z i 4 z = i lim z i z + i = i + i = ( + i i Betrachte die Kurvenintegrale der einzelnen Teilwege ε i x f(z = 3 R + x dx = i R y = i + y dy f(z = Für ε und R gilt somit i ε ε R x + x dx y dy für ε, R + y Re iϕ/ + R e iϕ ireiϕ dϕ R R R = R. R /R f(z εe iϕ/ = 4 + ε e iϕ iεeiϕ dϕ ε ε ε. ε ( ( + i = lim f(zdz + f(zdz = (i + ε,r 3 x + x dx. Folglich ist x + x dx =. 3