Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen

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1 Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Integralrechnung

2 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral als Umkehrung der Ableitung Idee: kehre den Prozess des Dierenzierens um. f sei eine reelle Funktion und F eine Funktion, deren Ableitung f ist, d.h. F (x) = f (x) für alle x D f Dann nennen wir F eine Stammfunktion von f. Beispiel: F (x) = x 3 ist eine Stammfunktion von f (x) = 3x 2, denn ( x 3) = 3x 2. Beachte: G(x) = x ist ebenfalls Stammfunktion von f (x) = 3x 2, denn ( x ) = 3x 2. Das Beispiel zeigt: Stammfunktion ist nicht eindeutig eine Funktion kann mehrere Stammfunktionen haben.

3 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Stammfunktion (unbestimmtes Integral) Aus der Existenz einer Stammfunktion folgt, dass eine Funktion mehrere Stammfunktionen hat, und es gilt: Ist F eine Stammfunktion von f, so ist jede Stammfunktion von f von der Form F (x) + c, wobei c eine Konstante ( IR) ist. Wir bezeichnen die Menge aller Stammfunktionen als unbestimmtes Integral und verwenden für sie die Schreibweise f (x)dx (gesprochen: Integral von f (x) oder Integral f (x)dx).

4 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Stammfunktion (unbestimmtes Integral) Unbestimmtes Integral: Beispiel: 3x 2 dx = x 3 + c. f (x)dx = F (x) + c Der Zusatz + c soll anzeigen, dass die Stammfunktion nur bis auf eine (beliebige) Konstante (die so genannte Integrationskonstante) eindeutig ist. Er wird manchmal der Einfachheit halber weggelassen. Eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion zu nden, heiÿt integrieren. Der Ausdruck zwischen Integralzeichen und dem Symbol dx heiÿt Integrand (zu integrierende Funktion).

5 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral-/Ableitungstabellen Wir lernen später einige Regeln zum Integrieren kennen. Hier vorab die wichtigste Methode: Benutzen Sie alles, was sie über Ableitungsregeln und Ableitungen spezieller Funktionen wissen. Stammfunktionen können oft erraten werden. Falls eine Tabelle von Ableitungen zur Verfügung steht, kann hieraus auch eine Stammfunktion abgelesen werden: Funktion Ableitung cx c cos x sin x ln x 1/x Die einzelnen Zeilen können von rechts nach links gelesen werden: Ist f die Ableitung von F, so ist F eine Stammfunktion von f.

6 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral-/Ableitungstabellen ( Bsp: Gesucht Stammfunktion von x + 3 sin x x 2) ( = 2x x 2 /2 ) = x (cos x) = sin x ( 3 cos x) = 3 sin x Zusammensetzen: ( x 2 /2 3 cos x ) = x + 3 sin x Damit: (x + 3 sin x)dx = x 2 /2 3 cos x + c In Formelsammlungen gibt es auch spezielle Integraltabellen mit Stammfunktionen zu einigen grundlegenden Funktionen.

7 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Beispiele: Einige Stammfunktionen Plappert S. 134 f (x) = x f (x) = x k f (x) = e x f (x) = cos(x) f (x) = sin(x)

8 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsproblem: Gegeben: reelle Funktion f. Bestimme den Inhalt der Fläche unter ihrem Graphen im Intervall a x b. Sprech-/Schreibweise: der Inhalt der Fläche unter dem Graphen einer Funktion f zwischen den Stellen a und b heiÿt bestimmtes Integral und wir schreiben: b a f (x)dx Sprechweise: Integral f (x)dx von a bis b oder Integral über f (x) von a bis b.

9 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bezeichnungen: im Ausdruck b a a: untere Integrationsgrenze b: obere Integrationsgrenze x: Integrationsvariable f (x)dx heiÿt f (x): Integrand Integrationsvariable kann beliebig umbenannt werden und hat auÿerhalb des Integrals keine Bedeutung. Also: b a f (x)dx = b a f (t)dt = b a f (y)dy Flächeninhalt und Stammfunktion haben ähnliche Schreibweisen. Zufall?

10 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsfunktion Ist f stetig, so ist der Flächeninhalt unter dem Graphen von f eng mit der Stammfunktion von f verwandt. Dazu denieren wir eine Funktion A, deren Werte Flächeninhalte sind. A(x) sei die Fläche unter dem Graphen von f zwischen einer (festgehaltenen) Untergrenze a und einer (variablen) Obergrenze x im Interfall [a, b], d.h. das bestimmte Integral über f in den Grenzen von a bis x. A kann man Flächeninhaltsfunktion nennen. Fläche zwischen a und b (best. Integral): Funktionswert A(b).

11 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsfunktion Jetzt: Wie verhält sich A(x) bei einer kleinen Änderung von x? Wir ändern x auf x + ɛ. Der Funktionswert ändert sich von A(x) auf A(x + ɛ). Dierenz: A(x + ɛ) A(x): Flächeninhalt des Streifens zwischen x und x + ɛ. f ist stetig (d.h. Funktionswerte machen keine Sprünge) und ɛ sehr klein. Wir können daher den Flächeninhalt des Streifens durch Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen ɛ und f (x) approximieren.

12 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsfunktion Approx.: Flächeninhalt Streifen Flächeninhalt Rechteck A(x + ɛ) A(x) ɛ f (x) für kleine ɛ Dividiere beide Seiten durch ɛ und bilde Grenzwert für ɛ 0 A(x + ɛ) A(x) lim = f (x) ɛ 0 ɛ Damit ist die Ungenauigkeit der Approximation verschwunden. Linke Seite: Ableitung von A(x) (Grenzwert des Dierenzenquotienten) und damit A (x) = f (x) Ableitung von A ist f. Mit anderen Worten: Ist f stetig, so ist die Flächeninhaltsfunktion A eine Stammfunktion von f.

13 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsberechnung Damit kann man die Inhalte von Flächen, die von Kurven begrenzt sind, berechnen, falls man die Stammfunktion ermitteln kann: Sei F (x) eine Stammfunktion von f. Dann unterscheiden sich A von oben und F höchstens um eine Konstante c: A(x) = F (x) + c Da Flächeninhalt von a bis a A(a) = 0 ist, folgt: 0 = F (a) + c bzw. c = F (a) Die gesuchte Fläche A(b) ist daher gleich A(b) = F (b) + c = F (b) F (a). Für die Berechnung der Fläche muss man lediglich irgendeine Stammfunktion von f kennen und die Dierenz der Werte an den Stellen a und b kennen. Schreibweise für die Dierenz: F (x) b = F (b) F (a) x=a

14 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsberechnung Mit dieser Bezeichnung können wir die Flächenberechnung für stetige Funktionen f in der Form schreiben: b a f (x)dx = F (x) b = F (b) F (a) x=a wobei F eine Stammfunktion von f ist. Hauptsatz der Dierenzial- und Integralrechnung D. h. die Berechnung des bestimmten Integrals erfolgt durch Stammfunktion an der oberen Grenze minus Stammfunktion an der unteren Grenze.

15 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsberechnung: Beispiel Erinnerung: das unbestimmte Integral zur Funktion f (x) = 3x 2 ist 3x 2 dx = x 3 + c Irgend eine Stammfunktion: wähle c = 0 bzw. F (x) = x 3 Gesucht: Fläche unter dem Graph von f zwischen 0 und 1: 1 0 3x 2 dx = x 3 1 x=0 = = 1

16 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Flächen unterhalb der x-achse gehen mit negativem Vorzeichen ein. Dies wird bei der Berechnung mit dem Hauptsatz berücksichtigt. Bsp: 1 ( ) 0 3x 2 dx = x 3 1 = ( ) = 1 x=0 Falls Integral einer Funktion über ein Intervall gleich 0: Flächen oberhalb und unterhalb der x-achse sind gleich groÿ und heben sich gegeneinander weg.

17 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Es muss nicht gelten a < b (d. h. untere Integrationsgrenze kleiner obere). Bestimmte Integrale sind mit beliebigen Grenzen berechenbar und es gilt folgende Rechenregel: a b f (x)dx = b a f (x)dx Vertauschen der Grenzen ändert das Vorzeichen. f muss nicht notwendiger Weise stetig sein. Ist f stückweise stetig, so wird jedes Intervall, in dem sie stetig ist, für sich betrachtet. Danach wird die Summe dieser Einzelintegrale addiert. (Skizze: Integrale von a bis b und von b bis c getrennt berechnen und addieren).

18 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Flächenberechnung: Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen, die sich in x = a und x = b schneiden: Dierenz von bestimmten Graphen: Dies gilt auch, falls die Flächen zum Teil in der oberen und zum Teil in der unteren Halbebene liegt.

19 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Später sehen wir: die Integrationsgrenzen können unter gewissen Voraussetzungen durch oder ersetzt werden, und an einer (endlichen) Integrationsgrenze darf f u. U. auch eine Unendlichkeitsstelle besitzen. Damit können die Inhalte von Flächen berechnet werden, die bis ins Unendliche reichen, so genannte uneigentliche Integrale.

20 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Symbole und dx: Schreibweise von Gottfried Wilhelm von Leibniz: Der hat sich die Fläche unter einem Funktionsgraphen als aus unendlich vielen, unendlich dünnen nebeneinander stehenden Rechtecken zusammengesetzt gedacht, jedes ähnlich dem schmalen Streifen, den wir oben betrachtet haben. Wird ɛ = dx gesetzt und als unendlich kleine (ïnnitesimale") Gröÿe, als "Dierential", aufgefasst, so stellt sich der Flächeninhalt als Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Rechtecksächen f (x)dx dar. Integralzeichen, als langgestrecktes S, steht für diese Summe. Sie erstreckt sich in gewisser Weise über alle x, beginnend bei a und endend bei b, was oberhalb und unterhalb des Integralzeichens vermerkt wird. In dieser Interpretation ist die Gröÿe f (x)dx tatsächlich ein Produkt.

21 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Beispiele: Bestimmte Integrale Plappert S x 2 dx 1 0 ex dx 2 1 x dx = 0 1 xdx xdx =

22 Grundintegrale Regeln Substitution Grundintegrale Integrationstabelle = Integrationstafeln = Auistung von Integralen

23 Grundintegrale Regeln Substitution Integral eines Vielfachen: b a cf (x)dx = c b a f (x)dx Eine Konstanten darf aus dem Integral herausgezogen werden. Integral einer Summe: b b b (f (x) + g(x)) dx = f (x)dx + g(x)dx a a a Eine Summe von bestimmten Integralen mit denselben Integrationsgrenzen kann zu einem Integral zusammengezogen werden. Diese Eigenschaften besagen, dass Integrieren eine lineare Operation ist (Linearität).

24 Grundintegrale Regeln Substitution Integration über angrenzende Intervalle: b c c f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx a b a Intervalle können vereinigt werden. Lineare Transformation des Arguments: Ist F (x) eine Stammfunktion von f (x), so ist F (x + b) eine Stammfunktion von f (x + b) und 1 F (ax) eine Stammfunktion von f (ax). 1 a F (ax + b) eine Stammfunktion von f (ax + b). a Beispiele: sin(x + a) = cos(x + a) e kx = 1 k ekx

25 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch lineare Substitution Herleitung der letzten Formel: Integral einer Funktion f (ax + b) Substitution: Ersetze u = ax + b Dann: Damit gilt: f (ax + b)dx = du dx = a dx = du a = 1 a du f (u) du a = 1 a f (u)du = 1 a F (u) u=ax+b = 1 F (ax + b) a Beispiel: cos(2x + 5) = 1 sin(2x + 5) 2 Kontrolle: [ 1 sin(2x + 5)] 2 = cos(2x + 5)

26 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch nichtlineare Substitution Manchmal sinnvoll: beim Berechnen eines Integrals die Variable als Funktion einer anderen Gröÿe aufzufassen: x = x(u). Dies soll umkehrbar sein, also gilt auch u = u(x). Ableitung: [f (x)] x=x(u) = [f (x(u))] Kettenregel = f (x(u))x (u) Der letzte Ausdruck ist eine Funktion in u. Dann gilt: f (x)dx = f (x(u))x (u)du Dadurch entsteht ein neuer Integrand, für den die Berechnung leichter sein kann (obwohl er auf den ersten Blick komplizierter aussieht).

27 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch nichtlineare Substitution Beispiel: f (x) = 4x sin(x 2 ) Gesucht: f (x)dx. Substitution: u = x 2 x = x(u) = u Berechne damit: x (u) = dx = 1 du 2 dx = 1 u 2 du u Ins Integral einsetzen/ersetzen: x 2 u x u dx 1 2 u 4x sin(x 2 )dx = 4 u sin u 1 2 u du = 2 sin u du = 2 cos u Wichtig! Rücksubstitution nicht vergessen: u = x 2 4x sin(x 2 )dx x2 =u = 2 cos u u=x2 = 2 cos(x 2 )

28 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch nichtlineare Substitution Umwandeln der Grenzen: Wie bei linearer Transformation entweder Rücksubstitution und mit den ursprünglichen Grenzen rechnen oder man substituiert auch die Grenzen und rechnen mit den umgewandelten Grenzen. Für bestimmte Integrale gilt x2 u2 f (x)dx = f (x(u))x (u)du x 1 u 1 wobei die Grenzen x 1 und u 1 (bzw. x 2 und u 2 ) einander entsprechende Werte sind. D.h. Umwandlung der Grenzen u 1 = u(x 1 ) x 1 = x(u 1 ) u 2 = u(x 2 ) x 2 = x(u 2 )

29 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch nichtlineare Substitution Beispiel Gesucht: π 0 Substitution: 4x sin(x 2 ) dx x 2 = u x = 0 u = 0 x = u x = π u = π dx = 1 2 u Mit transformierten Grenzen π π 4x sin(x 2 ) dx = 2 sin(u) du = [ 2 cos u] π u=0 0 = 2(cos π cos 0) = 2( 1 1) = 2 ( 2) = 4 Ohne Transformation der Grenzen, aber mit Rücksubstitution bei der Bestimmung des unbestimmten Integrals: π 4x sin(x 2 ) dx = [ 2 cos(x 2 ) ] π = 2(cos π cos 0) = x=0

30 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen sind bestimmte Integrale, bei denen entweder 1. (mindestens) eine Integrationsgrenze und/oder 2. der Integrand unendlich wird. Dies bedeutet, man integriert entweder über 1. unendliche Intervalle oder 2. unbeschränkte Funktionen In beiden Fällen reicht die Fläche unter dem Graphen ins Unendliche.

31 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unendliche Intervalle Gesucht: Fläche zwischen dem Graphen der Funktion y = 1 x 2 und der x-achse für x 1, also das Integral über das Intervall [1, ) Berechne zunächst die Fläche über [1, b] für b > 1: 1 b 1 [ 1 x dx = 1 ] b = x x=1 b Für b existiert der Grenzwert. Wir setzen 1 b ( 1 dx lim dx = lim 1 1 ) = 1 x 2 b 1 x 2 b b

32 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unendliche Intervalle Allgemein: Falls die Grenzwerte existieren, gilt a b b f (x) dx = lim b f (x) dx = lim a a b a f (x) dx f (x) dx Wenn ein solcher Grenzwert nicht existiert, nennen wir das Integral divergent, ansonsten konvergent.

33 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unendliche Intervalle Beispiele Berechnen Sie: 0 [ ] 0 e x dx = lim e x = lim (1 a x=a a ea ) = x 2 dx = 1 x dx = 1 1 [ x 2 dx = lim 1 ] b ( = lim 1 1 ) = 1 b x x=1 b b [ x 1 dx = lim ln x b ] b x=1 = lim (ln b 0) = b 1 1 x dx = 1 [ x 1 2 dx = lim 2 ] b ( x = lim 2 ) b 2 = b x=1 b

34 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unbeschränkte Funktionen Gesucht: Fläche zwischen dem Graphen der Funktion y = 1 x = x 1 2 und der x-achse über das Intervall [0, 1]. Problem: Polstelle/Unendlichkeitsstelle bei x = 0 Berechne zunächst die Fläche über [δ, 1] für 0 < δ < 1: 1 δ 1 [ dx = 2 ] 1 x = 2 2 δ 2 für δ 0, δ > 0 x x=δ Für δ Unendlichkeitsstelle existiert der Grenzwert. Wir setzen 1 1 dx = x 0 1 lim δ 0,δ>0 δ 1 x dx = 2

35 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unbeschränkte Funktionen Wenn f (x) oder f (x) für x a, x > a: b a b f (x) dx = lim f (x) dx δ 0,δ>0 a+δ Wenn f (x) oder f (x) für x b, x < b: b a b δ f (x) dx = lim f (x) dx δ 0,δ>0 a falls die Grenzwerte existieren. Wenn ein solcher Grenzwert nicht existiert, nennen wir das Integral divergent, ansonsten konvergent.

36 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unbeschränkte Funktionen Beispiele Berechnen Sie: 1 δ 1 δ 1 δ 1 x 2 dx = 1 x dx = 1 x dx = 1 δ x 2 dx = für δ 0, δ > 0 1 δ x 1 dx = für δ 0, δ > 0 1 δ x 1 2 dx = [2 ] 1 x 2 für δ 0, δ > 0 [ 1 ] 1 ( ) 1 = x x=δ δ 1 [ ] 1 ln x = (0 ln δ) x=δ x=δ = ( 2 2 ) δ

37 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Beispiele Vergleich der uneigentlichen Integrale von 1 x 2, 1 x und 1 x : Jede Potenzfunktion x p, p > 0 lässt sich in ein endliches und ein unendliches Flächenstück zerlegen (auÿer für p = 1). p > 1 analog x 2, p < 1 analog x 1 2.

38 Idee Numerische Integration Bisher haben wir vorausgesetzt, dass die Funktion stetig ist. Dann: Flächeninhaltsproblem für stetige Funktionen mit Hilfe des Hauptsatzes der Dierential- und Integralrechnung gelöst: Man suche eine Stammfunktion (die immer existiert) und berechnet damit den (orientierten) Flächeninhalt. Gibt es andere Funktionen, für die die Idee des Flächeninhalts unter dem Graphen einen Sinn macht? Bzw. gibt es eine allgemeinere Denition für den Flächeninhalt, die auch auf nicht stetige Funktionen angewandt werden kann?

39 Idee Numerische Integration Idee: wickle eine gegebene Funktion von unten und oben durch so genannte Treppenfunktionen ein. Mit Hilfe deren Integrale (= Flächeninhalte), der Untersummen und Obersummen, wird deniert, wann eine Funktion integrierbar ist. Für stetige Funktionen lässt sich damit das bestimmte Integral so, wie man es intuitiv auch erwartet sehr leicht als Grenzwert einer Folge von Rechtecksächen darstellen. (vgl. Bezeichnung f (x)dx als Summe über Rechtecke mit Seitenlängen f (x) und dx). Daraus ergeben sich Möglichkeiten zur numerischen Approximation bestimmter Integrale.

40 Idee Numerische Integration Gegeben: eine reelle Funktion, die auf dem Intervall [a, b] deniert ist. Wir approximieren die gesuchte Fläche durch Rechtecke und zwar auf zwei Arten: Rechtecke, die komplett unterhalb des Funktionsgraphen liegen Rechtecke, die komplett oberhalb des Funktionsgraphen liegen Die entsprechenden Flächeninhalte nennen wir Untersummen bzw. Obersummen

41 Idee Numerische Integration Zerlege das Intervall [a, b] in n Teilintervalle. Für die Obersummen bestimmt jeweils der gröÿte Funktionswert in dem Teilintervall die Höhe des Rechtecks. Für die Untersummen entsprechend der kleinste Funktionswert im Teilintervall. Streben bei einer Verfeinerung der Unterteilung die Folge der Obersummen {O n } und die Folge der Untersummen {U n } gegen einen gemeinsamen Grenzwert, so ist dieser Grenzwert der gesuchte Flächeninhalt F (und damit das bestimmte Integral von der Funktion über dem Intervall [a, b]. Dies muss bei beliebiger Verfeinerung gelten.

42 Idee Numerische Integration Dies ist gleichbedeutend damit, dass sich Ober- und Untersumme immer mehr annähern bzw. dass die Dierenz zwischen Ober- und Untersumme gegen Null strebt. Der Inhalt der grauen Fläche muss durch geeignete Wahl von Zerlegungen beliebig klein werden.

43 Idee Numerische Integration Numerische Berechnung von Integralen Idee Zerlege das Intervall [a, b] durch die Stellen a = x 0, x 1, x 2,..., x n 1, x n = b in n gleich groÿe Teile. Breite der Intervalle: b a n Als Höhe der Rechtecke wählt man z. B. immer den Funktionswert am rechten Rand: (oder am linken oder in der Mitte... ) Für genügend groÿes n kann man das Integral einfach approximieren durch b a n n j=1 f (x j )

44 Volumen von Rotationskörpern Rotationskörper: Paraboloid Rotation der Funktion y = x um die x-achse

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