Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen"

Transkript

1 Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Integralrechnung

2 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral als Umkehrung der Ableitung Idee: kehre den Prozess des Dierenzierens um. f sei eine reelle Funktion und F eine Funktion, deren Ableitung f ist, d.h. F (x) = f (x) für alle x D f Dann nennen wir F eine Stammfunktion von f. Beispiel: F (x) = x 3 ist eine Stammfunktion von f (x) = 3x 2, denn ( x 3) = 3x 2. Beachte: G(x) = x ist ebenfalls Stammfunktion von f (x) = 3x 2, denn ( x ) = 3x 2. Das Beispiel zeigt: Stammfunktion ist nicht eindeutig eine Funktion kann mehrere Stammfunktionen haben.

3 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Stammfunktion (unbestimmtes Integral) Aus der Existenz einer Stammfunktion folgt, dass eine Funktion mehrere Stammfunktionen hat, und es gilt: Ist F eine Stammfunktion von f, so ist jede Stammfunktion von f von der Form F (x) + c, wobei c eine Konstante ( IR) ist. Wir bezeichnen die Menge aller Stammfunktionen als unbestimmtes Integral und verwenden für sie die Schreibweise f (x)dx (gesprochen: Integral von f (x) oder Integral f (x)dx).

4 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Stammfunktion (unbestimmtes Integral) Unbestimmtes Integral: Beispiel: 3x 2 dx = x 3 + c. f (x)dx = F (x) + c Der Zusatz + c soll anzeigen, dass die Stammfunktion nur bis auf eine (beliebige) Konstante (die so genannte Integrationskonstante) eindeutig ist. Er wird manchmal der Einfachheit halber weggelassen. Eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion zu nden, heiÿt integrieren. Der Ausdruck zwischen Integralzeichen und dem Symbol dx heiÿt Integrand (zu integrierende Funktion).

5 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral-/Ableitungstabellen Wir lernen später einige Regeln zum Integrieren kennen. Hier vorab die wichtigste Methode: Benutzen Sie alles, was sie über Ableitungsregeln und Ableitungen spezieller Funktionen wissen. Stammfunktionen können oft erraten werden. Falls eine Tabelle von Ableitungen zur Verfügung steht, kann hieraus auch eine Stammfunktion abgelesen werden: Funktion Ableitung cx c cos x sin x ln x 1/x Die einzelnen Zeilen können von rechts nach links gelesen werden: Ist f die Ableitung von F, so ist F eine Stammfunktion von f.

6 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral-/Ableitungstabellen ( Bsp: Gesucht Stammfunktion von x + 3 sin x x 2) ( = 2x x 2 /2 ) = x (cos x) = sin x ( 3 cos x) = 3 sin x Zusammensetzen: ( x 2 /2 3 cos x ) = x + 3 sin x Damit: (x + 3 sin x)dx = x 2 /2 3 cos x + c In Formelsammlungen gibt es auch spezielle Integraltabellen mit Stammfunktionen zu einigen grundlegenden Funktionen.

7 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Beispiele: Einige Stammfunktionen Plappert S. 134 f (x) = x f (x) = x k f (x) = e x f (x) = cos(x) f (x) = sin(x)

8 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsproblem: Gegeben: reelle Funktion f. Bestimme den Inhalt der Fläche unter ihrem Graphen im Intervall a x b. Sprech-/Schreibweise: der Inhalt der Fläche unter dem Graphen einer Funktion f zwischen den Stellen a und b heiÿt bestimmtes Integral und wir schreiben: b a f (x)dx Sprechweise: Integral f (x)dx von a bis b oder Integral über f (x) von a bis b.

9 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bezeichnungen: im Ausdruck b a a: untere Integrationsgrenze b: obere Integrationsgrenze x: Integrationsvariable f (x)dx heiÿt f (x): Integrand Integrationsvariable kann beliebig umbenannt werden und hat auÿerhalb des Integrals keine Bedeutung. Also: b a f (x)dx = b a f (t)dt = b a f (y)dy Flächeninhalt und Stammfunktion haben ähnliche Schreibweisen. Zufall?

10 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsfunktion Ist f stetig, so ist der Flächeninhalt unter dem Graphen von f eng mit der Stammfunktion von f verwandt. Dazu denieren wir eine Funktion A, deren Werte Flächeninhalte sind. A(x) sei die Fläche unter dem Graphen von f zwischen einer (festgehaltenen) Untergrenze a und einer (variablen) Obergrenze x im Interfall [a, b], d.h. das bestimmte Integral über f in den Grenzen von a bis x. A kann man Flächeninhaltsfunktion nennen. Fläche zwischen a und b (best. Integral): Funktionswert A(b).

11 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsfunktion Jetzt: Wie verhält sich A(x) bei einer kleinen Änderung von x? Wir ändern x auf x + ɛ. Der Funktionswert ändert sich von A(x) auf A(x + ɛ). Dierenz: A(x + ɛ) A(x): Flächeninhalt des Streifens zwischen x und x + ɛ. f ist stetig (d.h. Funktionswerte machen keine Sprünge) und ɛ sehr klein. Wir können daher den Flächeninhalt des Streifens durch Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen ɛ und f (x) approximieren.

12 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsfunktion Approx.: Flächeninhalt Streifen Flächeninhalt Rechteck A(x + ɛ) A(x) ɛ f (x) für kleine ɛ Dividiere beide Seiten durch ɛ und bilde Grenzwert für ɛ 0 A(x + ɛ) A(x) lim = f (x) ɛ 0 ɛ Damit ist die Ungenauigkeit der Approximation verschwunden. Linke Seite: Ableitung von A(x) (Grenzwert des Dierenzenquotienten) und damit A (x) = f (x) Ableitung von A ist f. Mit anderen Worten: Ist f stetig, so ist die Flächeninhaltsfunktion A eine Stammfunktion von f.

13 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsberechnung Damit kann man die Inhalte von Flächen, die von Kurven begrenzt sind, berechnen, falls man die Stammfunktion ermitteln kann: Sei F (x) eine Stammfunktion von f. Dann unterscheiden sich A von oben und F höchstens um eine Konstante c: A(x) = F (x) + c Da Flächeninhalt von a bis a A(a) = 0 ist, folgt: 0 = F (a) + c bzw. c = F (a) Die gesuchte Fläche A(b) ist daher gleich A(b) = F (b) + c = F (b) F (a). Für die Berechnung der Fläche muss man lediglich irgendeine Stammfunktion von f kennen und die Dierenz der Werte an den Stellen a und b kennen. Schreibweise für die Dierenz: F (x) b = F (b) F (a) x=a

14 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsberechnung Mit dieser Bezeichnung können wir die Flächenberechnung für stetige Funktionen f in der Form schreiben: b a f (x)dx = F (x) b = F (b) F (a) x=a wobei F eine Stammfunktion von f ist. Hauptsatz der Dierenzial- und Integralrechnung D. h. die Berechnung des bestimmten Integrals erfolgt durch Stammfunktion an der oberen Grenze minus Stammfunktion an der unteren Grenze.

15 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsberechnung: Beispiel Erinnerung: das unbestimmte Integral zur Funktion f (x) = 3x 2 ist 3x 2 dx = x 3 + c Irgend eine Stammfunktion: wähle c = 0 bzw. F (x) = x 3 Gesucht: Fläche unter dem Graph von f zwischen 0 und 1: 1 0 3x 2 dx = x 3 1 x=0 = = 1

16 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Flächen unterhalb der x-achse gehen mit negativem Vorzeichen ein. Dies wird bei der Berechnung mit dem Hauptsatz berücksichtigt. Bsp: 1 ( ) 0 3x 2 dx = x 3 1 = ( ) = 1 x=0 Falls Integral einer Funktion über ein Intervall gleich 0: Flächen oberhalb und unterhalb der x-achse sind gleich groÿ und heben sich gegeneinander weg.

17 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Es muss nicht gelten a < b (d. h. untere Integrationsgrenze kleiner obere). Bestimmte Integrale sind mit beliebigen Grenzen berechenbar und es gilt folgende Rechenregel: a b f (x)dx = b a f (x)dx Vertauschen der Grenzen ändert das Vorzeichen. f muss nicht notwendiger Weise stetig sein. Ist f stückweise stetig, so wird jedes Intervall, in dem sie stetig ist, für sich betrachtet. Danach wird die Summe dieser Einzelintegrale addiert. (Skizze: Integrale von a bis b und von b bis c getrennt berechnen und addieren).

18 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Flächenberechnung: Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen, die sich in x = a und x = b schneiden: Dierenz von bestimmten Graphen: Dies gilt auch, falls die Flächen zum Teil in der oberen und zum Teil in der unteren Halbebene liegt.

19 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Später sehen wir: die Integrationsgrenzen können unter gewissen Voraussetzungen durch oder ersetzt werden, und an einer (endlichen) Integrationsgrenze darf f u. U. auch eine Unendlichkeitsstelle besitzen. Damit können die Inhalte von Flächen berechnet werden, die bis ins Unendliche reichen, so genannte uneigentliche Integrale.

20 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Symbole und dx: Schreibweise von Gottfried Wilhelm von Leibniz: Der hat sich die Fläche unter einem Funktionsgraphen als aus unendlich vielen, unendlich dünnen nebeneinander stehenden Rechtecken zusammengesetzt gedacht, jedes ähnlich dem schmalen Streifen, den wir oben betrachtet haben. Wird ɛ = dx gesetzt und als unendlich kleine (ïnnitesimale") Gröÿe, als "Dierential", aufgefasst, so stellt sich der Flächeninhalt als Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Rechtecksächen f (x)dx dar. Integralzeichen, als langgestrecktes S, steht für diese Summe. Sie erstreckt sich in gewisser Weise über alle x, beginnend bei a und endend bei b, was oberhalb und unterhalb des Integralzeichens vermerkt wird. In dieser Interpretation ist die Gröÿe f (x)dx tatsächlich ein Produkt.

21 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Beispiele: Bestimmte Integrale Plappert S x 2 dx 1 0 ex dx 2 1 x dx = 0 1 xdx xdx =

22 Grundintegrale Regeln Substitution Grundintegrale Integrationstabelle = Integrationstafeln = Auistung von Integralen

23 Grundintegrale Regeln Substitution Integral eines Vielfachen: b a cf (x)dx = c b a f (x)dx Eine Konstanten darf aus dem Integral herausgezogen werden. Integral einer Summe: b b b (f (x) + g(x)) dx = f (x)dx + g(x)dx a a a Eine Summe von bestimmten Integralen mit denselben Integrationsgrenzen kann zu einem Integral zusammengezogen werden. Diese Eigenschaften besagen, dass Integrieren eine lineare Operation ist (Linearität).

24 Grundintegrale Regeln Substitution Integration über angrenzende Intervalle: b c c f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx a b a Intervalle können vereinigt werden. Lineare Transformation des Arguments: Ist F (x) eine Stammfunktion von f (x), so ist F (x + b) eine Stammfunktion von f (x + b) und 1 F (ax) eine Stammfunktion von f (ax). 1 a F (ax + b) eine Stammfunktion von f (ax + b). a Beispiele: sin(x + a) = cos(x + a) e kx = 1 k ekx

25 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch lineare Substitution Herleitung der letzten Formel: Integral einer Funktion f (ax + b) Substitution: Ersetze u = ax + b Dann: Damit gilt: f (ax + b)dx = du dx = a dx = du a = 1 a du f (u) du a = 1 a f (u)du = 1 a F (u) u=ax+b = 1 F (ax + b) a Beispiel: cos(2x + 5) = 1 sin(2x + 5) 2 Kontrolle: [ 1 sin(2x + 5)] 2 = cos(2x + 5)

26 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch nichtlineare Substitution Manchmal sinnvoll: beim Berechnen eines Integrals die Variable als Funktion einer anderen Gröÿe aufzufassen: x = x(u). Dies soll umkehrbar sein, also gilt auch u = u(x). Ableitung: [f (x)] x=x(u) = [f (x(u))] Kettenregel = f (x(u))x (u) Der letzte Ausdruck ist eine Funktion in u. Dann gilt: f (x)dx = f (x(u))x (u)du Dadurch entsteht ein neuer Integrand, für den die Berechnung leichter sein kann (obwohl er auf den ersten Blick komplizierter aussieht).

27 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch nichtlineare Substitution Beispiel: f (x) = 4x sin(x 2 ) Gesucht: f (x)dx. Substitution: u = x 2 x = x(u) = u Berechne damit: x (u) = dx = 1 du 2 dx = 1 u 2 du u Ins Integral einsetzen/ersetzen: x 2 u x u dx 1 2 u 4x sin(x 2 )dx = 4 u sin u 1 2 u du = 2 sin u du = 2 cos u Wichtig! Rücksubstitution nicht vergessen: u = x 2 4x sin(x 2 )dx x2 =u = 2 cos u u=x2 = 2 cos(x 2 )

28 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch nichtlineare Substitution Umwandeln der Grenzen: Wie bei linearer Transformation entweder Rücksubstitution und mit den ursprünglichen Grenzen rechnen oder man substituiert auch die Grenzen und rechnen mit den umgewandelten Grenzen. Für bestimmte Integrale gilt x2 u2 f (x)dx = f (x(u))x (u)du x 1 u 1 wobei die Grenzen x 1 und u 1 (bzw. x 2 und u 2 ) einander entsprechende Werte sind. D.h. Umwandlung der Grenzen u 1 = u(x 1 ) x 1 = x(u 1 ) u 2 = u(x 2 ) x 2 = x(u 2 )

29 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch nichtlineare Substitution Beispiel Gesucht: π 0 Substitution: 4x sin(x 2 ) dx x 2 = u x = 0 u = 0 x = u x = π u = π dx = 1 2 u Mit transformierten Grenzen π π 4x sin(x 2 ) dx = 2 sin(u) du = [ 2 cos u] π u=0 0 = 2(cos π cos 0) = 2( 1 1) = 2 ( 2) = 4 Ohne Transformation der Grenzen, aber mit Rücksubstitution bei der Bestimmung des unbestimmten Integrals: π 4x sin(x 2 ) dx = [ 2 cos(x 2 ) ] π = 2(cos π cos 0) = x=0

30 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen sind bestimmte Integrale, bei denen entweder 1. (mindestens) eine Integrationsgrenze und/oder 2. der Integrand unendlich wird. Dies bedeutet, man integriert entweder über 1. unendliche Intervalle oder 2. unbeschränkte Funktionen In beiden Fällen reicht die Fläche unter dem Graphen ins Unendliche.

31 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unendliche Intervalle Gesucht: Fläche zwischen dem Graphen der Funktion y = 1 x 2 und der x-achse für x 1, also das Integral über das Intervall [1, ) Berechne zunächst die Fläche über [1, b] für b > 1: 1 b 1 [ 1 x dx = 1 ] b = x x=1 b Für b existiert der Grenzwert. Wir setzen 1 b ( 1 dx lim dx = lim 1 1 ) = 1 x 2 b 1 x 2 b b

32 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unendliche Intervalle Allgemein: Falls die Grenzwerte existieren, gilt a b b f (x) dx = lim b f (x) dx = lim a a b a f (x) dx f (x) dx Wenn ein solcher Grenzwert nicht existiert, nennen wir das Integral divergent, ansonsten konvergent.

33 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unendliche Intervalle Beispiele Berechnen Sie: 0 [ ] 0 e x dx = lim e x = lim (1 a x=a a ea ) = x 2 dx = 1 x dx = 1 1 [ x 2 dx = lim 1 ] b ( = lim 1 1 ) = 1 b x x=1 b b [ x 1 dx = lim ln x b ] b x=1 = lim (ln b 0) = b 1 1 x dx = 1 [ x 1 2 dx = lim 2 ] b ( x = lim 2 ) b 2 = b x=1 b

34 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unbeschränkte Funktionen Gesucht: Fläche zwischen dem Graphen der Funktion y = 1 x = x 1 2 und der x-achse über das Intervall [0, 1]. Problem: Polstelle/Unendlichkeitsstelle bei x = 0 Berechne zunächst die Fläche über [δ, 1] für 0 < δ < 1: 1 δ 1 [ dx = 2 ] 1 x = 2 2 δ 2 für δ 0, δ > 0 x x=δ Für δ Unendlichkeitsstelle existiert der Grenzwert. Wir setzen 1 1 dx = x 0 1 lim δ 0,δ>0 δ 1 x dx = 2

35 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unbeschränkte Funktionen Wenn f (x) oder f (x) für x a, x > a: b a b f (x) dx = lim f (x) dx δ 0,δ>0 a+δ Wenn f (x) oder f (x) für x b, x < b: b a b δ f (x) dx = lim f (x) dx δ 0,δ>0 a falls die Grenzwerte existieren. Wenn ein solcher Grenzwert nicht existiert, nennen wir das Integral divergent, ansonsten konvergent.

36 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unbeschränkte Funktionen Beispiele Berechnen Sie: 1 δ 1 δ 1 δ 1 x 2 dx = 1 x dx = 1 x dx = 1 δ x 2 dx = für δ 0, δ > 0 1 δ x 1 dx = für δ 0, δ > 0 1 δ x 1 2 dx = [2 ] 1 x 2 für δ 0, δ > 0 [ 1 ] 1 ( ) 1 = x x=δ δ 1 [ ] 1 ln x = (0 ln δ) x=δ x=δ = ( 2 2 ) δ

37 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Beispiele Vergleich der uneigentlichen Integrale von 1 x 2, 1 x und 1 x : Jede Potenzfunktion x p, p > 0 lässt sich in ein endliches und ein unendliches Flächenstück zerlegen (auÿer für p = 1). p > 1 analog x 2, p < 1 analog x 1 2.

38 Idee Numerische Integration Bisher haben wir vorausgesetzt, dass die Funktion stetig ist. Dann: Flächeninhaltsproblem für stetige Funktionen mit Hilfe des Hauptsatzes der Dierential- und Integralrechnung gelöst: Man suche eine Stammfunktion (die immer existiert) und berechnet damit den (orientierten) Flächeninhalt. Gibt es andere Funktionen, für die die Idee des Flächeninhalts unter dem Graphen einen Sinn macht? Bzw. gibt es eine allgemeinere Denition für den Flächeninhalt, die auch auf nicht stetige Funktionen angewandt werden kann?

39 Idee Numerische Integration Idee: wickle eine gegebene Funktion von unten und oben durch so genannte Treppenfunktionen ein. Mit Hilfe deren Integrale (= Flächeninhalte), der Untersummen und Obersummen, wird deniert, wann eine Funktion integrierbar ist. Für stetige Funktionen lässt sich damit das bestimmte Integral so, wie man es intuitiv auch erwartet sehr leicht als Grenzwert einer Folge von Rechtecksächen darstellen. (vgl. Bezeichnung f (x)dx als Summe über Rechtecke mit Seitenlängen f (x) und dx). Daraus ergeben sich Möglichkeiten zur numerischen Approximation bestimmter Integrale.

40 Idee Numerische Integration Gegeben: eine reelle Funktion, die auf dem Intervall [a, b] deniert ist. Wir approximieren die gesuchte Fläche durch Rechtecke und zwar auf zwei Arten: Rechtecke, die komplett unterhalb des Funktionsgraphen liegen Rechtecke, die komplett oberhalb des Funktionsgraphen liegen Die entsprechenden Flächeninhalte nennen wir Untersummen bzw. Obersummen

41 Idee Numerische Integration Zerlege das Intervall [a, b] in n Teilintervalle. Für die Obersummen bestimmt jeweils der gröÿte Funktionswert in dem Teilintervall die Höhe des Rechtecks. Für die Untersummen entsprechend der kleinste Funktionswert im Teilintervall. Streben bei einer Verfeinerung der Unterteilung die Folge der Obersummen {O n } und die Folge der Untersummen {U n } gegen einen gemeinsamen Grenzwert, so ist dieser Grenzwert der gesuchte Flächeninhalt F (und damit das bestimmte Integral von der Funktion über dem Intervall [a, b]. Dies muss bei beliebiger Verfeinerung gelten.

42 Idee Numerische Integration Dies ist gleichbedeutend damit, dass sich Ober- und Untersumme immer mehr annähern bzw. dass die Dierenz zwischen Ober- und Untersumme gegen Null strebt. Der Inhalt der grauen Fläche muss durch geeignete Wahl von Zerlegungen beliebig klein werden.

43 Idee Numerische Integration Numerische Berechnung von Integralen Idee Zerlege das Intervall [a, b] durch die Stellen a = x 0, x 1, x 2,..., x n 1, x n = b in n gleich groÿe Teile. Breite der Intervalle: b a n Als Höhe der Rechtecke wählt man z. B. immer den Funktionswert am rechten Rand: (oder am linken oder in der Mitte... ) Für genügend groÿes n kann man das Integral einfach approximieren durch b a n n j=1 f (x j )

44 Volumen von Rotationskörpern Rotationskörper: Paraboloid Rotation der Funktion y = x um die x-achse

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung

Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph

Mehr

Das Mathematik-Abitur im Saarland

Das Mathematik-Abitur im Saarland Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Approximation durch Taylorpolynome

Approximation durch Taylorpolynome TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 11

Ü b u n g s b l a t t 11 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6

Mehr

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend

Mehr

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.) Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen

Mehr

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der

Mehr

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018

Mathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 2. Juli 2018 1/1 Wir geben einige wesentliche Sätze über bestimmte Integrale an, deren Beweise man in den Standardlehrbüchern der Analysis findet.

Mehr

Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer

Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer Allgemein: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren ist ein häufig benutztes Verschlüsselungsverfahren, weil es sehr sicher ist. Es gehört zu der Klasse der

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden

Mehr

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler

Mehr

Einführung in die Integralrechnung. Mag. Mone Denninger 13. November 2005

Einführung in die Integralrechnung. Mag. Mone Denninger 13. November 2005 Einführung in die Integralrechnung Mag. Mone Denninger. November 5 INHALTSVERZEICHNIS 8. Klasse Inhaltsverzeichnis Einleitung Berechnung einfacher Stammfunktionen. Integrationsregeln.........................

Mehr

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775, Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen

Mehr

Rationale Zahlen. Weniger als Nichts? Ist Null nichts?

Rationale Zahlen. Weniger als Nichts? Ist Null nichts? Rationale Zahlen Weniger als Nichts? Ist Null nichts? Oft kann es sinnvoll sein, Werte anzugeben die kleiner sind als Null. Solche Werte werden mit negativen Zahlen beschrieben, die durch ein Minus als

Mehr

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I Bayern FOS BOS Fachabiturprüfung 05 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I.0 Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f ' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz 0 definierten

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen. Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems

Mehr

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) 6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde

Mehr

Zahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009)

Zahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009) Zahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009) Probleme unseres Alltags E-Mails lesen: Niemand außer mir soll meine Mails lesen! Geld abheben mit der EC-Karte: Niemand außer mir soll

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat.

Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat. Die k/2 - Formel von Renate Vistorin Zentrales Thema dieses Vortrages ist die k/2 - Formel für meromorphe Modulformen als eine Konsequenz des Residuensatzes. Als Folgerungen werden danach einige Eigenschaften

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Plotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 )

Plotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 ) Plotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 ) Ac Eine auf dem Bildschirm darzustellende Linie sieht treppenförmig aus, weil der Computer Linien aus einzelnen (meist quadratischen) Bildpunkten, Pixels

Mehr

Info zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit

Info zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit Da es oft Nachfragen und Verständnisprobleme mit den oben genannten Begriffen gibt, möchten wir hier versuchen etwas Licht ins Dunkel zu bringen. Nehmen wir mal an, Sie haben ein Stück Wasserrohr mit der

Mehr

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit?

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Grexit sind eigentlich 2 Wörter. 1. Griechenland 2. Exit Exit ist ein englisches Wort. Es bedeutet: Ausgang. Aber was haben diese 2 Sachen mit-einander zu tun?

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45.

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 8.6.4, 5.45 7.45. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. b) Lösungswege und Begründungen sind anzugeben. Die

Mehr

Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand

Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Vorüberlegung In einem seriellen Stromkreis addieren sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung Bei einer Gesamtspannung U ges, der

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Mag. Christian Gürtler Programmierung Grundlagen der Informatik 2011 Inhaltsverzeichnis I. Allgemeines 3 1. Zahlensysteme 4 1.1. ganze Zahlen...................................... 4 1.1.1. Umrechnungen.................................

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele

Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Was hat Modellbildung mit der Schule zu tun? Der Bildungsplan 1994 formuliert: "Die schnelle Zunahme des Wissens, die hohe Differenzierung und

Mehr

2 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

2 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 2 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Die Klasse 9 c möchte ihr Klassenzimmer mit Postern ausschmücken. Dafür nimmt sie 30, aus der Klassenkasse. In Klasse 7 wurden lineare Gleichungen mit einer Variablen

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

Darstellungsformen einer Funktion

Darstellungsformen einer Funktion http://www.flickr.com/photos/sigfrid/348144517/ Darstellungsformen einer Funktion 9 Analytische Darstellung: Eplizite Darstellung Funktionen werden nach Möglichkeit eplizit dargestellt, das heißt, die

Mehr

7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen

7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen 7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen In diesem Kapitel sei stets D R, und I R ein Intervall. 7. Das unbestimmte Integral (Stammfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbare

Mehr

3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 176 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an

Mehr

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung In diesem Kapitel... Erkennen, wie Differentialgleichungen erster Ordnung aussehen en für Differentialgleichungen erster Ordnung und ohne -Terme finden Die

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler 1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

Hans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen

Hans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen Hans Walser, [0090509a] Wurzeln aus Matrizen 1 Worum es geht Zu einer gegebenen,-matri A suchen wir,-matrizen B mit der Eigenschaft: BB = B = A. Wir suchen also Quadratwurzeln der Matri A. Quadrieren Wenn

Mehr

Kernfach Mathematik Thema: Analysis

Kernfach Mathematik Thema: Analysis Kernfach Mathemati Bahnlinie Bei A-Stadt endet eine Bahnlinie. In nebenstehender Zeichnung ist ein Koordinatenreuz so gelegt worden, dass A mit dem Ursprung zusammenfällt. Die Bahnlinie verläuft entlang

Mehr

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

Tag der Mathematik 2012

Tag der Mathematik 2012 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mathematische Hürden Aufgaben mit en und Bepunktung Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner

Mehr

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable

Mehr

MATHEMATIK 3 STUNDEN. DATUM: 8. Juni 2009

MATHEMATIK 3 STUNDEN. DATUM: 8. Juni 2009 EUROPÄISCHES ABITUR 2009 MATHEMATIK 3 STUNDEN DATUM: 8. Juni 2009 DAUER DES EXAMENS : 3 Stunden (180 Minuten) ZUGELASSENE HILFSMITTEL : Europäische Formelsammlung Nicht graphischer und nicht programmierbarer

Mehr

Unterlagen für die Lehrkraft

Unterlagen für die Lehrkraft Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 01/01 Mathematik. Juni 01 09:00 Uhr Unterlagen für die Lehrkraft 1. Aufgabe: Differentialrechnung

Mehr

Programmiersprachen und Übersetzer

Programmiersprachen und Übersetzer Programmiersprachen und Übersetzer Sommersemester 2010 19. April 2010 Theoretische Grundlagen Problem Wie kann man eine unendliche Menge von (syntaktisch) korrekten Programmen definieren? Lösung Wie auch

Mehr

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik Abitur 8 II. Insektenpopulation LA/AG In den Tropen legen die Weibchen einer in Deutschland unbekannten Insektenpopulation jedes Jahr kurz vor Beginn der Regenzeit jeweils 9 Eier und sterben bald darauf.

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung

Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung ρ p ( x) + Uδ ( x) = const Damit kann die Druckänderung in Strömungsrichtung auch durch die

Mehr

Sowohl die Malstreifen als auch die Neperschen Streifen können auch in anderen Stellenwertsystemen verwendet werden.

Sowohl die Malstreifen als auch die Neperschen Streifen können auch in anderen Stellenwertsystemen verwendet werden. Multiplikation Die schriftliche Multiplikation ist etwas schwieriger als die Addition. Zum einen setzt sie das kleine Einmaleins voraus, zum anderen sind die Überträge, die zu merken sind und häufig in

Mehr