Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen"

Transkript

1 Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Integralrechnung

2 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral als Umkehrung der Ableitung Idee: kehre den Prozess des Dierenzierens um. f sei eine reelle Funktion und F eine Funktion, deren Ableitung f ist, d.h. F (x) = f (x) für alle x D f Dann nennen wir F eine Stammfunktion von f. Beispiel: F (x) = x 3 ist eine Stammfunktion von f (x) = 3x 2, denn ( x 3) = 3x 2. Beachte: G(x) = x ist ebenfalls Stammfunktion von f (x) = 3x 2, denn ( x ) = 3x 2. Das Beispiel zeigt: Stammfunktion ist nicht eindeutig eine Funktion kann mehrere Stammfunktionen haben.

3 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Stammfunktion (unbestimmtes Integral) Aus der Existenz einer Stammfunktion folgt, dass eine Funktion mehrere Stammfunktionen hat, und es gilt: Ist F eine Stammfunktion von f, so ist jede Stammfunktion von f von der Form F (x) + c, wobei c eine Konstante ( IR) ist. Wir bezeichnen die Menge aller Stammfunktionen als unbestimmtes Integral und verwenden für sie die Schreibweise f (x)dx (gesprochen: Integral von f (x) oder Integral f (x)dx).

4 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Stammfunktion (unbestimmtes Integral) Unbestimmtes Integral: Beispiel: 3x 2 dx = x 3 + c. f (x)dx = F (x) + c Der Zusatz + c soll anzeigen, dass die Stammfunktion nur bis auf eine (beliebige) Konstante (die so genannte Integrationskonstante) eindeutig ist. Er wird manchmal der Einfachheit halber weggelassen. Eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion zu nden, heiÿt integrieren. Der Ausdruck zwischen Integralzeichen und dem Symbol dx heiÿt Integrand (zu integrierende Funktion).

5 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral-/Ableitungstabellen Wir lernen später einige Regeln zum Integrieren kennen. Hier vorab die wichtigste Methode: Benutzen Sie alles, was sie über Ableitungsregeln und Ableitungen spezieller Funktionen wissen. Stammfunktionen können oft erraten werden. Falls eine Tabelle von Ableitungen zur Verfügung steht, kann hieraus auch eine Stammfunktion abgelesen werden: Funktion Ableitung cx c cos x sin x ln x 1/x Die einzelnen Zeilen können von rechts nach links gelesen werden: Ist f die Ableitung von F, so ist F eine Stammfunktion von f.

6 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral-/Ableitungstabellen ( Bsp: Gesucht Stammfunktion von x + 3 sin x x 2) ( = 2x x 2 /2 ) = x (cos x) = sin x ( 3 cos x) = 3 sin x Zusammensetzen: ( x 2 /2 3 cos x ) = x + 3 sin x Damit: (x + 3 sin x)dx = x 2 /2 3 cos x + c In Formelsammlungen gibt es auch spezielle Integraltabellen mit Stammfunktionen zu einigen grundlegenden Funktionen.

7 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Beispiele: Einige Stammfunktionen Plappert S. 134 f (x) = x f (x) = x k f (x) = e x f (x) = cos(x) f (x) = sin(x)

8 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsproblem: Gegeben: reelle Funktion f. Bestimme den Inhalt der Fläche unter ihrem Graphen im Intervall a x b. Sprech-/Schreibweise: der Inhalt der Fläche unter dem Graphen einer Funktion f zwischen den Stellen a und b heiÿt bestimmtes Integral und wir schreiben: b a f (x)dx Sprechweise: Integral f (x)dx von a bis b oder Integral über f (x) von a bis b.

9 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bezeichnungen: im Ausdruck b a a: untere Integrationsgrenze b: obere Integrationsgrenze x: Integrationsvariable f (x)dx heiÿt f (x): Integrand Integrationsvariable kann beliebig umbenannt werden und hat auÿerhalb des Integrals keine Bedeutung. Also: b a f (x)dx = b a f (t)dt = b a f (y)dy Flächeninhalt und Stammfunktion haben ähnliche Schreibweisen. Zufall?

10 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsfunktion Ist f stetig, so ist der Flächeninhalt unter dem Graphen von f eng mit der Stammfunktion von f verwandt. Dazu denieren wir eine Funktion A, deren Werte Flächeninhalte sind. A(x) sei die Fläche unter dem Graphen von f zwischen einer (festgehaltenen) Untergrenze a und einer (variablen) Obergrenze x im Interfall [a, b], d.h. das bestimmte Integral über f in den Grenzen von a bis x. A kann man Flächeninhaltsfunktion nennen. Fläche zwischen a und b (best. Integral): Funktionswert A(b).

11 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsfunktion Jetzt: Wie verhält sich A(x) bei einer kleinen Änderung von x? Wir ändern x auf x + ɛ. Der Funktionswert ändert sich von A(x) auf A(x + ɛ). Dierenz: A(x + ɛ) A(x): Flächeninhalt des Streifens zwischen x und x + ɛ. f ist stetig (d.h. Funktionswerte machen keine Sprünge) und ɛ sehr klein. Wir können daher den Flächeninhalt des Streifens durch Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen ɛ und f (x) approximieren.

12 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsfunktion Approx.: Flächeninhalt Streifen Flächeninhalt Rechteck A(x + ɛ) A(x) ɛ f (x) für kleine ɛ Dividiere beide Seiten durch ɛ und bilde Grenzwert für ɛ 0 A(x + ɛ) A(x) lim = f (x) ɛ 0 ɛ Damit ist die Ungenauigkeit der Approximation verschwunden. Linke Seite: Ableitung von A(x) (Grenzwert des Dierenzenquotienten) und damit A (x) = f (x) Ableitung von A ist f. Mit anderen Worten: Ist f stetig, so ist die Flächeninhaltsfunktion A eine Stammfunktion von f.

13 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsberechnung Damit kann man die Inhalte von Flächen, die von Kurven begrenzt sind, berechnen, falls man die Stammfunktion ermitteln kann: Sei F (x) eine Stammfunktion von f. Dann unterscheiden sich A von oben und F höchstens um eine Konstante c: A(x) = F (x) + c Da Flächeninhalt von a bis a A(a) = 0 ist, folgt: 0 = F (a) + c bzw. c = F (a) Die gesuchte Fläche A(b) ist daher gleich A(b) = F (b) + c = F (b) F (a). Für die Berechnung der Fläche muss man lediglich irgendeine Stammfunktion von f kennen und die Dierenz der Werte an den Stellen a und b kennen. Schreibweise für die Dierenz: F (x) b = F (b) F (a) x=a

14 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsberechnung Mit dieser Bezeichnung können wir die Flächenberechnung für stetige Funktionen f in der Form schreiben: b a f (x)dx = F (x) b = F (b) F (a) x=a wobei F eine Stammfunktion von f ist. Hauptsatz der Dierenzial- und Integralrechnung D. h. die Berechnung des bestimmten Integrals erfolgt durch Stammfunktion an der oberen Grenze minus Stammfunktion an der unteren Grenze.

15 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Flächeninhaltsberechnung: Beispiel Erinnerung: das unbestimmte Integral zur Funktion f (x) = 3x 2 ist 3x 2 dx = x 3 + c Irgend eine Stammfunktion: wähle c = 0 bzw. F (x) = x 3 Gesucht: Fläche unter dem Graph von f zwischen 0 und 1: 1 0 3x 2 dx = x 3 1 x=0 = = 1

16 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Flächen unterhalb der x-achse gehen mit negativem Vorzeichen ein. Dies wird bei der Berechnung mit dem Hauptsatz berücksichtigt. Bsp: 1 ( ) 0 3x 2 dx = x 3 1 = ( ) = 1 x=0 Falls Integral einer Funktion über ein Intervall gleich 0: Flächen oberhalb und unterhalb der x-achse sind gleich groÿ und heben sich gegeneinander weg.

17 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Es muss nicht gelten a < b (d. h. untere Integrationsgrenze kleiner obere). Bestimmte Integrale sind mit beliebigen Grenzen berechenbar und es gilt folgende Rechenregel: a b f (x)dx = b a f (x)dx Vertauschen der Grenzen ändert das Vorzeichen. f muss nicht notwendiger Weise stetig sein. Ist f stückweise stetig, so wird jedes Intervall, in dem sie stetig ist, für sich betrachtet. Danach wird die Summe dieser Einzelintegrale addiert. (Skizze: Integrale von a bis b und von b bis c getrennt berechnen und addieren).

18 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Flächenberechnung: Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen, die sich in x = a und x = b schneiden: Dierenz von bestimmten Graphen: Dies gilt auch, falls die Flächen zum Teil in der oberen und zum Teil in der unteren Halbebene liegt.

19 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Später sehen wir: die Integrationsgrenzen können unter gewissen Voraussetzungen durch oder ersetzt werden, und an einer (endlichen) Integrationsgrenze darf f u. U. auch eine Unendlichkeitsstelle besitzen. Damit können die Inhalte von Flächen berechnet werden, die bis ins Unendliche reichen, so genannte uneigentliche Integrale.

20 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integral Symbole und dx: Schreibweise von Gottfried Wilhelm von Leibniz: Der hat sich die Fläche unter einem Funktionsgraphen als aus unendlich vielen, unendlich dünnen nebeneinander stehenden Rechtecken zusammengesetzt gedacht, jedes ähnlich dem schmalen Streifen, den wir oben betrachtet haben. Wird ɛ = dx gesetzt und als unendlich kleine (ïnnitesimale") Gröÿe, als "Dierential", aufgefasst, so stellt sich der Flächeninhalt als Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Rechtecksächen f (x)dx dar. Integralzeichen, als langgestrecktes S, steht für diese Summe. Sie erstreckt sich in gewisser Weise über alle x, beginnend bei a und endend bei b, was oberhalb und unterhalb des Integralzeichens vermerkt wird. In dieser Interpretation ist die Gröÿe f (x)dx tatsächlich ein Produkt.

21 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Beispiele: Bestimmte Integrale Plappert S x 2 dx 1 0 ex dx 2 1 x dx = 0 1 xdx xdx =

22 Grundintegrale Regeln Substitution Grundintegrale Integrationstabelle = Integrationstafeln = Auistung von Integralen

23 Grundintegrale Regeln Substitution Integral eines Vielfachen: b a cf (x)dx = c b a f (x)dx Eine Konstanten darf aus dem Integral herausgezogen werden. Integral einer Summe: b b b (f (x) + g(x)) dx = f (x)dx + g(x)dx a a a Eine Summe von bestimmten Integralen mit denselben Integrationsgrenzen kann zu einem Integral zusammengezogen werden. Diese Eigenschaften besagen, dass Integrieren eine lineare Operation ist (Linearität).

24 Grundintegrale Regeln Substitution Integration über angrenzende Intervalle: b c c f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx a b a Intervalle können vereinigt werden. Lineare Transformation des Arguments: Ist F (x) eine Stammfunktion von f (x), so ist F (x + b) eine Stammfunktion von f (x + b) und 1 F (ax) eine Stammfunktion von f (ax). 1 a F (ax + b) eine Stammfunktion von f (ax + b). a Beispiele: sin(x + a) = cos(x + a) e kx = 1 k ekx

25 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch lineare Substitution Herleitung der letzten Formel: Integral einer Funktion f (ax + b) Substitution: Ersetze u = ax + b Dann: Damit gilt: f (ax + b)dx = du dx = a dx = du a = 1 a du f (u) du a = 1 a f (u)du = 1 a F (u) u=ax+b = 1 F (ax + b) a Beispiel: cos(2x + 5) = 1 sin(2x + 5) 2 Kontrolle: [ 1 sin(2x + 5)] 2 = cos(2x + 5)

26 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch nichtlineare Substitution Manchmal sinnvoll: beim Berechnen eines Integrals die Variable als Funktion einer anderen Gröÿe aufzufassen: x = x(u). Dies soll umkehrbar sein, also gilt auch u = u(x). Ableitung: [f (x)] x=x(u) = [f (x(u))] Kettenregel = f (x(u))x (u) Der letzte Ausdruck ist eine Funktion in u. Dann gilt: f (x)dx = f (x(u))x (u)du Dadurch entsteht ein neuer Integrand, für den die Berechnung leichter sein kann (obwohl er auf den ersten Blick komplizierter aussieht).

27 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch nichtlineare Substitution Beispiel: f (x) = 4x sin(x 2 ) Gesucht: f (x)dx. Substitution: u = x 2 x = x(u) = u Berechne damit: x (u) = dx = 1 du 2 dx = 1 u 2 du u Ins Integral einsetzen/ersetzen: x 2 u x u dx 1 2 u 4x sin(x 2 )dx = 4 u sin u 1 2 u du = 2 sin u du = 2 cos u Wichtig! Rücksubstitution nicht vergessen: u = x 2 4x sin(x 2 )dx x2 =u = 2 cos u u=x2 = 2 cos(x 2 )

28 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch nichtlineare Substitution Umwandeln der Grenzen: Wie bei linearer Transformation entweder Rücksubstitution und mit den ursprünglichen Grenzen rechnen oder man substituiert auch die Grenzen und rechnen mit den umgewandelten Grenzen. Für bestimmte Integrale gilt x2 u2 f (x)dx = f (x(u))x (u)du x 1 u 1 wobei die Grenzen x 1 und u 1 (bzw. x 2 und u 2 ) einander entsprechende Werte sind. D.h. Umwandlung der Grenzen u 1 = u(x 1 ) x 1 = x(u 1 ) u 2 = u(x 2 ) x 2 = x(u 2 )

29 Grundintegrale Regeln Substitution Integration durch nichtlineare Substitution Beispiel Gesucht: π 0 Substitution: 4x sin(x 2 ) dx x 2 = u x = 0 u = 0 x = u x = π u = π dx = 1 2 u Mit transformierten Grenzen π π 4x sin(x 2 ) dx = 2 sin(u) du = [ 2 cos u] π u=0 0 = 2(cos π cos 0) = 2( 1 1) = 2 ( 2) = 4 Ohne Transformation der Grenzen, aber mit Rücksubstitution bei der Bestimmung des unbestimmten Integrals: π 4x sin(x 2 ) dx = [ 2 cos(x 2 ) ] π = 2(cos π cos 0) = x=0

30 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen sind bestimmte Integrale, bei denen entweder 1. (mindestens) eine Integrationsgrenze und/oder 2. der Integrand unendlich wird. Dies bedeutet, man integriert entweder über 1. unendliche Intervalle oder 2. unbeschränkte Funktionen In beiden Fällen reicht die Fläche unter dem Graphen ins Unendliche.

31 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unendliche Intervalle Gesucht: Fläche zwischen dem Graphen der Funktion y = 1 x 2 und der x-achse für x 1, also das Integral über das Intervall [1, ) Berechne zunächst die Fläche über [1, b] für b > 1: 1 b 1 [ 1 x dx = 1 ] b = x x=1 b Für b existiert der Grenzwert. Wir setzen 1 b ( 1 dx lim dx = lim 1 1 ) = 1 x 2 b 1 x 2 b b

32 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unendliche Intervalle Allgemein: Falls die Grenzwerte existieren, gilt a b b f (x) dx = lim b f (x) dx = lim a a b a f (x) dx f (x) dx Wenn ein solcher Grenzwert nicht existiert, nennen wir das Integral divergent, ansonsten konvergent.

33 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unendliche Intervalle Beispiele Berechnen Sie: 0 [ ] 0 e x dx = lim e x = lim (1 a x=a a ea ) = x 2 dx = 1 x dx = 1 1 [ x 2 dx = lim 1 ] b ( = lim 1 1 ) = 1 b x x=1 b b [ x 1 dx = lim ln x b ] b x=1 = lim (ln b 0) = b 1 1 x dx = 1 [ x 1 2 dx = lim 2 ] b ( x = lim 2 ) b 2 = b x=1 b

34 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unbeschränkte Funktionen Gesucht: Fläche zwischen dem Graphen der Funktion y = 1 x = x 1 2 und der x-achse über das Intervall [0, 1]. Problem: Polstelle/Unendlichkeitsstelle bei x = 0 Berechne zunächst die Fläche über [δ, 1] für 0 < δ < 1: 1 δ 1 [ dx = 2 ] 1 x = 2 2 δ 2 für δ 0, δ > 0 x x=δ Für δ Unendlichkeitsstelle existiert der Grenzwert. Wir setzen 1 1 dx = x 0 1 lim δ 0,δ>0 δ 1 x dx = 2

35 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unbeschränkte Funktionen Wenn f (x) oder f (x) für x a, x > a: b a b f (x) dx = lim f (x) dx δ 0,δ>0 a+δ Wenn f (x) oder f (x) für x b, x < b: b a b δ f (x) dx = lim f (x) dx δ 0,δ>0 a falls die Grenzwerte existieren. Wenn ein solcher Grenzwert nicht existiert, nennen wir das Integral divergent, ansonsten konvergent.

36 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Unbeschränkte Funktionen Beispiele Berechnen Sie: 1 δ 1 δ 1 δ 1 x 2 dx = 1 x dx = 1 x dx = 1 δ x 2 dx = für δ 0, δ > 0 1 δ x 1 dx = für δ 0, δ > 0 1 δ x 1 2 dx = [2 ] 1 x 2 für δ 0, δ > 0 [ 1 ] 1 ( ) 1 = x x=δ δ 1 [ ] 1 ln x = (0 ln δ) x=δ x=δ = ( 2 2 ) δ

37 Aufgabenstellung Unendliche Intervalle Unbeschränkte Funktionen Beispiele Vergleich der uneigentlichen Integrale von 1 x 2, 1 x und 1 x : Jede Potenzfunktion x p, p > 0 lässt sich in ein endliches und ein unendliches Flächenstück zerlegen (auÿer für p = 1). p > 1 analog x 2, p < 1 analog x 1 2.

38 Idee Numerische Integration Bisher haben wir vorausgesetzt, dass die Funktion stetig ist. Dann: Flächeninhaltsproblem für stetige Funktionen mit Hilfe des Hauptsatzes der Dierential- und Integralrechnung gelöst: Man suche eine Stammfunktion (die immer existiert) und berechnet damit den (orientierten) Flächeninhalt. Gibt es andere Funktionen, für die die Idee des Flächeninhalts unter dem Graphen einen Sinn macht? Bzw. gibt es eine allgemeinere Denition für den Flächeninhalt, die auch auf nicht stetige Funktionen angewandt werden kann?

39 Idee Numerische Integration Idee: wickle eine gegebene Funktion von unten und oben durch so genannte Treppenfunktionen ein. Mit Hilfe deren Integrale (= Flächeninhalte), der Untersummen und Obersummen, wird deniert, wann eine Funktion integrierbar ist. Für stetige Funktionen lässt sich damit das bestimmte Integral so, wie man es intuitiv auch erwartet sehr leicht als Grenzwert einer Folge von Rechtecksächen darstellen. (vgl. Bezeichnung f (x)dx als Summe über Rechtecke mit Seitenlängen f (x) und dx). Daraus ergeben sich Möglichkeiten zur numerischen Approximation bestimmter Integrale.

40 Idee Numerische Integration Gegeben: eine reelle Funktion, die auf dem Intervall [a, b] deniert ist. Wir approximieren die gesuchte Fläche durch Rechtecke und zwar auf zwei Arten: Rechtecke, die komplett unterhalb des Funktionsgraphen liegen Rechtecke, die komplett oberhalb des Funktionsgraphen liegen Die entsprechenden Flächeninhalte nennen wir Untersummen bzw. Obersummen

41 Idee Numerische Integration Zerlege das Intervall [a, b] in n Teilintervalle. Für die Obersummen bestimmt jeweils der gröÿte Funktionswert in dem Teilintervall die Höhe des Rechtecks. Für die Untersummen entsprechend der kleinste Funktionswert im Teilintervall. Streben bei einer Verfeinerung der Unterteilung die Folge der Obersummen {O n } und die Folge der Untersummen {U n } gegen einen gemeinsamen Grenzwert, so ist dieser Grenzwert der gesuchte Flächeninhalt F (und damit das bestimmte Integral von der Funktion über dem Intervall [a, b]. Dies muss bei beliebiger Verfeinerung gelten.

42 Idee Numerische Integration Dies ist gleichbedeutend damit, dass sich Ober- und Untersumme immer mehr annähern bzw. dass die Dierenz zwischen Ober- und Untersumme gegen Null strebt. Der Inhalt der grauen Fläche muss durch geeignete Wahl von Zerlegungen beliebig klein werden.

43 Idee Numerische Integration Numerische Berechnung von Integralen Idee Zerlege das Intervall [a, b] durch die Stellen a = x 0, x 1, x 2,..., x n 1, x n = b in n gleich groÿe Teile. Breite der Intervalle: b a n Als Höhe der Rechtecke wählt man z. B. immer den Funktionswert am rechten Rand: (oder am linken oder in der Mitte... ) Für genügend groÿes n kann man das Integral einfach approximieren durch b a n n j=1 f (x j )

44 Volumen von Rotationskörpern Rotationskörper: Paraboloid Rotation der Funktion y = x um die x-achse

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

I N H A L T S V E R Z E I C H N I S. 1.Zielsetzung der Seminararbeit... - 3-1.1.Didaktischer Kommentar für Schüler und Lehrer...

I N H A L T S V E R Z E I C H N I S. 1.Zielsetzung der Seminararbeit... - 3-1.1.Didaktischer Kommentar für Schüler und Lehrer... I N H A L T S V E R Z E I C H N I S 1.Zielsetzung der Seminararbeit... - 3-1.1.Didaktischer Kommentar für Schüler und Lehrer... - 3-2. Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung... - 4-3. Ober- und Untersumme...

Mehr

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y

Mehr

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 11

Ü b u n g s b l a t t 11 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte

Mehr

Serie 13: Online Test

Serie 13: Online Test D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

Übung zur Vorlesung Physikalische Chemie im Studiengang 3. FS KB Ch und 3. FS BB Phy

Übung zur Vorlesung Physikalische Chemie im Studiengang 3. FS KB Ch und 3. FS BB Phy Übung zur Vorlesung Physikalische Chemie im Studiengang 3. FS KB Ch und 3. FS BB Phy Dr. Raimund Horn a Dipl. Chem. Barbara Bliss b Dipl. Phys. Lars Lasogga c a Fritz Haber Institut der Max Planck Gesellschaft

Mehr

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben.

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur für alle gemeldeten Fachrichtungen außer Immobilientechnik und Immobilienwirtschaft am 9..9, 9... Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht

Mehr

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen

Mehr

Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung

Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Skalare Differentialgleichungen

Skalare Differentialgleichungen Kapitel 2 Skalare Differentialgleichungen 2.1 Skalare lineare Differentialgleichungen 2.2 Bernoulli und Riccati Differentialgleichungen 2.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 2.4 Exakte Differentialgleichungen

Mehr

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11.

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. ETH EIDGENÖSSISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE ZÜRICH Analysis mit dem Computer-Algebra-System des TI-92 Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. November 1997 Eidgenössische Technische

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45.

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 8.6.4, 5.45 7.45. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. b) Lösungswege und Begründungen sind anzugeben. Die

Mehr

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6

Mehr

Kettenregel, Substitution und Methode der Trennung der Variablen

Kettenregel, Substitution und Methode der Trennung der Variablen Kettenregel, Substitution und Methode der Trennung der Variablen Franz Pauer Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik Universität Innsbruck Lehrer/innen/fortbildungstag Wien 2015 11. April

Mehr

Das Mathematik-Abitur im Saarland

Das Mathematik-Abitur im Saarland Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die

Mehr

Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen

Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 8. Aufgaben...................................................

Mehr

Reihen, Einleitung. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

Reihen, Einleitung. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya Reihen, Einleitung 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya Einleitung Im Folgenden werden wir Reihen, d.h. Summen von Zahlen untersuchen. Wir unterscheiden zwischen einer endlichen Reihe, bei der die Summe endlich

Mehr

Berufsbezogene Mathematik für die Fachoberschule

Berufsbezogene Mathematik für die Fachoberschule Klaus Schilling, Marion Patyna Berufsbezogene Mathematik für die Fachoberschule Nichttechnische Fachrichtungen Klasse 1. Auflage Bestellnummer 0608 Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt?

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

P( X µ c) Var(X) c 2. mit. In der Übung wurde eine alternative, äquivalente Formulierung verwendet: P( X µ < c) 1 Var(X)

P( X µ c) Var(X) c 2. mit. In der Übung wurde eine alternative, äquivalente Formulierung verwendet: P( X µ < c) 1 Var(X) Ich habe eine Frage zur Tschebyschew Ungleichung. In der Aufgabe 4 des Übungsblattes 3 benötigt man ja die Ungleichung. In diesem Falle war der Bereich (0, 20) symmetrisch um den Erwartungswert µ = 5.

Mehr

Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra

Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra Prof. Dr. Wolfram Koepf Universität Kassel http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf Tag der Mathematik 13. Dezember 2008 Universität Passau Überblick

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie

Mehr

Formelsammlung. Folgen und Reihen

Formelsammlung. Folgen und Reihen Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Formelsmmlung Folgen und Reihen en Folge n ) n N0 : D R, n n := n) mit D N 0 n-te Prtilsumme von n

Mehr

Abitur 2011, Analysis I

Abitur 2011, Analysis I Abitur, Analysis I Teil. f(x) = x + 4x + 5 Maximale Definitionsmenge: D = R \ {,5} Ableitung: f (4x + 5) (x + ) 4 8x + 8x (x) = (4x + 5) = (4x + 5) = (4x + 5). F(x) = 4 x (ln x ); D F = R + F (x) = 4 x

Mehr

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I Bayern FOS BOS Fachabiturprüfung 05 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I.0 Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f ' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz 0 definierten

Mehr

Zentralabitur 2006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Gymnasium Gesamtschule

Zentralabitur 2006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Gymnasium Gesamtschule Zentralabitur 006 Mathematik Lehrermaterial Rechnertyp: CAS Grundkurs Gymnasium Hinweise zur Auswahl der Aufgaben für Lehrkräfte am Gymnasium und an der Die Prüflinge erhalten zwei Aufgaben zur Analysis

Mehr

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Vollständige Induktion 2 Aufgabe 2 - Grenzwertbestimmung 2 Aufgabe 3 - Lin/Log 2 Aufgabe 4 - Barwert/Endwert 3 Aufgabe 5 - Maximalstellen, steigend/fallend

Mehr

e-funktionen f(x) = e x2

e-funktionen f(x) = e x2 e-funktionen f(x) = e x. Smmetrie: Der Graph ist achsensmmetrisch, da f( x) = f(x).. Nullstellen: Bed.: f(x) = 0 Es sind keine Nullstellen vorhanden, da e x stets positiv ist. 3. Extrema: notw. Bed.: f

Mehr

Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien

Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 25, A-6020 Innsbruck, Österreich. Franz.Pauer@uibk.ac.at 18. Juli 2006 1 Einleitung

Mehr

Inhaltsverzeichnis VB 2003

Inhaltsverzeichnis VB 2003 VB Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Die Integralrechnung Die Stammfunktion Wie kommt man zur Stammfunktion am Beispiel der Potenzfunktion Beispiele für Stammfunktionen: Beispiele mit Wurzelfunktionen

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2011/2012

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2011/2012 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr / Fach (B) Prüfungstag 5. April Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise

Mehr

Über den Autor 9 Einleitung 21

Über den Autor 9 Einleitung 21 Inhaltsverzeichnis Über den Autor 9 Einleitung 21 Zu diesem Buch 21 Konventionen in diesem Buch 22 Wie Sie dieses Buch einsetzen 22 Törichte Annahmen über den Leser 22 Wie dieses Buch aufgebaut ist 23

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

2.6 Stetigkeit und Grenzwerte

2.6 Stetigkeit und Grenzwerte 2.6 Stetigkeit und Grenzwerte Anschaulich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn ihr Graph sich zeichnen lässt, ohne den Stift abzusetzen. Das ist natürlich keine präzise mathematische Definition und

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

MINT-Circle-Schülerakademie

MINT-Circle-Schülerakademie 1 Einführung MINT-Circle-Schülerakademie Kurze Einführung, was Maple ist, wozu es dienen kann, wo es verwendet wird. Zur Einführung die folgenden Aufgaben bearbeiten lassen. Aufgabe 1. Gib unter Maple

Mehr

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +,  > 0.  2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) = 38 6..7.4 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die

Mehr

Funktionale Abhängigkeiten

Funktionale Abhängigkeiten Funktionale Abhängigkeiten Lehrplan Die Lehrpläne für die allgemein bildenden Schulen finden Sie online unter: http://www.bmukk.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_abs.xml 5. Klasse (Funktionen) Beschreiben

Mehr

Schulinternes Curriculum. Mathematik

Schulinternes Curriculum. Mathematik Gymnasium Zitadelle Schulinternes Curriculum (G 8) Stand: Schuljahr 2012/13 Gymnasium Zitadelle Schulinternes Curriculum Seite 1 EF Eingeführtes Lehrbuch: Lambacher Schweizer 10 Einführungsphase Funktionen

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2013/2014

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2013/2014 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 0/04 Fach (A) Prüfungstag 9. Mai 04 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Finanzmathematik 1 11 Folgen und Reihen 1 111 Folgen allgemein 1 112

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Technische Mathematik

Technische Mathematik Lehrplan Technische Mathematik Fachschule für Technik Fachrichtungsbezogener Lernbereich Ministerium für Bildung, Kultur und Wissenschaft Hohenzollernstraße 60, 66117 Saarbrücken Postfach 10 24 52, 66024

Mehr

Mathematik für Techniker

Mathematik für Techniker Mathematik für Techniker 5. Auflage mit 468 Bildern, 531 Beispielen und 577 Aufgaben mit Lösungen rs Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag Inhaltsverzeichnis 1 Rechenoperationen 15 1.1 Grundbegriffe

Mehr

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

Numerische Integration

Numerische Integration Numerische Integration Die einfachste Anwendung des Integrals ist wohl die Beantwortung der Frage nach der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der Achse über einem gegebenen Intervall ('Quadraturaufgabe').

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler 1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Mündliches Abitur in IViathematik

Mündliches Abitur in IViathematik Mündliches Abitur in IViathematik Zusatzprüfung: Kurzvortrag mit Prüfungsgespräcti Ziele: Nachweis von fachlichem Wissen und der Fähigkeit, dies angemessen darzustellen erbringen fachlich überfachlich

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = x sin( x + ) Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral

Mehr

Einführung des Integrals: Flächenbestimmung vs. Rekonstruktion

Einführung des Integrals: Flächenbestimmung vs. Rekonstruktion Ausarbeitung zur Vorlesung Didaktik der Analysis WS 09/10 Einführung des Integrals: Flächenbestimmung vs. Rekonstruktion Vorgelegt von: A*********** B******, ****** M*********** B********, ****** Einleitung

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Klaus-Groth-Schule - Neumünster Fachcurriculum Mathematik

Klaus-Groth-Schule - Neumünster Fachcurriculum Mathematik Jahrgang 10 Funktionen Funktionsbegriff - Definition - vielfältige Anwendungen - Umkehrbarkeit (intuitiv, Anwendungen) ganzrationale Funktionen Modellierung - Ablesen der Werte - Ungefähre Bestimmung der

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

EigenMath Howto. Beispiele: Was erhält man, wenn man 100 mal die Zahl 2 mit sich multipliziert? Antwort 1267650600228229401496703205376

EigenMath Howto. Beispiele: Was erhält man, wenn man 100 mal die Zahl 2 mit sich multipliziert? Antwort 1267650600228229401496703205376 EigenMath Howto EigenMath ist ein kleines Programm, das als 'Taschenrechner' für die Mathematik der Oberstufe verwendet werden kann. Es ist viel weniger mächtig als die großen Brüder Sage, Maxima, Axiom

Mehr

Lösungen der Musteraufgaben 2017. Baden-Württemberg

Lösungen der Musteraufgaben 2017. Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Musteraufgaben 07 Lösungen www.mathe-aufgaben.com Lösungen der Musteraufgaben 07 Baden-Württemberg allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober 05 Baden-Württemberg:

Mehr

Lösungen der Probe-Vorklausur 1. Lösungen der Probe-Vorklausur 2

Lösungen der Probe-Vorklausur 1. Lösungen der Probe-Vorklausur 2 Bei allen Aufgaben muss der Rechenweg erkennbar sein (auch beim Bruchrechnen mindestens Zwischenschritt). Ohne Rechnung gibt es auch bei richtigem Ergebnis keine Punkte. Lösungen der Probe-Vorklausur Aufgabe

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme

1 Lineare Gleichungssysteme MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1 Literatur: K Nipp/D Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4 Auflage, 1998, oder neuer 1 Lineare Gleichungssysteme Zu den grundlegenden

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN. (2) Welche Menge stellt die schraerte Fläche dar?

MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN. (2) Welche Menge stellt die schraerte Fläche dar? MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN DR. ROGER ROBYR Die Aufgaben sollten alle ohne Unterlagen und ohne programmierbare oder graphikfähige Rechner gelöst werden können. Lösung. ) Gegeben sind die Mengen

Mehr

Abiturprüfung 2008. Mathematik, Grundkurs

Abiturprüfung 2008. Mathematik, Grundkurs M GK HT 3 Seite 1 von Name: Abiturprüfung 008 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: Gegeben ist die Funktion f mit x f( x) = ( x+ 1) e, x IR. Der Graph von f ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt.

Mehr

Ableitung und Steigung. lim h

Ableitung und Steigung. lim h Ableitung und Steigung Aufgabe 1 Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x über den Differentialquotienten. f (x f '(x ) lim h h) f (x h ) (x lim h h) h x x lim h hx h h x h(x lim h h h) lim x h h x

Mehr

Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte

Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte Von Prof. Dr. Heinrich Bader und Prof. Dr. Siegbert Fröhlich Mit 45 A bbildungen 8. A uflage R. Oldenbourg Verlag München Wien INHALTSVERZEICHNIS

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Rationale Zahlen. Weniger als Nichts? Ist Null nichts?

Rationale Zahlen. Weniger als Nichts? Ist Null nichts? Rationale Zahlen Weniger als Nichts? Ist Null nichts? Oft kann es sinnvoll sein, Werte anzugeben die kleiner sind als Null. Solche Werte werden mit negativen Zahlen beschrieben, die durch ein Minus als

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE

UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE 1. Gebot: Nur die DUMMEN kürzen SUMMEN! Und auch sonst läuft bei Summen und Differenzen nichts! 3x + y 3 darfst Du NICHT kürzen! x! y. Gebot: Vorsicht bei WURZELN und

Mehr

Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10

Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10 Kern- und Schulcurriculum Mathematik /10 Stand Schuljahr 2009/10 Fett und kursiv dargestellte Einheiten gehören zum Schulcurriculum In allen Übungseinheiten kommt die Leitidee Vernetzung zum Tragen - Hilfsmittel

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr