Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 2. Übungsblatt

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1 Prof. Dr. T. Apel J. Mihael Mathematishe Methoden in den Ingenieurwissenshaften. Übungsblatt Wintertrimester 5 Aufgabe 4 : (Variationsrehnung Extremalen Bestimmen Sie die Extremalen der folgenden Variationsprobleme mit festen Endpunkten mit Hilfe der Euler-Lagrange-Differentialgleihung:.. y (x y(x 3 dx, mit y( =, y( = 4 y x 3 dx, mit y( =, y( = 3 Lösung:. y y 3 dx, mit y( =, y( = 4 F (y, y autonomes Variationsproblem F y = onst y y y y3 y = C 3 y y = Cy 3 y = C y 3 (C := C y = ±C y 3 (C := C y 3 = ±C dx y y = ±C x + C 3 y = ±Ax + B y = (±Ax + B = (Ax ± B y( = B = B = ± y(x = (Ax ± ( A := C ; B := C 3

2 . Fall. y(x = (Ax + y( = (A + = 4 A + = ± Fall.a A = A = 4 y(x = ( x + 4 Fall.b A = 3 A = 3 4 y(x = ( 3x + 4 Für x = 4 3 Fall. y(x = < ist y(x niht definiert keine Lösung (Nullstelle des Nenners (Ax mit  := A y(x = Also die Lösung ist y(x = ( 4 x + y x 3 dx, mit y( =, y( = 3 } {{ } F (x,y F (x, y = y x 3 = y x 3 y y = d ( dx y y x 3 = C y = C dy dx = C x 3 dy = C dy = x = C 3 x 3 x 3 dx C x 3 dx = y = onst y = C x + C = A x + C y( = A + C = (I wieder Fall. (Ây +

3 y( = A 4 + C = 3 (II (II (I : 3 4 A = 3 A = 4 C = A = 4 y(x = 4 x + 4 Aufgabe 5 : (Fortsetzung Rotationsminimalflähe Betrahtet wird die das Variationsproblem der minimalen Rotationsflähe aus Aufgabe.. Zeigen Sie, dass y(x = osh x + a mit geeigneten a und eine Lösung ist. (. Leiten Sie Gleihung ( mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleihung her. Lösung: Das Funktional lautet d.h., M(y = π x x y(x + y (x dx, F (y, y = y + y.. Die Euler-Lagrange-Gleihung ergibt sih zu = y d dx y = + y d dx ( yy + y ( Für die gegebene Funktion heißt das, woraus folgt. Weiter gilt und y = osh x + a y = sinh x + a = sinh x + a, + y = osh x + a yy + y ( d yy dx + y Die Gleihung ( ist also erfüllt. da osh (x sinh (x = x+a x+a osh( sinh( = osh( x+a = sinh x + a = osh x + a 3

4 . Da F niht explizit von x abhängt, kann das Eulershe Zwishenintegral betrahtet werden. Daraus folgt Trennung der Veränderlihen liefert = F y F,y y = y + y y y + y = y + y y = + y dy y dx = ± dy x + a = ± y = ± Umstellen nah y liefert die Kettenlinie: dy ( y = ± arosh y x + a = ±arosh y, y = ± osh x + a y = osh x + a Das Vorzeihen wird durh die Randwerte bestimmt. mit x dx = arosh(x Aufgabe 6 : (Fortsetzung Fermat-Prinzip Lösen Sie die Variationsaufgabe zum Fermat-Prinzip mit v = v(y, d.h., mit Brehungsindex n(y = /v(y, vgl. Aufgabe 3. Zur Vereinfahung sei hier angenommen, dass = gilt, d.h. n(y = /v(y. a v = v(y = y b v = v(y = y Hinweise zu a Nah dem Aufshreiben des Eulershen Zwishenintegrals sollten Sie erst einmal durhatmen und kurz nahdenken, ob Ihnen dieses bekannt vorkommt. Zu b Hier ist die Lösung etwas länger, kann aber mit derselben Substitution wie in Beispiel.5 aus dem Vorlesungsskript hergeleitet werden. Lösung: Aus Aufgabe wissen wir T (y = x x n(y + y dx F (y, y = n(y + y 4

5 Damit erhält man für das Eulershe Zwishenintegral = F y F,y = n(y + y y n(y + y = n(y + y y Für Teilaufgabe (a ergibt sih daraus = y + y y = + y und damit ist die Lösungskurve die Brahistohrone (siehe Bsp.5. Für Teilaufgabe (b ergeben sih Kreise, wie wir gleih nahrehnen werden. Wie im Brahistohrone-Beispiel substituieren wir y = ot t, t (, π. Daraus ergibt sih y = also y = ± sin t. Differenzieren von (3 nah t liefert + y = sin t, (3 Andererseits ist dx dt = y y dy dt = sin t os t. dy dt = tan t y sin t os t = t y sin y einsetzen = ± sin t sin t = ± sin t Daraus folgt direkt x = ± ( os t + = ± (os t + Die Parameterdarstellung der Lösungskurven ist shließlih [ ] [ ] x(t = ± os t +, y(t sin t 5

6 was tatsählih Kreise beshreibt. Hier noh ein alternativer Lösungsweg, der auf die Darstellung der Lösung als Funktion y(x führt. Dabei beginne man mit Gleihung (3 y = + y y = y ± y = y y y ± = dy y dx y dx = ± y dy Dies ist ebenfalls eine Kreisgleihung. x + B = ± y = ± y (x + B = y y = ± (x B = ± (x + B Aufgabe 7 : (RWP mit höheren Ableitungen Leiten Sie die Randwertaufgabe (insbesondere die rihtige Randbedingung für folgende Biegebalken mit Strekenlast her: (a (b f(x f(x l x l x Lösung: l EIy v + fv dx = [EIy v ] l l = [EIy v ] l [ d dx (EIy v = [EIy v ] l [ d dx (EIy v d dx (EIy v + fv dx 6 ] l ] l + + l l d dx (EIy v + fv dx [ d dx (EIy + f ] v dx = v V

7 Wähle Raum der Vergleihsfunktionen in Abhängigkeit der konkreten Problemstellung und betrahte, welhe Terme dadurh wegfallen und welhe Bedingungen an die Funktion y daraus folgen, dass alle einzelnen Summanden vershwinden müssen.. Feste Einspannung bei x = : Vershiebung und Steigung am linken Rand fixiert V = {v W, (, l : v( = v ( = } Randbedingung am rehten Rand EIy (l = d dx (EIy (l = (EIy + f = x (, l y( = y ( = EIy (l = d dx (EIy (l } {{ } = Querkraft. Loslager bei x = und x = l: Vershiebung an beiden Randpunkten fixiert V = {v W, (, l : v( = v(l = } weiter Randbedingung: EIy ( = EIy (l = (EIy + f = x (, l y( = EIy ( = y(l = EIy (l } {{ } Biegemoment = Hausaufgabe : (Variationsrehnung Extremalen Bestimmen Sie die Extremalen der folgenden Variationsprobleme mit festen Endpunkten:. x t 3 dt, mit x( =, x( = 7. π ( π (x x x sin(t dt, mit x( =, x = Lösung:. x t 3 }{{} F (t,x dt, mit x( =, x( = 7 Die Funktion F = x t 3 hängt niht von x ab = onst := C x 7

8 . x t 3 = C x = C t3 = C t 3 x = C 4 t4 + C = C 3 t 4 + C x( = C 3 + C = (I x( = 6C 3 + C = 7 (II (II (I : 5C 3 = 5 C 3 = C = C 3 = x(t = t 4 + π (x x x sin(t } {{ } F (t,x,x = x x ( d dt x = x sin t x x x + sin t = dt, = d dt ( x = x ( π mit x( =, x = x + x = sin t (I x = x h + x p.homogene DGL: x + x = Char.Pol.: λ + = λ, = ±i x h (t = A sin t + B os t.spezielle Lösung: i - einfahe Nulstelle des Polynoms λ + = x p = t(c sin t + C os t x p = C sin t + C os t + t(c os t C sin t x p = C os t C sin t + C os t C sin t + t( C sin t C os t in (I: C os t C sin t t(c sin t + C os t + t(c sin t + C os t! = sin t C os t C sin t = sin t Koeff.vergl.: C = C = C = C = x p = t os t x = x h + x p = A sin t + B os t t os t x( ( = B = π x = A = x(t = sin t + os t t os t 8

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