Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 2. Übungsblatt

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 2. Übungsblatt"

Transkript

1 Prof. Dr. T. Apel J. Mihael Mathematishe Methoden in den Ingenieurwissenshaften. Übungsblatt Wintertrimester 5 Aufgabe 4 : (Variationsrehnung Extremalen Bestimmen Sie die Extremalen der folgenden Variationsprobleme mit festen Endpunkten mit Hilfe der Euler-Lagrange-Differentialgleihung:.. y (x y(x 3 dx, mit y( =, y( = 4 y x 3 dx, mit y( =, y( = 3 Lösung:. y y 3 dx, mit y( =, y( = 4 F (y, y autonomes Variationsproblem F y = onst y y y y3 y = C 3 y y = Cy 3 y = C y 3 (C := C y = ±C y 3 (C := C y 3 = ±C dx y y = ±C x + C 3 y = ±Ax + B y = (±Ax + B = (Ax ± B y( = B = B = ± y(x = (Ax ± ( A := C ; B := C 3

2 . Fall. y(x = (Ax + y( = (A + = 4 A + = ± Fall.a A = A = 4 y(x = ( x + 4 Fall.b A = 3 A = 3 4 y(x = ( 3x + 4 Für x = 4 3 Fall. y(x = < ist y(x niht definiert keine Lösung (Nullstelle des Nenners (Ax mit  := A y(x = Also die Lösung ist y(x = ( 4 x + y x 3 dx, mit y( =, y( = 3 } {{ } F (x,y F (x, y = y x 3 = y x 3 y y = d ( dx y y x 3 = C y = C dy dx = C x 3 dy = C dy = x = C 3 x 3 x 3 dx C x 3 dx = y = onst y = C x + C = A x + C y( = A + C = (I wieder Fall. (Ây +

3 y( = A 4 + C = 3 (II (II (I : 3 4 A = 3 A = 4 C = A = 4 y(x = 4 x + 4 Aufgabe 5 : (Fortsetzung Rotationsminimalflähe Betrahtet wird die das Variationsproblem der minimalen Rotationsflähe aus Aufgabe.. Zeigen Sie, dass y(x = osh x + a mit geeigneten a und eine Lösung ist. (. Leiten Sie Gleihung ( mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleihung her. Lösung: Das Funktional lautet d.h., M(y = π x x y(x + y (x dx, F (y, y = y + y.. Die Euler-Lagrange-Gleihung ergibt sih zu = y d dx y = + y d dx ( yy + y ( Für die gegebene Funktion heißt das, woraus folgt. Weiter gilt und y = osh x + a y = sinh x + a = sinh x + a, + y = osh x + a yy + y ( d yy dx + y Die Gleihung ( ist also erfüllt. da osh (x sinh (x = x+a x+a osh( sinh( = osh( x+a = sinh x + a = osh x + a 3

4 . Da F niht explizit von x abhängt, kann das Eulershe Zwishenintegral betrahtet werden. Daraus folgt Trennung der Veränderlihen liefert = F y F,y y = y + y y y + y = y + y y = + y dy y dx = ± dy x + a = ± y = ± Umstellen nah y liefert die Kettenlinie: dy ( y = ± arosh y x + a = ±arosh y, y = ± osh x + a y = osh x + a Das Vorzeihen wird durh die Randwerte bestimmt. mit x dx = arosh(x Aufgabe 6 : (Fortsetzung Fermat-Prinzip Lösen Sie die Variationsaufgabe zum Fermat-Prinzip mit v = v(y, d.h., mit Brehungsindex n(y = /v(y, vgl. Aufgabe 3. Zur Vereinfahung sei hier angenommen, dass = gilt, d.h. n(y = /v(y. a v = v(y = y b v = v(y = y Hinweise zu a Nah dem Aufshreiben des Eulershen Zwishenintegrals sollten Sie erst einmal durhatmen und kurz nahdenken, ob Ihnen dieses bekannt vorkommt. Zu b Hier ist die Lösung etwas länger, kann aber mit derselben Substitution wie in Beispiel.5 aus dem Vorlesungsskript hergeleitet werden. Lösung: Aus Aufgabe wissen wir T (y = x x n(y + y dx F (y, y = n(y + y 4

5 Damit erhält man für das Eulershe Zwishenintegral = F y F,y = n(y + y y n(y + y = n(y + y y Für Teilaufgabe (a ergibt sih daraus = y + y y = + y und damit ist die Lösungskurve die Brahistohrone (siehe Bsp.5. Für Teilaufgabe (b ergeben sih Kreise, wie wir gleih nahrehnen werden. Wie im Brahistohrone-Beispiel substituieren wir y = ot t, t (, π. Daraus ergibt sih y = also y = ± sin t. Differenzieren von (3 nah t liefert + y = sin t, (3 Andererseits ist dx dt = y y dy dt = sin t os t. dy dt = tan t y sin t os t = t y sin y einsetzen = ± sin t sin t = ± sin t Daraus folgt direkt x = ± ( os t + = ± (os t + Die Parameterdarstellung der Lösungskurven ist shließlih [ ] [ ] x(t = ± os t +, y(t sin t 5

6 was tatsählih Kreise beshreibt. Hier noh ein alternativer Lösungsweg, der auf die Darstellung der Lösung als Funktion y(x führt. Dabei beginne man mit Gleihung (3 y = + y y = y ± y = y y y ± = dy y dx y dx = ± y dy Dies ist ebenfalls eine Kreisgleihung. x + B = ± y = ± y (x + B = y y = ± (x B = ± (x + B Aufgabe 7 : (RWP mit höheren Ableitungen Leiten Sie die Randwertaufgabe (insbesondere die rihtige Randbedingung für folgende Biegebalken mit Strekenlast her: (a (b f(x f(x l x l x Lösung: l EIy v + fv dx = [EIy v ] l l = [EIy v ] l [ d dx (EIy v = [EIy v ] l [ d dx (EIy v d dx (EIy v + fv dx 6 ] l ] l + + l l d dx (EIy v + fv dx [ d dx (EIy + f ] v dx = v V

7 Wähle Raum der Vergleihsfunktionen in Abhängigkeit der konkreten Problemstellung und betrahte, welhe Terme dadurh wegfallen und welhe Bedingungen an die Funktion y daraus folgen, dass alle einzelnen Summanden vershwinden müssen.. Feste Einspannung bei x = : Vershiebung und Steigung am linken Rand fixiert V = {v W, (, l : v( = v ( = } Randbedingung am rehten Rand EIy (l = d dx (EIy (l = (EIy + f = x (, l y( = y ( = EIy (l = d dx (EIy (l } {{ } = Querkraft. Loslager bei x = und x = l: Vershiebung an beiden Randpunkten fixiert V = {v W, (, l : v( = v(l = } weiter Randbedingung: EIy ( = EIy (l = (EIy + f = x (, l y( = EIy ( = y(l = EIy (l } {{ } Biegemoment = Hausaufgabe : (Variationsrehnung Extremalen Bestimmen Sie die Extremalen der folgenden Variationsprobleme mit festen Endpunkten:. x t 3 dt, mit x( =, x( = 7. π ( π (x x x sin(t dt, mit x( =, x = Lösung:. x t 3 }{{} F (t,x dt, mit x( =, x( = 7 Die Funktion F = x t 3 hängt niht von x ab = onst := C x 7

8 . x t 3 = C x = C t3 = C t 3 x = C 4 t4 + C = C 3 t 4 + C x( = C 3 + C = (I x( = 6C 3 + C = 7 (II (II (I : 5C 3 = 5 C 3 = C = C 3 = x(t = t 4 + π (x x x sin(t } {{ } F (t,x,x = x x ( d dt x = x sin t x x x + sin t = dt, = d dt ( x = x ( π mit x( =, x = x + x = sin t (I x = x h + x p.homogene DGL: x + x = Char.Pol.: λ + = λ, = ±i x h (t = A sin t + B os t.spezielle Lösung: i - einfahe Nulstelle des Polynoms λ + = x p = t(c sin t + C os t x p = C sin t + C os t + t(c os t C sin t x p = C os t C sin t + C os t C sin t + t( C sin t C os t in (I: C os t C sin t t(c sin t + C os t + t(c sin t + C os t! = sin t C os t C sin t = sin t Koeff.vergl.: C = C = C = C = x p = t os t x = x h + x p = A sin t + B os t t os t x( ( = B = π x = A = x(t = sin t + os t t os t 8

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

2. Wellenausbreitung

2. Wellenausbreitung 2. Wellenausbreitung Die Wellengleihung beshreibt die Bewegung des Stabes: 2 u t 2 =2 2 u x 2 Für die eindeutige Festlegung der Lösung müssen zusätzlih Anfangsbedingungen und Randbedingungen angegeben

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 11

Ü b u n g s b l a t t 11 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte

Mehr

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Studiengang Modul Art der Leistung Klausur-Kennzeihen Betriebswirtshat Wirtshatsmathematik Prüungsleistung Datum.6.8 BB-WMT-P 86 Bezüglih der Anertigung Ihrer Arbeit sind olgende Hinweise verbindlih: Verwenden

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist

Mehr

Zyklische Ungleichungen in 3 Variablen und Wege der Symmetrisierung

Zyklische Ungleichungen in 3 Variablen und Wege der Symmetrisierung Zyklishe Ungleihungen in Varilen und Wege der Symmetrisierung Yimin Ge August 006 Symmetrishe Ungleihungen hen gegenüber zyklishen Ungleihungen mehrere Vorteile. Einerseits kann man ohne Beshänkung der

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 6

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 6 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 205): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem

Mehr

Höhere Mathematik III WS 05/06 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt 2

Höhere Mathematik III WS 05/06 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt 2 Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt Die zu optimierende Zielfunktion ist der Abstand zum Ursprung. Ein bekannter Trick (Vereinfachung der Rechnung) besteht darin, das Quadrat

Mehr

Für die Parameter t und ϕ sind das im angegebenen Bereich Funktionen, d.h. zu jedem Parameterwert gehört genau ein Punkt.

Für die Parameter t und ϕ sind das im angegebenen Bereich Funktionen, d.h. zu jedem Parameterwert gehört genau ein Punkt. PARAMETERFUNKTIONEN Zwei Beispiele: gsave currentpoint translate 21 4 div setlin 1 1 x = 2t 2 1 y = t < t

Mehr

Lösungen zu Mathematik I/II

Lösungen zu Mathematik I/II Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx

Mehr

Lösungen zu Übung(11) Erster Teil A E=

Lösungen zu Übung(11) Erster Teil A E= Lösungen zu Übung Erster Teil a Betrachten Sie die Matrix A = Die Eigenwerte sind λ = mit algebraischer Vielfachheitundλ =mitalgebraischervielfachheit,unddiematrix A E= hatrang, alsokerndimensionnur, somitistdereigenraumzuλ

Mehr

Serie 13: Online Test

Serie 13: Online Test D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.

Mehr

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung Universität Duisburg-Essen Essen, den.6. Fakultät für Mathematik S. Bauer C. Hubacsek C. Thiel 8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung In dieser Übung sollen in Aufgabe und die qualitativ

Mehr

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

Mehr

Stabilität mittels Ljapunov Funktion

Stabilität mittels Ljapunov Funktion Stabilität mittels Ljapunov Funktion Definition Eine C 1 Funktion V : D R, D R, heißt eine Ljapunov Funktion auf K r (0) D für f(y), falls gilt: 1) V(0) = 0, V(y) > 0 für y 0 2) V,f(y) 0 ( y, y r) Gilt

Mehr

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der

Mehr

3. Berechnen Sie auch die Beschleunigung a als Funktion der Zeit t. 4. Erstellen Sie ein SIMULINK Modell, das x(t) numerisch berechnet.

3. Berechnen Sie auch die Beschleunigung a als Funktion der Zeit t. 4. Erstellen Sie ein SIMULINK Modell, das x(t) numerisch berechnet. unit 1 / Seite 1 Einführung Differenzialgleichungen In physikalischen Anwendungen spielt oft eine Messgrösse in Abhängigkeit von der Zeit die Hauptrolle. Beispiele dafür sind Druck p, Temperatur T, Geschwindigkeit

Mehr

Physik. Lichtgeschwindigkeit

Physik. Lichtgeschwindigkeit hysik Lihtgeshwindigkeit Messung der Lihtgeshwindigkeit in Versuhsaufbau Empfänger s Spiegel Sender l osition 0 d Abb. Versuhsdurhführung Die Spiegel werden auf die osition 0 m geshoben und die hase mit

Mehr

Lösung zu Serie 2. D-ERDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana Cannas. Mathematik II FS März 2016

Lösung zu Serie 2. D-ERDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana Cannas. Mathematik II FS März 2016 Mathematik II FS 6. März 6 Lösung zu Serie Bemerkung: Die Aufgaben der Serie sind der Fokus der Übungsstunden vom./3. März.. a y = x und es wird die ganze Parabel einmal durchlaufen, denn x nimmt alle

Mehr

Gewöhnliche Dierentialgleichungen

Gewöhnliche Dierentialgleichungen Gewöhnliche Dierentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Denition Eine explizite Dierentialgleichung (DGL) nter Ordnung für die reelle Funktion t x(t) hat

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 204/5): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem

Mehr

Klasse ST13a FrSe 14 ungr. Serie 16 (Potenz und Taylorreihen) a) Bestimmen Sie die Grenzen des Konvergenzbereichs der Potenzreihe: 3 k (x 4) k (3k 2)2

Klasse ST13a FrSe 14 ungr. Serie 16 (Potenz und Taylorreihen) a) Bestimmen Sie die Grenzen des Konvergenzbereichs der Potenzreihe: 3 k (x 4) k (3k 2)2 Klasse STa FrSe 4 ungr MAE Serie 6 Potenz und Taylorreihen Aufgabe a Bestimmen Sie die Grenzen des Konvergenzbereihs der Potenzreihe: p b Entwikeln Sie die Funktion f vier Summanden. k k 4 k k k in eine

Mehr

6.3 Exakte Differentialgleichungen

6.3 Exakte Differentialgleichungen 6.3. EXAKTE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 23 6.3 Exakte Differentialgleichungen Andere Bezeichnungen: Pfaffsche Dgl., Dgl. für Kurvenscharen, Nullinien Pfaffscher Formen. 1. Definitionen Pfaffsche Dgl, Dgl.

Mehr

Die nächste Übung ist vom 12.1. auf den 19.1.2012 verlegt worden.

Die nächste Übung ist vom 12.1. auf den 19.1.2012 verlegt worden. Allgemeines Einige Hinweise: Die nähste Üung ist vom.. auf den 9..0 verlegt worden. Die alten Klausuren findet Ihr unter folgendem Link: http://www.wiwi.uni muenster.de/vwt/studieren/pruefungen_marktpreis.htm

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

im Fall einer Longitudinalwelle angeregt wird und die sich in die positive x-richtung eines Koordinatensystems ausbreitet.

im Fall einer Longitudinalwelle angeregt wird und die sich in die positive x-richtung eines Koordinatensystems ausbreitet. Name: Datum: Harmonishe Wellen - Mathematishe eshreibung Da eine Welle sowohl eine räumlihe als auh eine zeitlihe Änderung eines physikalishen Systems darstellt, ist sowohl ihre graphishe Darstellung als

Mehr

, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3

, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3 Prof. Dr. Eck Höhere Mathematik 3 9.3.9 Aufgabe ( Punkte) Gegeben ist der Körper K mit der Parametrisierung x r cos ϕ cos ϑ K : x = Φ(r,ϕ,ϑ) = r sin ϕ cos ϑ, r [, ], ϕ [,π/], ϑ [,π/6]. x 3 r sin ϑ a) Berechnen

Mehr

Lösung der Prüfung Sommer 2009

Lösung der Prüfung Sommer 2009 Prof. D. Salamon Analysis I/II D-MATH, D-PHYS, D-CHAB ETH Zürich. Juni 9 Lösung der Prüfung Sommer 9. Berechnen Sie folgende Grenzwerte: (a) (b) Hinweis: Regel von de l Hospital. ( ( )) lim n n cos n lim

Mehr

Musterlösung zur Klausur zur Vorlesung Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II. am , Zeit: 120 Minuten

Musterlösung zur Klausur zur Vorlesung Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II. am , Zeit: 120 Minuten Musterlösung zur Klausur zur Vorlesung Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II am 5.8.25, Zeit: 2 Minuten Aufgabe (3 Punkte Eine Bakterienkultur hat eine stetige Wachstumsrate von % pro Stunde. Wie

Mehr

Kurven. Darstellungsweisen. Steigung von Kurven. Implizite Funktionen. Bogenlänge. Felder. Kurvenintegrale. Wegunabhängigkeit

Kurven. Darstellungsweisen. Steigung von Kurven. Implizite Funktionen. Bogenlänge. Felder. Kurvenintegrale. Wegunabhängigkeit Ergänzung Kurven Darstellungsweisen Steigung von Kurven Implizite Funktionen Bogenlänge Felder Kurvenintegrale Wegunabhängigkeit Kurven Darstellungsweisen Funktionen und Kurven Wir haben schon zahlreiche

Mehr

Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 1 Lösung. 01. August 2012, 17-19 Uhr

Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 1 Lösung. 01. August 2012, 17-19 Uhr KIT SS 0 Klassische Theoretische Physik II V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch Klausur Lösung 0. August 0, 7-9 Uhr Aufgabe : Kurzfragen (+++4=0 Punkte (a Zwangsbedingungen beschreiben Einschränkungen

Mehr

Mathematik - Oberstufe

Mathematik - Oberstufe Mathematik - Oberstufe Aufgaben und Musterlösungen zu linearen Funktionen Zielgruppe: Oberstufe Gmnasium Shwerpunkt: Geraden, Streken und Dreieke im Koordinatensstem Aleander Shwarz www.mathe-aufgaben.om

Mehr

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen...................................... 3. Potenzreihen..................................

Mehr

Höhenmessung mittels Seeinterferometer unter Ausnutzung der solaren Radiostrahlung

Höhenmessung mittels Seeinterferometer unter Ausnutzung der solaren Radiostrahlung Höhenmessung mittels Seeintererometer unter Ausnutzung der solaren Radiostrahlung Christian Monstein Eine ür Amateure neue Anwendung radioastronomisher Messmethoden besteht in der relativen Höhenmessung

Mehr

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen 6 Gewöhnliche Differentialgleichungen Differentialgleichungen sind Gleichungen in denen nicht nur eine Funktion selbst sondern auch ihre Ableitungen vorkommen. Im einfachsten Fall gibt es eine unabhängige

Mehr

- 1 - zum Extremum macht, wenn y(x) eine bestimmte, genau charakterisierte Funktionenklasse ( n

- 1 - zum Extremum macht, wenn y(x) eine bestimmte, genau charakterisierte Funktionenklasse ( n - 1 - Variationsrechnung Die Variationsrechnung spielt in der Physik eine entscheidende Rolle. So kann man die Grundgleichungen der Newtonschen Mechanik aus einem Lagrangeschen Variationsprinzip herleiten.

Mehr

Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder

Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder DGL Schwingung Physikalische Felder Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder Johannes Wiedersich 23. April 2008 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/

Mehr

6 Differentialgleichungen

6 Differentialgleichungen 88 6 Differentialgleichungen Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion y = y(x) und Ableitungen (die erste oder auch höhere) von y vorkommen. Lösungen einer Differentialgleichung

Mehr

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 1. Übungsblatt

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 1. Übungsblatt Prof Dr M Gerdts Dr A Dreves J Michael Wintertrimester 216 Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 1 Übungsblatt Aufgabe 1 : (Schwimmer Ein Schwimmer möchte einen Fluss der Breite b > überqueren,

Mehr

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Viele Naturgesetze stellen eine Beziehung zwischen einer physikalischen Größe und ihren Ableitungen (etwa als Funktion der Zeit dar: 1. ẍ = g (freier Fall;

Mehr

Musterlösungen Serie 9

Musterlösungen Serie 9 D-MAVT D-MATL Analysis II FS 2013 Prof. Dr. P. Biran Musterlösungen Serie 9 1. Frage 1 Gegeben ist eine lineare und homogene Differenzialgleichung, welche y : x sin x als Lösung besitzt. Welche der folgenden

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Fourier- und Laplace- Transformation

Fourier- und Laplace- Transformation Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik für Ingenieure Fourier- und Lalace- Transformation Teil : Lalace-Transformation Prof. Dr.-Ing. Norbert Hötner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

Mehr

Die Kettenlinie. Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten 9. Mai 2010

Die Kettenlinie. Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten  9. Mai 2010 Die Kettenlinie Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten www.mathe-seiten.de 9. Mai 2010 Abbildung 1.1: Im Bild ist rot die Kettenlinie und blau die Parabel dargestellt. In diesem Artikel machen wir einen kleinen

Mehr

5.4 Uneigentliche Integrale

5.4 Uneigentliche Integrale 89 Wir dividieren die Potenzreihe von sin(t) gliedweise durch t und erhalten sint t = t (t t3 3! + t5 5! + ) = t2 3! + t4 5! +. Diese Reihe ist konvergent für alle t R. Nun integrieren wir gliedweise.

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 45: Gesucht ist die Schnittmenge der beiden Zylinder

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 45: Gesucht ist die Schnittmenge der beiden Zylinder Übungen ur Ingenieur-Mathematik III WS 2/2 Blatt..22 Aufgabe 45: Gesuht ist die Shnittmenge der beiden Zlinder 2 + 2 =, 2 + 2 =. (i Zeigen Sie, dass die Shnittmenge aus wei geshlossenen Kurven besteht

Mehr

Lösungen 0.1. g) x 1 = 1,82; x 2 = 1,9. + q = 0 x 2 p

Lösungen 0.1. g) x 1 = 1,82; x 2 = 1,9. + q = 0 x 2 p Lösungen 0.1 c) Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen: (Buch 11. Klasse) 98/1 a) x 1, = 1,3 b) x 1, = 3,5 c) x 1, = k d) x 1, =,5 e) x 1, = a f) x 1, = t 8 56 98/ a) x 1 = 3; x = 4 b) x 1 = 3; x =

Mehr

Leistungskurs Physik (Bayern): Abiturprüfung 2002 Aufgabe III Atomphysik

Leistungskurs Physik (Bayern): Abiturprüfung 2002 Aufgabe III Atomphysik Leistungskurs Physik (Bayern): Abiturprüfung 2002 Aufgabe III Atomphysik 1. Röntgenstrahlung und Compton-Effekt a) Je nah Entstehung untersheidet man bei Röntgenstrahlung u. a. zwishen Bremsstrahlung,

Mehr

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 14/15 Dr. Hanna Peywand Kiani 27.01.2015 Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Die ins Netz gestellten

Mehr

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0. Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ

Mehr

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 203/4 Blatt 20.0.204 Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag 4. a) Für a R betrachten wir die Funktion

Mehr

11d Mathematik Stefan Krissel. Nullstellen

11d Mathematik Stefan Krissel. Nullstellen d Mathematik..009 Stefan Krissel D E R Z W E I T E S C H R I T T B E I D E R F U N K T I O N S U N T E R S U C H U N G : Nullstellen Der zweite Shritt bei der Untersuhung von Funktionen ist die Untersuhung

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

x 3x 2x 0 2x x x 3 e 4 t t dt 12

x 3x 2x 0 2x x x 3 e 4 t t dt 12 5 Gewöhnlihe Differentialgleihungen 5. Einführung und Definition einer Differentialgleihung, Beispiele Die Shulmathematik hat sih bisher sehr ausgiebig mit dem Lösen von Gleihungen beshäftigt. In diesen

Mehr

3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z

3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z R Es sei f : R n D R eine einmal stetig differenzierbare Funktion, für die in einer Umgebung eines Punkte a = a 1, a,, a n D gilt: fa 1, a,, a n = 0, f xn a 1, a,, a n 0 Dann gibt es eines Umgebung U des

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Allgemeiner Maschinenbau Fahrzeugtechnik Dresden 2002

Mehr

Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II

Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2011 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit

Mehr

Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras

Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras 9..3 Oktober Klausur Analysis II für Ingenieure Rechenteil. Aufgabe Punkte i) Wir berechnen zunächst

Mehr

12. Übungsblatt zur Analysis II

12. Übungsblatt zur Analysis II Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Steffen Roch Nada Sissouno Benno van den Berg WS 9/1 1.1.1 1. Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Aufgabe G1 Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Sei V C 1 (R n,

Mehr

4.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral

4.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral Kapitel 4 Integration 4. Stammfunktionen: das unbestimmte Integral Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation: zu einer gegebenen Funktion f(x) sucht man eine Funktion F (x), deren Ableitung

Mehr

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld Bitte wenden! 1. Die unten stehende Figur wird beschrieben durch... (a) { (x, y) R 2 x + y 1 }. Richtig! (b) { (x,

Mehr

Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Klausur Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) I... II...

Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Klausur Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) I... II... ................ Note I II Name Vorname 1 Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik

Mehr

Ferienkurs Experimentalphysik Musterlösung Probeklausur

Ferienkurs Experimentalphysik Musterlösung Probeklausur Ferienkurs Experimentalphysik 1 2012 Musterlösung Probeklausur 1. Atwoodshe Fallmashine Betrahten Sie die abgebildete Atwoodshe Fallmashine. Der die Massen m 1 und m 2 Abbildung 1: Atwoodshe Fallmashine

Mehr

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 14/15 Dr. Hanna Peywand Kiani 06.07.2015 Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Die ins Netz gestellten

Mehr

Besprechung der thermodynamischen Grundlagen von Wärmekraftmaschinen und Wärmepumpen

Besprechung der thermodynamischen Grundlagen von Wärmekraftmaschinen und Wärmepumpen 3.5 Zustandsänderung nderung von Gasen Ziel: Besrehung der thermodynamishen Grundlagen von Wärmekraftmashinen und Wärmeumen Zustand von Gasen wird durh Druk, olumen, und emeratur beshrieben thermodyn.

Mehr

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall 4. Lösung einer Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) Homogene Differentialgleichungen y'' + a y' + b y = 0 (**) Ansatz: y = e µx, also y' = µ e µx und y'' = µ e µx eingesetzt

Mehr

6 Rotation und der Satz von Stokes

6 Rotation und der Satz von Stokes $Id: rotation.tex,v 1.8 216/1/11 13:46:38 hk Exp $ 6 Rotation und der Satz von Stokes 6.3 Vektorpotentiale und harmonishe Funktionen In 4.Satz 2 hatten wir gesehen das ein auf einem einfah zusammenhängenden

Mehr

Anwendungen des Eigenwertproblems

Anwendungen des Eigenwertproblems Anwendungen des Eigenwertproblems Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung Lineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung Verhalten der Lösung von linearen autonomen DGLS Hauptachsentransformation

Mehr

n e x i E B B z dx dn

n e x i E B B z dx dn Vorlesung Physi III WS 01/013 Es ann also nur eine Normalomponente von D und eine Tangentialomponente von H existieren, die Tangentialomponente von E, sowie die Normalomponente von B vershwinden. Daraus

Mehr

Musterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung

Musterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung Musterlösungen zu n über gewöhnliche Differentialgleichungen a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung y + - y = e - ln, > 0 Man gebe die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung an Wie lautet

Mehr

Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil 1

Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil 1 Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil -E -E Trennung der Variablen Die Differenzialgleichung. Ordnung mit getrennten Variablen hat die Gestalt f ( y) dy = g (x) dx Satz: Sei f (y) im Intervall I und g

Mehr

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- +... +

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 13 Technik A II - Lösung mit CAS

Abiturprüfung Mathematik 13 Technik A II - Lösung mit CAS GS.6.6 - m6_3t-a_lsg_cas_gs.pdf Abiturprüfung 6 - Mathematik 3 Technik A II - Lösung mit CAS Teilaufgabe Gegeben ist die Funktion f mit ( x ) mit der Definitionsmenge D ( x ) ( x 3) f IR \ { ; 3 }. Teilaufgabe.

Mehr

Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 2. Übung (KW 44) Schräger Wurf ) Bootsfahrt )

Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 2. Übung (KW 44) Schräger Wurf ) Bootsfahrt ) Physik ET, WS Aufaben mit Lösun. Übun (KW 44). Übun (KW 44) Aufabe (M.3 Schräer Wurf ) Ein Ball soll vom Punkt P (x, y ) (, ) aus unter einem Winkel α zur Horizontalen schrä nach oben eworfen werden. (a)

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen XIV Gewöhnliche Differentialgleichungen Definition 4. : Sei n IN, F : D(F IR n+2 IR. Gewöhnliche DGL n ter Ordnung a F (x, y, y,..., y (n = heißt gewöhnliche Differentialgleichung (DGL n ter Ordnung. Läßt

Mehr

Übungsaufgaben Mathematik II Sommersemester 2012 Fachhochschule Köln, Institut für Produktion Prof. Dr. Gerhard Ise

Übungsaufgaben Mathematik II Sommersemester 2012 Fachhochschule Köln, Institut für Produktion Prof. Dr. Gerhard Ise Übungsaufgaben Mathematik II Sommersemester 202 Fachhochschule Köln, Institut für Produktion Prof. Dr. Gerhard Ise Aufgabe A : (Stammfunktionen) 0a003 Integrieren Sie durch Angabe einer Stammfunktion:

Mehr

1 Analysis Kurvendiskussion

1 Analysis Kurvendiskussion 1 Analysis Kurvendiskussion 1.1 Allgemeingültige Betrachtungen Die folgenden aufgezeigten Betrachtungen und Rechenschritte gelten für alle Arten von Funktionen. Funktion (z.b. Polynom n-ten Grades) Schreibweise

Mehr

10 Variationsrechnung

10 Variationsrechnung 10 Variationsrechnung Gegenstand der Variationsrechnung sind Funktionale, also Abbildungen, die einer Funktion eine Zahl (den Wert des Funktionals) zuordnen. Beispiel eines Funktionals ist die Länge einer

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe / Dr Hanna Peywand Kiani 722 Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lineare Differentialgleichungssysteme,

Mehr

Testvorbereitung: Integrierender Faktor

Testvorbereitung: Integrierender Faktor Testvorbereitung: Integrierender Faktor Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien,.02.2007 Voraussetzung: Kenntnis der exakten Differentialgleichungen! Theoretische Grundlagen Eine nicht exakte

Mehr

Serie 4. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2015

Serie 4. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2015 Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 05 Serie 4. Finden Sie die lokalen Extrema der Funktionen f : R R auf dem Einheitskreis S = {x, y R : x + y = } und geben Sie an, ob es sich um ein lokales Minimum

Mehr

Musterlösung Klausur Mathematik (Wintersemester 2012/13) 1

Musterlösung Klausur Mathematik (Wintersemester 2012/13) 1 Mustelösung Klausu Mathematik Wintesemeste / Aufgabe : 8 Punkte Fü die Nahfage Dp nah einem Podukt als Funktion seines Peises p sollen folgende Szenaien modelliet weden:. Wenn de Peis um einen Euo steigt,

Mehr

Bezeichnung von Funktionen x := y:=

Bezeichnung von Funktionen x := y:= Bezeichnung von Funktionen x := y:= Bezeichnung von Funktionen x := y:= Analytische Darstellung (Funktionsgleichung) Explizit: (aufgelöst nach y) Analytische Darstellung (Funktionsgleichung) Explizit:

Mehr

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt

Mehr

Wellen und Dipolstrahlung

Wellen und Dipolstrahlung Wellen und Dipolstrahlung Florian Hrubesh 7. März 200 Inhaltsverzeihnis Wellen. Wellen im Vakuum........................... 2.. Lösung der Wellengleihung................. 2..2 Energietransport / Impuls

Mehr

Physik I Übung 11 - Lösungshinweise

Physik I Übung 11 - Lösungshinweise Physik I Übung 11 - Lösungshinweise Stefan Reutter SoSe 2012 Moritz Kütt Stand: 04.07.2012 Franz Fujara Aufgabe 1 Das Lied der Moreley Die shöne Moreley singe eine besondere Art von Welle, die ein sehr

Mehr

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. F. Hettlich Dr. S. Schmitt Dipl.-Math. J. Kusch Karlsruhe, den 09.06.20 Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik

Mehr

x(t) := 1 k definierte Funktion. (a) Berechnen Sie ẋ(t) und ẍ(t). (b) Zeigen Sie, daß die Funktion x = x(t) eine Lösung der Differentialgleichung

x(t) := 1 k definierte Funktion. (a) Berechnen Sie ẋ(t) und ẍ(t). (b) Zeigen Sie, daß die Funktion x = x(t) eine Lösung der Differentialgleichung Übungen (Aufg. u. Lösungen) zu Mathem. u. Lin. Algebra II SS 26 Blatt 7 3.5.26 Aufgabe 33: Die Funktion f : R R sei stetig. Betrachten Sie die durch x(t) : 1 k f(u) sin (k(t u)) du definierte Funktion.

Mehr

10. Grassmannsche Vektoren und die Drehungen im Raum.

10. Grassmannsche Vektoren und die Drehungen im Raum. 10. Grassmannshe Vektoren und die Drehungen im Raum. Wir haen in der vorigen Vorlesung gesehen wie man Gegenstände im Raum vermöge der Zentralprojektion als Figuren in der Eene perspektivish genau darstellen

Mehr

2.3 Klassische Variationsprobleme

2.3 Klassische Variationsprobleme 58 Kapitel. Variationsrechnung.3 Klassische Variationsprobleme Wir werden nun zwei klassische Variationsprobleme behandeln, die bei der Entwicklung der bisher vorgestellten Methoden eine wichtige Rolle

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen Notizen zur Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen G Sweers Wintersemester 08/09 ii Inhaltsverzeichnis Einführung Modelle 2 Explizite Lösungen 4 2 Trennbar 5 22 Linear erster Ordnung 6 23 Homogen

Mehr

Tutorium Mathematik II, M Lösungen

Tutorium Mathematik II, M Lösungen Tutorium Mathematik II, M Lösungen 7. Juni 201 *Aufgabe 1. Gegeben seien fx, y = xy 2 8e x+y und P = 1, 2. Der Gradient von f ist genau an der Stelle P Null. a Untersuchen Sie mit Hilfe der Hesse-Matrix,

Mehr