TI-89 Grenzen und Möglichkeiten

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1 TI-89 Grenzen und Möglichkeiten René Grothmann 10. Februar 2003 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Algebraische Taschenrechner Neue Aufgaben Aufgaben Zykloiden Ballistik Iteration und Chaos Sphärische Geometrie Differentialgleichungen Anhang TI TI HP

2 1 Einleitung 1.1 Algebraische Taschenrechner Der TI-89 ist einer der neuartigen Taschenrechner, die zusätzlich zum üblichen Rechenwerk ein Algebrasystem enthalten, und damit nicht nur für numerische Rechnungen, sondern auch für symbolische Rechnungen geeignet sind. Der Autor benutzte lange Zeit einen HP48X, der ein algebraisches System mit der für HP-Rechner typischen umgekehrten polnischen Notation verknüpfte und schon seit Beginn der Neunziger Jahre auf dem Markt war. Allerdings war das System nicht leistungsfähig genug und überdies nicht leicht zu bedienen. Hewlett- Packard, Texas Instruments und auch Casio haben inzwischen mit weiter entwickelten Rechnern nachgezogen. Man kann nun prinzipiell die Frage stellen, ob es noch sinnvoll ist Taschenrechner einzusetzen, wenn doch auf dem PC weitaus leistungsfähigere Programme zur Verfügung stehen, wie etwa Maple, oder auf dem numerischen Sektor MatLab, oder entsprechende Freeware, wie Euler, Octave, MuPad. Die Antwort erschließt sich, wenn man an die Nutzung in der Schule denkt. Ein PC ist dort immer noch ein Fremdkörper im Klassenzimmer, der allein durch seine Größe stört. Hinzu kommt die Kostenfrage, der Strombedarf, das Betriebsgeräusch und die Transportfrage, für die ein Notebook wegen der immer noch zu geringen netzunabhängigen Laufzeiten nur eine Teilantwort ist. Ein Taschenrechner kostet eben nur ein Zwanzigstel, hat eine hundertmal längere Laufzeit ohne Wartung und wiegt nur ein Zehntel eines Notebooks. Die Situation mag sich allerdings in nächster Zeit entscheidend ändern, wenn Taschenrechner leistungsfähiger oder Personal Computer kleiner und handlicher werden. Taschenrechner sind kleiner, leichter, schneller betriebsbereit und länger netzunabhängig. Die wesentlich Nachteile eines Taschenrechners sind die kleinere Bildschirmauflösung, die ungewohnte Tastatur mit ihren zahlreichen Doppelbelegungen und die geringe Geschwindigkeit. TI hat versucht, mit Hilfe des TI92 das Problem der Tastatur zu lösen, wobei gleich auch eine größere Anzeige möglich wurde. Allerdings fällt der TI92 schon deutlich globiger als das normale Taschenrechnerformat aus. Für den Schulgebrauch mag er ein guter Kompromiss sein. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, zumindest bei der Erstellung von Programmen auf den PC zurück zu greifen, und die erstellten Programme nach einem Test auf dem Simulator auf den Taschenrechner zu laden. Die Tabelle 1 gibt nur ungefähre Größenordnungen wieder. Inbesondere sind beim Preisen die Anschaffungskosten für die Software (Betriebssystem, Maple, MatLab, Geometriesoftware) nicht berücksichtigt. Diese Kosten können je nach Lizenz ziemlich hoch sein. 2

3 Taschenrechner PC (Notebook) Preis 150 Euro 1500 Euro Gewicht 100 g 2000 g Größe cm cm Laufzeit 200 h 2 h Auflösung Geschwindigkeit 100 Ops/sec Ops/sec Tabelle 1: Taschenrechner vs. PC 1.2 Neue Aufgaben Man kann sich fragen, warum neue Aufgaben überhaupt notwendig sind. Ist denn nicht jede konventionelle Schulaufgabe als Herausforderung für den Rechner geeignet? Schnell stellt sich allerdings heraus, dass Schulaufgaben alten Typs durch einen algebraischen Rechner trivial werden. Es sind tatsächlich neuartige Aufgabenstellungen erforderlich. Dabei geht es nur in erster Linie um Quantität, also um die Komplexität der notwendigen Rechnungen. Das wichtigere Ziel muss eine Qualitätssteigerung im mathematischen Gehalt sein. Bei einer Schulaufgabe ohne Rechenhilfsmittel ist nämlich die Komplexität der Rechnungen gerade so eingestellt, dass die Aufgabe bei Rechnung von Hand in der gegebenen Zeit noch machbar ist. Die Rechenzeit geht dann natürlich auf Kosten der Zeit, die zum Verständnis der Aufgaben und zum Nachdenken über Lösungswege zur Verfügung steht. Zudem ist ein Experimentieren mit verschiedenen Lösungsansätzen durch die Zeitbeschränkung nicht möglich. Mit einem algebraischen Rechner sollte der Rechenvorgang nur einen kleinen Teil der zur Verfügung stehenden Zeit einnehmen. Es bleibt daher viel mehr Raum, die Aufgabe zu verstehen, den Rechenweg zu planen und eventuelle Irrwege zu korrigieren. Es sollte außerdem noch soviel Muße bleiben, dass die Lösung mit speziellen Werten numerisch oder grafisch überprüft werden kann. Algebrasysteme ermöglichen komplexe, interessante und angewandte Aufgaben, und geben Zeit für Irrwege und die Kontrolle des Ergebnisses. Erforderlich sind daher neue Aufgaben. Bei diesen neuen Aufgaben dürfen die Rechnungen komplexer sein, weil ja ein Hilfsmittel zur Verfügung steht. Die Hautpschwierigkeit sollte nun das Auffinden eines geeigneten Rechenwegs sein. Eine weiterer Schwerpunkt liegt dann auch in der Interpretation der Rechenergebnisse, die das System liefert. Der mechanische Rechenvorgang tritt in der Hintergrund, dafür tritt das Verständnis des Problems, sowie die Suche nach einem gangbaren Lösungsweg in den Vordergrund. Textaufgaben werden bevorzugt. Der Unterschied mag zwar im Endeffekt quantitativer Natur sein, bewirkt 3

4 aber in Wirklichkeit eine qualitativen Verbesserung der behandelten Mathematik. Da der Rechner unter Umständen sehr komplexe Lösungen oder große Zahlenmengen erzeugt, wird die Interpretation und die Überprüfung dieser Lösungen wichtig. Geeignete Mittel sind das Einsetzen spezieller Werte oder auch die visuelle Kontrolle mit Grafiken. Auch Grenzfälle oder Approximationen, die aus dem Ergebnis hergeleitet werden, können Anhaltspunkte zur Interpretation der Lösung bieten. Es sind gerade solche Textaufgaben, die dem Schüler besondere Schwierigkeiten bereiten. Aus diesem Grunde darf man nicht erwarten, dass Schüler ständig wirklich kreative Lösungswege finden. Wie bisher wird der Hauptteil der Aufgaben auf die geschickte und sachgemäße Anwendung von Schablonen hinauslaufen. Entscheidend ist, dass das Niveau der Mathematik durch eine Befreiung vom Einüben und Abfragen von Rechenkalkülen gesteigert wird. Damit sollte es dann möglich sein, wesentlich interessantere und angewandtere Aufgaben anzugehen, die bisher aufgrund ihrer Rechenkomplexität nicht zugänglich waren. Nur wenn das möglich ist, machen Algebrasysteme einen Sinn. Nun muss gesagt werden, dass das Einüben von Kalkülen nicht nur eine bloße Zeitverschwendung ist. Es trägt durchaus auch zum Verständnis bei, weil durch der Zeit, die für Rechnungen aufgewendet wird, eine Beschäftigung mit dem Rechenweg an sich zwingend wird. Ein Taschenrechner andererseits verleitet dazu, den Rechenweg und die verwendeten Größen für unbedeutend zu halten. Als Kompromiss bietet sich an, einfache Aufgaben per Hand durch zu rechnen, bevor der Rechner benutzt wird. Natürlich müssen diese Kenntnisse dann auch in Schulaufgaben abgefragt werden, wodurch es zu einer lästigen Zweiteilung des Unterrichts und der Schulaufgabe kommt. Außerdem geht ein Teil der Zeitersparnis wieder verloren. Dem Autor scheint es aber unbedingt notwendig, die normale Rechnung ohne Hilfsmittel wenigstens ein Stück weit zu betreiben. Auf eine rudimentäre Beherrschung des Kalküls kann nicht verzichtet werden. 2 Aufgaben Die folgenden Aufgaben sollen die Grenzen des TI89 ausloten. Es stellt sich heraus, dass viele der Aufgaben tatsächlich nur mit Mühe auf einem solchen Taschenrechner bewältigt werden können. Zum einen liegt das an Einschränkungen des eingebauten Algebrasystems, die aber bei zukünftigen Versionen behoben werden könnten, was ja PC-Systeme wie Maple zeigen. Zum anderen liegt es einfach an der fehlenden Geschwindigkeit, insbesondere im numerischen Bereich bei der Abarbeitung umfangreicherer Programme. 4

5 Natürlich wäre es auch sinnvoll, praktisch verwertbare Aufgabensammlungen zu erstellen, die direkt im Unterricht eingesetzt werden könnten, möglichst mit Unterrichtsblättern. Dieser Text ist dafür nicht geeignet. Stattdessen versucht er, dem interessierten Lehrer zu zeigen, welche Aufgaben mit einem TI89 angegegangen werden können, wenn dieses Werkzeug ausreizt. Ich habe hin und wieder die Ergebnisse und Rechenvorgänge des TI89 mit den Programmen Maple V und MuPad 2.5 verglichen. Es stellt sich heraus, dass auch diese kommerziellen und nicht gerade billigen Programme Fußanglen haben. Die Aufgaben werden nur skizzenhaft gelöst, damit der Leser auch noch seine Freude am Entdecken von Lösungswegen hat. Fast alle Aufgaben könnten sicherlich auch anders bearbeitet werden. Für entsprechende Hinweise bin ich dankbar. 2.1 Zykloiden Aufgabe 1: Welchen Weg legt ein Punkt zurück, der mit einem Rad mit Radius 1m in der Ebene genau eine Umdrehung abrollt? Das erste Hindernis besteht darin, den Weg des Punktes zu parametrisieren. t (x(t), y(t)). Der Mittelpunkt des Rades (in 1m Höhe) bewege sich mit 1m/sec nach rechts. Wenn der Punkt zur Zeit 0 in (0, 0) den Boden berührt, so ist der zur Zeit 2π nach einer vollen Umdrehung des Rades in (2π, 0). Zur Zeit π befindet er sich in (π, 2) auf dem Zenit seines Weges. Also x(t) = t + cos( t π/2) = t sin(t) und y(t) = 1 + sin( t π/2) = 1 cos(t). Der TI-89 kann hierbei den Weg parametrisch plotten, und ist daher eine große Hilfe in der Überprüfung der Parametrisierung. 5

6 Um die Länge diese Kurve zu berechnen, haben wir 2π 0 x (t) 2 + y (t) 2 dt auszurechnen. Der Rechner berechnet das Integral zu 8., was korrekt ist, aber nur numerisch berechnet wurde. Um ein exaktes Integral zu erhalten, muss man dem Rechner helfen. Zunächst berechnet man den Integranden automatisch zu x (t) 2 + y (t) 2 = 2(cos(t) 1). Von dieser Funktion kennt der TI-89 leider keine Stammfunktion. Es hilft aber hier die Substitution t = cos 1 (x), die man ebenfalls automatisch durchführen kann. ( 2(cos(t) 1) t = cos 1 d (x)) dx cos 1 (x) = 2(x 1). 1 x 2 Die Ausdrücke wurden hier so belassen, wie sie der Rechner auswirft. Offenbar lässt sich der Ausdruck rechts mit der binomischen Formel vereinfachen, was aber nur gelingt, indem man ihn quadriert, faktorisiert und wieder die Wurzel nimmt. 2 factor(ans(1) 2 ) = x + 1. Die Behandlung von Wurzeln ist eine Schwäche des TI-89. Nun kennt er auch eine Stammfunktion, deren Vereinfachung mit demselben Trick möglich ist. Rücksubstition von x = cos(t) ergibt die Stammfunktion F (t) = 2 cos(t) C. Nun muss man wieder vorsichtig sein, da die Substitution nur im Bereich [0, π] gültig war. Aber in der Tat 2(F (π) F (0)) = 8. Zum Vergleich berechnet Maple V das Integral sofort exakt, gibt es jedoch lustigerweise als 4 4 aus. MuPad 2.5 hat an dieser Stelle eine Bug. Es berechnet das Integral von 2 2 cos t, wenn man diesen Ausdruck per Hand eingibt, nicht jedoch, wenn er als Ergebnis der Vereifachung von x (t) 2 + y (t) 2 auftritt, die der Benutzer hier ohnehin von Hand anstoßen muss. Aufgabe 2: Wie groß ist die Fläche unter der Kurve? Hier muss man in die Trickkiste greifen, da sich x(t) = x nicht einfach nach t auflösen lässt, so dass man eine Funktion y(x) erhalten könnte. Aber y(t) = y lässt sich nach t auflösen, so dass man eine Funktion x(y) erhält. Damit kann man die Fläche zwischen der Kurve und der Geraden y = 2 im Bereich 0 x π berechnen. Im Unterschied zu Maple V gibt der TI89 bei der automatischen Auflösung von y = 1 cos(t) nach t allerdings alle Lösungen in einer recht komplexen 6

7 Darstellung aus, die außerdem mit Nebenbedingungen gespickt ist. Man muss den gesuchten Wert t = cos 1 (y 1) erst herausfiltern oder eben einfach per Hand berechnen. Setzt man diesen Wert in x(t) ein, so erhält man x(y) = cos 1 (y 1) y(2 y). Dann integriert man diese Auflösung im Intervall [0, 2] und erhält automatisch π/2. Also ergibt sich die Fläche unter der Kurve als Differenz der Rechteckfläche und dem Doppelten der gerade berechneten Fläche. Die Alternative ist, die Fläche als F = 2 (2π) 2 (π/2) = 3π. 2π 0 y(t) dx(t) = 2π 0 y(t)x (t) dt automatisch mit demselben Ergebnis zu berechnen. Diese Formel begründet man am besten mit einer Riemannschen Zwischensumme deren x-achsenunterteilungen gleich x(t + dt) x(t) gewählt werden. Aufgabe 3: Welchen Weg legt ein Punkt auf einer Kreisscheibe zurück, die innen an einer größeren Kreisscheibe entlang rotiert? Der Punkt soll während eines Umlaufs den größeren Kreis in genau 4 Punkten berühren. Die erste Schwierigkeit ist geometrischer Natur. Nehmen wir an, dass der Punkt die äußere Kreisscheibe jeweils in (±1, 0) und (0, ±1) berührt, beginnend in (1, 0). Die Spur des Punktes führt dann nach links oben zum Punkt (0, 1). Wenn der äußere Kreis der Einheitskreis ist, wie groß muss dann der innere Kreis sein? Dies wird oft falsch gelöst. Der innere Kreis rotiert zwar nur 3 mal bei seinem Umlauf, aber sein Umfang muss 1/4 des Umfangs des größeren Kreises sein. Die Paramterdarstellung ist daher x(t) = 3 4 cos(t) cos( 3t), y(t) = 3 4 sin(t) sin( 3t). Man beachte, dass sich die innere Scheibe mathematisch negativ dreht. Zur Kontrolle der Parameterdarstellung sollte man den Weg plotten. Diese Kurve heißt Astroide. 7

8 Der TI-89 kann automatisch die trigonometrischen Formeln expandieren, so dass man x(t) = cos(t) 3, y(t) = sin(t) 3 erhält. Die Länge 6 dieser Kurve wird ebenfalls automatisch berechnet, wenn man x (t) 2 + y (t) 2 zunächst trigonometrisch expandiert, und nur von 0 bis π/2 integriert. Maple V gibt das Ergebnis wieder als 3 2 aus, allerdings auch ohne, dass man die Zwischenschritte durch expandieren vereinfachen muss. Mit MuPad gelang weder die Vereinfachung der Parametriesierung, noch die exakte Integration. Die Integration misslang in diesem Programm selbst dann, wenn man den Integranden zuerst expandierte und dann vereinfachte, weil MuPad π/ cos(4t) dt 8 0 nicht automatisch berechnen konnte. Erst, wenn man 9/8 aus dem Integral herauszieht, gelingt die Berechnung. Aufgabe 4: Welche Fläche umschließt die Astroide? Dies kann man dadurch lösen, dass man die Kurve im oberen rechten Quadranten als Funktion y(x) = sin(cos 1 (x 1/3 )) darstellt. Die Fläche wird automatisch zu 3π/4 berechnet, also als 3/4 des Einheitskreises. Aufgabe 5: Welchen Weg legt ein Punkt auf einem Kreis zurück, der auf einem anderen, gleich großen Kreis außen abrollt? Welche Fläche umfährt der Punkt? Die Weglänge 16 findet der Rechner mit der Substitution t = cos 1 (8x) wie oben exakt, aber erst nachdem man trigonometrische Vereinfachungen anwendet. Stellt man hier y(t) als Funktion von x(t) dar, so entsteht eine erstaunlich komplizierte Funktion y(x) = 1 ( 2(x 3 2x) 6 4x x ) 3 2x, 2 8

9 die allerdings nur den unteren Zweig der Kurve in der oberen Halbebene umfasst (t [0, π/3], entsprechend x [1, 3/2]). Natürlich kann der TI-89 diese Funktion nicht mehr exakt integrieren. Man findet y(x) übrigens, indem die Parameterdarstellung von x(t) trigonometrisch expandiert, dann cos(t) durch c ersetzt und nach c auflöst. Man erhält zwei Möglichkeiten für t = t(x), die dem oberen und dem unteren Zweig der Kurve entsprechen. Nun vereinfacht man noch y(t(x)) durch trigonometrisches Expandieren. Der obere Zweig wird nun von 3 bis 3/2 numerisch integriert, und davon das Integral des unteren Zweiges von 1 bis 3/2 abgezogen. Insgesamt ergibt sich eine Fläche von Teilt man diese Antwort durch π, so stellt man fest, dass die exakte Antwort wohl 6π ist. Allerdings findet der Rechner die umfahrene Fläche exakt und spielend leicht, wenn man die Parameterdarstellung direkt verwendet. F = 2π 0 x (t)y(t) y (t)x(t) 2 Diese Formel begründet man mit der Determinantenformel für die Fläche eines Parallelogramms, die man auf die Flächen der Dreiecke mit den Ecken (x, y), (x+dx, y +dy), (0, 0) anwendet, wobei man dx = x (t)dt und dy = y (t)dt setzt. dt. 2.2 Ballistik Aufgabe 1: Welche Punkte im Raum lassen sich von einer Kanone erreichen, die in Winkeln zwischen 0 und 90 schießen kann? Die Luftreibung soll vernachlässigt werden. Mit der Austrittsgeschwindigkeit v und der Fallbeschleunigung g parametrisiert man den Weg der Kugel als x α (t) = vt cos(α), y α (t) = vt sin(α) 1 2 gt2. Löst man x α (t) = x nach t auf und setzt dieses t in y α (t) ein, so erhält man eine Formel für die Höhe der Kugel im Abstand x, nämlich y α (x) = tan α gx 2 2(cos α) 2 v 2. Nun suchen wir ein α, das y α (x) bei festem x maximiert, und zwar nicht mit der Funktion fmax, sondern einfach durch Nullsetzen der Ableitung. Es unendliche viele Nullstellen der Form ( ) v α = tan nπ gx 9

10 berechnet. Man muss hier einfach n = 0 wählen und dieses α in y α (x) einsetzen. Der TI-89 führt die notwendigen trigonometrischen Vereinfachungen automatisch durch. Die erreichbare Fläche liegt unter der Parabel p(x) = v4 g 2 x 2 2gv 2. Im Bild wurden die berechnete Parabel und einige Kanonenschüsse y 2 (x) =... α = {45, 60, 70, 80 } eingezeichnet, wobei v = 100m/s und g = 10m/s 2 gesetzt wurde. Die maximal erreichbare Höhe beträgt dann 500m. Die maximal erreichbare Weite 1000m bei einem Winkel von α = 45. Aufgabe 2: Um wieviel später muss man eine Kugel aus 45 abschießen, damit sie eine Kugel in der Luft trifft, die mit 60 in die gleiche Richtung abgeschossen wurde? Zunächst kann man die Aufgabe graphisch im Beispiel v = 100m/s und g = 10m/s 2 lösen, indem man den Trace-Modus verwendet. Man findet, dass die Kugeln in ca. 200m Höhe und einem Abstand von ca 750m zusammen stoßen. Die exakte Rechnung kann automatisch durchgeführt werden, indem man die Gleichungen x 45 (t + d) = x 60 (t), y 45 (t + d) = y 60 (t) nach t und d löst. Die Gleichungen werden exakt gelöst. Numerisch findet man mit den Beispielzahlen, dass man um s früher schießen muss. Aufgabe 3: Für welchen Winkel α wird die Fläche maximal, die unter der Ballkurve liegt. Dies ist eine einfache Aufgabe, bei der man zunächst die Zeit T α ermitteln muss, nach der die Kugel bei einem Abschusswinkel α auf die Erde trifft. Danach kann man die Fläche mit Tα 0 y α (t)x α(t) dt berechnen. Alternativ kann man natürlich auch y α (x) aufstellen und verwenden. Übrigens ist die Fläche nicht bei π/4 maximal. Aufgabe 4: Berücksichtigen Sie den Luftwiderstand, der mit dem Quadrat der Geschwindigkeit zunehme. 10

11 Dies ist nur numerisch zu erledigen. Dazu verwendet man die Differentialgleichungen y (t) = g κy (t)v(t), x (t) = κx (t)v(t), wobei ( v(t) = x y (t)) die Geschwindigkeit ist. Der Betrag der durch den Luftwiderstand verursachten negative Beschleunigung ist dann κv(t) 2. Die Anfangswerte sind y(0) = 0, y (0) = sin(α)v(0), x(0) = 0, x (0) = cos(α)v(0). Das obige Bild entstand mit g = 10m/s 2, α = 45, v(0) = 50m/s und κ = /m. Zum Vergleich dieselbe Flugbahn mit κ = 0, also ohne Luftwiderstand. 2.3 Iteration und Chaos Aufgabe 1: Für welche Werte von λ (1, 4) konvergiert die Iteration u 0 = 1/2, u n+1 = λu n (1 u n ). Das Intervall (1, 4) ist so gewählt, dass die Funktion g λ (x) = λx(1 x) einen Fixpunkt z λ im Intervall (0, 1) hat, und die Iteration immer in diesem Intervall bleibt. Außerdem ist der andere Fixpunkt 0 stets abstoßend, so dass als Konvergenzpunkt nur z α in Frage kommt. Die Untersuchungen startet man auf dem TI-89 am besten im Grafikmodus Sequence. Die Iterationsformel lässt sich samt Startwert eingeben. Stellt man die Achsen auf Web und ruft Trace auf, so erhält man für λ = 2.9 im Intervall [0, 1] das folgende Bild. 11

12 Die Konvergenz hängt von der Ableitung im Fixpunkt z λ = 1 1/λ ab. Mit der Bedingung g λ (z λ) < 1 (Mittelwertsatz), erhält man Konvergenz, falls λ < 3, und Divergenz für λ > 3. Untersuchen wir den Grenzfall λ = 3. Mit dem Rechner weist man nach, dass g 3 (g 3 (x)) = x nur die Lösungen 0 und z 3 = 2/3 hat. Durch Einsetzen von Werten erhält man g 3 (g 3 (x)) > x für x < 2/3, und das umgekehrte Verhalten für x > 2/3. Also ist u 2n streng monoton wachsend, und u 2n+1 streng monoton fallend. Daraus folgt die Konvergenz, und der Grenzwert kann nur 2/3 sein. Man rechnet nach, dass für λ = 3 die Ableitung g 3(z 3 ) = 1 ist, und die Ableitung von g 3 (g 3 (z 3 )) gleich 1. Aufgabe 2: Für welche λ > 3 konvergiert die Iteration v 0 = 1/2, v n+1 = g λ (g λ (v n )). Man sieht zum Beispiel für λ = 3.2, dass sich drei Fixpunkte ergeben. Der TI-89 rechnet diese Fixpunkte exakt aus. x = 0, x = 1 1 λ, x = λ + 1 λ 3 λ + 1 2λ ±. 2λ Die Ableitung von g λ (g λ (x)) in den neuen Fixpunkten ist 1 für λ = 3 und 1 für λ = Die Konvergenz ist also für λ [3, ) gesichert. Die Folge (u n ) selbst springt zwischen den beiden neuen Fixpunkten hin und her. Die Ableitung von g λ (g λ (x)) im alten Fixpunkt z λ ist immer größer als 1. Dieser Fixpunkt ist also abstoßend. 12

13 Aufgabe 3: Untersuchen Sie die Häufungspunkte der Folge (u n ) für λ (1, 4). Dies kann nur noch numerisch geschehen. Dazu schreibt man ein kleines Programm, dass für große M und K > M die Folgenglieder u M,..., u K plottet, und zwar für alle λ (1, 4). Da der Bereich λ (1, 3) wegen der Konvergenz uninteressant ist, zeigt das folgende Bild den Bereich (2.8, 4). Man nennt dieses Diagramm nach seinem Erfinder Feigenbaum-Diagramm. Der TI-89 ist für solche Programme nicht gerade gut geeignet. Er benötigt für das Bild dann auch mehrere Minuten. Hier ist ein Ausschnitt des Bildes im Bereich λ (3.4, 2.6). Offenbar spalten sich die Häufungspunkte mit wachsendem λ in zwei neue Häufungspunkt auf, die für weiter wachsendes λ wieder abstoßend werden. Dann spalten sich diese Häufungspunkte erneut auf. Alle 2 n Häufungspunkte werden zyklisch durchlaufen. Wenn die Häufungspunktbereiche zusammen wachsen, wird das Verhalten chaotisch. Im Bild erkennt man einen Bereich, indem drei Häufungspunkte existieren. Man findet diesen Bereich durch experimentieren mit der Funktion g λ (g λ (g λ (x))). Hier noch das Programm für das Feigenbaum-Diagramm. chaos(a,b) Prgm Local i,j,l,y FnOff : For i,0,76 : PxlHorz i,0 : EndFor 0.5 y For i,0,156 a+i*(b-a)/(156.) l For j,1,50 : l*y*(1-y) y : EndFor For j,1,50 : l*y*(1-y) y : PxlOn ipart(76-76*y),i : EndFor EndFor EndPrgm 13

14 2.4 Sphärische Geometrie Aufgabe 1: Zeichnen Sie ein Bild des Großkreises durch 60 Nord und 0 W/O, sowie 60 Nord und 180 W/O. Als Koordinaten verwenden Sie einfach den Längen- und den Breitengrad. In welchem Breitengrad schneidet dieser Großkreis den Längengrad 10 Ost? Wenn der Nordpol der Einheitskugel in (0, 0, 1) und der Schnitt des 0-ten Längengrades mit dem Äquator in (1, 0, 0) ist, dann ist der gesuchte Großkreis durch Drehung des 90/270-ten Längengrads um 60 Grad längs der y-koordinate zu berechnen. Also cos(x) 0 sin(b) cos(t) cos(t) cos(b) sin(t) = sin(t) sin(b) 0 cos(b) 0 cos(t) sin(b) Diese Funktionen kann man im Rechner programmieren. Mit b = 60 erhält man die Parametrisierung cos(t)/2 a(t) = sin(t) 3 cos(t)/2 Zum Zeichnen kann man die eingebaute Funktion R > P θ verwenden, die den Winkel der Polarkoordinaten aus rechtwinklige Koordinaten berechnet. Man verwendet einen parametrischen Plot mit den Funktionen und xt 1 (t) = R > P θ(a(t)[1, 1], a(t)[2, 1]) xt 2 (t) = R > P θ( a(t)[1, 1] 2 + a(t)[2, 1] 2, a(t)[3, 1]). Die Notation a(t)[i, 1] ist nicht sehr elegant und es mag angebracht sein, eigene Funktionen a i (t) für diesen Zweck zu definieren. Das Problem des Schnittes mit dem 10-ten Längengrad lässt sich entweder grafisch oder oder mit dem Solver lösen. Als Gleichung verwenden wir einfach xt 1 (t) =

15 Danach ergibt sich der gesuchte Breitengrad zu mit xt 2 (t) DMS. Aufgabe 2: Welche Seitenlänge hat ein gleichseitiges Dreieck auf der Einheitskugel bei gegebenen Eckwinkeln? Berechnen Sie den sphärischen und den Euklidischen Abstand der Eckpunkte. Am einfachsten parametrisiert man die Oberfläche durch u(l, b) = (cos(l) cos(b), sin(l) cos(b), sin(b)). Dies sollte man als Funktion u definieren. Danach kann man den Abstand zweier Punkte auf demselben Breitengrad einfach durch norm (u(0, π/2 y) u(x, π/2 y)) ausdrücken, wobei x die Differenz der Längengrade, und y der in Grad gemessene Abstand zum Pol ist. Will man, dass die zwei Punkte mit dem Pol ein gleichseitiges Dreieck bilden, so muss man diesen Ausdruck gleich norm (u(0, π/2) u(0, π/2 y)) setzen. Dies kann man auf dem TI tun, wobei es praktisch ist, die beiden Abstände vorher zu quadrieren. Die entstehende Gleichung 2(cos(y) 1) = 2(cos(x) 1)(sin(y)) 2 kann nicht automatisch nach y aufgelöst werden. Man kann hier zunächst y = arccos(t) substituieren, und nach t lösen, wobei man die Nebenbedingung t > 0 setzen kann. Nach Rücksubstitution erhält man cos(y) = cos(x) 1 cos(x). Der Euklidische Abstand errechnet sich dann mit geometrischen Überlegungen zu l(x) = 2 2 cos(y). Aufgabe 3: Berechnen Sie die Oberfläche des Ikosaeders, dessen Ecken auf der Einheitskugel liegen. Diese Aufgabe lässt sich natürlich geometrisch mit Hilfe der Geometrie des Ikosaeders lösen. Aber es geht mit Hilfe der letzten Formel auch anders. Ein Ikosaeder besteht aus 20 regelmäßigen Dreiecken, von denen je 5 in einer Ecke zusammenstoßen. Also ist die Seitenlänge euklidisch 10 (5 5) l(2π/5) =. 5 15

16 Diese Formel wird auf dem TI89 automatisch berechnet. Folglich ist die Oberfläche, die aus 20 gleichseitigen Dreiecken dieser Seitenlänge besteht, gleich 3 20 l(2π/5) 4 = 2( 5 5) Zum Vergleich ist die Oberfläche der Einheitskugel 4π Zur Kontrolle sollte man dieselbe Rechnung beim Tetraeder ausführen. Die Seitenlänge ergibt sich hier automatisch zu l(2π/3) = Man kann diese Länge auch mit geometrischen Überlegungen herleiten. Zunächst ist der Abstand vom Höhenschnittpunkt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a zu einer Ecke a 3/3. Der Abstand des Mittelpunkts der Kugel zu den Tetraederflächen ergibt sich daher zu 1 (a 3/3) 2 = 3 (3 a2 ). 3 Dieser Abstand muss aber gleich 1/3 sein, wie man erkennt, wenn man das Volumen des Tetraeders in 4 gleiche Stücke aufteilt. Der TI-89 löst die Gleichung nach a auf, und man erhält denselben Wert wie oben. 2.5 Differentialgleichungen Aufgabe 1: Ein Körper falle aus einer Höhe h nach unten, wobei die Fallbeschleunigung g sei. Der Fallbeschleunigung wirke eine Luftreibungskraft entgegen, die proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit sei (Koeffizient κ). Finden Sie eine Formel für die Fallhöhe. Lassen Sie in dieser Formel κ gegen 0 gehen. Wogegen strebt die Fallgeschwindigkeit, wenn die Zeit gegen geht? Natürlich gehört die Lösung von Differentialgleichungen zu den anspruchsvolleren Aufgaben, die man einem Taschenrechner anvertrauen kann. Der TI-89 kann bei weitem nicht alle Differentialgleichungen lösen, die andere Algebrasysteme lösen können. Aber die Differentialgleichung y (t) = g + κy (t) 2, y(0) = h, y (0) = 0 baut der eingebaute Löser in eine Gleichung für y um, nämlich ( κy + ) g ln g κ y 2 = t. gκ Nach der Substitution y = z lässt sich die Gleichung automatisch nach z auflösen. Diese Auflösung integriert man nach t und erhält mit der Nebenbedingung κ > 0 gκ t ln(e 2 gκ t + 1) y(t) = + c. κ 16

17 Die Konstante ermittelt man so, dass y(0) = h gilt. Also gκ t y(t) = h ln(e2 + 1) gκ t ln(2). κ Zur Überprüfung dieser seltsamen Formel kann man Zahlenwerte verwenden, und die Höhe in Abhängigkeit der Zeit plotten. Für κ = 0.01, h = 100 und g = 10 entsteht tatsächlich so etwas wie eine Parabel. Für größere Werte von κ wird der Fall mit der Zeit linear. Maple V findet übrigens als Lösung für diese Differentialgleichungen mit den Anfangsbedingungen den zunächst nutzlosen Ausdruck t RootOf (u gk + arctanh ( Z)) gk y(t) = h + du 0 k Man kann dann die Lösung des Ausdrucks RootOf () per Hand ermitteln und für den Ausdruck einsetzen. Danach wird das Integral berechnet und Maple eine Lösung, die einen Grenzwert enthält. Es gelingt allerdings nicht so einfach, diesen Grenzwert zu eliminieren. MuPad liefert überhaupt keine Antwort. Mit Nebenbedinungen gibt es die Eingabe zurück und ohne Nebenbedingungen wandelt es die Gleichung in eine Integralgleichung um. Gibt man die Differentialgleichung als Differentialgleichung mit u = y ein, und integriert die Lösung auf, so erhält man mit MuPad eine Lösung. Die automatische Berechnung des Grenzwertes für κ 0 scheitert nach geraumer Rechenzeit. Allerdings berechnet man die Taylorentwicklung vom Grad 3 Damit ergibt sich der Grenzwert ln(e 2at + 1) at ln(2) = a2 t O(t4 ). gκ t lim h ln(e2 + 1) gκ t ln(2) = h gt2 κ 0 κ 2. Für die Geschwindigkeit berechnet man y (t) = 2 gκ κ ( e 2 gκ t + 1 ) gκ κ g, κ wobei der Grenzwert per Augenschein genommen wurde. Für die Grenzgeschwindigkeit v gilt natürlich κv 2 = g. Aufgabe 2: Eine Bakterienkolonie wachse proportional zum Nahrungsangebot, und zwar so, dass y (t) = y(t) bei vollem Angebot und y (t) = y(t) ohne Nahrung ist, mit linearen Zwischenwerten. Das Nahrungsangebot sinke proportional zur Bevölkerung, also u (t) = y(t), allerdings nicht unter 0. Zu Beginn sei y(0) = 0.5 und u(0) = 1. Beschreiben Sie den Verlauf von y(t). 17

18 Das System von Differentialgleichungen lautet y (t) = y(t)(2u(t) 1), { u y(t) u(t) > 0, (t) = 0 sonst. Diese Gleichungen lassen sich zunächst numerisch behandeln. Dabei wird die zweite Gleichung als when-konstruktion eingegeben. Nun gilt, solange u(t) > 0 ist, u (t) = y (t) = y(t)(2u(t) 1) = u (t)(2u(t) 1). Die entsprechende Differentialgleichung löst der TI-89 implizit zu ( ) 1 ln 2u(t) ln(2u(t) + 3 1) + ln( 3 + 2) + πi = 3t. 3 1 Allerdings findet er diese Lösung nur, wenn man die Anfangsbedingungen u(0) = 1 und u (0) = 1/2 eingibt. Ohne diese Anfangsbedingung entsteht eine Lösung, die nur mit y(0) < 0 brauchbar ist. Der TI-89 nimmt hier den Weg über das Komplexe. Allerdings verschwindet i wieder, wenn man die Exponentialfunktion auf beiden Seiten anwendet. Die Gleichung wird dann automatisch zu u(t) = 5 ( 3 1)e 3t (e 3t ) aufgelöst. Vor dem Auflösen nach u(t) ermittelt man noch, wann die Nahrung erschöpft ist, nämlich bei t 0 = ln( ) Dies entspricht dem grafischen Ergebnis. Man hat y(t) = 3( 3 + 2)e 3t (e 3t ) 2 18

19 Die Ableitung dieses Ausdrucks wird 0 in t 1 = ln( 3 + 2) Zu diesem Zeitpunkt ist die Kolonie am größten. Maple V ermittelt als Lösung ohne Anfangsbedingungen ( ) t + c2 tan + c 1 2c 1 u(t) =. c 1 Diese Lösung ist mit diesen Anfangsbedingungen unbrauchbar. Versucht man, die Anfangsbedingungen festzulegen, so erhält man ein schwierig zu interpretierendes Resultat. 19

20 3 Anhang 3.1 TI-89 Das folgende Bild zeigt den TI-89 als Screendump des Simulators. Die recht gute und scharfe Anzeige kommt hier möglicherweise nicht richtig zur Geltung. 3.2 TI-92 Zum Vergleich der TI93. Aufgrund der normalen Tastatur ist der Rechner recht gut zu bedienen. Auch kann die konstrastreiche Anzeige mehr Pixel anzeigen als beim TI83. Das Bild ist wieder ein Screendump vom Simulator und gibt die Qualität der Anzeige nicht richtig wieder. Allerdings ist er um einiges größer und dicker, und damit nicht so gut in einer Schultasche transportierbar. Der TI-92 hat außerdem eine dynamische Geometriesoftware eingebaut. Im Bild ist eine Konstruktion mit dieser Software erkennbar. Sie besitzt genau wie der normale Modus des Rechners ein Menü am oberen Bildrand. Die Menüs werden mit den Funktionstasten geöffnet. Anschließend wird mit den Pfeiltasten oder mit einer Zahl ein Menüeintrag ausgewählt. Konstruktionselemente werden immer an der Stelle erzeugt, an der der Cursor steht. Der Cursor wird dazu mit den Pfeiltasten bewegt, da der Schirm ja 20

21 nicht berührungsempfindlich ist. Diese Steuerung ist etwas mühsam. Außerdem sind feinere Konstruktionen durch die beschränkte Auflösung nur schwer zu erkennen. 3.3 HP 39 Schließlich noch der HP39. Ebenfalls ein Bild vom Simulator. Die Anzeige ist deutlich schlechter auflösend. Allerdings wird dies durch clevere Programmierung und viele Einstellmöglichkeiten zum Teil ausgeglichen. Die Tasten sind härter im Anschlag als die Tasten des TI-89. Der Rechner besitzt nur eine Buchstabentaste, die ohne Umschaltung auskommt (x/t/θ), wogegen der TI-89 4 davon hat (x,y,z,t). Die wesentlichen Unterschiede sind die einstellbare umgekehrte polnische Notation und eine größere Flexibilität bei automatischen symbolischen Umwandlungen. Der HP39 hat außerdem eine eingebaute Uhr. 21

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