Werkstatt Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung

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1 Werkstatt Leonhard Euler und die Lösung der quadratischen Gleichungen Im Jahr 1767 hat der Mathematiker Leonhard Euler ( ) das Buch Vollständige Anleitung zu Algebra im russischen Original veröffentlicht, 1770 folgte die deutsche Erstauflage. Dieses Werk führt den absoluten Anfänger Schritt für Schritt von den natürlichen Zahlen über die elementare Gleichungslehre bis zu höheren Problemen der Algebra, welche längst den Stoff des Gymnasiums übersteigen. Euler soll dieses Werk seinem Gehilfen diktiert haben, einem ehemaligen Schneidergesellen, der mathematisch zuvor völlig ungebildet das ganze Werk verstanden haben soll. Diese Episode ist zwar eher zu den Legenden zu zählen. Aber Eulers Algebra gilt als didaktisch hervorragend aufgebaut, wurde in viele verschiedene Sprachen übersetzt und lange als Lehrbuch verwendet. In mehreren Kapiteln nimmt sich Euler dem Problem der quadratischen Gleichungen an. Natürlich ist dieses Problem nicht von Euler das erste Mal bearbeitet worden. Die Lösungswege und formeln sind bereits sehr lange bekannt. Aber Euler führt sehr geschickt in die Problemstellung ein, zeigt verschiedene Lösungswege und macht diverse praktische Beispiele, sodass Sie anhand dieses Werkes diese Kapitel bearbeiten können. Anleitung zur Werkstatt In dieser Werkstatt gibt es verschiedene Typen von Arbeitsblättern: - Die obligatorischen Blätter ( oder ) müssen von allen Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden. - Die freiwilligen Blätter ( ) sind als Ergänzung gedacht. Sie können aber müssen nicht gelöst werden. - Die Blätter mit oder können in einer beliebigen Reihenfolge gelöst werden, aber alle mit setzen ein anderes Blatt mit voraus. Das Arbeiten umfasst folgende Schritte: - Ein Blatt wählen. - Im Kontrollbogen das Datum eintragen. - Das Blatt bearbeiten. - Die Lösungen kontrollieren. - Im Kontrollbogen das Blatt als erledigt abhaken.

2 Übersicht der Arbeitsblätter 1. Einfache quadratische Gleichungen Gewisse quadratische Gleichungen sind ganz einfach lösbar. Aber welche? 2. Die Lösungsformel für alle quadratischen Gleichungen Mit der Lösungsformel können Sie allen Gleichungen an den Kragen 3. Gleichungen höheren Grades Die Lösungsmethoden von quadratischen Gleichungen können auch für höhere verwendet werden. 4. Quadratische Gleichungen und die TI-CAS-Rechner Ihr Taschenrechner kann quadratische Gleichungen schnell und elegant lösen. 5. Die Wahl der Methode Ganz wichtig ist, im richtigen Moment die einfachste und günstigste Methode zu wählen. Hier treffen Sie auf alle möglichen Formen von quadratischen Gleichungen. 6. Wurzelgleichungen Wurzelgleichungen führen oft zu quadratischen Gleichungen. Wie löst man am besten Gleichungen dieses Typs? Was gilt es zu beachten? 10. Eulers Biographie Machen Sie sich mit dem Leben eines der ganz grossen Mathematiker vertraut. 11. Eulers Werk Eulers Gesamtwerk umfasst eine unglaubliche Anzahl von Arbeiten. Lernen Sie einige Highlights kennen. 12. Eulers Vollständige Anleitung zur Algebra Eulers Buch umfasst viele ganz unterschiedliche Kapitel. Sehen Sie, was sich ausser quadratischen Gleichungen sonst noch findet.

3 1. Einfache quadratische Gleichungen Niqcht alle quadratischen Gleichungen sind schwierig zu lösen. Bei einigen fällt es sehr leicht, die zugehörige Lösung zu finden. Reinquadratische Gleichungen Tauchen in einer quadratischen Gleichung nur Terme mit x 2, aber keine mit x auf, so redet man von einer reinquadratischen Gleichung. Solche Gleichungen werden zuerst nach x 2 aufgelöst. Anschliessend wird links und rechts des Gleichungszeichens die Wurzel gezogen. Beachten Sie, dass die Gleichung zwei Lösungen hat 3x 2 33 = 111 x 2 4x 2 = 144 x 2 = 36 x = ±6 = {±6} Einfache gemischt quadratische Gleichungen Sind in einer quadratischen Gleichung Terme mit x 2 und mit x, aber keine konstanten Terme vorhanden, so lässt sich die entsprechende Gleichung ebenfalls schnell durch Ausklammern lösen. x 2 4x = 0 x (x 4) = 0 x = 0 oder x 4 = 0 x = 4 = {0, 4} Falls quadratische, lineare und konstante Terme vorkommen, so ist das Lösen einer quadratischen Gleichung nur dann einfach, wenn sich ein Klammeransatz finden lässt 2x 2 +2x = x 2 +6x+12 x 2 4x 12 = 0 (x 6) (x+2) = 0 x 6 = 0 oder x+2 = 0 x = 6 oder x = 2 = {6, 2} Ist ein solcher Ansatz nicht sichtbar, so hilft nur die allgemeine Lösungsformel, die auf dem nächsten Blatt besprochen wird. 1. Lesen Sie das Kapitel zu den reinquadratischen und den einfachen quadratischen Gleichungen aus der Algebra von Euler (Kp , 67 70, Quelltexte S. 2) 2. Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.

4 a) 100x 2 = 16 b) 2x 2 = 1 c) 4+x 2 = 0 d) x 2 +1/9 = 5/9 e) 0.9x = 0.3 f) 1 5 x 2 = 1 g) (x+2)(x 2) = 12 h) 9x = 4x 2 i) 4x 2 (1 x 2 ) = 0.5x 2 j) (4 5x) 2 +45x = 80+5x k) 6(5x 7) 2 +7(3+10x) 2 = 357 l) (x 3)(x+3) = 18 m) x 2 8x = 0 n) x 2 +6x+6 = 1 o) x 2 +12x+12 = 4x 4 3. Versuchen Sie, die Textaufgaben, die Euler dem Kapitel über reinquadratische Gleichungen anfügt, zuerst selbst zu lösen, und vergleichen Sie dann Ihre Lösung mit seiner. (Kp , 71 75, Quelltexte S. 3)

5 2. Die Lösungsformel für alle quadrat. Gleichungen Versagen die einfachen Methoden zur Lösung einer quadratischen Gleichung, so verwenden wir eine Lösungsformel. Sie herzuleiten ist nicht ganz einfach, denn wir lösen den allgemeinst möglichen Fall ax 2 + bx + c = 0 Durch a dividieren x 2 + b a x + c a = 0 Konstanten Term nach rechts bringen x 2 + b a x = " c a Quadratisches Ergänzen 2 " x + b % $ ' # 2a & 2 " x + b % $ ' # 2a & = = b 2 4a " c 2 a b 2 " 4ac 4a 2 Rechte Seite gleichnamig machen Jetzt wird auf beiden Seiten die Wurzel gezogen. Voraussetzung dafür ist, dass der Term b 2 4ac grösser oder gleich Null ist. Dieser Term heisst Diskriminante und entscheidet darüber, ob die Gleichung Lösungen hat oder nicht. Für b 2 4ac > 0: 2 " x + b % $ ' # 2a & = b 2 " 4ac 4a 2 Wurzel ziehen x + b 2a = x 1,2 = ± b2 " 4ac 2a "b ± b 2 " 4ac 2a Es gibt zwei Lösungen. Für b 2 4ac = 0: " x + b % $ ' # 2a & 2 = 0 Wurzel ziehen und nach x auflösen x = " b Es gibt eine Lösung. 2a Für b 2 4ac < 0 hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Beispiel 1: 2x 2 5x+1 = 0 Die Diskriminante ergibt D = ( 5) = 17 > 0. Damit hat die Gleichung zwei Lösungen. x 1,2 = 5 ± 17 4 Beispiel 2: 3x 2 x+5 = 0 Hier ist die Diskriminante D = ( 1) = 59 negativ. Die Gleichung hat somit keine Lösungen.

6 1. a) Lösen Sie die Gleichung 3x 2 +8x+2 = 0 durch Einsetzen der Koeffizienten in die Lösungsformel. Bestimmen Sie zunächst die Diskriminante. b) Führen Sie für die Gleichung aus Aufgabe a) Schritt für Schritt das quadratische Ergänzen durch, wie es in der Herleitung beschrieben wird. 2. Lesen Sie Eulers Kapitel über die gemischtquadratische Gleichung (Kp , 76 83, Quelltext S. 4). Sehen Sie Unterschiede zum Lösungsweg oben? 3. Lösen Sie die Gleichung von Aufgabe 1 mit Eulers Methoden. 4. Finden Sie die Lösung der Gleichung durch quadratisches Ergänzen. a) x 2 +8x+11 = 0 b) 2x 2 +12x+7 = 0 c) x 2 +3x+4 = 0 5. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel (nicht quadratisch Ergänzen) a) x 2 +3 = 4x b) 8 = x 2 +2x c) 1 x = 30x 2 d) 11x = 3+30x 2 e) 12x 2 +2x = 9x 2 +9x 2 f) 10x x = 98x 3x 2 24 g) 5x 3 2x(3x 4) = 4 h) 10x 2 7x = 7x 2 +4x+20 i) 3(5 2x) = x(12x 2) Versuchen Sie, die Textaufgaben, die Euler dem Kapitel über gemischtquadratische Gleichungen anfügt, zuerst selbst zu lösen, und vergleichen Sie dann Ihre Lösung mit seiner. (Kp , 84 93, Quelltext S. 5/6)

7 3. Gleichungen höheren Grades Die einfachen Lösungsmethoden und die Lösungsformel für quadratische Gleichungen können unter bestimmten Voraussetzungen auch für Gleichungen höheren Grades verwendet werden. Dies ist deswegen wichtig, weil das Lösen von allgemeinen Gleichungen dritten und vierten Grades zwar noch mit entsprechenden Lösungsformeln möglich ist, diese aber ziemlich kompliziert sind. Für beliebige Gleichungen fünften Grades und höher gibt es überhaupt keine Lösungsformeln mehr. Da bleiben nur nummerische Lösungsverfahren übrig. Die beiden hier gezeigten Möglichkeiten beruhen darauf, eine Gleichung dritten oder vierten Grades auf eine zweiten Grades zurückzuführen. Für diese stehen dann alle Lösungsmethoden der quadratischen Gleichungen zur Verfügung, also vorallem der Klammeransatz oder die Lösungsformel. Erster Fall: Zerlegen von Gleichungen in binomische Faktoren x 3 +5x 2 6x = 0 x (x 2 +5x 6) = 0 x (x+6) (x 1) = 0 x = 0 oder x = 6 oder x = 1 = {0, 6, 1} Zweiter Fall: Lösen von biquadratischen Gleichungen durch Substitution x 4 +5x 2 6 = 0 Ersetzen von x 2 durch y (Substitution) y 2 +5y 6 = 0 Quadratische Gleichung in y lösen (y+6) (y 1) = 0 y = 6 oder y = 1 x 2 = 6 oder x 2 = 1 keine Lösung x = ±1 = {±1} Das Rücksetzten der Substitution darf nicht vergessen werden Nicht y sondern x ist die Lösungsvariable. 1. Lösen Sie die Gleichung nach x auf. a) x 3 9x = 0 b) x 3 +8x 2 9x = 0 c) 3x 3 4x 2 4x = 0 2. Lösen Sie die Gleichung nach x auf. a) x 4 13x = 0 b) 12x 4 x 2 20 = 0 c) 2x x = 0 d) (x 2 14) 2 = 5(6x 2 49) e) x 4 11x = 0 f) 2x "(2x + 3) = 55

8 4. Quadrat. Gleichungen und der HP 20s Mit Hilfe der Diskriminanten und der Lösungsformel lassen sich alle quadratischen Gleichungen nach dem gleichen Schema lösen. Solche Lösungswege lassen sich leicht in Programme umsetzten, sei es mit dem Taschenrechner oder einem Computer (Tabellenkalkulation, Programmiersprache). Der HP 20S macht es uns besonders einfach. Er hat bereits ein Programm zur Lösung von quadratischen Gleichungen eingebaut. Wir müssen es nur laden. Programmmodus einschalten (PRGM) Altes Programm löschen (CLPRGM) Programm für quadratische Gleichungen laden (LOAD E) Programmmodus verlassen Eine quadratische Gleichung ist jetzt nur noch in die Form ax 2 +bx+c=0 zu bringen. Dann können die Koeffizienten eingegeben und die Lösung berechnet werden. 7x 2 +8x 9 = 0 Tätigkeit Anzeige 7 eingeben und XEQ A drücken eingeben und XEQ B drücken eingeben und XEQ C drücken Erste Lösung mit XEQ D anfordern Zweite Lösung mit R/S anfordern Wie reagiert der Taschenrechner, wenn eine Gleichung keine Lösung hat? Der HP 20S gibt in diesem Fall die sog. komplexen Lösungen aus, die für uns aber keine Bedeutung haben. Unter dem ersten Lösungswert erscheint dann ein Doppelpunkt (:). 7x 2 +8x+9 = 0 1. Lösen Sie die Gleichung mit dem Taschenrechnerprogramm des HP 20S. a) 11x 2 111x 1111 = 0 b) 2x 2 +22x 222 = 0 c) 33x 2 333x+3333 = 0 2. a) Programmieren Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogramm (ClarisWorks, Excel) eine Tabelle, mit der eine quadratische Gleichung gelöst werden kann. Die Koeffizienten a, b und c werden in je eine Zelle eingegeben. In weiteren Zellen werden dann die Diskriminante und falls vorhanden die Lösungen berechnet. b) Schreiben Sie mit ThinkPASCAL ein Programm, welches eine quadratische Gleichung löst. Der Benutzer soll a, b und c eingeben können. Das Programm berechnet dann die Diskriminante und falls vorhanden die Lösungen.

9 4. Quadrat. Gleichungen und die TI-CAS-Rechner Mit Hilfe der Diskriminanten und der Lösungsformel lassen sich alle quadratischen Gleichungen nach dem gleichen Schema lösen. Solche Lösungswege lassen sich leicht in Programme umsetzten, sei es mit dem Taschenrechner oder einem Computer (Tabellenkalkulation, Programmiersprache). Der Rechner können jede quadratische Gleichung mit dem Befehl solve() oder zeros() lösen. 7x 2 +8x 9 = 0 Darstellung auf einem TI Lösen Sie die Gleichung mit den Befehlen solve() und zeros() des TI 89. a) 11x 2 111x 1111 = 0 b) 2x 2 +22x 222 = 0 c) 33x 2 333x+3333 = 0 2. Lösen Sie die quadratische Gleichung mit dem Taschenrechner, in dem Sie die Methode des quadratischen Ergänzens verwenden. a) 2x 2 +5x 18 = 0 b) x 2 +x+1 = 0 3. a) Programmieren Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogramm eine Tabelle, mit der eine quadratische Gleichung gelöst werden kann. Die Koeffizienten a, b und c werden in je eine Zelle eingegeben. In weiteren Zellen werden dann die Diskriminante und falls vorhanden die Lösungen berechnet. b) Schreiben Sie für den TI 89 eine Funktion, welche durch Eingabe von a, b und c die Lösung(en) bestimmt. Das Programm soll auch eine vernünftige Antwort geben, wenn es keine Lösungen gibt. Aufruf: QUADGL(2,5, 18) Antwort: {2,-9/2}

10 5. Die Wahl der Methode Auf den Blättern 4, 5 und 7 haben Sie im Wesentlichen vier Methoden zur Lösung einer quadratischen Gleichung kennengelernt. Jede dieser Methoden hat ihre Vor- und Nachteile. Methode Vorteil Nachteil Klammeransatz bzw. Einfach und schnell Nur für günstige Gleichungen Ausklammern Quadratisches Ergänzen Für alle Gleichungen Sehr aufwändig Lösungsformel Für alle Gleichungen Mittelmässig aufwändig Taschenrechnerprogramm Schnell und für alle Gleichungen Taschenrechner nötig Was nun? Ich empfehle Ihnen, eine quadratische Gleichung, für welche Sie einen Klammeransatz schnell (d.h. in weniger als einer Minute) finden können, mit dieser Methode zu lösen. Besonders gute Kandidatinnen sind Gleichungen, in denen der Koeffizient des quadratischen Terms (die Zahl a) gleich 1 ist. Ist kein Klammeransatz sichtbar, so verwenden Sie die Lösungsformel oder den Taschenrechner, je nach dem, was Ihnen zur Verfügung steht. Der einzige Sinn und Zweck des quadratischen Ergänzens besteht darin, dass diese Methode zeigt, wie die allgemeine Lösungsformel hergeleitet wird. Wer das quadratische Ergänzen versteht, hat auch die allgemeine Herleitung begriffen. Im rechnerischen Alltag spielt sie keine Rolle. 1. Lösen Sie die Gleichung ohne den Taschenrechner. a) 2x 2 +2 = 2x b) 1=15x+3x 2 c) 3x 2 +54x+243 = 0 d) 8x 3 +5x 2 +2x = 0 e) x 4 +5x 2 +6 = 0 f) 3x 2 +7x = 6 2. Bei den folgenden kommt die Lösungsvariable im Nenner vor. Deswegen fehlen gewisse Zahlen in der Definitionsmenge und kommen folglich auch als Lösung nicht in Frage. a) d) 5 x " 2 " 3 = 2x " 4 5 ( ) 2x x " 4 + 3x 4 x 2 " x + 4 x + 4 = x 2 "16 b) e) x + 3 "5 = x x x " 2 3x x 2 " " x 5 + x = 2x x "5 c) 3x " 2 x " 3 + 2x " 3 x + 7 = 5 3. a) Wissen Sie auswendig, wie Ihr Rechner quadratische Gleichungen lösen kann? Falls nein, so führen Sie die nötigen Schritte nochmals aus. b) Kontrollieren Sie einige der von 1 mit dem Taschenrechner.

11 6. Wurzelgleichungen Treten in einer Gleichung Wurzeln der Lösungsvariablen auf, so besteht in der Regel die effizienteste Methode zur Auflösung der Gleichung darin, die gesamte Gleichung zu quadrieren. Oft entstehen dabei quadratische Gleichungen, die mit den bekannten Möglichkeiten gelöst werden können. Einige Dinge gilt es speziell zu beachten. Vorallem können am Schluss Lösungen auftauchen, welche die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen. 2x + x + 6 = 3 = {x x 6} Zuerst wird die Wurzel separiert, anschliessend quadriert. x + 6 = 3 2x x+6 = (3 2x) 2 x+6 = 9 12x+4x 2 Die entstandene quadratische Gleichung wird wie üblich nach x aufgelöst. 4x 2 13x+3 = 0 x 1 = 3 x 2 = 1/4 Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, müssen die berechneten Lösungen (beide gehören der Definitionsmenge an) zur Überprüfung in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden = 6+3 = /4+ 1/4 + 6 = 1/2+5/2 = 3 = {1/4}. Tatsächlich hält nur eine der beiden Lösungen der quadratischen Gleichung dem Test in der Wurzelgleichung Stand. Sie ist das einzige Element der Lösungsmenge. Eine andere Möglichkeit, eine Wurzelgleichung zu lösen, ist eine Substitution. x (5+ x ) = 36 Zuerst ersetzen wir x durch eine neue Variable u und lösen die enstandene Gleichung nach u auf. u (5+u) = 36 u 2 +5u 36 = 0 u 1 = 4 u 2 = 9 Jetzt müssen wir die Substitution wieder rückgängig machen.

12 x = 4 x = 16 x = 9 = {16}. Auch hier führen nicht alle Lösungen der Gleichung in u zu einer Lösung für x. Diese Gleichung könnten Sie auch durch Quadrieren lösen. Allerdings müssten Sie zweimal quadrieren, da nach dem ersten Mal noch eine Wurzel übrig bleibt. Bemerkung: In Eulers Algebra findet sich kein Kapitel, das sich diesem Problem widmet. 1. Bestimmen Sie alle Lösungen der Wurzelgleichungen. Benützen Sie den Taschenrechner erst, wenn Sie eine quadratische Gleichung erzeugt haben. a) 2 (2 x) = 3 3 " x b) 1 2x 3 " 4x = 0 c) 2x 3 " 6x +5 = x 2 x+3 d) x " 4 +3 = x x " 4 2. a) 3x +1 c) 2 x + 3 x 4x = 0 b) x + 9 "11 x " 7 = 4 = 7 d) x+( x +4) 2 = ( x +8) 2

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