Kapitel 15: Differentialgleichungen

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1 FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen ökonomischen Modellen, insbesondere im Zusammenhang mit Produktions- und Nutzenfunktionen, Wachstum und Marktprozessen, vor. Bemerkung zur Schreibweise: Während in der Mathematik zwischen dem Funktionswert und der Funktion = f() unterschieden wird, schreibt man in der Theorie der Differentialgleichung gewöhnlich kurz anstelle von f(). Entsprechend werden die Ableitungen mit,,... bezeichnet. Beispiele für Gleichungen, in der die Funktion, deren Ableitungen sowie eine oder mehrere unabhängige Variable auftreten: = + = + 1. Grundbegriffe Jede Funktion, die mit ihren Ableitungen die Gleichung erfüllt, heißt Lösung der DGL Menge aller Lsg. = allgemeine Lsg. = Lösungsmenge Ordnung der DGL = höchste auftretende Ableitung kann nach dieser aufgelöst werden eplizite DGL, ansonsten implizite DGL. Wenn mehrere Variablen und deren part. Ableitungen = partielle DGL ansonsten gewöhnliche DGL. Eine DGL muß nicht notwendigerweise für alle Variablen- und Funktionswerte definiert sein, so ist ' = ( 5) beispielsweise nur für 5 und 0 definiert Es eistiert kein einheitliches Lösungeverfahren, das auf beliebige DGLn der ab jetzt immer verwendeten Form F(,, (1),...,(n)) = 0 anwendbar ist. Nur für sehr spezielle Funktionen F konnten weitgehend voneinander unabhängige Methoden zur Bestimmung der allgemeinen Lösung entwickelt werden. Bsp S.: 3 = + Anhand der Zeichnung lässt sich leicht erklären, dass mehrere Funktionen die Differentialgleichung erfüllen können. Seite 1 von 16

2 FernUNI Hagen WS 00/03 Differentialgleichungen 1. Ordnung bisher einzige Lsg.möglichkeit: Integration '=f() Lsg: = f()d = F()+c oft: Anfangswertprobleme,d.h. eine spezielle Lsg. für ( o) = co ist gesucht Beispiel: -1 ' = ln + e ; mit (1) = als Anfangswert -1 = (ln + e ) d Einschub: ln d = 1ln d u' = 1 v = ln 1 partielle Integration u = v'= 1 = ln - ln d = weiter mit der Lösung: -1-1 allg. Lsg.: = (ln + e ) d = ln + +e + c spez. Lsg.: (1) = ergibt: 1ln1++e + c = c = -1 = ln + + e + 0 Seite von 16

3 FernUNI Hagen WS 00/03 Weitere Lösungsmöglichkeit Zur Einführung: gewöhnliche DGLn 1. Ordnung Alles sind Spezialfälle von F(,, ) = g(,)+h(,)* = 0 Formel Verfahren Lösungsansatz g () + h() ' = 0 Trennung der Variablen h() d = - g()d g(,) + h(,)* = 0 Totale DGL F(,) = c mit c IR Y = g Ähnlichkeitsdifferetialgleichungen Homogene DGL Überprüfen: Berechnung: (1) g = h (1) G(,) = g(,)d () G = (3) C():= G G h(,)- d (4) F(,) = G(,)+c() = c z = () i = z (ii) g(z) = ' = z+z' (a) g(z) = z = c mit c R (b) g(z) z Y + p() = r() Lineare DGL 1.Ordnung (1) P() = p()d z' 1 (ii) liefert die DGL =, so daß man mit der gz () z Methode Trennung der Variablen alle Lsg für z() erhält. Aus () = z() fließen schließlich alle Lösungen für () P ( ) P ( ) () () = e ( c+ r( ) e d) (3) Dabei ist c R eine frei wählbare Konstante Seite 3 von 16

4 FernUNI Hagen WS 00/03 1) Trennung der Variablen g () + h() ' = 0 Da die Funktion g nur von und h() d = - g()d d g() + h() = 0 d die Funktion h ist nur von abhängig ist, spricht man von DLG mit getrennten Variablen, die auf verschiedene Seiten gebracht werden Bsp , S. 5 allgemein selber durchlesen Bsp , S. 5 speziell selber durchlesen Beispiel: - 1 = 0 ' = mit (0) = 1 als Anfangswert Allgemeine Lsg: d d = = für 0 d = d für 0 * ln = + c * * * +c c c = e =e e mit c = e > 0 = ce Spezielle Lösung (0)= 1 ce = 1 c = 1 = e o Aufgabe 5.1.a rechnen Seite 4 von 16

5 FernUNI Hagen WS 00/03 Oben ist ein Spezialfall der eakten DGL gewesen ) Eakte bzw. Totale DGL g(,) + h(,)* = 0 wobei gilt : g ' = h ' (immer zuerst überprüfen!) Es wird davon ausgegangen, dass es eine Funktion F(,) gibt, für die gilt: F = g(,) Wie schon bekannt gilt, dass die Kreuzableitungen F = h(,) (. Partielle Abl.) einer Funktion immer identisch sind F = g = h = F Beispiel 15.3., S.8 Zum Bestimmen von F(,): G(,) + (h(,) - G '(,))d = c So kommt man darauf: I: F(,) = F' d + c()= g(,)d+c()= G(,)+c() II: diese Funktion nach ableiten: F' =G' (,)+c'()=h(,) III: umgeformt ergibt sich: c'() = h(,) - G' (, ) IV: Integrieren ergibt: c() = h(,)-g' (, )d in I einsetzen Beispiel 1: e + e ' = 0 g= e und h=e total? g' = 4e h ' = 4e ja! G = g(,)d = e c() = d = e G' = e h(,)-g(,)' d = (e e )d= 0d ist die Lsg des. Terms F(,)= G(,)+c()= e +0= c ist die Gesamtlösung Seite 5 von 16

6 FernUNI Hagen WS 00/03 Beispiel : + e + ( + cos) ' = 0 total? g' = 1 und h' = 1 ist gleich JA! G = ( + e )d = + e G ' = c ( ) = ( h (, ) G' (, )) d = ( + cos - ) d = cos d = sin allg. Lsg.: G(X,)+c() = + e + sin = c Aufgabe 5.1.b rechnen Seite 6 von 16

7 FernUNI Hagen WS 00/03 3) Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen F(,, ) = g(,)+h(,)* = 0 Spezialfall homogene DGL : g(,) = -g und h(,) = 1 somit ergibt sich g(,)+ =0 und daraus = g = g(z) Die Bezeichnung Ähnlichkeitsdifferentialgleichung leitet sich aus der Tatsache ab, dass mit jeder Lösung () auch jede durch Ähnlichkeitsabbildunge bzgl. Des Koordinatenursprungs aus () hervorgehende Funktionen wiederum eine Lösung darstellen. Subst.: z = bzw.: = z nach Ableiten: ' = z' + z, da = u v mit u = z und v = wird zu ' = u'v + uv' mit u' = z' und v' = 1 = z + z mit = g(z) gleichsetzen Beispiel: ' = Subst. z = mit ' = z' + z Gleichsetzten von ' = und ' = z' + z ergibt: dz z' + z = z -z wird zu z' = -z, bzw.: d = -z alles was ein enthält wird auf eine Seite gebracht, alles was ein z enthält wird auf die andere Seite gebracht und anschließend integriert. dz d - = z 1 = ln + c z Rücksubst.: = ln + c oder = ln + c Aufgabe 5.1.c rechnen Seite 7 von 16

8 FernUNI Hagen WS 00/03 4) Lineare DGL Ein DGL heißt linear, wenn die Funktion F(,, (1),..., (n) ) = 0 eine lineare Funktion ist, d.h. wenn die DGL die Form: F(,, (1),..., (n) ) := p n () (n) +...+p 1 () (1) +p 0 () - r() = 0 hat, wobei die p i und r in einem Intervall stetige Funktionen der Variablen sind. Lineare DGL 1. Ordnung p 1 () (1) +p 0 () = r() : p 1 ' + p() = q() bei r() bzw. q() = 0: dann linear homogen Lsg. über Trennung der Variablen ansonsten linear inhomogen Lsg. mit Eulerischen Multiplikator p()c e allgemeiner Lösungsweg ' + p() = q() * e P() (Achtung, das P ist groß uns somit das Integral von p()) e P() + e P() p() = e P() q() Ab hier entweder: Anwendung der Produktregel für Funktionen e P() p() = e q() d = e -p() e p() Oder alternativ : q() d e P() p() - e P() q() + e P() = 0 eakte DGL (ist aber etwas umständlicher als Alternative a) Bsp , S.19 bringen Seite 8 von 16

9 FernUNI Hagen WS 00/03 Beispiel: ' + (-) = e Ausführlicher Weg: - p(): - d = - Eulerscher Multiplikator: m() = e macht aus DGL eakte DG beide Seiten damit multiplizieren e e ' - e = e = e e = = 1 Integrieren nach e - e = + c nach hin auflösen = e (+c) Nur über Verwendung der Formel: P ( ) P ( ) () = e ( c+ r( ) e d) = e ( c e e + d) = e (+c) Die allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL und einer spez. Lösung der inhomogenen DGL. Aufgabe 5.1.d rechnen Seite 9 von 16

10 FernUNI Hagen WS 00/03 Lineare Differentialgleichungen. Ordnung Tp: '' + p() ' + q() = r() a) homogene Lösung a1) einfachster Fall: '' = 0 damit vereinfacht sich die obige Formel zu: p() ' + q() = 0 ersetzt -q() ' = = c 1 p() damit ergibt sich: =c1+ c Diese Lösung besitzt immer freie Konstante a) Allgemeiner Fall Nützliche Aussagen über die Bauart der allgemeinen Lösung: Ein Paar, von Lösungen heißt l.u., wenn es keine Konstante 1 c R gibt, für die gilt: () = c () 1 Sind 1 und l.u. (spezielle Lösungen), so ist auch jede Linearkombination von ihnen Lösung; sie bilden die allgemeine Lösung. (Siehe auch Def. Fundamentalsstem, S., Skript) Ziel: finden von zwei linear unabhängigen Lösungen Bsp: lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffiziente (Vergleiche dazu Skript, S. 4): λ λ λ = e ' = λe '' = λ e für spez. Werte von λ ergeben sich spez. Lsg. der DGL einsetzen in '' + p' + q = 0 ergibt: λ + p λ+q = 0 λ λ λ λ λ e + pλ e + qe = 0 :e charakteristische Gleichung, deren NS spezielle Lösung darstellen. Seite 10 von 16

11 FernUNI Hagen WS 00/03 Es lassen sich 3 Fälle unterscheiden (Einsetzen von unterschiedlichen Werten für p und q): 1. Fall: verschiedene reelle NS: Setze p = 3 und q = '' + 3' + = 0 λ + 3 λ + = 0 λ = -1; λ = - 1 Durch Linearkombination der beiden Eigenwerte erhält man die allgemeine Lösung des Problems: = c e ce. Fall: 1 reelle NS Setze p = und q = 1 '' + ' + = 0 λ + λ+ 1 = 0 λ = 1 1 Auch hier erhält man durch Linearkombination der beiden Eigenwerte die allgemeine Lösung: = c e ce + Herleitung über die Variation der Konstanten 3. Fall: Komplee NS z.b. '' + ' + = 0 λ + λ + = 0 λ = 1± 1 = 1± 1i 1 mit p = und q = - allg. Lsg.: = e (c cos + c sin ) 1 Aufgabe 5.1.e ii und i rechnen Seite 11 von 16

12 FernUNI Hagen WS 00/03 Anfangswertaufgabe: Suche nach spezieller Lösung, die den Anfangswertbedingungen für und genügt. Weiterführung des Beispiels aus Fall 1: '' + 3' + = 0 mit (0) = 3 und ' (0) = allg. Lsg.: = c e c e ' = -c e c e (0) = 3 : 3= c + c (0) 5: 1 = 1 1 spez.lsg.: = e 5= c c c = 1 c = e b) Inhomogene DGL: allg. Lösung setzt sich zusammen aus Lösung der homogenen DGL und einer beliebigen spez. Lösung der inhomogenen DGL Skript: Reduktion der Ordnung (Var. der Konstanten) man kennt eine Lösung der homogenen DGL ( () 1 ) die inhomogene hat dann eine spez. Lösung () = 1() z() durch Einsetzen der Lösung () in die inhomogene DGL reduziert sich deren Ordnung und wird lösbar: p n () (n) +...+p 1 () (1) +p 0 () = 0 hat eine Lösung der Form = 1 () z() Beispiel , Seite 0/1 Skript: 3 + = 0 hat als eine Lösung 1 = 3 und somit auch () = 3 z() dies setzt man ein in die obige Formel und erhält z = -4 und somit auch = 1 Seite 1 von 16

13 FernUNI Hagen WS 00/03 Beispiel: '' - = 1. Lösung des homogenen Teils: '' + p' + q = 0 mit p = 0 und q = -1 λ λ λ λ e + pλ e + qe = 0 λ 1= 0 λ =± 1 Damit ergibt sich als eine Lösung: 1() = e 1. Eine spezielle Lösung des inhomogenen DGL Ansatz s = z() e ' = z' e + ze '' = z''e + z'e + z'e + ze einsetzen in '' - = ergibt z''e + z'e +ze ze = z''e + z'e = Subst. u = z' - u'e + ue = e u' + u = e - Bestimmung der Eulerschen Zahl - - d u' + u = e lineare DGL m = e = e e u' + e u = e e = e integrieren e u = e - = -e e = s - - u = e e = e = z' z = -e 3. Die allgemeine Lsg. Des inhomogenen DGL - 1 () = ce + c e - homogene Lösung + spezielle Lösung Seite 13 von 16

14 FernUNI Hagen WS 00/03 Seite 14 von 16

15 FernUNI Hagen WS 00/03 einfacher (aber nicht im Skript): Koeffizientenvergleich rechte Seite linke Seite s n o + r1 n o + 1 n b b 1 r() Ansatz () r r s s s asin b + ae ce homogene Lösung a cos b A sin b + B cos b n Ist r() Summe von o.g. Ausdrücken muß auch als Ansatz deren Summe gewählt werden; sie können auch getrennt berechnet werden: Bsp. von eben: '' - = r() = Ansatz = s ' = 0 '' = 0 s o einsetzen -s = s = als spez. Lsg. 0 o Bsp.: '' + ' + = + - h = 1 s = o + 1 homogene Lsg.: e (c cos + c sin ) Ansatz s s + s ' = s s 1 '' = s s + s 1 o 1 einsetzen: s + s + 4s + s + s + s = + Koeffizientenvergleich: :s = s = 1 : 4s + s = 0 4+ s = 0 s = c : s + s + s = 4+ s = s = spez. Lsg: = + s 1 o allg.inh.lsg.: = e (c cos + c sin ) Lineare Differentialgleichungen in der Ökonomie Wachstumsmodell für das Volkseinkommen nach Boulding Differentialgleichungsmodell der Versicherungsmathematik (Selber durchlesen, S.8 und 9, Skript) Seite 15 von 16

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