Kapitel 15: Differentialgleichungen
|
|
- Elisabeth Sauer
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen ökonomischen Modellen, insbesondere im Zusammenhang mit Produktions- und Nutzenfunktionen, Wachstum und Marktprozessen, vor. Bemerkung zur Schreibweise: Während in der Mathematik zwischen dem Funktionswert und der Funktion = f() unterschieden wird, schreibt man in der Theorie der Differentialgleichung gewöhnlich kurz anstelle von f(). Entsprechend werden die Ableitungen mit,,... bezeichnet. Beispiele für Gleichungen, in der die Funktion, deren Ableitungen sowie eine oder mehrere unabhängige Variable auftreten: = + = + 1. Grundbegriffe Jede Funktion, die mit ihren Ableitungen die Gleichung erfüllt, heißt Lösung der DGL Menge aller Lsg. = allgemeine Lsg. = Lösungsmenge Ordnung der DGL = höchste auftretende Ableitung kann nach dieser aufgelöst werden eplizite DGL, ansonsten implizite DGL. Wenn mehrere Variablen und deren part. Ableitungen = partielle DGL ansonsten gewöhnliche DGL. Eine DGL muß nicht notwendigerweise für alle Variablen- und Funktionswerte definiert sein, so ist ' = ( 5) beispielsweise nur für 5 und 0 definiert Es eistiert kein einheitliches Lösungeverfahren, das auf beliebige DGLn der ab jetzt immer verwendeten Form F(,, (1),...,(n)) = 0 anwendbar ist. Nur für sehr spezielle Funktionen F konnten weitgehend voneinander unabhängige Methoden zur Bestimmung der allgemeinen Lösung entwickelt werden. Bsp S.: 3 = + Anhand der Zeichnung lässt sich leicht erklären, dass mehrere Funktionen die Differentialgleichung erfüllen können. Seite 1 von 16
2 FernUNI Hagen WS 00/03 Differentialgleichungen 1. Ordnung bisher einzige Lsg.möglichkeit: Integration '=f() Lsg: = f()d = F()+c oft: Anfangswertprobleme,d.h. eine spezielle Lsg. für ( o) = co ist gesucht Beispiel: -1 ' = ln + e ; mit (1) = als Anfangswert -1 = (ln + e ) d Einschub: ln d = 1ln d u' = 1 v = ln 1 partielle Integration u = v'= 1 = ln - ln d = weiter mit der Lösung: -1-1 allg. Lsg.: = (ln + e ) d = ln + +e + c spez. Lsg.: (1) = ergibt: 1ln1++e + c = c = -1 = ln + + e + 0 Seite von 16
3 FernUNI Hagen WS 00/03 Weitere Lösungsmöglichkeit Zur Einführung: gewöhnliche DGLn 1. Ordnung Alles sind Spezialfälle von F(,, ) = g(,)+h(,)* = 0 Formel Verfahren Lösungsansatz g () + h() ' = 0 Trennung der Variablen h() d = - g()d g(,) + h(,)* = 0 Totale DGL F(,) = c mit c IR Y = g Ähnlichkeitsdifferetialgleichungen Homogene DGL Überprüfen: Berechnung: (1) g = h (1) G(,) = g(,)d () G = (3) C():= G G h(,)- d (4) F(,) = G(,)+c() = c z = () i = z (ii) g(z) = ' = z+z' (a) g(z) = z = c mit c R (b) g(z) z Y + p() = r() Lineare DGL 1.Ordnung (1) P() = p()d z' 1 (ii) liefert die DGL =, so daß man mit der gz () z Methode Trennung der Variablen alle Lsg für z() erhält. Aus () = z() fließen schließlich alle Lösungen für () P ( ) P ( ) () () = e ( c+ r( ) e d) (3) Dabei ist c R eine frei wählbare Konstante Seite 3 von 16
4 FernUNI Hagen WS 00/03 1) Trennung der Variablen g () + h() ' = 0 Da die Funktion g nur von und h() d = - g()d d g() + h() = 0 d die Funktion h ist nur von abhängig ist, spricht man von DLG mit getrennten Variablen, die auf verschiedene Seiten gebracht werden Bsp , S. 5 allgemein selber durchlesen Bsp , S. 5 speziell selber durchlesen Beispiel: - 1 = 0 ' = mit (0) = 1 als Anfangswert Allgemeine Lsg: d d = = für 0 d = d für 0 * ln = + c * * * +c c c = e =e e mit c = e > 0 = ce Spezielle Lösung (0)= 1 ce = 1 c = 1 = e o Aufgabe 5.1.a rechnen Seite 4 von 16
5 FernUNI Hagen WS 00/03 Oben ist ein Spezialfall der eakten DGL gewesen ) Eakte bzw. Totale DGL g(,) + h(,)* = 0 wobei gilt : g ' = h ' (immer zuerst überprüfen!) Es wird davon ausgegangen, dass es eine Funktion F(,) gibt, für die gilt: F = g(,) Wie schon bekannt gilt, dass die Kreuzableitungen F = h(,) (. Partielle Abl.) einer Funktion immer identisch sind F = g = h = F Beispiel 15.3., S.8 Zum Bestimmen von F(,): G(,) + (h(,) - G '(,))d = c So kommt man darauf: I: F(,) = F' d + c()= g(,)d+c()= G(,)+c() II: diese Funktion nach ableiten: F' =G' (,)+c'()=h(,) III: umgeformt ergibt sich: c'() = h(,) - G' (, ) IV: Integrieren ergibt: c() = h(,)-g' (, )d in I einsetzen Beispiel 1: e + e ' = 0 g= e und h=e total? g' = 4e h ' = 4e ja! G = g(,)d = e c() = d = e G' = e h(,)-g(,)' d = (e e )d= 0d ist die Lsg des. Terms F(,)= G(,)+c()= e +0= c ist die Gesamtlösung Seite 5 von 16
6 FernUNI Hagen WS 00/03 Beispiel : + e + ( + cos) ' = 0 total? g' = 1 und h' = 1 ist gleich JA! G = ( + e )d = + e G ' = c ( ) = ( h (, ) G' (, )) d = ( + cos - ) d = cos d = sin allg. Lsg.: G(X,)+c() = + e + sin = c Aufgabe 5.1.b rechnen Seite 6 von 16
7 FernUNI Hagen WS 00/03 3) Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen F(,, ) = g(,)+h(,)* = 0 Spezialfall homogene DGL : g(,) = -g und h(,) = 1 somit ergibt sich g(,)+ =0 und daraus = g = g(z) Die Bezeichnung Ähnlichkeitsdifferentialgleichung leitet sich aus der Tatsache ab, dass mit jeder Lösung () auch jede durch Ähnlichkeitsabbildunge bzgl. Des Koordinatenursprungs aus () hervorgehende Funktionen wiederum eine Lösung darstellen. Subst.: z = bzw.: = z nach Ableiten: ' = z' + z, da = u v mit u = z und v = wird zu ' = u'v + uv' mit u' = z' und v' = 1 = z + z mit = g(z) gleichsetzen Beispiel: ' = Subst. z = mit ' = z' + z Gleichsetzten von ' = und ' = z' + z ergibt: dz z' + z = z -z wird zu z' = -z, bzw.: d = -z alles was ein enthält wird auf eine Seite gebracht, alles was ein z enthält wird auf die andere Seite gebracht und anschließend integriert. dz d - = z 1 = ln + c z Rücksubst.: = ln + c oder = ln + c Aufgabe 5.1.c rechnen Seite 7 von 16
8 FernUNI Hagen WS 00/03 4) Lineare DGL Ein DGL heißt linear, wenn die Funktion F(,, (1),..., (n) ) = 0 eine lineare Funktion ist, d.h. wenn die DGL die Form: F(,, (1),..., (n) ) := p n () (n) +...+p 1 () (1) +p 0 () - r() = 0 hat, wobei die p i und r in einem Intervall stetige Funktionen der Variablen sind. Lineare DGL 1. Ordnung p 1 () (1) +p 0 () = r() : p 1 ' + p() = q() bei r() bzw. q() = 0: dann linear homogen Lsg. über Trennung der Variablen ansonsten linear inhomogen Lsg. mit Eulerischen Multiplikator p()c e allgemeiner Lösungsweg ' + p() = q() * e P() (Achtung, das P ist groß uns somit das Integral von p()) e P() + e P() p() = e P() q() Ab hier entweder: Anwendung der Produktregel für Funktionen e P() p() = e q() d = e -p() e p() Oder alternativ : q() d e P() p() - e P() q() + e P() = 0 eakte DGL (ist aber etwas umständlicher als Alternative a) Bsp , S.19 bringen Seite 8 von 16
9 FernUNI Hagen WS 00/03 Beispiel: ' + (-) = e Ausführlicher Weg: - p(): - d = - Eulerscher Multiplikator: m() = e macht aus DGL eakte DG beide Seiten damit multiplizieren e e ' - e = e = e e = = 1 Integrieren nach e - e = + c nach hin auflösen = e (+c) Nur über Verwendung der Formel: P ( ) P ( ) () = e ( c+ r( ) e d) = e ( c e e + d) = e (+c) Die allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL und einer spez. Lösung der inhomogenen DGL. Aufgabe 5.1.d rechnen Seite 9 von 16
10 FernUNI Hagen WS 00/03 Lineare Differentialgleichungen. Ordnung Tp: '' + p() ' + q() = r() a) homogene Lösung a1) einfachster Fall: '' = 0 damit vereinfacht sich die obige Formel zu: p() ' + q() = 0 ersetzt -q() ' = = c 1 p() damit ergibt sich: =c1+ c Diese Lösung besitzt immer freie Konstante a) Allgemeiner Fall Nützliche Aussagen über die Bauart der allgemeinen Lösung: Ein Paar, von Lösungen heißt l.u., wenn es keine Konstante 1 c R gibt, für die gilt: () = c () 1 Sind 1 und l.u. (spezielle Lösungen), so ist auch jede Linearkombination von ihnen Lösung; sie bilden die allgemeine Lösung. (Siehe auch Def. Fundamentalsstem, S., Skript) Ziel: finden von zwei linear unabhängigen Lösungen Bsp: lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffiziente (Vergleiche dazu Skript, S. 4): λ λ λ = e ' = λe '' = λ e für spez. Werte von λ ergeben sich spez. Lsg. der DGL einsetzen in '' + p' + q = 0 ergibt: λ + p λ+q = 0 λ λ λ λ λ e + pλ e + qe = 0 :e charakteristische Gleichung, deren NS spezielle Lösung darstellen. Seite 10 von 16
11 FernUNI Hagen WS 00/03 Es lassen sich 3 Fälle unterscheiden (Einsetzen von unterschiedlichen Werten für p und q): 1. Fall: verschiedene reelle NS: Setze p = 3 und q = '' + 3' + = 0 λ + 3 λ + = 0 λ = -1; λ = - 1 Durch Linearkombination der beiden Eigenwerte erhält man die allgemeine Lösung des Problems: = c e ce. Fall: 1 reelle NS Setze p = und q = 1 '' + ' + = 0 λ + λ+ 1 = 0 λ = 1 1 Auch hier erhält man durch Linearkombination der beiden Eigenwerte die allgemeine Lösung: = c e ce + Herleitung über die Variation der Konstanten 3. Fall: Komplee NS z.b. '' + ' + = 0 λ + λ + = 0 λ = 1± 1 = 1± 1i 1 mit p = und q = - allg. Lsg.: = e (c cos + c sin ) 1 Aufgabe 5.1.e ii und i rechnen Seite 11 von 16
12 FernUNI Hagen WS 00/03 Anfangswertaufgabe: Suche nach spezieller Lösung, die den Anfangswertbedingungen für und genügt. Weiterführung des Beispiels aus Fall 1: '' + 3' + = 0 mit (0) = 3 und ' (0) = allg. Lsg.: = c e c e ' = -c e c e (0) = 3 : 3= c + c (0) 5: 1 = 1 1 spez.lsg.: = e 5= c c c = 1 c = e b) Inhomogene DGL: allg. Lösung setzt sich zusammen aus Lösung der homogenen DGL und einer beliebigen spez. Lösung der inhomogenen DGL Skript: Reduktion der Ordnung (Var. der Konstanten) man kennt eine Lösung der homogenen DGL ( () 1 ) die inhomogene hat dann eine spez. Lösung () = 1() z() durch Einsetzen der Lösung () in die inhomogene DGL reduziert sich deren Ordnung und wird lösbar: p n () (n) +...+p 1 () (1) +p 0 () = 0 hat eine Lösung der Form = 1 () z() Beispiel , Seite 0/1 Skript: 3 + = 0 hat als eine Lösung 1 = 3 und somit auch () = 3 z() dies setzt man ein in die obige Formel und erhält z = -4 und somit auch = 1 Seite 1 von 16
13 FernUNI Hagen WS 00/03 Beispiel: '' - = 1. Lösung des homogenen Teils: '' + p' + q = 0 mit p = 0 und q = -1 λ λ λ λ e + pλ e + qe = 0 λ 1= 0 λ =± 1 Damit ergibt sich als eine Lösung: 1() = e 1. Eine spezielle Lösung des inhomogenen DGL Ansatz s = z() e ' = z' e + ze '' = z''e + z'e + z'e + ze einsetzen in '' - = ergibt z''e + z'e +ze ze = z''e + z'e = Subst. u = z' - u'e + ue = e u' + u = e - Bestimmung der Eulerschen Zahl - - d u' + u = e lineare DGL m = e = e e u' + e u = e e = e integrieren e u = e - = -e e = s - - u = e e = e = z' z = -e 3. Die allgemeine Lsg. Des inhomogenen DGL - 1 () = ce + c e - homogene Lösung + spezielle Lösung Seite 13 von 16
14 FernUNI Hagen WS 00/03 Seite 14 von 16
15 FernUNI Hagen WS 00/03 einfacher (aber nicht im Skript): Koeffizientenvergleich rechte Seite linke Seite s n o + r1 n o + 1 n b b 1 r() Ansatz () r r s s s asin b + ae ce homogene Lösung a cos b A sin b + B cos b n Ist r() Summe von o.g. Ausdrücken muß auch als Ansatz deren Summe gewählt werden; sie können auch getrennt berechnet werden: Bsp. von eben: '' - = r() = Ansatz = s ' = 0 '' = 0 s o einsetzen -s = s = als spez. Lsg. 0 o Bsp.: '' + ' + = + - h = 1 s = o + 1 homogene Lsg.: e (c cos + c sin ) Ansatz s s + s ' = s s 1 '' = s s + s 1 o 1 einsetzen: s + s + 4s + s + s + s = + Koeffizientenvergleich: :s = s = 1 : 4s + s = 0 4+ s = 0 s = c : s + s + s = 4+ s = s = spez. Lsg: = + s 1 o allg.inh.lsg.: = e (c cos + c sin ) Lineare Differentialgleichungen in der Ökonomie Wachstumsmodell für das Volkseinkommen nach Boulding Differentialgleichungsmodell der Versicherungsmathematik (Selber durchlesen, S.8 und 9, Skript) Seite 15 von 16
16 FernUNI Hagen WS 00/03 Seite 16 von 16
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
Mehr13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)
Mehr0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )
Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
MehrV 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,
Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen
MehrRekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)
Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied
MehrLösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)
Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrEntladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand
Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Vorüberlegung In einem seriellen Stromkreis addieren sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung Bei einer Gesamtspannung U ges, der
MehrCharakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
MehrTangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:
Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
Mehr11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen
.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt
MehrÜ b u n g s b l a t t 11
Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte
MehrDarstellungsformen einer Funktion
http://www.flickr.com/photos/sigfrid/348144517/ Darstellungsformen einer Funktion 9 Analytische Darstellung: Eplizite Darstellung Funktionen werden nach Möglichkeit eplizit dargestellt, das heißt, die
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de
Mehrwww.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrAbituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
MehrLineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung In diesem Kapitel... Erkennen, wie Differentialgleichungen erster Ordnung aussehen en für Differentialgleichungen erster Ordnung und ohne -Terme finden Die
MehrSkript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten!
Mathefritz 5 Terme und Gleichungen Meine Mathe-Seite im Internet kostenlose Matheaufgaben, Skripte, Mathebücher Lernspiele, Lerntipps, Quiz und noch viel mehr http:// www.mathefritz.de Seite 1 Copyright
MehrWelche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?
Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt
Mehr7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
MehrBasis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.
Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren
MehrInformationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
MehrUmgekehrte Kurvendiskussion
Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen
MehrÜbungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.
Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines
MehrRepetitionsaufgaben Wurzelgleichungen
Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen
MehrDie reellen Lösungen der kubischen Gleichung
Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10
Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 - Tutorium 6 - Michael Kirsten und Kai Wallisch Sitzung 13 02.02.2010 Inhaltsverzeichnis 1 Formeln zur Berechnung Aufgabe 1 2 Hamming-Distanz Aufgabe 2 3
Mehr2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.
2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
Mehr2 Terme 2.1 Einführung
2 Terme 2.1 Einführung In der Fahrschule lernt man zur Berechnung des Bremsweges (in m) folgende Faustregel: Dividiere die Geschwindigkeit (in km h ) durch 10 und multipliziere das Ergebnis mit sich selbst.
MehrAbiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)
MehrModulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
MehrGrundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
MehrBevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable
MehrAufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung
ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph
MehrHöhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik
Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :
MehrUniversität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW
Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6
MehrWas meinen die Leute eigentlich mit: Grexit?
Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Grexit sind eigentlich 2 Wörter. 1. Griechenland 2. Exit Exit ist ein englisches Wort. Es bedeutet: Ausgang. Aber was haben diese 2 Sachen mit-einander zu tun?
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv
MehrKlassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen
Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens: x + 4y = 8 5x y = x y = x y = Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge
MehrAbschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1
B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,
MehrHans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen
Hans Walser, [0090509a] Wurzeln aus Matrizen 1 Worum es geht Zu einer gegebenen,-matri A suchen wir,-matrizen B mit der Eigenschaft: BB = B = A. Wir suchen also Quadratwurzeln der Matri A. Quadrieren Wenn
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
Mehr1 Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.
MehrDAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein
DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal
MehrFachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum
Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt
Mehr8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht
8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren
MehrGleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen
Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term
MehrPhysik 4, Übung 8, Prof. Förster
Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder
Mehr8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht
8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren
MehrRepetitionsaufgaben: Lineare Funktionen
Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Zusammengestellt von Irina Bayer-Krakvina, KSR Lernziele: - Wissen, was ein Steigungsdreieck einer Geraden ist und wie die Steigungszahl
MehrStellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster
Es gibt in Excel unter anderem die so genannten Suchfunktionen / Matrixfunktionen Damit können Sie Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs suchen. Als Beispiel möchte ich die Funktion Sverweis zeigen.
Mehr5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform
Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n
MehrDie Invaliden-Versicherung ändert sich
Die Invaliden-Versicherung ändert sich 1 Erklärung Die Invaliden-Versicherung ist für invalide Personen. Invalid bedeutet: Eine Person kann einige Sachen nicht machen. Wegen einer Krankheit. Wegen einem
Mehr5. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12)
Technische Universität München Zentrum Mathematik PD Dr. hristian Karpfinger http://www.ma.tum.de/mathematik/g8vorkurs 5. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12) Aufgabe 5.1: In einer Implementierung
Mehrder Eingabe! Haben Sie das Ergebnis? Auf diesen schwarzen Punkt kommen wir noch zu sprechen.
Medizintechnik MATHCAD Kapitel. Einfache Rechnungen mit MATHCAD ohne Variablendefinition In diesem kleinen Kapitel wollen wir die ersten Schritte mit MATHCAD tun und folgende Aufgaben lösen: 8 a: 5 =?
MehrDer monatliche Tarif für ein Handy wurde als lineare Funktion der Form f(x) = k x + d modelliert (siehe Grafik).
1) Handytarif Der monatliche Tarif für ein Handy wurde als lineare Funktion der Form f(x) = k x + d modelliert (siehe Grafik). Euro Gesprächsminuten Tragen Sie in der folgenden Tabelle ein, welche Bedeutung
MehrIm weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: Zinsrechnung
4.2 Grundbegriffe der Finanzmathematik Im weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: K 0 Anfangskapital p Zinsfuß pro Zeiteinheit (in %) d = p Zinssatz pro Zeiteinheit 100 q = 1+d Aufzinsungsfaktor
MehrEinfache Differentialgleichungen
Differentialgleichungen (DGL) spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Folgenden behandeln wir die grundlegendsten Fälle 1, jeweils mit einer kurzen Herleitung der Lösung. Dann schliesst eine
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
MehrLineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)
Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst
Mehr3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
176 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an
Mehr3.1. Die komplexen Zahlen
3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen
Mehr3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung
3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische
MehrLernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah
Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah www.schema-f-hagen.de Sie erhalten hier einen Einblick in die Dokumente Aufgaben und Lösungen sowie Erläuterungen Beim Kauf erhalten Sie zudem
MehrKapitalerhöhung - Verbuchung
Kapitalerhöhung - Verbuchung Beschreibung Eine Kapitalerhöhung ist eine Erhöhung des Aktienkapitals einer Aktiengesellschaft durch Emission von en Aktien. Es gibt unterschiedliche Formen von Kapitalerhöhung.
MehrDas große ElterngeldPlus 1x1. Alles über das ElterngeldPlus. Wer kann ElterngeldPlus beantragen? ElterngeldPlus verstehen ein paar einleitende Fakten
Das große x -4 Alles über das Wer kann beantragen? Generell kann jeder beantragen! Eltern (Mütter UND Väter), die schon während ihrer Elternzeit wieder in Teilzeit arbeiten möchten. Eltern, die während
MehrWurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Vorkurs, Mathematik
Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten Zur Einstimmung Wir haben die Formel benutzt x m n = x m n nach der eine Exponentialzahl potenziert wird, indem man die Exponenten multipliziert. Dann sollte
MehrAlso kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.
Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf
MehrZahlenwinkel: Forscherkarte 1. alleine. Zahlenwinkel: Forschertipp 1
Zahlenwinkel: Forscherkarte 1 alleine Tipp 1 Lege die Ziffern von 1 bis 9 so in den Zahlenwinkel, dass jeder Arm des Zahlenwinkels zusammengezählt das gleiche Ergebnis ergibt! Finde möglichst viele verschiedene
MehrElemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen
Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html
Mehr9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
MehrMotivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen. Informales Beispiel. Informales Beispiel.
Kontextfreie Kontextfreie Motivation Formale rundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen Bisher hatten wir Automaten, die Wörter akzeptieren Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen
Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrDas Mathematik-Abitur im Saarland
Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die
Mehr1 topologisches Sortieren
Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung
MehrTEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge
TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge Erste Fassung März 2013 Dieser Test beinhaltet Aufgaben zu den wesentlichen Themen im Bereich Mathematik, die Basiswissen für ein Ingenieurstudium
MehrLösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten:
Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: 1. Additions- und Subtraktionsverfahren 3x = 7y 55 + 5x 3x = 7y 55 7y 5x + 2y = 4 3 5 werden, dass die Variablen links und die Zahl rechts vom
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10
TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen,
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
MehrDie Bundes-Zentrale für politische Bildung stellt sich vor
Die Bundes-Zentrale für politische Bildung stellt sich vor Die Bundes-Zentrale für politische Bildung stellt sich vor Deutschland ist ein demokratisches Land. Das heißt: Die Menschen in Deutschland können
MehrPhysik & Musik. Stimmgabeln. 1 Auftrag
Physik & Musik 5 Stimmgabeln 1 Auftrag Physik & Musik Stimmgabeln Seite 1 Stimmgabeln Bearbeitungszeit: 30 Minuten Sozialform: Einzel- oder Partnerarbeit Voraussetzung: Posten 1: "Wie funktioniert ein
MehrRente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen
1 3.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind
MehrHIER GEHT ES UM IHR GUTES GELD ZINSRECHNUNG IM UNTERNEHMEN
HIER GEHT ES UM IHR GUTES GELD ZINSRECHNUNG IM UNTERNEHMEN Zinsen haben im täglichen Geschäftsleben große Bedeutung und somit auch die eigentliche Zinsrechnung, z.b: - Wenn Sie Ihre Rechnungen zu spät
MehrSimplex-Umformung für Dummies
Simplex-Umformung für Dummies Enthält die Zielfunktion einen negativen Koeffizienten? NEIN Optimale Lösung bereits gefunden JA Finde die Optimale Lösung mit dem Simplex-Verfahren! Wähle die Spalte mit
Mehr