= = = 3 10 = = 33

Save this PDF as:

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "= = 1000 3 10 = 3 10 = = 33"

Transkript

1

2 = = = 3 10 = = 33 =

3

4

5 e = E cos( t + (t) ) e = E cos( t + (t) )

6

7

8 2

9

10

11

12 2ln(2)

13

14

Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Partielle Ableitungen höherer Ordnung Partielle Ableitungen höherer Ordnung 1-E Partielle Ableitungen höherer Ordnung f ( x, y) = x cos y + y e x Partielle Ableitungen 1. Ordnung: f x = cos y + y e x, f y = x sin y + e x Partielle Ableitungen

Mehr

Funktionen mehrerer Variablen: Integralrechnung. Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya

Funktionen mehrerer Variablen: Integralrechnung. Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya Funktionen mehrerer Variablen: Integralrechnung ufgaben mit Lösungen Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya Inhaltsverzeichnis ii Doppelintegrale. Doppelintegrale.. Doppelintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen

Mehr

Funktionen von mehreren Variablen Definition, Definitions- und Wertebereich

Funktionen von mehreren Variablen Definition, Definitions- und Wertebereich Funktionen von mehreren Variablen Definition, Definitions- und Wertebereich 4-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya Die Grundfragen Was möchten wir über Funktionen von mehreren Variablen wissen: Wie definiert man

Mehr

Homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Homogene lineare Differentialgleichung. Ordnung Sanddünen und Integralkurven E Ma Lubov Vassilevskaa E Ma Lubov Vassilevskaa E3 Ma Lubov Vassilevskaa Lineare DGL. Ordnung Definition: Eine Differenzialgleichung.

Mehr

Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil 1

Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil 1 Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil -E -E Trennung der Variablen Die Differenzialgleichung. Ordnung mit getrennten Variablen hat die Gestalt f ( y) dy = g (x) dx Satz: Sei f (y) im Intervall I und g

Mehr

Vereinfachen Sie folgende Brüche auf einen ganzzahligen, teilerfremden Bruch oder eine endliche Dezimalzahl. 0,033 = 6 14 = 8 0,3 : 4

Vereinfachen Sie folgende Brüche auf einen ganzzahligen, teilerfremden Bruch oder eine endliche Dezimalzahl. 0,033 = 6 14 = 8 0,3 : 4 Aufgabe : Probe Vereinfachen Sie folgende Brüche auf einen ganzzahligen, teilerfremden Bruch oder eine endliche Dezimalzahl. 0,9 0, = 0, 0, =, 0,0 =,, = : 0,7 = 8 0, : 0, = 7 0, 0, = 0, = 0,7 0,8 0 =,

Mehr

Substitution bei bestimmten Integralen. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Substitution bei bestimmten Integralen. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Substitution bei bestimmten Integralen -E Ma Lubov Vassilevskaya -E Ma Lubov Vassilevskaya Substitution bei bestimmten Integralen: Lernziele Was wir wissen: Wann berechnet man Integrale mit Hilfe einer

Mehr

Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e k e i n e a u s z a h l u n g c h a p t e r

Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e k e i n e a u s z a h l u n g c h a p t e r Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e k e i n e a u s z a h l u n g c h a p t e r þÿ L e o f r e c e u n f l e x i b l e s i s t e m a i n t e g r a d o d e p i n z a y b r a z o d e t i p o f l e x o, p a

Mehr

Integrationsregeln, Integration durch Substitution. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Integrationsregeln, Integration durch Substitution. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Integrationsregeln, Integration durch Substitution 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya 1-E2 Ma 1 Lubov Vassilevskaya 1-E3 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Integrationsregeln Faktorregel: b a b C f x dx = C a f x dx

Mehr

Aufgabensammlung zur Vorklausur (Stand: )

Aufgabensammlung zur Vorklausur (Stand: ) Aufgabensammlung zur Vorklausur (Stand: 7..08) Aufgabe : Vereinfachen Sie folgende Brüche auf einen ganzzahligen, teilerfremden Bruch oder eine endliche Dezimalzahl. Probe 0,9 0, = 0, 0, =, 0,0 =,, = :

Mehr

D-CHAB Grundlagen der Mathematik I (Analysis B) FS 2016 Theo Bühler

D-CHAB Grundlagen der Mathematik I (Analysis B) FS 2016 Theo Bühler D-CHAB Grundlagen der Mathematik I Analysis B) FS 6 Theo Bühler Lösung. Finde eine Stammfunktion von a) f : R R, fx) := x cosx 5 ) sinx 5 ) ) = 5 cosx 5 )x, also die Stammfunktion von fx) durch F x) :=

Mehr

Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e k o n t o g e s p e r r t c h a p t e r

Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e k o n t o g e s p e r r t c h a p t e r Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e k o n t o g e s p e r r t c h a p t e r þÿ F o r u m o n l i n e - A k t i e n h a n d e l K a n a d a f ü r A n f ä n g e r B r o k e r F o r e x Y a n g t e r b a i k.

Mehr

Chapter 1 : þÿ S p o r t w e t t e n b e t a t h o m e c h a p t e r

Chapter 1 : þÿ S p o r t w e t t e n b e t a t h o m e c h a p t e r Chapter 1 : þÿ S p o r t w e t t e n b e t a t h o m e c h a p t e r þÿ 1 3. J u l i 2 0 1 6 5 E u r o B e t - a t - h o m e G u t s c h e i n m i t N e w s l e t t e r A n m e l d u n g G u t s c h e

Mehr

Implizite Differentiation

Implizite Differentiation Implizite Differentiation -E -E Implizite Darstellung Eine Funktion ist in impliziter Form gegeben, wenn ie Funktionsgleichung nach keiner er beien Variablen x un y aufgelöst ist. Beispielsweise x y =

Mehr

Trigonometrische Substitutionen

Trigonometrische Substitutionen Trigonometrische Substitutionen Mit Hilfe der folgenden Substitutionen lassen sich eine Reihe von elementaren algebraischen Integranden explizit berechnen: x = a sin t : x = a tan t : x = a/ cos t : =

Mehr

Partielle Ableitungen

Partielle Ableitungen Partielle Ableitungen 7-E Partielle Ableitungen einer Funktion von n Variablen Bei einer Funktion y f x1, x,..., xn von n unabhängigen Variablen x1, x,..., x n lassen sich insgesamt n partielle Ableitungen

Mehr

Partielle Ableitungen & Tangentialebenen. Folie 1

Partielle Ableitungen & Tangentialebenen. Folie 1 Partielle Ableitungen & Tangentialebenen Folie 1 Bei Funktionen mit einer Variable, gibt die Ableitung f () die Steigung an. Bei mehreren Variablen, z(,), gibt es keine eindeutige Steigung. Die Steigung

Mehr

Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit

Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit (Lösungshinweise). Lösungshinweise: a) x 0 x 3 (4 3x) x 3 (5 3x ) = 4 5 b) x (x )(x 3) (x )(x 5) = 3 d) x x n x = x (xn + x n +... + x + ) = n 3x x + x f) x x = +

Mehr

Kapitel VII Untersuchung von Funktionen mittels Ableitungen (Lösungen)

Kapitel VII Untersuchung von Funktionen mittels Ableitungen (Lösungen) Kapitel VII Untersuchung von Funktionen mittels Ableitungen (Lösungen) 7 cos sin 7 a) b a b b a a b a ln ln ln b) 8 sin cos sin ) ( lnsin π π π π π c) + + + ln 7 a) + e e e e b) ) + + ( + + 7 a) + + +

Mehr

Differentialgleichungen erster Ordnung

Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichungen 1996 Peter Senn, Ph.D. Differentialgleichungen erster Ordnung Aufgabe M-DG-1: Bestimme die Lösung von x dy + (1 - x)y = x ex für welche y(1) = 0. Aufgabe M-DG-2: Bestimme die Lösung

Mehr

Gottwald, Künzer, Ritter Wintersemester 2018/19. Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Test 3

Gottwald, Künzer, Ritter Wintersemester 2018/19. Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Test 3 Name: Gottwald, Künzer, Ritter Wintersemester 2018/19 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Test Bearbeitungszeit: 60 Minuten. Erlaubte Hilfsmittel: 4 eigenhändig handgeschriebene Seiten DIN A4. Bewertung:

Mehr

Darstellungsformen von Funktionen

Darstellungsformen von Funktionen http://www.flickr.com/photos/ishida/1805420435/in/pool-streetlampsoftheworld Darstellungsformen von Funktionen 1 E X f (x) Y Abb. 1: Konzept einer Funktion f (x): Abbildung einer Menge auf die andere Die

Mehr

14.3 Berechnung gekrümmter Flächen

14.3 Berechnung gekrümmter Flächen 4.3 Berechnung gekrümmter Flächen Gekrümmte Flächen werden berechnet, indem sie als Graph einer Funktion zweier Veränderlicher aufgefasst werden. Fläche des Graphen einer Funktion zweier Veränderlicher

Mehr

9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen

9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Übungsmaterial 9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Die trigonometrischen Funktionen sind die Sinus-, die Kosinus- und die Tangensfunktion. 9. Eigenschaften der trigonometrischen

Mehr

L Hospitial - Lösungen der Aufgaben

L Hospitial - Lösungen der Aufgaben A ln - (Zähler und Nenner müssen gegen gehen, wenn gegen geht): Für geht der Zähler gegen ln Für geht der Nenner gegen - ( ln ) ' ( )' - L'Hospital darf angewendet werden Zähler und Nenner differenzieren

Mehr

Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e g u t s c h e i n g e w i n n e n c h a p t e r

Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e g u t s c h e i n g e w i n n e n c h a p t e r Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e g u t s c h e i n g e w i n n e n c h a p t e r þÿ b e t - a t - h o m e b i e t e t s e h r v i e l e i n t e r e s s a n t e L a n g z e i t w e t t e n a n.. E i n e

Mehr

Übungsaufgaben Mathematik III MST

Übungsaufgaben Mathematik III MST Übungsaufgaben Mathematik III MST Lösungen zu Blatt Differentialgleichungen Prof. Dr. B.Grabowski Zu Aufgabe ) Zu a) lassifizieren Sie folgende Differentialgleichungen nach folgenden riterien: -Ordnung

Mehr

5.5. Aufgaben zur Integralrechnung

5.5. Aufgaben zur Integralrechnung .. Aufgn ur Ingrlrchnung Aufg : Smmfunkionn Bsimmn Si jwils ll Smmfunkionn für di folgndn Funkionn: ) f() f) f() k) f() n mi n R\{} p) f() 6 + 7 + ) f() g) f() l) f() + 6 q) f() f() h) f() m) f() + + r)

Mehr

Fundamentale Lösungen von linearen homogenen Differentialgleichungen. 1-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya

Fundamentale Lösungen von linearen homogenen Differentialgleichungen. 1-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya Fundamentale Lösungen von linearen homogenen Differentialgleichungen 1-E Eigenschaften einer linearen DGL 2. Ordnung Eine homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: A. Kirchhoff, T. Pfrommer, M. Kutter, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H.

Mehr

Kettenregel. 1 Motivation. 2 Die Kettenregel. 2.1 Beispiel: f(x) = ( 2 x 2) 3

Kettenregel. 1 Motivation. 2 Die Kettenregel. 2.1 Beispiel: f(x) = ( 2 x 2) 3 Kettenregel 1 Motivation Eine sehr praktische Ableitungsregel ist die sogenannte Kettenregel. Sie ermöglicht kompliziertere Funktionen, etwa verschachtelte Funktionen wie f 1 x = sin cosx 2 oder f 2 x

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Ableitungen und Kurvendiskussion

Vorkurs Mathematik Übungen zu Ableitungen und Kurvendiskussion Vorkurs Mathematik Übungen zu Ableitungen und Kurvendiskussion Als bekannt setzen wir die folgenden 5 Ableitungen und 3 Regeln voraus: cos) = sin) n ) = n n für alle n 0 e ) =e sin) = cos) ln) = f) g))

Mehr

Klausur 12/I Thema: Integralrechnung Teil A (hilfsmittelfrei) 1. Eine Stammfunktion von f x =3 x 1 heißt:

Klausur 12/I Thema: Integralrechnung Teil A (hilfsmittelfrei) 1. Eine Stammfunktion von f x =3 x 1 heißt: mg.odt 5..9 Klausur /I A Thema: Integralrechnung Teil A (hilfsmittelfrei). Eine Stammfunktion von f = heißt: ln ln. Die erste Ableitung der Funktion f = lautet: 8 d beträgt: '. Die Funktion f = ³ 8 ist

Mehr

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker Fachbereich Mathematik PD Dr. P. Ne WS 007/008 6.1.007 8. Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker Zur Erinnerung, die Formel für die Taylorreihe um die Stelle x 0 lautet f(x) n0 f (n) (x 0 ) (x x 0 )

Mehr

Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e P r e m i e r L e a g u e A b s t i e g s c h a p t e r

Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e P r e m i e r L e a g u e A b s t i e g s c h a p t e r Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e P r e m i e r L e a g u e A b s t i e g s c h a p t e r þÿ t o c r e a t e a n R V t h a t c o u l d T h e b e s t d e c i s i o n y o u & # 3 9 ; l l m a k e a l l d a

Mehr

Chapter 1 : þÿ b e t a w e t t e r c h a p t e r

Chapter 1 : þÿ b e t a w e t t e r c h a p t e r Chapter 1 : þÿ b e t a w e t t e r c h a p t e r þÿ W i r s i n d f r S i e d a w e n n S i e u n s b r a u c h e n! b e t - a t - h o m e O p e n? N e u n T a g e. B r a s i l i e n - K o l u m b i e

Mehr

6.4 Uneigentliche Integrale

6.4 Uneigentliche Integrale 6.4 Uneigentliche Integrle 3 Beispiele : d + + d ( + ) t + d t t d t ( t + t + t ) + t + t t ln ( + t) + c + ln ( + + ) + c + t rctn + c 6.4 Uneigentliche Integrle bisher : beschränkte Funktionen uf endlichen

Mehr

d dy f 1 (y) = 1 d dy x = 1 (f 1 ) (y) Ein bekannter Satz zur Inversionsregel lautet: Ableitung = 1 durch Ableitung der Umkehrfunktion.

d dy f 1 (y) = 1 d dy x = 1 (f 1 ) (y) Ein bekannter Satz zur Inversionsregel lautet: Ableitung = 1 durch Ableitung der Umkehrfunktion. Inversionsregel Motivation Eine eher sonderbare, jedoch sehr praktische Ableitungsregel, gerade beim Ableiten von Arkusfunktionen stellt die sogenannte Inversionsregel dar. Sie ermöglicht es, eine Funktion

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 16 18. Dezember 2009 Differenzierbarkeit der Exponentialfunktion Zerfall, Halbwertszeit Die wichtige Exponentialfunktion exp ist definiert durch

Mehr

I 1. Ermittle von den folgenden Funktionen jeweils Stammfunktionen: (d) 4cosxdx (e) 3e x dx (f) ( e x + x 2) dx

I 1. Ermittle von den folgenden Funktionen jeweils Stammfunktionen: (d) 4cosxdx (e) 3e x dx (f) ( e x + x 2) dx Integralrechnung: I. Ermittle von den folgenden Funktionen jeweils Stammfunktionen: (a) y =,5 (b) y = + (c) y = 5 (d) y = 3 (e) y = (f) y = (g) y = 3 (h) y = (i) y = 3 4 4 (j) y = 6 + 3 (k) y = 3 + 4 (l)

Mehr

Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e o h n e E i n z a h l u n g B o n u s - C o d e c h a p t e r

Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e o h n e E i n z a h l u n g B o n u s - C o d e c h a p t e r Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e o h n e E i n z a h l u n g B o n u s - C o d e 2 0 1 5 c h a p t e r þÿ d i e E M - S p e z i a l v o n b e t - a t - h o m e. c o m. 2 4 0. N e u e Ä r a f ü r & n b

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg elementarer Funktionen Gegeben: f : D R, mit D R und a > 0, b R. Dann gilt: f(x) f (x) 1 ln x x 1 log a x x ln a e x e

Mehr

Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 4. Übung

Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 4. Übung TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, 26. April 2017 Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 4. Übung Aufgabe

Mehr

Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale Uneigentliche Integrale -E Ma Lubov Vassilevskaya Integrierbarkeit ccvon Funktionen Folgende Gründe können die Integrierbarkeit verhindern: Die Funktion f (x) ist im endlichen Integrationsintervall [a,

Mehr

Chapter 1 : þÿ P r e m i u m b e t a t h o m e L o g i n c h a p t e r

Chapter 1 : þÿ P r e m i u m b e t a t h o m e L o g i n c h a p t e r Chapter 1 : þÿ P r e m i u m b e t a t h o m e L o g i n c h a p t e r þÿ 2 1. M a i 2 0 1 5 B e l i e b t e r W e b b r o w s e r k o m m t e n d l i c h a u f i P h o n e & a m p ; C o. S i e b e n J

Mehr

Eigenschaften stetiger Funktionen Buch Kap. 2.5

Eigenschaften stetiger Funktionen Buch Kap. 2.5 Eigenschaften stetiger Funktionen Buch Kap. 2.5 Satz 2.6: (Nullstellensatz) Ist f : [a, b] R stetig und haben f (a) und f (b) unterschiedliche Vorzeichen, so besitzt f in (a, b) mindestens eine Nullstelle.

Mehr

Fibonacci, Kreisfunktionen und hyperbolische Funktionen Spezielle verallgemeinerte Fibonacci-Rekursionen führen auf Kreis- und Hyberbelfunktionen.

Fibonacci, Kreisfunktionen und hyperbolische Funktionen Spezielle verallgemeinerte Fibonacci-Rekursionen führen auf Kreis- und Hyberbelfunktionen. Hans Walser, [0090411a] Fibonacci, Kreisfunktionen und hyperbolische Funktionen Spezielle verallgemeinerte Fibonacci-Rekursionen führen auf Kreis- und Hyberbelfunktionen. 1 Fibonacci und Kreisfunktionen

Mehr

7. Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion 7.1 Die natürliche Exponentialfunktion

7. Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion 7.1 Die natürliche Exponentialfunktion 7. Natürlice Eponential- und Logaritmusfunktion 7. Die natürlice Eponentialfunktion Wiederolung 0. Klasse: allgemeine Eponentialfunktion f() = a bekannt (a )' = lim = lim a a a = a lim a Ziel: f f = lim

Mehr

Inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Variation der Konstanten

Inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Variation der Konstanten http://farm2.static.flickr.com/1126/1106887574_afb6b55b4e.jpg?v=0 Inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Variation der Konstanten 1-E Joseph Louis Lagrange (1736-1813), ein italienischer Mathematiker

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 25. November 2010 1 Differentialrechnung Kurvendiskussion Trigonometrische Funktionen Bedeutung der Ableitung in

Mehr

Übungen zur Vorlesung. Einführung in Dynamische Systeme. Musterlösungen zu Aufgabenblatt 2

Übungen zur Vorlesung. Einführung in Dynamische Systeme. Musterlösungen zu Aufgabenblatt 2 Prof. Roland Gunesch Sommersemester 00 Übungen zur Vorlesung Einführung in Dynamische Systeme Musterlösungen zu Aufgabenblatt Aufgabe : a Zeigen Sie: Für alle Anfangsdaten u 0, t 0 R R hat das Anfangswertproblem

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Gleichungen. Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Gleichungen. Baden-Württemberg Badn-Württmbrg: Training Glichungn www.math-aufgabn.com Pflichttilaufgabn zu Glichungn Badn-Württmbrg Hilfsmittl: kin allgminbildnd Gymnasin Alandr Schwarz www.math-aufgabn.com Sptmbr 7 Badn-Württmbrg:

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Gleichungen. Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Gleichungen. Baden-Württemberg Badn-Württmbrg: Training Glichungn www.math-aufgabn.com Pflichttilaufgabn zu Glichungn Badn-Württmbrg Hilfsmittl: kin allgminbildnd Gymnasin Alandr Schwarz www.math-aufgabn.com Sptmbr 6 Badn-Württmbrg:

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x

Mehr

Analysis I. Arbeitsblatt 25. Übungsaufgaben. π x sin x 2 dx.

Analysis I. Arbeitsblatt 25. Übungsaufgaben. π x sin x 2 dx. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 23/24 Analysis I Arbeitsblatt 25 Übungsaufgaben Aufgabe 25.. Berechne das bestimmte Integral π x sin x 2 dx. In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung

Mehr

Partielle Integration

Partielle Integration Partielle Integration Aus der Produktregel (fg) = f g + fg ergibt sich eine analoge Formel für unbestimmte Integrale: f (x)g(x)dx = f (x)g(x) f (x)g (x) dx. Partielle Integration 1-1 Partielle Integration

Mehr

Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung hat folgende Gestalt: +f() = r(). Dabei sind f() und r() gewisse, nur von abhängige Funktionen. Wichtig: sowohl

Mehr

Demo: Mathe-CD. Integration Flächenberechnungen. Sammlung von Trainingsaufgaben. Friedrich Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Demo: Mathe-CD. Integration Flächenberechnungen. Sammlung von Trainingsaufgaben. Friedrich Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Integration Flächenberechnungen Tet noch nicht fertig Vorabversion! Weitere Aufgaben folgen! Sammlung von Trainingsaufgaben Lösungen in 486 Datei Nr. 48 5 Stand 8. Dezember 008 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

Grenzwert und Stetigkeit

Grenzwert und Stetigkeit Kapitel 6 Grenzwert und Stetigkeit Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 6 Grenzwert und Stetigkeit / 39 Grenzwert einer Funktion Was passiert mit dem Funktionswert einer Funktion f, wenn

Mehr

Aufgabe 1: Geben Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = sin (3x 2

Aufgabe 1: Geben Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = sin (3x 2 Etra-Mathematik-Übung: 005--9 Aufgabe : Geben Sie die Nullstellen der Funktion f() sin ( * Pi) an! Skizze: Wertetabelle: X - ½ Pi ½ Pi sin ( ½ Pi) -,0-6,0 -,57-7,57-0,96 -,5 -,5 -,57-6,07 + 0, -,0 -,0

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 3. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 2 Sommersemester 2009 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Kapitel 6. Integralrechnung 6.2 Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral 6.3 Zusammenhang zwischen bestimmten Integralen und Stammfunktionen Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion

Mehr

Darstellungsformen einer Funktion

Darstellungsformen einer Funktion http://www.flickr.com/photos/sigfrid/348144517/ Darstellungsformen einer Funktion 9 Analytische Darstellung: Eplizite Darstellung Funktionen werden nach Möglichkeit eplizit dargestellt, das heißt, die

Mehr

Übungsaufgaben zu Mathematik III (ohne Lösungen)

Übungsaufgaben zu Mathematik III (ohne Lösungen) Übungsaufgaben zu Mathematik III (ohne Lösungen) 1. Lösen Sie intuitiv (d.h. ohne spezielle Verfahren) die folgenden DGLn (allgemeine Lösung): = b) =! c) = d)!! = e at. Prüfen Sie, ob die gegebenen Funktionen

Mehr

(x a) 3 + f (a) 4! x 4 4! Wir werden im Folgenden vor allem Maclaurin-Reihen betrachten, dies alles funktioniert aber auch. f (x) = sin x f (0) = 0

(x a) 3 + f (a) 4! x 4 4! Wir werden im Folgenden vor allem Maclaurin-Reihen betrachten, dies alles funktioniert aber auch. f (x) = sin x f (0) = 0 Taylor-Reihen Einführung Mathematik GLF / 6 Christian Neukirchen Oft können wir bestimmte mathematische Funktionen nicht genau ausrechnen, besonders die trigonometrischen Funktionen wie, cos x, oder die

Mehr

Aufgabenkomplex 1: Funktionen, Interpolation, Grenzwerte, Ableitung

Aufgabenkomplex 1: Funktionen, Interpolation, Grenzwerte, Ableitung Technische Universität Chemnitz 4. April 2011 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 1: Funktionen, Interpolation, Grenzwerte, Ableitung Letzter Abgabetermin: 2. April 2011 (in Übung

Mehr

A U F G A B E N A N A L Y S I S. 11. Vorlesung Zeigen Sie, mit Hilfe der ɛ-δ -Sprache, daß die Funktion x, x 0, stetig bei x 0 = 5 ist.

A U F G A B E N A N A L Y S I S. 11. Vorlesung Zeigen Sie, mit Hilfe der ɛ-δ -Sprache, daß die Funktion x, x 0, stetig bei x 0 = 5 ist. A U F G A B E N A N A L Y S I S. Vorlesung. Zeigen Sie, mit Hilfe der ɛ-δ -Sprache, daß die Funktion, 0, stetig bei 0 = 5 ist. Lösung: Es sei 5 < ɛ. () Daraus folgt 5 ɛ < < 5 + ɛ () oder Folglich gilt

Mehr

MATHEMATIK K1. Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte

MATHEMATIK K1. Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte MATHEMATIK K1 21.11.2013 Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 Punkte (max) 6 3 4 4 2 10 1 Punkte Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte Der GTR ist nur für die Lösung der Textaufgabe (und zur Kontrolle der andern) zugelassen.

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+

Mehr

Elementare Funktionen. Analysis I November 28, / 101

Elementare Funktionen. Analysis I November 28, / 101 Elementare Funktionen Analysis I November 28, 2017 76 / 101 Exponentialfunktion Buch Kap. 2.3 Exponentialfunktionen f(x) = a x, a > 0, D = R. Ist a = e (Eulerzahl e = 2, 71828...), sprechen wir von der

Mehr

Funktion. Eine Funktion. x f (x) ordnet jedem Argument x aus dem Definitionsbereich D R einen Wert f (x) aus dem Wertebereich W R zu.

Funktion. Eine Funktion. x f (x) ordnet jedem Argument x aus dem Definitionsbereich D R einen Wert f (x) aus dem Wertebereich W R zu. Funktion Eine Funktion f : D R, x f (x) ordnet jedem Argument x aus dem Definitionsbereich D R einen Wert f (x) aus dem Wertebereich W R zu. Funktion 1-1 Der Graph von f besteht aus den Paaren (x, y) mit

Mehr

Bruchrechnung Teil 1

Bruchrechnung Teil 1 Fchhochschle Strlsnd FB Mschinen - WING Mthemtik I. Mengen nd reelle Zhlen Brchrechnng Teil.) Fssen Sie so weit wie möglich zsmmen: ) y y y y y ) y y y c) ( ) d) 5 y y 5 y 5 5y.) Prtildivision / Polynomdivision:

Mehr

Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e V e r s i o n p c c h a p t e r

Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e V e r s i o n p c c h a p t e r Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e V e r s i o n p c c h a p t e r þÿ F o r m e l 1 - K o n s t r u k t e u r s - W M 2 0 1 6 - S i e g e r, 2 7. 1 1. 2 0 1 6. J e t z t o n l i n e w e t t e n. W e t t

Mehr

log 1 log 100 log3 3 log 3 2ln

log 1 log 100 log3 3 log 3 2ln 6 Wiederholung Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können: Was können Sie durch die Art des Logarithmus erkennen? Worin liegt der Unterschied zwischen LN und LD? Wie lautet der Deinitionsbereich

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 6. Übung: Woche vom bis

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 6. Übung: Woche vom bis Übungsaufgaben 6. Übung: Woche vom 17. 11. bis 21. 11. 2014 Heft Ü1: 9.1 (d,n,t); 9.2 (b,h,i); 9.3 (b,e); 9.4 (b,e,f) Übungsverlegung (einmalig!): Gruppe VIW 02 nach Mo., 5. DS; WIL C 204 (für Mittwoch,

Mehr

VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK. Es gibt drei ganz einfache Techniken zum Integrieren von etwas komplizierteren

VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK. Es gibt drei ganz einfache Techniken zum Integrieren von etwas komplizierteren VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK ÜBUNGEN Es gibt drei ganz einfache Techniken zum Integrieren von etwas komplizierteren Funktionen: () Mit der Partialbruchzerlegung lässt sich jede gebrochen-rationale Funktion

Mehr

Bestimmung von Ableitungen

Bestimmung von Ableitungen Bestimmung von Ableitungen W. Kippels 24. November 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 2 Ableitungen von grundlegenden Funktionen 2 3 Ableitungsregeln 2 3.1 Konstantenregel................................

Mehr

Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya

Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya Integralrechnung: Aufgaben Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya ii Contents 1. Unbestimmtes Integral: Aufgaben............................. 1 1.1. Grund- oder Stammintegrale (Tabelle 1.....................

Mehr

Lösung Serie 1 (Differentialgleichungen 1-ter Ordnung)

Lösung Serie 1 (Differentialgleichungen 1-ter Ordnung) Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Lösung Serie 1 (Differentialgleichungen 1-ter Ordnung) Dozent: Roger Burkhardt Klasse: Studiengang

Mehr

Die komplexe Logarithmus-Funktion

Die komplexe Logarithmus-Funktion Die komplexe Logarithmus-Funktion bbildung: Riemannsche Fläche - Bild der Exponential-Funktion DIE KOMPLEXE EXPONENTILFUNKTION Die e-funktion ist im Komplexen 2 π i-periodisch und deshalb nicht injektiv,

Mehr

Mathematik Tutorium. x 2

Mathematik Tutorium. x 2 Mathematik Tutorium Fakultät Grundlagen Termin Algebra Aufgabe : Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: a) 5 ) : ) 5 b) n+ n c) an+ a n a n+ + a n d) ) ) : ) ) e) 5 f) 5 z + z 5 Aufgabe : Berechnen

Mehr

9. Lineare Gleichungssysteme

9. Lineare Gleichungssysteme 9. Lineare Gleichungssysteme. Aufgabe: estimmen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Lösungen ~x = (x ; x ; x 3 ; x 4 ) T des Gleichungssystems 3x x + x 3 + x 4 = 4x + 8x 3 + x 4 = 3 x + x + 6x 3 x

Mehr

Tutorium zur Vorlesung Differential und Integralrechnung II Bearbeitungsvorschlag

Tutorium zur Vorlesung Differential und Integralrechnung II Bearbeitungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 4 Blatt 5.6.4 Tutorium zur Vorlesung Differential und Integralrechnung II Bearbeitungsvorschlag 37. Wir bestimmen zunächst die Schnittpunkte

Mehr

Satz von Taylor, Taylor-Reihen

Satz von Taylor, Taylor-Reihen Satz von Taylor, Taylor-Reihen Die Kenntnis von f liefert gewisse Rücschlüsse auf die Funtion f selbst, zb Monotonie, mögliche loale Extrema Die Kenntnis von f liefert darüberhinaus eine Information, ob

Mehr

FK03 Mathematik I: Übungsblatt 9 Lösungen

FK03 Mathematik I: Übungsblatt 9 Lösungen FK03 Mathematik I: Übungsblatt 9 Lösungen Verständnisfragen. Welche zwei Beispiele sind in der Vorlesung für die Anwendung von transzendenten Funktionen behandelt worden? Schnittpunktsbestimmung zwischen

Mehr

Mathematik II Lösung 6. Lösung zu Serie 6

Mathematik II Lösung 6. Lösung zu Serie 6 Lösung zu Serie 6. a) In einem kritischen Punkt (x, ) von f gelten f x (x, ) x + und f (x, ) x, also x. Ferner gelten f xx (x, ) f (x, ) und f x (x, ), insbesondere also f xx (, ) < und f xx (, )f (, )

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - 1 - VB 004 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... 1 Einleitung... Komplee Integrationsmethoden... 3 Die partielle Integration... 3 Die Regel zur partiellen Integration... 4.Beispiel zur partiellen

Mehr

Differentialgleichungen. Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya

Differentialgleichungen. Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya Differentialgleichungen Aufgaben mit Lösungen Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya ii Inhaltsverzeichnis. Tabelle unbestimmter Integrale............................... iii.. Integrale mit Eponentialfunktionen........................

Mehr

Scheinklausur Höhere Mathematik 2 Musterlösung , Version 1. Matrikel- Nummer: Aufgabe Summe

Scheinklausur Höhere Mathematik 2 Musterlösung , Version 1. Matrikel- Nummer: Aufgabe Summe Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung 0. 0. 0, Version Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 5 6 7 8 9 0 Summe Punkte / / / / / /5 / / / / / Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise:

Mehr

Beweise zum Ableiten weiterer Funktionen

Beweise zum Ableiten weiterer Funktionen Arbeitsblatt A: Eponentialfunktionen Satz (Ableitung von Eponentialfunktionen) Für alle gilt: () f () = e f ' () = e () f () = a f ' () = a ln (a) mit a + f() = e grafisches Differenzieren: Ergänze die

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen Aufgaben, Teil 1

Gewöhnliche Differentialgleichungen Aufgaben, Teil 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen Aufgaben, Teil 1 4-E1 4-E2 4-E3 Gewöhnliche Differentialgleichung: Aufgaben Bestimmen Sie allgemeine und spezielle Lösungen der folgenden Differentialgleichungen Aufgabe

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 6

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 6 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 205): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem

Mehr

3. Übungsblatt zur Analysis II

3. Übungsblatt zur Analysis II Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Steffen Roch Nada Sissouno WS 9/ 9..9 3. Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Majorantenkriterium für uneigentliche Riemann-Integrale: Es seien f : [, ) [, ) und g

Mehr

2. Übungsblatt zur Mathematik III für MB/MPE, LaB/WFM, VI, WI/MB

2. Übungsblatt zur Mathematik III für MB/MPE, LaB/WFM, VI, WI/MB Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J. Lang Dipl.-Math. C. Schönberger Dipl.-Math. L. Kamenski WS 007/08 6.Oktober 007. Übungsblatt zur Mathematik III für MB/MPE, LaB/WFM, VI, WI/MB Gruppenübung Aufgabe G4

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7 7.1 (Herbst 2015, Thema 1, Aufgabe 4) Gegeben sei das Dreieck und die Funktion f : R mit Bestimmen Sie f(

Mehr

Beispiele zur Taylorentwicklung

Beispiele zur Taylorentwicklung Beispiele zur Taylorentwiclung Nun ein paar Augaben, die mit der Taylorentwiclung zu tun haben. In diesem Zusammenhang sollte man au jeden Fall die Formel ür die Taylorentwiclung und das Restglied nach

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4

Mehr

Lösungen Klausur. k k (n + 1) n. für alle n N. Lösung: IA: Für n = 1 ist 1. k k + (n + 1) n+1. k k = k=1. k=1 kk = 1 1 = 1 2 = 2 1.

Lösungen Klausur. k k (n + 1) n. für alle n N. Lösung: IA: Für n = 1 ist 1. k k + (n + 1) n+1. k k = k=1. k=1 kk = 1 1 = 1 2 = 2 1. Lösungen Klausur Aufgabe (3 Punkte) Zeigen Sie, dass n k k (n + ) n k für alle n N. IA: Für n ist k kk 2 2. IV: Es gilt n k kk (n + ) n für ein n N. IS: Wir haben n+ k k k n k k + (n + ) n+ k IV (n + )

Mehr