Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 4. Übung

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Heini Albrecht
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1 TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, 26. April 2017 Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 4. Übung Aufgabe 1 b) Verschiedene Höhenlinien/Niveaulinien können sich per Definition nicht schneiden. Auf einer Höhenlinie ist der Wert einer Funktion immer konstant. Betrachtet man nun zwei verschiedene Höhenlinien, so hat die Funktion auf diesen beiden Linien verschiedene Werte. Würden sich nun beiden Höhenlinien schneiden, so müsste am Schnittpunkt die Funktion gleichzeitig zwei verschiedene Werte annehmen - das ist jedoch nicht möglich. Dementsprechend können Sie Höhenlinien nicht schneiden. Aufgabe 2 Geben Sie für die folgenden Funktionen den maximalen Definitionsbereich an. a) f(x, y) = x 2 2y. Geben Sie die Niveaumengen N c für c = 0, 2, 2 an. b) f(x, y) = x 2 + y 2. Geben Sie die Niveaumengen N c für c = 0, 1 an und skizzieren Sie den Graphen der Funktion für 1 x, y 1. c) f(x, y) = x 2 y 2. Geben Sie die Niveaumengen N c für c = 1, 0, 1 an. d) f(x, y) = ln( x y ). Geben Sie die Niveaumengen N c für c = 100, 0, 1 an. Schließen Sie daraus auf die allgemeine Form der Niveaulinien N c für beliebe c R. Lösung Die Niveaumengen N c einer Funktion f : R 3 R sind definiert als N c = {(x, y, z) R 3 f(x, y, z) = c}. Inhaltlich bedeutet das, dass die Niveaumenge N c alle Punkte (x, y, z) aus dem Definitionsbereich enthält, für die f gerade den Wert c annimmt. a) f(x, y) = x 2 2y. Für c = 0 betrachten wir f(x, y) = x 2 2y = 0 und lösen diese Gleichung nach y auf. Wir erhalten y = 1 2 x2. Also sind die Niveaumengen von f für c = 0 Parabeln der Form y = 1 2 x2. Für c = 2 betrachten wir f(x, y) = x 2 2y = 2 und lösen diese Gleichung nach y auf. Wir erhalten y = 1 2 x2 1. 1

2 Also sind die Niveaumengen von f für c = 2 Parabeln der Form y = 1 2 x2 1. Analog ergibt sich für c = 2 N 2 = {(x, y) R 2 y = 1 2 x2 + 1}. b) f(x, y) = x 2 + y 2. Hier bietet sich der Wechsel zu Polarkoordinaten an. Wir setzten x = r cos(ϕ), y = r sin(ϕ), r 0, ϕ [0, 2π), und erhalten f(r, ϕ) = r 2 cos 2 (ϕ) + r 2 sin 2 (ϕ) = r 2 (cos 2 (ϕ) + sin 2 (ϕ)) = r 2. }{{} =1 Damit ergibt sich, für die Niveaumengen N c, dass f(x, y) = f(r, ϕ) = c, genau dann, wenn r 2 = c. Bei den Niveaulinien handelt es sich also um Kreise um den Koordinatenursprung mit Radius r = c. In der Skizze erhalten wir einen sogenannten Paraboloid. In der x-y-ebene sind zusätzlich noch einige Niveaulinien dargestellt. 2

3 c) f(x, y) = x 2 y 2. Wir betrachten die Gleichung x 2 y 2 = c, und finden die beiden Lösungen y = x 2 c, und y = x 2 c. (1) Für c = 0 erhalten wir damit die Geraden y = x, und y = x, als Lösungen. Für c 0 bleibt uns nichts anderes übrig als die Darstellung (1) für die Niveaumengen zu nutzen. D.h. N c = {(x, y) R 2 y = x 2 c, oder y = x 2 c}. d) f(x, y) = ln( x y ). Wir betrachten f(x, y) = ln( x y ) = c, und stellen nach y um. Wir erhalten ln( x y ) = c x y = e c. 1. Fall: x y 0 x y = x y = e c y = x e c. 2. Fall: x y < 0 x y = (x y) = e c y = x + e c. Damit erhalten wir für die allgemeinen Niveaumengen die Darstellung N c = {(x, y) R 2 y = x e c oder y = x + e c }. 3

4 Aufgabe 3 Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich, die Niveaumengen N c und prüfen Sie wo die Funktionen stetig sind. a) f(x, y, z) = ln(1 x 2 y 2 z 2 ), b) f(x, y, z) = xz x 2 + y 2, c) f(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, d) f(x, y, z) = ln(z 3) x 2 + y 2 1. Lösung a) f(x, y, z) = ln(1 x 2 y 2 z 2 ). Der Definitionsbereich von f wird durch den Logarithmus eingeschränkt, da ln(s) nur für s > 0 definiert ist. Demzufolge muss also 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) > 0. sein. Wir nutzen Kugelkoordinaten x = r sin(ϕ) sin(ψ), y = r sin(ϕ) cos(ψ), z = r cos(ϕ), wobei r 0, ϕ, ψ [0, 2π), und erhalten, dass 0 < 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) = 1 r 2( ( ) ) sin 2 (ϕ) sin 2 (ψ) + cos 2 (ψ) + cos 2 (ϕ) = 1 r 2. Also muss r 2 < 1 sein, dementsprechend besteht der Definitionsbereich also aus alles Punkten (x, y, z) die sich innerhalb der Kugel um den Koordinatenursprung mit Radius 1 befinden. Formal aufgeschrieben: D f = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 < 1}. Da der Logarithmus in seinem Definitionsgebiet stetig ist und die Verkettung stetiger Funktionen auch stetig ist, ist f insgesamt stetig im gesamten Definitionsbereich. Für die Niveaumengen N c lösen wir f(x, y, z) = ln(1 x 2 y 2 z 2 ) = c, also und schließlich 1 x 2 y 2 z 2 = e c, 1 e c = x 2 + y 2 + z 2 = r 2. Bei den Niveaumengen handelt es sich also um Kugeln um den Koordinatenursprung mit Radius 1 e c. 4

5 b) f(x, y, z) = xz x 2 + y 2. Der Definitionsbereich von f wird durch die Menge an Punkten (x, y, z) eingeschränkt, bei denen wir durch 0 teilen würden. Die einzige Möglichkeit dafür ist, dass x = y = 0. Also ist D f = {(x, y, z) R 3, (x, y) (0, 0)}. Wieder ist f auf dem gesamten Definitionsbereich stetig, da die Verkettung stetiger Funktionen stetig ist. Für die Niveaumengen N c erhalten wir keine schöne Darstellung, sondern nur die Definition: xz x 2 + y 2 = c. c) f(x, y) = x2 y 2 x 2. Der Definitionsbereich von f wird durch die Menge an Punkten + y2 (x, y) eingeschränkt, bei denen wir durch 0 teilen würden. Die einzige Möglichkeit dafür ist, dass x = y = 0. Also ist D f = {(x, y) R 2, (x, y) (0, 0)}. Wieder ist f auf dem gesamten Definitionsbereich stetig, da die Verkettung stetiger Funktionen stetig ist. Für die Niveaumengen N c lösen wir f(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 = c, also x 2 y 2, = c(x 2 + y 2 ), und schließlich Offenbar ist y 2 = 1 + c x c < 0, für c < 1 und c > 1. In diesen Fällen sind die Niveaumengen leer. Für c ( 1, 1) bestehen die Niveaumengen jeweils aus den beiden Gerade Also, für c ( 1, 1) y = x, und y = 1 + c 1 + c x. N c = {(x, y) R 2 y = 1 + c x oder y = 1 + c x}, 5

6 sonst sind die Niveaumengen leer. ln(z 3) d) f(x, y, z) =. Der Definitionsbereich von f wird dadurch eingeschränkt, x 2 + y 2 1 dass ln(z 3) nicht definiert ist, wenn z 3 0, und dadurch, dass für x 2 + y 2 = 1 durch 0 geteilt würde. Wir erhalten also D f = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1 und z > 3}. Wieder ist f auf dem gesamten Definitionsbereich stetig, da die Verkettung stetiger Funktionen stetig ist. Für die Niveaumengen N c lösen wir f(x, y, z) = ln(z 3) x 2 + y 2 1 = c, also und schließlich ln(z 3) = c( x 2 + y 2 1), z = e c( x 2 +y 2 1) + 3. Die Niveaumengen sind also N c = {(x, y, z) R 3 z = e c( x 2 +y 2 1) + 3}. 6

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