Serie 5. Figure 1: 1.a)

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1 Analsis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 16 Serie 5 1. Bei den folgenden Integralen ist die Reihenfolge der Integrationen umzukehren: Die innere Variable soll zur äusseren werden und umgekehrt. Wie lautet jeweils das neue Integral? Skizzieren Sie das Integrationsgebiet! Berechnen Sie das Integral in c) und d). a) f(x, ) dx d Das innere Integral läuft über die Variable x. Die Integrationsgrenzen hängen von ab: untere Grenze x ϕ() obere Grenze x ψ(). 1.5 x ^ (8,) 1. x x Figure 1: 1.a) Beachte, dass sich die beiden Kurven in den Punkten (, ) und (8, ) schneiden (Löse die Gleichung )! Vertauscht man die Reihenfolge der Integration, so läuft die äussere Variable x von bis 8. Zur unteren Integrationsgrenze für das innere Integral über wird die Kurve x (siehe Abbildung 1), was äquivalent zu 1 x ist. Die obere Grenze x ist ebenso äqivalent zu x. Also: f(x, ) dx d 8 x f(x, ) d dx. 1 x b) x 1 x f(x, ) d dx Das innere Integral läuft über die Variable. Seine Integrationsgrenzen hängen von x ab: untere Grenze ϕ(x) x 1

2 -x^ x 1 -x Figure : 1.b) obere Grenze ψ(x) x Beachte, dass ψ nicht monoton ist und wir daher die neuen Schranken nicht direkt durch die Umkehrabbildungen von ϕ und ψ erhalten. In Abbildung sehen wir, dass wir das Integral als Summe zweier Teilintegrale schreiben können und mit x x erhalten wir: x 1 x f(x, ) d dx f(x, ) dx d f(x, ) dx d. c) ex dx d Das innere Integral läuft über die Variable x. Die Integrationsgrenzen hängen von ab: untere Grenze x ϕ() obere Grenze x ψ() Mit x x erkennen wir aus Abbildung : 1..8 x.6 x Figure : 1.c)

3 e x dx d x [ 1 6 ex e x d dx x [ e x ] 1 x dx e x 1 x dx 1 e x x dx 6 ] 1 ( e 9 1 ). 6 d) x x sin d dx Das innere Integral läuft über die Variable. Die Integrationsgrenzen hängen von x ab: untere Grenze ϕ(x) x obere Grenze ψ(x) 1 Mit x x für x erkennen wir aus Abbildung : x^ x Figure : 1.d) x x sin d dx x sin dx d sin d [ x [ cos ] 1 1 (1 cos 1). 1 ] sin d x. Berechnen Sie die folgenden Doppelintegrale. Die Reihenfolge der Integration ist dabei passend zu wählen. a) R sin(x ) da, R { (x, ) x, π }

4 Nach x können wir ohne Probleme integrieren: sin(x ) dx d 1 π ( sin(x ) ) dx d ( cos(x ) ) x d ( cos( )) d d π 8 1 sin cos( ) d d 1 cos( ) d 1 π sin( ) ( ) π b) R x 5 e x5 da, R { (x, ) x, 1 } Nach x können wir ohne Probleme integrieren: x 5 e x5 dx d (5x e x5 ) dx d (e x5 ) d x ( e ) d e d 1 5 d e d e (e 1) (e ) c) R x da, R { (x, ) (x, ) liegt im Gebiet des ersten und vierten Quadranten, welches durch den Halbkreis mit Mittelpunkt (, ) und Radius beschränkt wird}

5 Das Integrationsgebiet ist oben skizziert. Wir können zuerst nach x oder nach 1 integrieren, beide Wege sind vom Aufwand her gleichwertig. Wir wollen an dieser Stelle zuerst nach integrieren. Während x von bis läuft, läuft vom unteren Rand zum oberen Rand. Die Punkte auf dem Halbkreis erfüllen die Gleichung x +, der untere Rand ist somit durch 16 x gegeben, der obere Rand durch 16 x. Also: 16 x 16 x x d dx x 16 x x () d dx x [ ] 16 x 16 x dx x (16 x 16 + x ) dx. Das können wir auch grafisch einsehen: Die Funktion f(x, ) x erfüllt f(x, ) f(x, ) und da das Integrationsgebiet smmetrisch bezüglich der x-achse ist, heben sich die Funktionswerte von f von oberhalb und unterhalb der x Achse gegenseitig weg, siehe Abbildung?? rechts. Das ist völlig analog zum eindimensionalen Fall. d) R (x + ) da, R { (x, ) x } Der obere Rand des Integrationsgebiets ist gegeben durch, der untere Rand durch x, also durch x, x und x, x <. Wir integrieren zuerst nach x und erhalten ( ) 1 (x + ) dx d x + x d x d

6 x x Figure 5:.d). Berechnen Sie das Volumen zwischen den beiden Paraboloiden z x + (rot) und z 5 x (blau). 6

7 Wir setzen die Gleichungen ineinander ein und formen um: 5 x x + 5 x + 5 x +. Der Schnitt der beiden Flächen ist also der Kreis K mir Radius 5 und Mittelpunkt (,, 5) in der Ebene z 5. Das Volumen zwischen den beiden Funktionen g(x, ) 5 x und f(x, ) x + ist also das Integral über die Kreisscheibe D mit Rand K der Funktion g(x, ) f(x, ). Diese Scheibe parametrisieren wir am besten mit Polarkoordinaten und erhalten D (g(x, ) f(x, )) da D 5 (5 x ) da (5 r )r dr dφ ] 5 π [5 r r π( 5 5 ) 65π Benutzen Sie ein Doppelintegral um die Fläche des Gebietes zwischen 1 + sin x und 1 sin x auf dem Intervall [, π] zu berechnen. Skizzieren Sie das Gebiet! Die Skizze ist in Abbildung 6 zu sehen. Wir bezeichnen das Gebiet im Folgenden als. 1 + sin(x) sin(x) x Figure 6: Aufgabe K und die Fläche als F. Der Schnitt der Kurven 1 + sin x und 1 sin x ist 7

8 gegeben durch 1 + sin x 1 sin x sin x sin x, das entspicht allen Punkten x k π k, k Z. Insbesondere haben wir Schnittpunkte an den Randpunkten des Intervalls [, π]. Wenn x von bis π läuft, so läuft von 1 sin x nach 1 + sin x. Damit erhalten wir +sin x F 1 da 1 d dx K 1 sin x ((1 + sin x) (1 sin x)) dx sin x dx ( cos x) π x (1 + 1). 5. Prüfungsaufgabe 9, Sommer 1. Eine elektrische Ladung ist gemäss Ladungsdichte σ(x, ) x(x + ) über das Gebiet G (siehe Abbildung) verteilt. Die Einheit von σ ist Coulomb pro C Quadratmeter:. Berechnen Sie die Gesamtladung des Gebiets G. m Die Gesamtladung des Gebiets G ist gegeben durch σ(x, ) dx d. G 8

9 Da für die Ladungsdichte folgende Eigenschaften gelten σ( x, ) σ(x, ), σ(x, ) σ(x, ), σ( x, ) σ(x, ), folgt nun σ(x, ) dx d σ(x, ) dx d + G G } 1 {{} σ(x, ) dx d + G σ(x, ) dx d G σ(x, ) dx d G x+1 [x x(x + ) d dx + x Die Gesamtladung beträgt also 7 15 C. ] 1 x+1 dx [ x + x x (1 x) ] x(1 x) dx [ x + x x + x x5 x5 + x x + x x ] dx [ x5 + x ] x + x dx [ ] Prüfungsaufgabe 5, Sommer 15. Bestimmen Sie den Schwerpunkt der homogenen Fläche rechts von der Geraden x, welche durch den Kreis x + 16 begrenzt wird. Wir berechnen zuerst mit Hilfe der Substitution x sin t die Masse m ( π 6 16 x dx π π 6 (1 + cos t) dt 16 ) 16π. 16 cos t dt [ t + sin(t) ] π π 6 9

10 1. G x -.5 G1 G -1. Dann gilt x S 1 x 16 x m 1 [ ( 16 x ) ] m 1 m (1) 16 16π 1 π. Zudem gilt aus Smmetriegründen S und der Schwerpunkt ist gegeben durch ( 1 ) S π,. 1