Maße auf Produkträumen

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1 Maße auf Produkträumen Es seien (, Ω 1 ) und (X 2, Ω 2 ) zwei Meßräume. Wir wollen uns zuerst überlegen, wie wir ausgehend davon eine geeignete σ-algebra auf X 2 definieren können. Wir betrachten die Menge E der Rechtecke M 1 M 2 X 2 M 1 Ω 1 und M 2 Ω 2. Die von E erzeugte σ-algebra Ω 1 Ω 2 heißt dann die Produkt-σ- Algebra auf X 2. (Analog wird die Produkt-σ-Algebra Ω 1 Ω 2... Ω n für Meßräume (X i, Ω i ), i = 1,..., n, als die von den Mengen M 1 M 2... M n erzeugte σ-algebra definiert, wobei M i Ω i i.) Sind nun (, Ω 1, µ 1 ) und (X 2, Ω 2, µ 2 ) gegebene Maßräume, dann wollen wir ein Maß auf ( X 2, Ω 1 Ω 2 ) definieren. Die Idee besteht darin, jedem Rechteck A B mit A Ω 1 und B Ω 2 das Maß mit µ(a B) = µ 1 (A) µ 2 (B) zuzuordnen. Definition. (Schnittmengen) Sei E X 2 und x 1, x 2 X 2. Der x 1 -Schnitt (von E) ist E x1 = {y X 2 : (x 1, y) E} X 2. Der x 2 -Schnitt (von E) ist E x 2 = {x : (x, x 2 ) E}. Satz. Ist E Ω = Ω 1 Ω 2, dann gilt E x1 Ω 2 und E x 2 Ω 1. D.h. Schnitte von meßbaren Mengen sind wieder meßbar. Beweis. Sei Ω = {E Ω : Ex1 Ω 2 x 1 }. 1. Für E = A B mit A Ω 1 und B Ω 2 gilt E x1 = B falls x 1 A und E x1 = falls x 1 / A. Damit gilt E Ω. 1

2 2. Weiters gilt offenbar X 2 Ω E Ω (( X 2 ) \ E) x1 = X 2 \ E x1 ( X 2 ) \ E Ω Für E i Ω gilt ( E i ) x1 = (E i ) x1 E i Ω. Also ist Ω eine σ-algebra und mit 1. gilt damit Ω Ω. Analog erfolgt der Beweis für E x 2. Satz. Seien (, Ω 1 ), (X 2, Ω 2 ) und (X 3, Ω 3 ) Meßräume. Des weiteren sei f : X 2 X 3 meßbar. Dann gilt 1. f x1 : X 2 X 3 mit f x1 (x 2 ) = f(x 1, x 2 ) ist meßbar für jedes feste x 1, 2. f x 2 : X 3 mit f x 2 (x 1) = f(x 1, x 2 ) ist meßbar für jedes feste x 2 X 2. Beweis. Sei V Ω 3 und Q = f 1 (V ) = {(x 1, x 2 ) : f(x 1, x 2 ) V }. Dann ist Q Ω 1 Ω 2 und mit dem vorigen Satz ist auch Q x1 = (f x1 ) 1 (V ) Ω 2 und Q x 2 = (f x 2 ) 1 (V ) Ω 1. Definition. E Ω 1 Ω 2 heißt elementare Menge wenn E als endliche disjunkte Vereinigung von Rechtecken darstellbar ist. Definition. Ein Mengensystem M heißt monotone Klasse wenn für jede monoton wachsende Mengenfolge A i M auch deren Vereinigung in M liegt, und für jede monoton fallende Mengenfolge B i M A i auch deren Durchschnitt B i in M liegt. Satz. (ohne Beweis) 2

3 Ω 1 Ω 2 enthält. ist die kleinste monotone Klasse, die alle elementaren Mengen Satz. Seien (, Ω 1, µ 1 ) und (X 2, Ω 2, µ 2 ) σ-endliche Maßräume und Q Ω 1 Ω 2. Für x 1, x 2 X 2 sei ϕ(x 1 ) = µ 2 (Q x1 ) und ψ(x 2 ) = µ 1 (Q x 2 ). Dann sind die Funktionen ϕ : R und ψ : X 2 R meßbar und es gilt ϕ(x 1 )dµ 1 (x 1 ) = X 2 ψ(x 2 )dµ 2 (x 2 ). Beweis. Sei Ω die Menge aller Q Ω = Ω1 Ω 2 für welche die obige Aussage erfüllt ist. 1. Sei Q = A B mit A Ω 1, B Ω 2. Dann ist Q x1 = B wenn x 1 A und Q x1 = wenn x 1 / A. Folglich ist µ 2 (Q x1 ) = µ 2 (B) wenn x 1 A und µ 2 (Q x1 ) = 0 wenn x 1 / A. Damit ist ϕ(x 1 ) = µ 2 (B) χ A (x 1 ). Analog zeigt man, dass ψ(x 2 ) = µ 1 (A) χ B (x 2 ). Damit sind ϕ und ψ meßbare Funktionen und es gilt weiters ϕ(x 1 )dµ 1 (x 1 ) = µ 2 (B) χ A (x 1 )dµ 1 (x 1 ) = µ 1 (A)µ 2 (B) X 2 ψ(x 2 )dµ 2 (x 2 ) = µ 1 (A) X 2 χ B (x 2 )dµ 2 (x 2 ) = µ 1 (A)µ 2 (B). Also gilt Q Ω. 2. Ist Q 1 Q 2... eine monoton wachsende Folge von Mengen aus Ω dann gilt auch Q i Ω. Dies folgt aus der Monotonie der zugehörigen Folge der charakteristischen Funktionen und dem Satz über die monotone Konvergenz. 3. Falls (Q i ) eine paarweise disjunkte Folgen von Mengen aus Ω ist, dann gilt ebenfalls Q i Ω (Übung). 3

4 4. Ist µ 1 (A) <, µ 2 (B) < und A B Q 1 Q 2... mit Q i Ω, dann ist Q i Ω. Diese Eigenschaft ist eine Folgerung des Satzes über die dominierte Konvergenz. 5. Nun schreiben wir und X 2 als abzählbare Vereinigungen von Mengen endlichen Maßes, = n=1 X (1) n, X 2 = n=1 X (2) n und definieren Mengen Q mn = Q (X (1) m X (2) n ). Sei M die Menge aller Q mit Q mn Ω m, n. Wegen 1. und 3. liegen alle elementaren Mengen in M. Wegen 2. und 4. ist M eine monotone Klasse, und folglich gilt M = Ω 1 Ω 2. Definition. Seien (, Ω 1, µ 1 ) und (X 2, Ω 2, µ 2 ) σ-endliche Maßräume und Q Ω 1 Ω 2. Dann ist das Produktmaß µ 1 µ 2 definiert durch (µ 1 µ 2 )(Q) = µ 2 (Q x1 )dµ 1 (x 1 ) = X 2 µ 1 (Q x 2 )dµ 2(x 2 ) (Die σ-additivität folgt aus einer Folgerung des Satzes über die monotone Konvergenz.) Satz. (Fubini) Seien (, Ω 1, µ 1 ) und (X 2, Ω 2, µ 2 ) σ-endliche Maßräume. Sei f : X 2 C (Ω 1 Ω 2 )-meßbar. Dann gilt 1. Sei 0 f und ϕ(x 1 ) = X 2 f x1 (x 2 )dµ 2 (x 2 ) und ψ(x 2 ) = f x 2 (x 1)dµ 1 (x 1 ), dann sind ϕ und ψ meßbar und ϕ(x 1 )dµ 1 (x 1 ) = X 2 ψ(x 2 )dµ 2 (x 2 ) = X 2 f(x 1, x 2 )d(µ 1 µ 2 )(x 1, x 2 ) 2. Sei ϕ (x 1 ) = X 2 f x1 (x 2 ) dµ 2 (x 2 ) mit ϕ (x 1 )dµ 1 (x 1 ) <. 4

5 Dann ist f L 1 ( X 2, µ 1 µ 2 ). Analoges gilt für den x 2 -Schnitt. 3. Sei f L 1 ( X 2, µ 1 µ 2 ). Dann ist f x1 L 1 (X 2, µ 2 ) für fast alle x 1 und f x 2 L1 (, µ 1 ) für fast alle x 2 X 2. Ferner ist ϕ L 1 (, µ 1 ) und ψ L 1 (X 2, µ 2 ) und es gilt die Formel unter 1. Beweis. 1. Sei Q Ω 1 Ω 2 und sei f = χ Q. Wie wir vorher schon gesehen haben, stimmt die Aussage in diesem Fall. Sie stimmt ebenfalls für einfache Funktionen. Mit dem Approximationssatz für positive meßbare Funktionen ergibt sich die Gültigkeit von Wende den obigen Punkt auf f an. 3. Zerlege f in positiven und negativen Anteil bzw. in Realteil und Imaginärteil. Wende Punkt 1. auf jeden Teil an und bilde anschließend die Summe. Bemerkung. Der Satz von Fubini besagt also, dass die Integration über das Produktmaß auf die Hintereinanderausführung von Integrationen bzgl. µ 1 und µ 2 zurückgeführt werden kann. Bemerkung. Die obige Formel ist falsch, wenn die beteiligten Maßräume nicht σ-endlich sind. Sei = X 2 = [0, 1], µ 1 das Zählmaß auf und µ 2 das Lebesgue-Maß auf X 2. Wir betrachten die Funktion { 1 wenn x = y f(x 1, x 2 ) = 0 sonst Dann gilt f(x 1, x 2 )dµ 1 = 1 und X 2 f(x 1, x 2 )dµ 2 = 0. Folglich X 2 f(x 1, x 2 )dµ 1 = 1 0 = X 2 f(x 1, x 2 )dµ 2. 5

6 Bemerkung. Sei = X 2 = R und µ 1 bzw. µ 2 das (eindimensionale) Lebesgue-Maßauf bzw. X 2. Aus dem Eindeutigkeitssatz folgt sofort, dass das Produktmaß gleich dem (zweidimensionalen) Lebesgue-Maß auf R ist. Analoges gilt natürlich für das n-fache Produkt von R. 6