Mathematik III. Vorlesung 71

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1 Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2010/2011 athematik III Vorlesung 71 Ausschöpfungseigenschaften Die folgenden Rechenregeln für Integrale beruhen auf dem Ausschöpfungssatz für aße. an kann den Subgraphen sowohl dadurch ausschöpfen, dass man die Grundmenge ausschöpft, als auch dadurch, dass man die Funktion ausschöpft, also durch andere Funktionen approximiert. Lemma Es sei (,A,µ) ein σ-endlicher aßraum und sei = i eine abzählbare Zerlegung in messbare Teilmengen. Dann gilt für eine integrierbare messbare numerische Funktion die Beziehung f dµ = ( f dµ). i Beweis. Die beiden Subgraphen zum positiven und zum negativen Teil, also S(f + ) und S(f ), haben endliches aß, und es gilt S(f + ) = S(f +, i ) und S(f ) = S(f, i ). Daher folgt die Aussage für die beiden Teile direkt aus der σ-additivität des aßes µ λ 1. Daraus folgt die Aussage für f aus dem großen Umordnungssatz. Satz Es sei (,A,µ) ein σ-endlicher aßraum und sei n, n N, eine messbare Ausschöpfung von. Dann gilt für eine integrierbare messbare numerische Funktion die Beziehung f dµ = lim( f dµ). n n Beweis. Durch Betrachten von f + und f kann man annehmen, dass f nichtnegativ ist. Dann schöpfen die Subgraphen S(f, n ) den Subgraphen S(f,) aus und die Aussage folgt aus Lemma Den folgenden Satz nennt man Satz von der monotonen Konvergenz oder Satz von Beppo Levi. Satz Es sei (,A,µ) ein σ-endlicher aßraum und sei f n : R 0 eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion f. Dann gilt f dµ = lim f n dµ. n 1

2 2 Beweis. Zunächst ist die Grenzfunktion nach Korollar 69.8 wieder messbar, so dass das Integral links wohldefiniert ist. Für die halboffenen Subgraphen S o (f n ) gilt die Beziehung S o (f n ) S o (f). Daher ist nach Lemma 64.4 (µ λ 1 )(S o (f)) = lim n (µ λ 1 )(S o (f n )) Wegen Lemma 70.6 ist dies die Behauptung. Korollar Es sei (,A,µ) ein σ-endlicher aßraum und sei f : R 0 eine messbare nichtnegative numerische Funktion. Dann ist das Integral f dµ gleich dem Supremum der Integrale zu allen einfachen Funktionen s f. Beweis. Dies folgt aus Lemma und aus Satz Hierbei ist wichtig, dass man beliebige einfache Funktionen und nicht nur, wie beim Riemann-Integral, die Treppenfunktionen zur Verfügung hat. Lebesgue-Integral und Riemann-Integral Diese Animation zeigt, wie der Flächeninhalt unter dem Graphen mit (äquidistanten) Treppenfunktionen (Riemann-Integral) und mit einfachen Funktionen (Lebesgue- Integral) approximiert wird. Satz Es sei f :I = [a,b] R eine messbare Riemann-integrierbare Funktion. Dann gilt b f dλ 1 = f(x)dx. I a Beweis. Wir nehmen an, dass f nichtnegativ ist. Es seien s,t :I = [a,b] R

3 eine obere bzw. eine untere Treppenfunktion, wobei wir die untere Treppenfunktion ebenfalls als nichtnegativ annehmen können. Dann gilt aufgrund der onotonie des aßes die Beziehung sdλ 1 f dλ 1 tdλ 1. I I Die beiden Subgraphen zu den Treppenfunktionen s und t sind dabei jeweils eine endliche disjunkte Vereinigung von Rechtecken. Daher sind die beiden äußeren Integrale aufgrund der Definition des Produktmaßes gleich dem Treppenintegral. Somit ist das Integral I f dλ1 kleiner/gleich jeder Obersumme und größer/gleich jeder Untersumme von f. Diese Abschätzungen gelten dann auch für das Infimum der Obersummen bzw. das Supremum der Untersummen. Da diese aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit übereinsimmen, muss das maßtheoretische Integral gleich dem Riemann-Integral sein. Auf die Voraussetzung, dass die Riemann-integrierbare Funktion messbar ist, kann man dabei nicht verzichten. Linearität des Integrals Satz Es sei (,A,µ) ein σ-endlicher aßraum. Es seien f,g integrierbare messbare reellwertige Funktionen auf und a,b R. Dann ist auch af +bg integrierbar, und es gilt (af +bg)dµ = a f dµ+b gdµ. Beweis. Durch Betrachten des positiven und des negativen Teils kann man die Behauptung auf den Fall von nichtnegativen Funktionen und nichtnegativen Zahlen zurückführen. Wir behandeln die Additivität und die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation getrennt. Nach Lemma gibt es wachsende Folgen f n bzw. g n von messbaren einfachen Funktionen, die punktweisegegenf bzw.g konvergieren.dannkonvergiertauchf n +g n wachsend und punktweise gegen f +g. Zwei einfache Funktionen α und β können wir bzgl. einer geeigneten Zerlegung C i, i I, von als α = a i e Ci und β = b i e Ci schreiben. Damit gilt (bei α,β messbar) (α+β)dµ = ( (a i +b i ) e Ci )dµ = (a i +b i )µ(c i ) = a i µ(c i )+ b i µ(c i ) = ( a i e Ci )dµ+ ( b i e Ci )dµ I 3

4 4 = αdµ+ βdµ und die Verträglichkeit mit der Summe gilt für einfache Funktionen. Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz und Lemma 7.10 gilt (f +g)dµ = lim n ( (f n +g n )dµ) = lim n ( f n dµ+ g n dµ) = lim n ( f n dµ)+lim n ( g n dµ) = f dµ+ gdµ. Der Beweis für die skalare ultiplikation verläuft ähnlich. Weitere Konvergenzsätze Wir erinnern daran, dass ein Häufungspunkt einer Folge in einem metrischen Raum ein Punkt mit der Eigenschaft ist, dass es in jeder ǫ-umgebung des Punktes unendlich viele Folgenglieder gibt. Definition Es sei (x n ) n N eine Folge reeller Zahlen und es sei H die enge der Häufungspunkte dieser Folge. Dann setzt man und liminf((x n ) n N ) = inf(h) limsup((x n ) n N ) = sup(h) und nennt diese Zahlen den Limes inferior bzw. den Limes superior der Folge. (Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als bzw. als zu interpretieren). Für eine Folge von numerischen Funktionen wird der Limes inferior und der Limes superior punktweise definiert. Für messbare Funktionenfolgen sind dies wieder messbare Funktionen, siehe Aufgabe Die folgende Aussage heißt Lemma von Fatou. Satz Es sei (,A,µ) ein σ-endlicher aßraum und es sei f n : R 0 eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Dann gilt liminf(f n )dµ liminf( f n dµ)

5 Beweis. Die Funktionen f = liminf(f n ) und h n = inf(f m, m n) sind nach Aufgabe 71.7 bzw. Lemma 69.4 messbar, und die Folge h n konvergiert Aufgabe 71.6 wachsend gegen f. Wir können den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden und erhalten f dµ = lim n ( h n dµ). Für jedes k N ist wegen h k f m für alle m k auch h kdµ f mdµ für alle m k und damit h k dµ liminf n k ( f n dµ) = liminf n 0 ( f n dµ), wobei die Gleichheit rechts darauf beruht, dass Häufungspunkte nicht von endlich vielen Folgengliedern abhängen. Dies ergibt insgesamt die Behauptung. Wir kommen zum Satz von der majorisierten Konvergenz, der auch Satz von Lebesgue heißt. Satz Es sei (,A,µ) ein σ-endlicher aßraum und es sei f n : R eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion h : R 0 mit f n (x) h(x) für alle n N und alle x. Dann ist auch die Grenzfunktion f = lim n f n integrierbar, und es gilt f dµ = lim n f n dµ. Beweis. Die ajorante h sichert nach Lemma 70.5, dass die f n integrierbar sind; da diese Abschätzung auch für die Grenzfunktion gilt, ist diese ebenfalls integrierbar. Wir wenden das Lemma von Fatou auf die beiden nichtnegativen Funktionenfolgen (h + f n ) n N und (h f n ) n N an und erhalten unter Verwendung der Linearität einerseits hdµ+ f dµ = (h+f)dµ liminf( (h+f n )dµ) = liminf( hdµ+ f n dµ) = hdµ+liminf( f n dµ) 5

6 6 und andererseits hdµ f dµ = (h f)dµ liminf( (h f n )dµ) = liminf( hdµ f n dµ) = hdµ limsup( f n dµ). Zusammenfassend ergibt sich f dµ liminf( limsup( f dµ. f n dµ) f n dµ) Daher stimmt der Limes inferior von f ndµ mit dem Limes superior davon überein und somit ist dies Aufgabe 71.5 gleich dem Limes von f ndµ.

7 Abbildungsverzeichnis Quelle = Lebesgue and Riemann integration animation.gif, Autor = Benutzer WarX auf pl. Wikipedia, Lizenz = CC-by-sa